Examenes resueltos analisis matematico
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Examenes resueltos analisis matematico Examenes resueltos analisis matematico Document Transcript

  • EXÁMENESRESUELTOSANÁLISISMATEMÁTICOINFORMÁTICASISTEMASY GESTIÓNDELEGACIÓN DE ALUMNOSCENTRO ASOCIADO DE BALEARES
  • EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
  • 1Asignatura: ANALISIS MATEMATICOFecha: Septiembre 1995Tipo examen: GeneralCuestión 1 (dos puntos)¿Cuál es el número mínimo de puntos conocidos de la gráfica de una función polinómica que sonnecesarios para determinar su expresión?Si se dispone de dicho número de puntos, ¿se puede asegurar que se determina la expresión de lafunción?Cuestión 2 (dos puntos)Calcular I x dx= ∫tg •4Cuestión 3 (dos puntos)Estudiar el carácter de la serie ( ) •−−−∑ 124 312n nnCuestión 4 (dos puntos)Representar gráficamente la función f(x) = x · Ln x - 2x .(Ln es el logaritmo neperiano)Cuestión 5 (dos puntos)Sea la función f xxnn Nresto( ),=− = ∈⎧⎨⎪⎩⎪110Estudiar si existen los límites de la función en x = 0, x = 1 / 2 .
  • .
  • 1ANALISIS MATEMATICOFebrero 1996 - 1ª SemanaTipo examen H1) Se consideran las funciones:f x x( ) sen= 2y g x t dtxx( ) sen=−∫ 222.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) La función f no es integrable y g no está definida.b) La función g es derivable y g x x x( ) sen= 4 4.c) La función f es integrable y g no es derivable en [0, 1].2) Dada la función ( )f x x( ) = +2129 en el intervalo [0, 4], un valor c que verifica el teorema delincremento finito es:a) c = 3 .b) c = − 3 .c) c = 3 .3) Sea [ ]f a b R: , → una función continua en ( )x a b0 ∈ , . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta?a) f es derivable en un entorno de x0 .b) Existe una sucesión (xn) de elementos de [a, b] para los cuales f x f xn( ) ( )− >0 1.c) Para toda sucesión (xn) de elementos de [a, b] que converge a x0 se tiene que lim f x f xnn→∞=( ) ( )04) La serie( )− −−∑1311nnnes:a) Convergente.b) Divergente pero no condicionalmente convergente.c) Divergente.5) La función f xxx x( ) =− +24 3verifica:a) La recta y = x + 3 es asíntota oblícua de la función f.b) Las rectas y = 1 e y = 3 son asíntotas horizontales de la función f.c) Las rectas x = 1 y x = 3 son asíntotas verticales de la función f.6) La función f xxx x( ) =− +24 3verifica:a) f es decreciente en ( ) ( )− ∞ − ∪ +∞, ,3 3 .b) f es monótona creciente en todo su dominio de definición.c) f es creciente en ( ) ( )− ∪ +∞3 0 3, , .
  • 27) La ecuación f(x) = P(x) tiene cuatro raíces reales unicamente, donde f es una función continua y P(x)es una función polinómica de cuarto grado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) El polinomio P(x) no es un polinomio interpolador de la función f.b) P(x) es el polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por lasraíces de la ecuación.c) El polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por las raíces dela ecuación es proporcional a P(x).8) El polinomio de Taylor de grado 2 de la función f xLn xx( ).= en el punto x = 1 es:a) ( )11212− −x .b) ( ) ( )x x− + −11212!.c) ( ) ( )x x− − −13212.9) El valor de ( )lim xxx→013 3cos. es:a) ∞ .b) 0 .c) −32.10) El valor de la integral ( )x x dx3 20122−∫ es:a)π2.b)79.c)67.
  • 1ANALISIS MATEMATICOFebrero 1997 - 1ª SemanaTipo examen A1. Sea [ ]f R: ,− →11 , donde f xxx( ) =+221y haxxdxa aalim=+→ −∫02212 1:A. h = 0 .B. h = 1 .C. Ninguna de las anteriores.2. Sea f xx( ) =1, con x0 = 1. Desarrollar x0 por el polinomio de Taylor.A. A x Bx x x− + − +10 52 3 4donde A y B son números naturales.B. 3 4 2 3 4+ + + +Ax x Bx x donde A y B son números enteros.C. Ninguna de las anteriores.3. Sea p R R: → , tenemos f(-2) = -16, f(-1) = -5, f(0) = -2 y f(1) = -1 y el grado de f es menor de 4:A. p(2) = 4 .B. p(2) = -0.5 .C. Ninguna de las anteriores.4. Sea f R R: → , tenemos f x p x x( ) ( )= − 2y según el ejercicio 3:A. f crece en el intervalo (-1,0) .B. f es cóncava en el intervalo (3,5) .C. Ninguna de las anteriores.5. Sea ( )p a b R: , → siendo discontinua en el intervalo (a,b):A. | f | es discontinua en el intervalo (a,b) .B. | f | puede ser derivable en el intervalo (a,b) .C. Ninguna de las anteriores.6. El segundo decimal de la única raíz de p(x) = 0 del ejercicio 3 es:A. 4 .B. 5 .C. Ninguna de las anteriores.7. La serie114n +es:A. Divergente.B. Convergente.C. Ninguna de las anteriores.8. Sea f R R: → siendo f x x( ) = 25, entonces:A. f posee una recta tangente para todo x que pertenece a R .B. f no posee una recta tangente para x igual a 0 .C. Ninguna de las anteriores.9. El valor de la integral tg .304x dxπ∫ :A. Es mayor de 0.5 .B. Es menor de 0.3 .C. Ninguna de las anteriores.10. Si F(x) es la primitiva de f x e xx( ) = + , entonces:A. F(x) es convexa en R .B. F(x) es creciente en R .C. Ninguna de las anteriores.
  • 1Examen de Análisis. Febrero 97Análisis MatemáticoExamen de Febrero de 1997 (1ª semana). Tipo A1) Sea [ ] R→− 1,1:f definida por 221)(xxxf+= y ∫−→ +=aaa xxah 220 121lim . Entonces:a) 0=h .b) 1=h .c) Ninguna de las anteriores.Respuesta razonada:La función que se nos da221)(xxxf+=es continua en toda la recta real por lo que su restricción1a todo intervalo cerrado y acotado estambién continua. Esto permite asegurar que )(xf es continua en el compacto [ ]1,1− y tambiénen todo compacto [ ]aa,− , donde R∈a . Por otro lado, toda función continua en un intervalocerrado y acotado es integrable Riemann en dicho intervalo y, en consecuencia, la función∫− +=aadxxxaaF 22121)(está bien definida para todo a perteneciente al intervalo [ ]1,1− y distinto de cero. Ahora bien,¿cuál es el valor de esta función? Basta hallar una primitiva de la función racional 221)(xxxf+= yaplicar la regla de Barrow:[ ] =−=+−=+−=+= −−−−− ∫∫∫∫aaaaaaaaaaxxadxxdxadxxadxxxaaF arctg211112111121121)( 2222( ) ( )( )[ ] ( )[ ]aaaaaaaaa−+−=−−−−−= arctgarctg221arctgarctg21.1La restricción no es más que una nueva función que tiene la misma fórmula pero que actúa en parte del dominio.
  • 2 Examen de Análisis. Febrero 97Como la función arco tangente es impar (ver figura 1 de la página siguiente) resulta que( ) aa arctgarctg −=− y por tanto:( ) ( ) ( ) aaaaaaaaaaaaaF arctgarctg221arctg2221arctgarctg221)( −=−=−=−−= .Si hacemos el límite de esta función cuando a tiende a cero resulta( ) 0000arctg0arctglim121lim0220=−=−=−=+=→−→ ∫ aaxxahaaaa.Figura 1La respuesta correcta es a.
  • 3Examen de Análisis. Febrero 972) Seaxxf1)( = y 10 =x , entonces el polinomio de Taylor correspondiente a f en el punto 0xes:a) 432510 xxBxxA +−+− , donde A y B son dos números naturales.b) 43243 xBxxAx ++++ , donde A y B son dos números enteros.c) Ninguno de los apartados anteriores.Respuesta razonada:Recordemos el teorema de Taylor:Sea f una función que admita derivada n+1–ésima ( )1+nf en todo el intervalo ),( ba ysupongamos que ( )nf es continua en el intervalo [ ]ba, . Supongamos también que 0x es unpunto de [ ]ba, . Entonces para todo x de [ ]ba, distinto de 0x , existe un punto 1x , interior alintervalo que une x con 0x tal que( )( )( )( ) 10111000!)(!)()()(++=−+−+= ∑ nnnkkkxxnxfxxkxfxfxf .Es decir, el teorema de Taylor nos garantiza que toda función que admita derivadas continuashasta el orden n en un intervalo cerrado y que tenga derivada n+1–ésima en el interior de eseintervalo cerrado, puede ser aproximada mediante el valor de un polinomio( )( )∑=−+nkkkxxkxfxf1000!)()( ,(llamado de Taylor) con coeficientes calculados por medio de la función y sus primeras nderivadas en un punto 0x , cometiendo un error medido a través del valor de la n+1–ésimaderivada en otro punto 1x :( )( ) 1011!)( ++−nnxxnxf.La funciónxxf1)( = tiene por dominio el conjunto { }0−R y en su dominio es indefinidamentederivable. Por ello, si tomamos un intervalo cerrado: [ ]ε+ε− 1,1 , 0>ε , que no contenga alorigen, podemos asegurar que en dicho intervalo se dan las condiciones del teorema de Taylor(ver figura siguiente)
  • 4 Examen de Análisis. Febrero 970 ε 1εPara hallar el polinomio de Taylor de grado n-1 necesitamos conocer la expresión de lasderivadas de f . Esto no resulta difícil si escribimos 1)( −= xxf en lugar dexxf1)( = . En efecto,( ) 10)( −= xxf (la función)( )( ) 211)( −−= xxf (primera derivada)( )( )( ) 3212)( −−−= xxf (segunda derivada)( )( )( )( ) 43123)( −−−−= xxf (tercera derivada)...............................................( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )112.....1)( +−−−−−−= nnxnnxf (derivada de orden n)Recordando que 123!3,12!2,1!1,1!0 ⋅⋅=⋅=== , etc., se tiene( ) 10!0)( −= xxf( )( ) 21!11)( −−= xxf( ) 32!2)( −= xxf( )( ) 43!31)( −−= xxf....................................( ) ( )1!)1()( +−−= nnnxnxf .Los valores obtenidos se sustituyen en el polinomio de Taylor( )( )( )( ) ( ) =−−+=−−+=−+ ∑∑∑ ==+−=nkkknkkkknkkkxxkkxxkxfxf1111000 1)1(11!1!)1(11!)()(( ) ( ) ( ) .....111132+−−−+−−= xxxEsto supone que la respuesta correcta es c.
  • 5Examen de Análisis. Febrero 973) De una función polinómica RR →:p , tan sólo se conoce que 2)1(p,16)2(p −=−−=− ,1)1(p −= y que el grado de p es menor que cuatro. Entoncesa) Es correcto suponer que ( ) 42p = .b) Es correcto suponer que ( ) 5.02p −= .c) Ninguno de los dos apartados anterioresRespuesta razonada:Supongamos que el polinomio que buscamos es de la forma:( ) DCxBxAxx +++= 23p .Esta suposición es razonable ya que el grado de p es como máximo tres. Para hallar estepolinomio (llamado de interpolación) vamos a emplear el método de las diferencias divididas. Acontinuación explicamos tal método.Consideremos una tabla donde se nos dan ciertos puntos nixi ,..,2,1,0, = y los valores de unafunción en tales puntos niyi ,..,2,1,0, =Tabla 10x 0y1x 1y2x 2y3x 3y. .nx nyLa primera diferencia dividida es la expresión:[ ] jixxyyxxijijji ≠−−= ,, .
  • 6 Examen de Análisis. Febrero 97Obsérvese que se trata de una especie de cociente incremental. Por ejemplo si tenemos la tabla delos valores de pTabla 2ix iy-2 -16-1 -50 -21 -1las primeras diferencias divididas consecutivas serán:[ ] ( )( )111112116521165,010110 ==+−+−=−−−−−−=−−=xxyyxx ,[ ] ( )( )3131521052,121221 ==+−=−−−−−=−−=xxyyxx ,[ ] ( ) 1111210121,232332 ==+−=−−−−=−−=xxyyxx .Estas diferencias se suelen colocar en la tabla anterior de la siguiente forma:Tabla 3ix iy [ ]ji xx ,-2 -16-1 -5 110 -2 31 -1 1
  • 7Examen de Análisis. Febrero 97Las segundas diferencias divididas consecutivas se construyen a partir de las primeras utilizando laexpresión:[ ] [ ] [ ] kixxxxxxxxxikjikjkji ≠−−= ,,,,, .En nuestro caso, serán:[ ] [ ] [ ]( )42820113,,,,021021210 −=−=−−−=−−=xxxxxxxxx ,[ ] [ ] [ ]( )1221131,,,,132132321 −=−=−−−=−−=xxxxxxxxx .Estos resultados se añaden a la tabla anteriorTabla 4ix iy [ ]ji xx , [ ]kji xxx ,,-2 -16-1 -5 110 -2 3 -41 -1 1 -1Las terceras diferencias divididas consecutivas serán[ ] [ ] [ ] tixxxxxxxxxxxxitkjitkjtkji ≠−−= ,,,,,,,, .Siguiendo nuestro ejemplo, obtenemos:[ ] [ ] [ ] 1332141)2(1)4(1,,,,,,,032103213210 ==++−=−−−−−=−−=xxxxxxxxxxxxy este resultado se añade a la tabla 5:
  • 8 Examen de Análisis. Febrero 97Tabla 5ix jy [ ]ji xx , [ ]kji xxx ,, [ ]tkji xxxx ,,,-2 -16-1 -5 110 -2 3 -41 -1 1 -1 1Una vez que hemos formado todas las diferencias divididas consecutivas posibles se puededemostrar que el polinomio de interpolación es de la forma:( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ]( )( )( ) ...,,,,,,p 2103210102100100 +−−−+−−+−+= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxEn nuestro caso:( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )012112421116p −−−−−+−−−−−+−−+−= xxxxxxxque simplificado es( ) 2p 23−+−= xxxx .Para comprobar que este es el polinomio buscado vamos a sustituir los valores conocidos delargumento( ) ( ) ( ) ( ) 1644822222-p23−=−−−=−−+−−−=( ) ( ) ( ) ( ) 531121111-p23−=−−−=−−+−−−=( ) ( ) ( ) ( ) 220000p23−=−+−=( ) ( ) ( ) ( ) 1211121111p23−=−+−=−+−= .Como el lector puede comprobar coinciden perfectamente. Veamos lo que vale este polinomio en2=x( ) 4224822222p 23=−+−=−+−= .La respuesta correcta es a.Observación: El método de Newton para la búsqueda del polinomio interpolador es másfácilmente aplicable a este problema pero sólo puede usarse en el caso de que los argumentosestén equiespaciados (es decir, que las x conocidas estén a la misma distancia unas de otrascomo ocurre en este problema). Por el contrario, el método de las diferencias divididas se puede
  • 9Examen de Análisis. Febrero 97aplicar aunque no se tengan argumentos equiespaciados y por ello nos ha parecido másconveniente explicarlo para tener un método de alcance general.
  • 10 Examen de Análisis. Febrero 974) La función RR →:f definida por 2)(p)( xxxf −= , donde ( )xp es la función de la cuestióntercera. Entoncesa) f crece en el intervalo. ( )0,1− .b) f es cóncava en el intervalo. ( )5,3 .c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Sabemos que la función del apartado tres es el polinomio( ) 2p 23−+−= xxxx ,por lo que la función f tendrá por valor222)( 23223−+−=−−+−= xxxxxxxxfy será también un polinomio. Para investigar su monotonía y concavidad bastará hallar la primeray la segunda de sus derivadas. En efecto, su primera derivada143)( 2+−=′ xxxfse anula en los puntos( )2,3164461216432134442==−=⋅⋅⋅−−=mmmx .La siguiente tabla nos da razón de la monotonía de f∞−31, 1,31 ( )+ ∞,1143)( 2+−=′ xxxf + - +f Creciente Decreciente CrecienteComo el intervalo ( )0,1− está contenido en el intervalo ∞−31, , se sigue que f es creciente en( )0,1− y la respuesta correcta es a.
  • 11Examen de Análisis. Febrero 975) Sea ( ) R→baf ,: una función discontinua en todo punto del intervalo ( )ba, , entonces:a) f es una función discontinua en ( )ba, .b) f puede ser una función derivable en ( )ba, .c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Sea la función:=irracionalessi1-racionalessi1)(xxxfdefinida en el intervalo ( )2,1 . Esta función es discontinua en todo punto de dicho intervalo. Enefecto, sea a un punto racional del intervalo ( )2,1 . Su imagen es ( ) 1=af , pero si tomamos unentorno ( )ε;1E de 1 de radio 10 <ε< , veremos que es imposible encontrar algún entorno ( )aEde a tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, la imagen de x , )(xf pertenece a( )ε;1E . Esto es así, debido a que en dicho entorno de a , habrá algún irracional 0x y la imagen detal irracional será 1)( 0 −=xf , valor que no pertenece a ( )ε;1E (ver figura 2 )Figura 2Un razonamiento análogo se puede aplicar a todo punto b irracional del intervalo ( )2,1 . Enresumen, f es discontinua en todo punto de ( )2,1 . Sin embargo, su valor absoluto es
  • 12 Examen de Análisis. Febrero 97==irracionalessi11-racionalessi1)(xxxflo que implica que se trata de una función constante 1)( =xf en el intervalo ( )2,1 . Comosabemos todas las funciones constantes son continuas y derivables por lo que esta función es unejemplo de función discontinua en todo punto de un intervalo y tal que su valor absoluto escontinuo y derivable. Así, la respuesta correcta es c.
  • 13Examen de Análisis. Febrero 976) El segundo decimal de la única raíz de la ecuación ( ) 0p =x , donde ( )xp es la funciónpolinómica de la cuestión tercera es:a) 4.b) 5.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Recordemos que el polinomio de la tercera pregunta resultó ser( ) 2p 23−+−= xxxx ,por lo que la ecuación cuyas raíces buscamos es 0223=−+− xxx . Se trata de una ecuación detercer grado para la que existe una fórmula (llamada generalmente de Cardano–Viéta). Sinembargo, tal fórmula es algo complicada y suele ser preferible una resolución por aproximaciónnumérica. En primer lugar, probaremos que sólo existe una raíz para dicha ecuación. En efecto,podemos aplicar el Teorema de Bolzano al intervalo [ ]2,8.0 (este intervalo se determina porinspección de valores con cambios de signo que se encuentren bastante cerca uno de otro) ya quese trata de una función continua (como todo polinomio) y además( ) 0328.10.8p <−= ( ) 042p >= ;esto garantiza que existe al menos una raíz en el intervalo[ ]2,8.0 . Por otro lado, la derivada de( )xp es el polinomio ( ) 123q 2+−= xxx y este polinomio no tiene ceros pues su discriminanteacb 42−=∆ tiene por valor un número negativo( ) 812413422−=−=⋅⋅−−=∆ .Esto significa que la derivada siempre tiene el mismo signo (pues al ser continua si cambiara designo habría pasado por cero alguna vez). En este caso el signo es positivo y la función ( )xp essiempre creciente lo que implica que si corta al eje de abscisas (como así ocurre) lo habrá de haceruna sola vez. Hemos probado pues que la ecuación tiene una única raíz en el intervalo 2,32.Para hallar el valor de esta raíz vamos a emplear el método de Newton–Raphson. Este métodoconsiste en la construcción de una sucesión recurrente de la forma:0)()(1 ≥′−=+ nxfxfxxnnnn .
  • 14 Examen de Análisis. Febrero 97El término inicial 0x ha de elegirse adecuadamente. A este respecto, es conveniente recordar elsiguiente teorema:Sea f dos veces diferenciable continuidad en un intervalo [ ]ba, verificando las siguientescondiciones:1. 0)()( <bfaf .2. 0)( ≠′xf para todo [ ]bax ,∈ .3. f ′′no cambia de signo en [ ]ba, .4. abbfbfafaf−≤′′ )()(,)()(max .Entonces existe una única raíz s de la ecuación 0)( =xf en el intervalo [ ]ba, y la sucesión{ }nx obtenida por el método Newton–Raphson converge hacia s cualquiera que sea el valorinicial 0x de [ ]ba, .La función ( ) 2p 23−+−= xxxx verifica las cuatro condiciones anteriores.1. Es derivable indefinidamente con continuidad en [ ]2,8.0 (y por tanto, dos veces derivable concontinuidad). Además sabemos que ( ) ( ) 02p8.0p < .2. Su primera derivada es ( ) 123q 2+−= xxx y como ya hemos probado no tiene ceros.3. La segunda derivada es ( ) 26p −=′′ xx , y cambia de signo sólo en31=x , por lo que en elintervalo que estudiamos su signo es constante.4.( ) ( ){ } 33.1006.144.0,006.1max94,32.1328.1max)2(p2p,)8.0(p0.8pmax ≤===′′.Aplicamos el método de Newton–Raphson tomando como valor inicial el 10 =x (por sencillez).Así resulta que:5.1)1(p)1(p11 =′−=x ,( ) 26321,368421051926)2/3(p2/3p232 ==′−=x ,21181,35339419936026/2661)19/26(p)19/26(p19263 ==′−=x ,353209992.1)26619/36026(p)26619/36026(p26619360264 =′−=x .
  • 15Examen de Análisis. Febrero 97Obsérvese que al cabo de cuatro iteraciones hemos obtenido una cierta estabilidad en los dígitosdel resultado. En efecto, la tercera y la cuarta iteración comparten los dígitos 1,353 por lo quepodemos asegurar que esos dígitos son exactos. Así la respuesta correcta es b.
  • 16 Examen de Análisis. Febrero 977. – La serie de término general114+nesa) Divergente.b) Convergente.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Utilizaremos el llamado criterio de comparación por paso al límite.Sea an∑ una serie de términos no negativos y supongamos que para una sucesión bn detérminos no negativos se cumple quelimabnn= ≠ + ∞λ 0,entonces las series an∑ y bn∑ tienen el mismo carácter.En este criterio se compara el término general de una serie de comportamiento conocido con laserie estudiada. Como a medida que n crece la expresión114+nes más similar a 2411nn=utilizaremos esta última para comparar. Así tenemos que11lim111lim111lim111lim 44444424=+=+=+=+nnnnnnnn .Ahora bien, la serie ∑ 21nconverge por lo que también converge la serie estudiada. La respuestacorrecta es b.
  • 17Examen de Análisis. Febrero 978. – Sea RR →:f definida de forma 5 2)( xxf = , entonces:a) f posee recta tangente para todo R∈x .b) f no posee recta tangente para 0=x .c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Si calculamos la derivada de la función dada, obtenemos:5 5535315252525252)(xxxxxf ====′−−.Observamos que no tal derivada no está definida para 0=x . En efecto, el límite− ∞=======−−−→→−→→→→ −−−−−−011lim1limlimlimlim0)0()(lim5 305305305205 200xxxxxxxxfxfxxxxxxse interpreta como la pendiente de la recta tangente por la izquierda a la función en el punto0=x . Al tener un valor igual a menos infinito se trata de una recta vertical (pendiente infinita)obtenida como límite de rectas secantes de pendiente negativa. Por otro lado, el límite+ ∞=======−−+→→−→→→→ ++++++011lim1limlimlimlim0)0()(lim5 305305305205 200xxxxxxxxfxfxxxxxxse interpreta como la pendiente de la recta tangente por la derecha a la función en dicho punto. Setrata también de una recta vertical pero límite de rectas secantes con pendiente positiva. Nopodemos asignar la misma pendiente por un lado que por otro y esto implica que en el origen lacurva no tiene recta tangente. La respuesta correcta es b.
  • 18 Examen de Análisis. Febrero 979. – El valor de la integral ∫π403tg xdx es:a) Mayor que 0.5.b) Menor que 0.3.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Recordemos quexxxcossentg = . De esta forma, la integral queda como∫∫ππ= 40 33403cossentg dxxxxdx .Por otro lado, sabemos que 1sencos 22=+ xx , lo que permite xx 22sen1cos −= y la integralresulta( )∫∫∫∫∫πππππ=−=−=== 40 3240 3240 3240 33403coscossensencoscos1sencossensencossentg dxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdx∫∫∫∫ππππ=−=−= 4040 340 3240 3cossencossencoscossencossendxxxdxxxdxxxxdxxx.Para resolver las dos integrales que nos quedan utilizaremos un mismo cambio de variable:224cos;10cossensencos=π===−=⇒−=⇒=uuxdudxxdxduxu(recordemos que en los cambios de variable de integrales definidas también han de cambiarse losextremos de integración). Sustituyendo, queda∫∫ππ=− 4040 3cossencossendxxxdxxx=−−−=−−−= ∫∫∫∫ 221221 3221221 3sensensensenuduuduxduuxxduux[ ] =+−=+−=−−∫∫ 22122122212213ln2uuududuu [ ] =+−−−2212212ln2uu[ ]2212212ln21uu+−
  • 19Examen de Análisis. Febrero 97=+=−++−−=−+⋅−−−−=−21121222ln21022ln2111ln22ln12122212ln2121−= .Como sabemos que 301030.02ln ≈ es aproximadamente 0.301030, resulta que el valor de laintegral es, también aproximadamente:( ) 349485.069897.05.030103.015.0301030.05.05.0 =⋅=−⋅=⋅− .La respuesta correcta es c.
  • 20 Examen de Análisis. Febrero 9710. – Sea )(xF una función primitiva de la función xexxf +=)( , entonces:a) )(xF es convexa en todo R .b) )(xF es creciente en todo R .c) Ninguno de los dos apartados anteriores.Respuesta razonada:Una función )(xF se dice que es una primitiva en R de otra función )(xf si entre ambas se dala relación)()( xfxF =′en todo punto de R . Particularmente, esto nos permite investigar la monotonía de )(xFestudiando su derivada )(xf . En este caso, la derivada es xexxf +=)( y tal derivada escontinua y cambia de signo ( 0111)1( 1<+−=+−=− −eef , 10)0( 0=+= ef ) . Por ello, la funciónprimitiva )(xF tiene intervalos de crecimiento (donde f es positiva) e intervalos dedecrecimiento (donde fx es negativa). Esto invalida la respuesta b.Por otro lado, la relación )()( xfxF =′ implica )()( xfxF ′=′′ , por lo que derivando fobtenemos la segunda derivada de F y podemos estudiar la concavidad y convexidad. Así,resulta que( ) 01)()( >+=′+=′=′′ xxeexxfxFy la función primitiva F ha de ser convexa en toda la recta real al tener segunda derivada siemprepositiva. La respuesta correcta es a.
  • .
  • 1Asignatura: ANALISIS MATEMATICOTipo examen: AFecha: 10-Septiembre-19971.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68:a) f es una función estrictamente creciente en R.b) f posee un máximo y un mínimo local.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.2.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68:a) f es una función impar (simétrica respecto al origen).b) x · f(x) NO es una función par (simétrica respecto al eje OY).c) Ningunos de los dos apartados anteriores.3.- La expresión de una función en un entorno reducido de x = 0 es( )f xxx x( )sen=−22 2 :a) Si f(0) = 1, entonces f es una función continua en x = 0.b) f es una función discontinua en x = 0 para cualquier valor d ∈ [0, 10] tal que f(0) = d.c) Ningunos de los dos apartados anteriores.4.- Sea f una función CONTINUA, en un entorno de x = 0, de expresión( )f xxx x( )sen=−22 2 salvopara x = 0.a) f no puede ser una función derivable en x = 0.b) La derivada de f en x = 0 es 2.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.5.- Sea f x x t dtx( )sen= − −∫ 1 20:a) f posee un único máximo local y un único mínimo local.b) f posee infinitos puntos máximos locales e infinito puntos mínimos locales.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.6.- Sea f x x t dtx( )sen= − −∫ 1 20:a) f posee un único punto de inflexión.b) f posee punto de inflexión en x = k · π para k ∈ Z.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
  • 27.- Sea f : R → R una función continua tal que f t dt( ) =−∫ 011:a) f es idénticamente nula o impar.b) Existe d ∈ (-1, 1) tal que f(d) = 0.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.8.- La serie ( )•( )−+−∑ 1115n n nnes:a) Condicionalmente convergente.b) Absolutamente convergente.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.9.- El valor de la integralsencos2404 xxdxπ∫ es:a) Mayor que 1.b) Menor que 1/4.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.10.- Sea f la función primitiva de la función g(x) = x · Ln x tal que f(1) = - 1/4 :a) La gráfica de f no corta al eje OX.b) La gráfica de f corta al eje OX en un único punto.c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
  • 1Asignatura: ANALISIS MATEMATICOFecha: 28 - Febrero - 1998Tipo examen: A1 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que ( )P x dx−∫ =111a) A =13b) A =34c) Ninguno de los dos apartados anterioresComo los nodos son equidistantes vamos a utilizar la fórmula del polinomio interpolador en la forma deNewton-Gregory en diferencias progresivas:( ) ( ) ( )∑ ∏=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∆=nkkiikkn xxhkxfxP0100!Calculamos el triángulo de las diferencias progresivas:x0 = -1 f(-1) = 0∆f(-1)= A-0 = Ax1 = 0 f(0) = A ∆2f(-1) = -A – A = -2A∆f(0) = 0 – A= -A ∆3f(-1) = 0 – (-2A) = 2Ax2 = 1 f(1) = 0 ∆2f(0) = -A – (-A) = 0 ∆4f(-1) = 2A – 2A = 0∆f(1) = -A – 0 = -A ∆3f(0) = 2A -- 0 = 2Ax3 = 2 f(2) = -A ∆2f(1) = A – (-A) = 2A∆f(2) = 0 – (-A) = Ax4 = 3 f(3) = 0Y aplicamos la fórmula:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxAAxxAxxxAxxAxAxP +−−=−+++−+++=3311!321!221!10 233Calculamos la integral:34631233112341123 AAxxAxAxAdxAxAAxxA=+−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−−∫Y la igualamos a 1:43134=⇒= AA( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxAAxxAxxxAxxAxAxPn +−−=−+++−+++=3311!321!221!10 23AAxxAxAxAdxAxAAxxA34631233112341123=+−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−−∫43134=⇒= AA
  • 22 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que ( )P x dx−∫ =111a) P(x) posee un mínimo relativo en x = 2b) P(x) posee un máximo relativo en x = 1 -233c) Ninguno de los dos apartados anterioresLa función polinómica la calculamos en el ejercicio anterior el cual es igual aY “A” es igual a34, con lo cual el polinomio queda así:( )34943494 23+−−= xxxxPPara averiguar los máximos y los mínimos primero hay que calcular su derivada:Y buscamos sus raíces:Ahora solo falta averiguar si 3321− es un máximo relativo. Para eso calculamos la derivada 3ª delpolinomio:( )3838−=′′ xxPY al ser 3916283321383321 −=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′′P menor que 0, el punto es un máximorelativo, y la respuesta correcta es la “b”.3 - Sea T3(x) = Ax3+ Bx2+ Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a lafunción f(x) = ( )Ln t dtx122∫ en el punto x = 1a) C = -2b) B = -1c) Ninguno de los dos apartados anterioresPrimero vamos a averiguar ( )∫ dxxLn . Para ello utilizaremos el método de integración por partes.Elegiremos ( )xuxLnu1=′⇒= , y xvv =⇒=′ 1 .( ) AxAAxxAxP +−−=3323( )943834 2−−=′ xxxP( ) ( )⎪⎩⎪⎨⎧−+=×−××−−±==−−⇒=−−33213321321346601630943834222xxxxx
  • 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )111 −=−=⋅⋅′−⋅=′⋅∫∫∫ ∫xLnxxdxxxxLndxxLndxxvxuxvxudxxvxuEl polinomio de Taylor es igual a:( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )3323 1!311!211!111 −+−′′+−′+= xfxfxffxTCalculamos f(1):( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )2122112121111111211212−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−== ∫ LnLnLnxLnxdxxLnfCalculamos f’(1):( ) ( ) ( )( ) 01422=′⋅=⋅=′fxLnxxxLnxfCalculamos f’’(1):( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 44141441444=+=′′+=+=′⋅=′′LnfxLnxxxLnxLnxxfCalculamos f(3)(1):( )( ) ( )( )( )( ) 414144433===′+=fxxLnxfCon lo cual el polinomio queda:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )652212321!341!241021221 3323 ++−=−+−+−⋅+−= LnxxxxxLnxTPor lo tanto 2−=C .4 - Sea T3(x) = Ax3+ Bx2+ Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a lafunción f(x) = ( )Ln t dtx122∫ en el punto x = 1a) D =12Ln(2) +56b) D =43c) Ninguno de los dos apartados anterioresEl polinomio de Taylor es el mismo al del ejercicio anterior:( ) ( )65221232 34 ++−= LnxxxT( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 01141422212=⋅⋅=′⋅=⋅=′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=′ ∫LnfxLnxxxLndttLnxfx
  • 4En él se puede ver que ( )65221+= LnD .5 - Sean g(x) =0 01 0si xsi x≤>⎧⎨⎩y f(x) = g(x)x2+ g(-x)x3a) f no es derivable en x = 0b) f ‘(0) = 0c) Ninguno de los dos apartados anterioresReconstruimos de nuevo la función f(x):f(x) =⎩⎨⎧>≤0023xsixxsixVemos si la función es continua en el punto 0:( )( ) 00200300====++−−→→→→xlimxflimxlimxflimxxxxComo la función es continua en el punto x=0 solo falta averiguar si es derivable en dicho punto ycalcularla:( )( ) 020300200==′==′++−−→→→→xlimxflimxlimxflimxxxxPor lo tanto, f ‘(0) = 06 - Sean g(x) =0 01 0si xsi x≤>⎧⎨⎩y f(x) = g(x)x2+ g(-x)x3a) f posee un mínimo relativo en x = 0b) f posee un máximo relativo en x = 0c) Ninguno de los dos apartados anterioresLa función es la misma que la del ejercicio anterior:( )⎩⎨⎧>≤=0023xsixxsixxfSu derivada es:( )⎩⎨⎧>≤=′0203 2xsixxsixxfLa igualamos a 0:002003 2=⇒==⇒=xxxxEl punto x=0 es un posible candidato a ser un máximo o un mínimo relativo. Para averiguarlo vamos acalcular las derivadas sucesivas de la función hasta que el punto x=0 de un resultado diferente a 0:
  • 5( )020030206>=⇒=⎩⎨⎧>≤=′′xxxsixsixxfEl punto x=0 es un mínimo relativo a la derecha del punto (x>0) de la función. Pero aún no sabemosnada sobre la izquierda del punto:( )06063≠≤= xsifEn el punto x=0 no hay un punto máximo ni mínimo, por ser la derivada 3ª en ese punto diferente de 0, yal ser el 3 un número impar.Para demostrar que el punto x=0 no es un mínimo ni un máximo relativo vasta coger el punto x=-1 y x=1:( ) ( )( ) 0111011123>==<−=−=−ff7 - Sean f : [0, 1] → R y g : [0, 1] → R dos funciones integrablesa) Si ( ) ( )( )f x g x dx− =∫010 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1]b) Si ( ) ( )f x g x dx− =∫010 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1]c) Ninguno de los dos apartados anteriores .Para demostrar que la respuesta correcta es la c), vamos a poner un contraejemplo:( )bababaxbxadxbxaxdxbxaxbxax43034343410341023102323=⇒=−−=−=−=−≠∫∫Si ponemos a=4 y b=3, ya tenemos el contraejemplo.8 - Sea A la serie( )2 1n nnn+∑ !a) 1 < A < ∞b) A = ∞c) Ninguno de los dos apartados anterioresComparamos el término general con el término siguiente:( ) ( )( )2 1 2 211 1n n n nnnnn+≤+++ +! !Como la serie es DIVERGENTE, su sumatorio es infinito (A = ∞)9 - Sean f(x) una función polinómica y g(x) =( )x af x−donde a es una raíz de la ecuación f(x) = 0
  • 6a) Existe limx a→g(x) y es finitob) Existe limx a→g(x) y puede ser infinitoc) Ninguno de los dos apartados anterioresSupongamos que f(x)=(x-a)h(x):( )( ) ( ) ( ) ( )xhlimxhaxaxlimxfaxlimxglimaxaxaxax1→→→→=⋅−−=−=El límite depende de h(x). Por lo tanto no se puede asegurar si tiene límite, y si este es finito o infinito.10 - Sea f(x) = x4+ Ax2+ Bx + Ca) f posee dos puntos de inflexiónb) Para A = 0, f posee un único punto de inflexiónc) Ninguno de los dos apartados anterioresAveriguamos la derivada segunda de la función:( )( ) AxxfBAxxxf+=′′++=′23124Buscamos sus raíces:12012 2 AxAx −±=⇒=+Viendo esto, podemos deducir que si “A” es menor que cero, entonces la derivada segunda de la funciónno tiene raíces, y por lo tanto tampoco punto de inflexión.Vamos a ver el caso de A=0.La función quedaría de la forma:( ) CBxxxf ++= 4Su derivada segunda sería:( )( ) 23124xxfBxxf=′′+=′Buscamos sus raíces:0012 2=⇒= xxEl punto x=0 es un candidato para ser un punto de inflexión. Para comprobarlo veremos si la derivadatercera en este punto da un resultado distinto de cero:( )( )( )( ) 001201233=⋅==fxxfAl dar también cero, aún no se puede asegurar si es un punto de inflexión, necesitamos seguir derivando.Si la derivada cuarta de la función en el punto x=0, da un resultado diferente a cero, entonces este puntono es de inflexión, porque el número de veces que se derivó la función es par:( )( )( )( ) 01201244≠==fxfPor lo tanto el punto x=0 no es de inflexión, y la función no tiene ningún otro.
  • Examen 1 (febrero 2000)Nota: e  2,71 ; tg¡4¢11. La serie£ ¤n!¥24n¤2n¥ !es:Convergente.Divergente.Ninguna de las anteriores respuestas.2. De la ecuación ex ¦x ¢0 :Podemos asegurar que tiene mas de una raíz en el intervalo § ¨ 1,0© .Podemos asegurar que tiene una única raíz en el intervalo § ¨1,0©y que dicha raíz seencuentra en ¨1,¨12.Ninguna de las anteriores respuestas.3. Si f : R  R es una función con derivada décima continua en todo R, tal que f¤¨ 1¥¢0,f¤¨12¥¢¨ 1 y f¤0¥¢0, entonces el valor aproximado de la derivada de la función f en elpunto x ¢1, calculado mediante interpolación, es:12.5.Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor de la integral 02 dx1 ¦cos xes:1.2.Ninguna de las anteriores respuestas.5. La serie£n4 rn2n es:Convergente para r ¢1.Convergente para r ¢2.Ninguna de las anteriores respuestas.6. Sea   R y f : R  R la función definida por f¤x¥¢x|x|x si x  0 si x ¢0.Si ¢2 entonces la función f es continua en R.Si ¢0 entonces la función f es continua por la izquierda en x ¢0.Ninguna de las anteriores respuestas.7. La función f definida en ¤0,¦ ¥por f¤x¥¢xe1x :Tiene una asíntota oblicua de ecuación y ¢x ¦1 y una asíntota vertical de ecuación x ¢0.Tiene un máximo relativo en el punto x ¢1.Ninguna de las anteriores respuestas.
  • 8. Sea f :  1, ! " R la función definida por fx! #arc tg x $ 1 $ arc sen x $1x para todox % 1. El valor de la derivada de la función f en x #2 es:12.0.Ninguna de las anteriores respuestas.9. El valor dex&0lim 1x $cos xsen xes:0.12.Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sean f : R " R una función continua en R y G : R " R la función definida porGx! # 0xxft!dt para todo x ( R. La derivada de la función G en x #0 :Es igual a 0.Es igual a 1.Ninguna de las anteriores respuestas.Corregir Examen 1
  • www.eltemario.com Universidad – UNEDAnálisis Matemático 1º - Enero 20011/3EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO 1ª semana – Febrero 2001 Modelo A1.- Sean f y g funciones derivables en ℜ y h: ℜ → ℜ la función definida por h(x) =1(g(x))1g(x)2++para todo x∈ℜ. Si g(1) = -1, f ´(0) = -1 y g´(1) = 2, entonces la derivadade la función compuesta f ο h en el punto x = 1 es:A) (f ο h)´(1) = 1.B) (f ο h)´(1) = -2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2.- En x = 0 la función F(x) = ∫ +2x0213dt)t(1 tiene:A) Un mínimo relativo.B) Un máximo relativo.C) Ninguna de las anteriores respuestas.3.- La serie ∑ ++3n253nes:A) Divergente.B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4.- La serie ( )∑nn1-n es:A) Divergente.B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5.- Sea P2 (x) el polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por los puntos (-2,3),(0,0) y (1,-3).A) La derivada de P2 (x) es P´2(x)25-x-= .B) P2 (-1) = -2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.6.- La ecuación x4+ 2x – 1 = 0:A) Posee una única raíz en [0, 2] y si se toma21x = como valor aproximado dedicha raíz, el error cometido es menor o igual que321.B) No posee ninguna raíz en [0, 2].C) Ninguna de las anteriores respuestas.7.- La función f(x) =sen x2xsen+:A) Tiene un máximo relativo en2xπ= y es creciente en el intervalo ππ,2.B) Tiene un mínimo relativo en2-xπ= y es creciente en el intervalo  π2,0 .
  • www.eltemario.com Universidad – UNEDAnálisis Matemático 1º - Enero 20012/3C) Ninguna de las anteriores respuestas.8.- Sea λ∈ℜ La función f : ℜ → ℜ definida por f(x) ==λ≠+0xsi0xsie1ex1x1A) La función f es continua en x = 0 si λ = 1.B) La función f no es continua en x = 0, cualquiera que sea el número real λ.C) Ninguna de las anteriores respuestas.9.- El valor de la integral ∫41dxxLn xes:A) 2 – Ln 4.B) –4 + 4Ln4.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10.- Sea F : [0, 4] → ℜℜ Una función continua tal que f(0) = -1, f(1) = -2, f(2) = 0, f(3) =1 y f(4) = 3. Al calcular I = ∫41dxf(x)x por la fórmula del trapecio se obtiene:A) I = 14.B) I = 7C) Ninguna de las anteriores respuestas.NOTA: Ln a denota el logaritmo neperiano de a.Los exámenes Tipo B y C solo tienen las preguntas y las respuestas cambiadas de ordenpero los ejercicios son los mismos.Soluciones:EXAMEN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10TIPO A C A A B A A B B B C
  • www.eltemario.com Universidad – UNEDAnálisis Matemático 1º - Enero 20013/3COMENTARIO A LAS SOLUCIONES DEL EXAMEN TIPO A1.- Aplicando la Regla de la cadena, (f ο h)´(1) = f ´(h(1)).h ´(1) = -1, luego la soluciónes C[ ] [ ][ ]2221(g(x))´(x)2g(x)g1g(x)-1(g(x))´(x)g´(x)h+++= sustituyendo h `(1) = 1, h(1) = 0 y f´(0) = -12.- F ´(x) = 2x(1 + x6)1/2, ( ) ( )′′ = + + +−F x x x x x( )/ /2 1 2121 661 261 25. ′′ = >F ( ) ,0 2 0luego es un mínimo.3.- Como ∞=++∞→ 3n25lím 3nn, la serie es divergente (el límite se calcula fácilmentecambiando n por x y aplicando tres veces la Regla de L´Hopital.4.- Aplicando el criterio de la Raíz, queda ( ) 01-11-nlím nn==∞→, luego es convergente.5.- Interpolando queda P2(x) = x25-2x-2, y entonces P ´2(x) = - x -256.- Como f(0) = -1 < 0 y f(2) = 19 > 0 , por lo menos tiene una raíz; además f ´(x) = 4x3+ 2 tiene signo positivo en (0,2), por tanto, la raíz es única. Aplicando el Teorema 12– 1.3 (pág. 291) sale fácilmente la acotación321.7.- f ´(x) =( )2sen x2xcos2+, que es creciente en 02,π , pues el coseno es positivo en elcuarto cuadrante, y tiene un mínimo relativo en x =2π− .8.- Como los límites laterales no coinciden (0 por la izquierda y 1 por la derecha) lafunción no puede ser continua en x=0. La respuesta es B.9.- [ ] 4-44Lnx4-xLnx2xxLn 4141==∫ . La integral se hace fácilmente por partes.10.- Al aplicar el método de los trapecios queda: 1.f(1) = -2 ; 2.f(2) = 0 ; 3.f(3) = 3 y4.f(4) = 12 Luego 8302122-1.dxx.f(x)41=+++=∫ . Entonces, la solución es laC.
  • Examen 2 (Febrero 2000)1. El valor dex 0limcos¡2x¢ £cos¡6x¢x2es:20.16.Ninguna de las anteriores respuestas.2. La serie ¤¡ ¥n¢!n!¡n ¦1¢!, donde¥es un número natural:Converge si¥ §2.No converge si¥ §1.Ninguna de las anteriores respuestas.3. Si f es una función continua tal que f¡0¢§6, f¡1¢§£1, f¡2¢§£e¨12, f¡3¢§3e¨2yf¡4¢§£e¨3, el valor de la integral ©04f¡x¢exdx, calculado mediante la fórmula de Simpson,vale:2 ¦2e.2 £4e.Ninguna de las anteriores respuestas.4. La serie ¤24n¨3¡4n £3¢!es:Divergente.Convergente.Ninguna de las anteriores respuestas.5. El valor de la integral ©1edxx¡1 ¦ Lnx¢es:2Ln2.Ln2.Ninguna de las anteriores respuestas.6. La función F¡x¢§©0x21 ¦ t3dt para todo x R,tiene en x§0:Un máximo relativo.Un punto de inflexión.Ninguna de las anteriores respuestas.7. Consideremos las funciones f¡x¢§x2y g¡x¢§£4 si x 0|x £4| si x 0.La función compuesta g  f es continua en x§0.La función compuesta f  g es continua en x§0.
  • Ninguna de las anteriores respuestas.8. Sean f,g :  1,2  R dos funciones definidas por f x  x21 y g x  sen x, con x !  1,2 .Las gráficas de las funciones f y g se cortan en dos puntos.Las gráficas de las funciones f y g tienen un único punto de corte en el intervalo 32,2 .Ninguna de las anteriores respuestas.9. Sea f : 1," # R la función definida por fx Ln cos arc tg 1x21. Entonces:f$  x xx21para todo x % 1.f$ x1x x21para todo x % 1.Ninguna de las anteriores respuestas.10. La función f x 3 x2 x " 1 es:Decreciente en 23,0 y creciente en 0," #.Derivable en x  0.Ninguna de las anteriores respuestas.Corregir Examen 2
  • Examen 3 (septiembre 2000)Nota: sen 4¡cos 4¡ 12, f¢y F¢denotan las derivadas de f y F respectivamente.1. Sean f :£0,¤ ¥ ¦ § R y F :£0,¤ ¥ ¦ § R las funciones definidas para cada x ¨ 0 porf© x¦¡1©1 ¤ x2 ¦2y F© x¦¡ 0x8f© t¦dt respectivamente. El valor de la derivada de la función Fen x ¡1 es:3.2.Ninguna de las anteriores respuestas.2. Sea f : R § R una función derivable en R tal que f ©12¦¡1 y f¢©12¦¡1. Si F : R § R es lafunción definida por F© x¦¡efsen2 xpara todo x  R, entonces:F¢© 4¦¡2e.F¢© 4¦¡e.Ninguna de las anteriores respuestas.3. La serie  ©  1¦n n1 ¤ nes:Condicionalmente convergente.Absolutamente convergente.Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor medio de la función cos5x en 0, 2es:1516 .815.Ninguna de las anteriores respuestas.5. El valor dex  lim 3x1 ¤ x¤2x1 xes:5.1.Ninguna de las anteriores respuestas.6. La función f© x¦¡x1 ¤ x2:Tiene un mínimo relativo en x ¡1 y un máximo relativo en x ¡ 1.Es cóncava en el intervalo 0, 3 y creciente en el intervalo © 1,1¦ .Ninguna de las anteriores respuestas.
  • 7. Sea  R. La función definida por f! x" #x2 $x3 $ x si x % 1 x2 & x3si x 1.Es continua en R, para todo  0.Es continua en R, sólo si  #&2.Ninguna de las anteriores respuestas.8. El polinomio interpolador de grado 2 de la función f!x"# senx relativo a los nodos x0 #& (,x1 # 0 y x2 #(:Es identicamente nulo.Tiene una raiz en el intervelo ) 0,2( 0.Ninguna de las anteriores respuestas.9. La serie 1 !&1"n n!! 5 $1" ! 5 $2" ...! 5 $n"es:Absolutamente convergente.Condicionalmente convergente.Ninguna de las anteriores respuestas.10. Si f es una función derivable tal que f!0"# 1, f!2"#&1 y f!4"# 0, entonces el valoraproximado de la derivada de la función f en el punto x # 1, obtenido a partir de la derivadaen x # 1 del polinomio interpolador de segundo grado de la función f relativo a los nodosx0 # 0, x1 # 2, x2 # 4, es:&1.1.Ninguna de las anteriores respuestas.Corregir Examen 3
  • Examen 4 (septiembre 2000)Nota: lna es el logaritmo neperiano de a.1. La función f x¡ ¢sen2x si x £ 0xln 1 ¤ x¡si x ¥ 0:Tiene un mínimo relativo en x ¢ 0.Tiene un máximo relativo en x ¢ 0.Ninguna de las anteriores respuestas.2. Si f x¡ ¢ ln 1 ¤ x2¡ para todo x ¦ R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tresde la función f en el punto x ¢ 0 es:x2.x2¤16x3.Ninguna de las anteriores respuestas.3. La serie §  ¨1¡n©1 12n¨1es:Absolutamente convergente.Condicionalmente convergente.Ninguna de las anteriores respuestas.4. Si P4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la función f x¡¢ senx ¤ cosx, relativo a 5nodos distintos x0, x1, x2, x3, x4 ¦ ¨ , , entonces:|P4 0¡¨1| £8155.P4  ¨2¡ ¢5.Ninguna de las anteriores respuestas.5. La derivada de la función F x¡ ¢ x2xxcostdt en el punto x ¢es:¨1¨.1 ¤.Ninguna de las anteriores respuestas.6. El valor dex © lim x2¨x¨2x2¤ 1 es:1..Ninguna de las anteriores respuestas.7. La ecuación x¨senx¨5 ¢ 0:Tiene al menos una solución en ¨,0.No tiene solución en 0,¤¡.Ninguna de las anteriores respuestas.
  • 8. El valor de la integral 0 3x24! cosxdx es:6" .4" .Ninguna de las anteriores respuestas.9. La serie #1 $ rsen2nn2$ 2, donde r es un número real, verifica:Converge sólo cuando 0 % r & 1.No convergente para r 1.Ninguna de las anteriores respuestas.10. Si f es una función continua tal que f0! 1, f"4! 1, f"2! 1, f3"4! 1, f"! 1,f5"4! 1 y f3"2! 1, el valor de 03(2fx!sen2xdx, calculado mediante la fórmula deltrapecio vale:"16."4.Ninguna de las anteriores respuestas.Corregir Examen 4
  • Febrero 2001Nota: Lna denota el logaritmo neperiano de a.1. Dada la función f : R  R definida por f¡x¢ £¤3senx si x ¥¤ ¦2asenx § b si ¤ ¦2 ¨x¨¦2cosx si x ©¦2cona,b  R.A) f es continua en todo R, si a £¤32y b £32. [correcta]B) f es continua en todo R, si a £32y b £¤32.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2. El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la función f¡x¢£Lnxx2en el puntox £ 1 es:A) P2¡x¢£¡x ¤1¢¤32¡x ¤1¢2.B) P2¡x¢£¡x ¤1¢§52¡x ¤1¢2.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]3. Sea f¡x¢ £ 1 ¤x2para todo x ¡¤1,1¢ . La ecuación de la tangente a la gráfica de lafunción f en el punto¡12, 12¢ es:A) y £¤x § 2 . [correcta]B) y £ x ¤2 .C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor de la integral 1e2dxx¡2 § 3Lnx¢es:A) 23Ln2. [correcta]B) 13Ln8.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. La derivada de la función F¡x¢ £ x2x1 § t2dt en el punto x £¤2 es:A) 5 ¤4 17 .B) ¤2 5 § 4 17 .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]6. La serie 1 § cos2nnes:A) Es convergente si 0¨  ¨1.B) Es divergente si 1¨ .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
  • 7. La serie   1nn 3es:A) Condicionalmente convergente. [correcta]B) Absolutamente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La ecuación x42x5 0:A) Posee una única raíz en el intervalo ! 0,2" y no tiene ninguna raíz en el intervalo!0,1". [correcta]B) Tiene al menos dos raices en el intervalo ! 0,2" .C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Si f : !0,#" $R es una función continua tal que f01, f %41 , f %21,f3%41 y f#  1, el valor de I &0%fx cosxdx, calculado mediante las fórmulas deSimpson, es:A) I 0. [correcta]B) I #12.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sea f : !2,1" $R una función continua en !2,1"tal que f 20, f 11 , f01 yf11, y sea P3xel polinomio interpolador de tercer grado de la función f relativo a losnodos x02, x11, x2 0 y x3 1. EntoncesA) P3 321116. [correcta]B) P3 32716.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Febrero 2001Nota: lna es el logaritmo neperiano de a.1. El valor dex  ¡ ¢lim x2 £x £2x2 ¤1 es:A) 1.B) ¥ .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]2. La ecuación x £senx £5 ¦ 0:A) Tiene al menos una solución en§£¥ ,0¨ .B) No tiene solución en © 0,¤¥  .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]3. La función f§x¦sen2x si x  0xln§1 ¤xsi x  0:A) Tiene un mínimo relativo en x ¦ 0. [correcta]B) Tiene un máximo relativo en x ¦ 0.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. La derivada de la función F§x¦ x2xxcostdt en el punto x ¦  es:A) £1 £ . [correcta]B) 1 ¤ .C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. El valor de la integral 0§3x2 £4cosxdx es:A) £6 . [correcta]B) 4 .C) Ninguna de las anteriores respuestas.6. Si f§x¦ ln§1 ¤x2para todo x  R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tresde la función f en el punto x ¦ 0 es:A) x2. [correcta]B) x2 ¤16x3.C) Ninguna de las anteriores respuestas.7. La serie 1 ¤rsen2nn2 ¤2, donde r es un número real, verifica:A) Converge sólo cuando 0  r  1.B) No convergente para r ¦ 1.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
  • 8. La serie  ! 1"n#1 12n !1es:A) Condicionalmente convergente. [correcta]B) Absolutamente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Si P4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la función f x" $ senx %cosx, relativo a 5nodos distintos x0, x1, x2, x3, x4 & ! ( ,( ) , entonces:A) |P4 0" !1| 0815(5. [correcta]B) P4 !(2"$ (5.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Si f es una función continua tal que f 0" $ ! 1, f (4" $ 1, f (2" $ 1, f 3(4" $ ! 1, f ( " $ ! 1,f 5(4" $ 1 y f 3(2" $ ! 1, el valor de 10322f x" sen2xdx, calculado mediante la fórmula deltrapecio vale:A) (4. [correcta]B) (16.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Febrero 2001Nota: sen 4¡cos 4¡ 12, f¢y F¢denotan las derivadas de f y F respectivamente.1. El valor dex£ ¤ ¥lim 3x1 ¦ x¦2x1 § xes:A) 1. [correcta]B) 5.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2. Sea¨ ©R. La función definida por f x¡x2¦ x3¦¨x si x  1¨x2§¨x3si x  1.A) Es continua en R, sólo si¨¡§2. [correcta]B) Es continua en R, para todo¨ 0.C) Ninguna de las anteriores respuestas.3. La función f x¡ x1 ¦ x2:A) Es cóncava en el intervalo 0, 3 y creciente en el intervalo §1,1. [correcta]B) Tiene un mínimo relativo en x ¡1 y un máximo relativo en x ¡§1.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. Sean f :  0,¦  R y F :  0,¦  R las funciones definidas para cada x  0 porf x¡ 11 ¦ x22y F x¡ 0x8f t dt respectivamente. El valor de la derivada de la función Fen x ¡1 es:A) 2. [correcta]B) 3.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. El valor medio de la función cos5x en 0, 2es:A) 815.B) 1516 .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]6. Sea f : R R una función derivable en R tal que f 12¡1 y f¢12¡1. Si F : R R es lafunción definida por Fx¡efsen2 xpara todo x©R, entonces:A) F¢ 4¡e. [correcta]B) F¢ 4¡2e.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • 7. La serie ! " # 1$n n1 %nes:A) Condicionalmente convergente. [correcta]B) Absolutamente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La serie ! " # 1$n n!"5 % 1$ "5 % 2$..."5 %n$es:A) Absolutamente convergente. [correcta]B) Condicionalmente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. El polinomio interpolador de grado 2 de la función f"x$ &senx relativo a los nodos x0 & # ,x1 &0 y x2 & :A) Es identicamente nulo. [correcta]B) Tiene una raiz en el intervelo ( 0,2 ).C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Si f es una función derivable tal que f"0$ &1, f"2$ & #1 y f"4$ &0, entonces el valoraproximado de la derivada de la función f en el punto x &1, obtenido a partir de la derivadaen x &1 del polinomio interpolador de segundo grado de la función f relativo a los nodosx0 &0, x1 &2, x2 &4, es:A) # 1. [correcta]B) 1.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Febrero 2001Nota: Lna denota el logaritmo neperiano de a.1. Sea  ¡R. La función f : R ¢ R definida por f£ x¤ ¥e1x1 ¦ e1xsi x § 0 si x ¥ 0.A) La función f no es continua en x ¥ 0, cualquiera que sea el número real . [correcta]B) La función f es continua en x ¥ 0 si ¥ 1.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2. Sean f y g funciones derivables en R y h : R ¢ R la función definida porh£ x¤ ¥g£x¤¦ 1£g£x¤ ¤2¦ 1para todo x¡R. Si g£ 1¤ ¥ ¨ 1, f© £ 0¤ ¥ ¨ 1 y g© £ 1¤ ¥ 2, entonces laderivada de la función compuesta f  h en el punto x ¥ 1 es:A) £f h¤ © £1¤¥ 1.B) £f h¤ © £1¤¥¨2.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]3. La función f£ x¤ ¥senx2 ¦ senx:A) Tiene un mínimo relativo en x ¥ ¨ 2y es creciente en el intervalo 0, 2. [correcta]B) Tiene un máximo relativo en x ¥ 2y es creciente en el intervalo 2,.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor de la integral 14Lnxxdx es:A) ¨ 4 ¦ 4Ln4. [correcta]B) 2 ¨Ln4.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. En x ¥ 0 la función F£ x¤ ¥ 0x2£ 1 ¦ t3¤12 dt tiene:A) Un mínimo relativo. [correcta]B) Un máximo relativo.C) Ninguna de las anteriores respuestas.6. La serie 5n¦ 2n3¦ 3es:A) Divergente. [correcta]B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.7. La serie £n n ¨1¤nes:A) Convergente. [correcta]
  • B) Divergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La ecuación x4 2x  1  0:A) Posee una única raíz en  0,2 y si se toma x 12como valor aproximado de dicha raíz,el error cometido es menor o igual que 132. [correcta]B) No posee ninguna raíz en  0,2 .C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Sea f :  0,4  R una función continua tal que f 0!   1, f 1!   2 , f 2!  0, f 3!  1 yf 4!  3. Al calcular I  "14x f x! dx por la fórmula del trapecio se obtiene:A) I  7.B) I  14.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]10. Sea P2 x! el polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por los puntos  2,3! , 0,0! y1, 3! .A) La derivada de P2 x! es P2#x!   x 52. [correcta]B) P2  1!   2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Septiembre 2001Nota: Lna denota el logaritmo neperiano de a;   ¡3,1416; e ¡2,71; sen 3¢32;cos 3¢12;1. Sea f£x¤¢x ¥ Lnx si x ¦ 1x2si x § 1.A) Existe c ¨£1,e2¤tal que f£c¤¢ 2. [correcta]B) f no es continua en todo R.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2. El valor dex©0limtgnx  ntgxnsenx  sennx es:A) 2. [correcta]B)  2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.3. Sea f : R  R una función con derivada tercera en x ¢0, cuyo polinomio de Taylor de gradomenor o igual que 2 en x ¢0 es P2£x¤¢1 ¥ x ¥ 3x2. El polinomio de Taylor de grado menoro igual que 2 de la función g£x¤¢sen£f£x¤1¤ en x ¢0 es:A) x ¥ 6x2.B) x  3x2.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]4. El valor de 02excos2x dx, es:A) 15£e2 ¥ 1¤ . [correcta]B) 15£e2  1¤.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. La derivada de F£x¤¢ x2x2x2sent2dt es:A) F£x¤¢4x3senx4¥ 2  x2x2xsent2dt. [correcta]B) F£x¤¢4x3senx4.C) Ninguna de las anteriores respuestas.6. La serie £n!¤24n£2n¤!es:A) Divergente. [correcta]B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • 7. La serie cosnn  1es:A) Condicionalmente convergente. [correcta]B) Absolutamente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La ecuación x  senx 2:A) Posee una única raíz en !  , 2. [correcta]B) Tiene una raíz en " !  ,0# .C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Al calcular I $04%3sen2xcos2x dx, a partir de los nodos x0 0, x13, x223, x3  yx443, empleando las fórmulas de Simpson, se obtiene:A) I 748. [correcta]B) I 716.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sean f& x 2cosx para todo x (2, y P3 & x el polinomio interpolador de tercer gradode la función f correspondiente a cuatro nodos distintos 2x0 )x1 )x2 )x3  .A) |P3 & x ! 2cosx| 021344!para todo x (2, . [correcta]B) P3 & x0 0 y P3 & x3 2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Septiembre 2001NOTA: Lna denota el logaritmo neperiano de a; e  2,71.1. El valor dex¡ ¢ £lim¤x2 ¥x3¦Ln 1 ¥1x3es:A) § 1.B) 0.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]2. Sea f¤x¦ ¨Lnxx , para x © 0. El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de f en elpunto 1 es:A) P2¤x¦¨¤x § 1¦§32¤x § 1¦ 2. [correcta]B) P2¤x¦¨¤x § 1¦ ¥32¤x § 1¦ 2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.3. La función f : R  R definida por f¤x¦¨§ 2x § 1 si x  § 1x2si § 1  x  0cosx si x  0A) Es derivable en x ¨§1 y f¤§1¦ ¨§2. [correcta]B) Es derivable en x ¨0 y f¤0¦¨1.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. Sean f :  § 1,5  R una función integrable en  § 1,5 , e I ¨  15f¤x¦dx.A) Si f¤x¦2 para todo x  §1,5, entonces I © 7. [correcta]B) Si f¤x¦ x para todo x  § 1,5 , entonces I  10.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. Sea F¤x¦ ¨ xcosttdt para todo x   ! ,2!  .A) F es creciente en ! , 3!2.B) F tiene un máximo relativo en x ¨3!2.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]6. La serie "rnnn2 ¥2A) Converge para r ¨1. [correcta]B) Converge para r ¨32.C) Ninguna de las anteriores respuestas.7. De la serie de números reales " xn se conoce que la sucesión de sus sumas parciales¤Xn¦
  • viene dada por Xn #3n $ 2n $ 4para cada n % N.A) La serie & xn es convergente y su suma es 3. [correcta]B) x1 #3.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. Sea f : 0,1( ) R definida por f x(#x5 05x $ r.A) La ecuación f x(#0, no tiene dos raíces en el intervalo 0,1( para todor %R. [correcta]B) f es creciente en 0,1( para algún r % R.C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Si P2 x( es el polinomio de grado 2 cuya gráfica pasa por los puntos 02,0( , 0,0( , 1,01( , elvalor de I # 1 211P2 x(dx es:A) I #029. [correcta]B) I #023.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sean fx(#senx $ cosx para todo x % 30,4 5 y P2 x(el polinomio interpolador de segundogrado de f correspondiente a tres nodos distintos 0 #x0 6x1 6x2 #4 , entonces:A) P2 47(0sen 470cos 47 71343. [correcta]B) Si los nodos x0 #0, x1, x2 #4 son equidistantes entonces P2 x1(#01.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Septiembre 2001Nota: Lna denota el logaritmo neperiano de a.1. Dada la función f : R  R definida por f¡x¢ £¤3senx si x ¥¤ ¦2asenx § b si ¤ ¦2 ¨x¨¦2cosx si x ©¦2cona,b  R.A) f es continua en todo R, si a £¤32y b £32. [correcta]B) f es continua en todo R, si a £32y b £¤32.C) Ninguna de las anteriores respuestas.2. El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la función f¡x¢£Lnxx2en el puntox £ 1 es:A) P2¡x¢£¡x ¤1¢¤32¡x ¤1¢2.B) P2¡x¢£¡x ¤1¢§52¡x ¤1¢2.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]3. Sea f¡x¢ £ 1 ¤x2para todo x ¡¤1,1¢ . La ecuación de la tangente a la gráfica de lafunción f en el punto¡12, 12¢ es:A) y £¤x § 2 . [correcta]B) y £ x ¤2 .C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor de la integral 1e2dxx¡2 § 3Lnx¢es:A) 23Ln2. [correcta]B) 13Ln8.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. La derivada de la función F¡x¢ £ x2x1 § t2dten el punto x £¤2 es:A) 5 ¤4 17 .B) ¤2 5 § 4 17 .C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]6. La serie 1 § cos2nnes:A) Es convergente si 0¨  ¨1.B) Es divergente si 1¨ .
  • C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]7. La serie   1nn 3es:A) Condicionalmente convergente. [correcta]B) Absolutamente convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La ecuación x42x5 0:A) Posee una única raíz en el intervalo ! 0,2" y no tiene ninguna raíz en el intervalo!0,1". [correcta]B) Tiene al menos dos raices en el intervalo ! 0,2" .C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Si f : !0,#" $R es una función continua tal que f01, f %41 , f %21,f3%41 y f#  1, el valor de I &0%fx cosxdx, calculado mediante las fórmulas deSimpson, es:A) I 0. [correcta]B) I #12.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sea f : !2,1" $R una función continua en !2,1"tal que f 20, f 11 , f01 yf11, y sea P3xel polinomio interpolador de tercer grado de la función f relativo a losnodos x02, x11, x2 0 y x3 1. EntoncesA) P3 321116. [correcta]B) P3 32716.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • Septiembre 2001Nota: Lna denota el logaritmo neperiano de a;e  2,71.1. El valor dex¡0lim¢1 £ cosx¤ senxx3es:A) £12.B) 56.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]2. La ecuación 3¥x ¦x:A) Tiene una única solución real en el intervalo¢£ 2,2¤ . [correcta]B) Tiene una solución real en el intervalo¢£12, 12¤ .C) Ninguna de las anteriores respuestas.3. Sea f : £ §2, §2 ¨R la función definida por f¢x¤¦x3 ©x ©tgx para todo x £ §2, §2.A) La función inversa f¥1es derivable en el punto 0 ¦f¢0¤y¢f¥1¤ ¢0¤¦12. [correcta]B) La función inversa f¥1es estrictamente decreciente en el intervalo f¢I¤, siendoI ¦£§2, §2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.4. El valor de la integral 45dxx2 £4x ©3es:A) Ln 32. [correcta]B) Ln 16.C) Ninguna de las anteriores respuestas.5. La función F¢x¤¦¥xxxcostdt tiene en x ¦0:A) Un punto de inflexión.B) Un máximo relativo.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]6. La serie  r ©1nn, con r  0,A) Converge si r  1.B) Diverge si r  1.C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]7. Sea  xn una serie de números reales. Si la serie  xn es convergente, entonces la seriexnn ©2:
  • A) Es convergente. [correcta]B) Es divergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.8. La ecuación x  cosx   :A) Posee una única raíz en 2, . [correcta]B) Tiene una raíz en 2, 2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.9. Sea f : 2,3 ! R una función continua tal que f"1# 1, f" 0#  1 y f" 2#  0. Si P2 " x# esel polinomio interpolador de grado 2 de la función f relativo a los nodos x0   1, x1  0 yx2  2, el valor de I  $ %11P2 " x# dx es:A) 139. [correcta]B) 76.C) Ninguna de las anteriores respuestas.10. Sea P100 "x#el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 100 de la función e2xen elpunto x  0.A) El coeficiente de x100en P100 "x#es 2100" 100# !. [correcta]B) El coeficiente de x100en P100 "x#es 1" 100# !.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
  • U.N.E.D ANÁLISIS MATEMÁTICOCENTRO ASOCIADO DE BURGOS Escuela Técnica de INFORMÁTICA1 FEBRERO 2001-02ANÁLISIS MATEMÁTICOSOLUCIONES FEBRERO 2001-021.- El valor de ¡¢£¤¥−−→ xxxx ln11lim1es:A) 2 B) 1 C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es C.=−+=¦§¨©=−+−=∞−∞=¦§¨©−− →→→xxxxxxxxxxxxxHôpitalRxx 1lnlnlim00ln)1(1lnlim)(ln11lim1..112111ln1lnlim001lnlnlim1..1=+++==−+=→→ xxxxxxxxHRx2.- El número de raíces de la ecuación 09165=+− xx es:A) 5 B) 1 C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es C.La función 916)( 5+−= xxxf es continua en todo ℜ .5160165)´( 44=⇔=−= xxxf542±=⇔ x Las únicas soluciones reales de0165 4=−x son 452±=x . Como la derivada de la función f se anula en dos puntos, lafunción f a lo sumo se anulará en tres puntos (Consecuencia del Teorema de Rolle (T.5-3.1pág. 96))Por otra parte : 0)3( <−f ; ;0)0( >f 0)1( <f ; 0)2( >f . Teniendo en cuenta elTeorema de Bolzano (T. 4-2.6 pág. 76) la función tiene al menos un cero en cada uno delos siguientes intervalos: [-3,0], [0,1] y [1,2] con lo que queda demostrado que laecuación tiene exactamente tres raíces reales.3.- La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función !"#+=xsenxarctgxfcos1)( enel punto 0=x es:A) xy21= B) xy = C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es A.La ecuación de la recta tangente será )0)(0´()0( −=− xffy . En este caso 0)0( =f y...)cos1()cos1(coscos111cos1cos111)´( 222/2=+++⋅$%&()++=$%&()+⋅$%&()++=xxsenxxxsenxxsenxxsenxxfSustituyendo queda21)0´( =f por tanto la recta pedida es2xy =4.- El valor de la integral 0−102)1( dxex xes:A) –1 B) e C) Ninguna de las anteriores
  • U.N.E.D ANÁLISIS MATEMÁTICOCENTRO ASOCIADO DE BURGOS Escuela Técnica de INFORMÁTICA2 FEBRERO 2001-02La respuesta es A.( ] ( ] =+−=−−=−    =======−=101022partesporIntegrando1010221partesporIntegrando1022212)1()1(2dxexedxxeexdxex xxevdxedvdxduxuxxevdxedvxdxduxuxxxxx( ] 12221221 10 −=−+−=+−= eeee x5.- La serie ¡¢£¤¥¦§+nnnn53134es:A)Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es B.Es una serie de términos positivos de término general nnnnnx53134 ¨©+= . Aplicando elCriterio de la Raíz queda:1535313lim5313limlim44<=+=+=∞→∞→∞→nnnnxnnnnnnnnnpor tanto convergente.Nota: Aplicando el Criterio de Cauchy para el cálculo de límites queda:11limlim =+=∞→∞→ nnnnnn6.- Si 0122 axaxa ++ es el polinomio de grado 2 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,6),(0,2), (1,-3) entonces:A) 41 =a B) 12 −=a C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es B.0122)( axaxaxP ++= cumple 6)2( =−P ; 2)0( =P ; 3)1( −=PSe puede obtener resolviendo el sistema !"$#++=−=+−=012001232246aaaaaaa1;4;2 210 −=−== aaa(También se puede obtener por otros métodos: Lagrange, diferencias divididas)7.- El polinomio de Taylor de orden 3 de la función %=xdtsentxf02)( en 0=x es:A) xx +32 B) 331x C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es B.El polinomio de Taylor pedido es 323!3)0´´´(!2)0´´()0´()0()( xfxfxffxP +++=%=xdtsentxf02)( 0)0( =fteniendo en cuenta el Primer Teorema Fundamental del Cálculo (T.8-1.3 pag. 168):2)´( senxxf = 0)0´( =f
  • U.N.E.D ANÁLISIS MATEMÁTICOCENTRO ASOCIADO DE BURGOS Escuela Técnica de INFORMÁTICA3 FEBRERO 2001-022cos2)´´( xxxf = 0)0´´( =f2224cos2)´´´( senxxxxf −= 2)0´´´( =f33!32)( xxP =3)(33xxP =8.- Para qué valores de a y b la función  ¡ ¢£≥+<<−≤−−=0si0x1-si1si2)( 2xbxsenxxxaxxf es derivableen todo ℜ :A) 1=a y 0=b B) 1=a y 1−=b C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es B.Si 1−≠x y 0≠x es inmediato que la función es continua y derivable.En 1−=x : Para que f sea derivable, en primer lugar tiene que ser continua, por tanto1)(lim)(lim2)1(11===−=− +−−→−→xfxfafxxpor tanto .1=aEn este caso ya queda también derivable en 1−=x pues 2)1´()1´( −=−=− −+ffEn 0=x : f es continua en 0=x para cualquier valor de b pues:0)(lim)(lim0)0(00==== +−→→xfxffxxPara que f sea derivable en 0=x debe ser bff +=== +−1)0´(0)0´( por tanto 1−=b9.- La serie ¤+ !)!1()!2(nnnes:A) Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es A.Es una serie de términos positivos de término general!)!1()!2(nnnxn+= . Aplicando elCriterio del Cociente queda:14)1)(2()12)(22(lim!)!1()!2()!1()!2()!22(limlim 1>=++++=++++=∞→∞→+∞→ nnnnnnnnnnxxnnnnnpor tanto divergente.10.- Sea [ ] ℜ→− 3,1:f una función continua tal que 1)0(,2)1( −=−=− ff , 1)1( =f ,0)2( =f y 2)3( =f . Al calcular la integral ¥−31)( dxxf a partir de los nodos2,1,0,1 3210 ===−= xxxx y 34 =x empleando la fórmula de Simpson el valorobtenido es:A)32−=I B)32=I C) Ninguna de las anterioresLa respuesta es A.Teniendo en cuenta la Fórmula de Simpson (Th. 14-2.2 ) queda:( ) ( ) ( )( ) ( )322024231)3(241204)1(3)(31−=+++−−=++++−≅¦−fffffhdxxfEn este caso las distancia entre los nodos es 1, es decir 1=h
  • .
  •  ¢¡¤£¦¥¨§©§©¤ !£"§#$ % & (0)1 )1$3254768692 % 2 ©@ ! ¡¤ AB4C 4!D FEG !$")1H8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIHP§RQTSU0¥5VW$(0)¤§X¡¤$3$")1#TY`"¡ aU£Qcb 1EXAMEN TIPO F1.- ¿Para que valores de a y b la función: degf>+≤+=0xsi5sen xb0xsiaex-1f(x)x, es derivable en R?A) a = 4 , b = 3 B) a = 3 , b = 4 C) Ninguna de las anterioresComo la función debe ser derivable sus derivadas por la derecha y por la izquierda han de coincidir:a1-a·e1-(0)f;b0b·cos(0)f 0-+=+===+ h b = a – 1 (1) . Por ser derivable ha de ser continua y portanto los límites laterales en x = 0 también han de ser iguales:a15a1a·e0-1f(x)lim;550b.senf(x)lim 00x0x -+=i+=+==+=→→ +(2)Y de (1) y (2) se deduce a = 4 b = 3 Por tanto Sol: A)2.- Sea f : [21,21−] → R una función contínua en [21,21−] y derivable en (21,21−), tal que 421-f =pqrstu, f(0)= 1y 221f −=vwxy€. Si h : [21,21−] → R es la función definida por h(x) = x·f(x), para todo x ∈ [21,21−] y )x(P2es el polinomio interpolador de la función h relativo a los nodos21x,0x,21-x 210 === , entonces:A) 3-31P2 =‚ƒ„…†‡B) ( )410P2 = C) Ninguna de las anterioresTenemos que 2-4·21-21-·f21-21-h ==ˆ‰‘’“”•–—˜™=ˆ‰‘’“ ; [ ] ( ) [ ] 0·100·f00h === ; ( ) 1-2-·2121·f2121h ==defghijklmno=defghiCalculamos el polinomio interpolador resolviendo: a·221 pqrstu −+ b·”•–—˜™ −21+ c = -2 ; a·221 vwxyz{+ b· |}~€21+ c = -1 yc = 0 ; esto da, a = -6 ; b = 1 ; c = 0 y x6x-(x)P 22 += y 112x-(x)P2 += . Por tanto 3-31P2 =‚ƒ„…†‡y la Sol: A)3.- La serie ˆ++4nncos132es:A) Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anterioresComo ‰<+≤++33332n1yn24n24nncos1es una p-serie con p = 3 > 1 convergente (si 0 ≤ p ≤ 1 esdivergente); la serie dada es convergente. Sol: B)4.- Sean h y g : → R dos funciones derivables y f la función dada por f(x) = h[g(x) ln x] para todo x > 0,entonces:A) Š‹ŒŽ +=xg(x)ln x(x)gh(x)f B) [ ]xg(x)ln x(x)g·xln)x(gh)x(f ‘’“”• += C) Ninguna de las anterioresAplicando la Regla de la Cadena para derivar funciones compuestas, es claro que la Sol: B)
  •  ¢¡¤£¦¥¨§©§©¤ !£"§#$ % & (0)1 )1$3254768692 % 2 ©@ ! ¡¤ AB4C 4!D FEG !$")1H8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIHP§RQTSU0¥5VW$(0)¤§X¡¤$3$")1#TY`"¡ aU£Qcb 25.- Si P3(x) es el polinomio de grado 3 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,1), (0,-1), (2, -2) y (4,0), entonces:A) ( )47-1P3 = B) ( )491P3 = C) Ninguna de las anterioresAplicando el Método de Newton, o resolviendo el sistema que determina P3(x) = ax3+bx2+ cx + d al imponerque P3 (-2) = 1, P3 (0) = -1, P3 (2) = -2 y P3 (4) = 0 , sale P3 (x) = 1-x1211-x81x241 23+ , y sustituyendo enP3(1) =47−, luego la Sol: A)6.- Sea la función F(x) =( )d+172-xt-22dt·e21- ¿Qué se puede afirmar sobre F(x)?A) F es creciente sobre todo R B) Tiene un máximo en x = 2 C) Ninguna de las anterioresF’(x) = -2·(x-2) · ( )42xe −−; se anula para x = 2 y F”(x) = -2· ( )42xe −−-2·(x-2) · ( )42xe −−[-4 (x-2)3] == -2· ( )42xe −−[1 - 4 (x-2)4] y F”(2) = -2 < 0 luego tiene un máximo en x = 2 y la Sol: B)7.- La ecuación 8x11+ 4x + 10 = 0 verifica:A) No tiene solución en R B) Tiene dos soluciones en R C) Ninguna de las anterioresSea f(x) = 8x11+ 4x + 10 f(x) es continua y derivable en todo R. Tiene al menos una raíz en [-1,0] , puesf(-1) = -2 < 0 y f(0) = 10 > 0 (T. de Bolzano) y, como f’(x) = 88x10+ 4 es siempre positiva, la función escreciente en todo R y no tiene más raíces reales, luego Sol: C)8.- El valor de la integral definida e e12dxln xx es:A)3e3B)91e2 3+C) Ninguna de las anterioresSe integra por partes: u = ln x ; du = dxx1; dv = x2; v =3x3Luego I = f dx3x-3ln xx 23=3ln xx3-9x3y g e12dxln xx =3ln xx3-9x3e1=919e-3e 33=+91e2 3+y por tanto la Sol: B)9.- La serie h +λ1nn22nes:A) Convergente para 2>λ B) Convergente para 2≤λ C) Ninguna de las anteriores
  •  ¢¡¤£¦¥¨§©§©¤ !£"§#$ % & (0)1 )1$3254768692 % 2 ©@ ! ¡¤ AB4C 4!D FEG !$")1H8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIHP§RQTSU0¥5VW$(0)¤§X¡¤$3$")1#TY`"¡ aU£Qcb 3Aplicando el criterio de la raíz: n1nn2n 2nlím +∞→λ=22nlím2n2nλ=λ∞→y es convergente si λ < 2 , luego Sol C)Nota: n2n 2nlím∞→= 110.- Sea P(x) = x3– 3x + 3 el polinomio de Taylor de grado 3 en a = 1 de la función f . Sobre f podemosafirmar:A) f tiene un mínimo local en x = 1 B) f tiene un máximo local en x = 1 C) Ninguna de las anterioresComo P’(x) = 3x2– 3 , se anula para x = 1 y como P”(x) = 6x P”(1) = 6 > 0 luego tiene un mínimo local enx = 1 y por tanto, Sol: A)Zamora, a 15 de febrero de 2.002
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  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático - Septiembre – Modelo A Miguel Sobrino Morchón- 2 -EExxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccooSSeeppttiieemmbbrree ((44 ddee sseeppttiieemmbbrree ddee 22000022))MMOODDEELLOO AAEEjjeerrcciicciioo 1120 0 0( )· ( ) 0 "( )· ( ) ( ) "(0) 4(0) lim ( ) lim lim 20 2 2 2x x xg x x g x g x x g x g x gf f xx x→ → →− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦Se aplica la regla de L’HopitalSOL: A)EEjjeerrcciicciioo 22Se integra por cambio de variable: ex= t ; exdx = dt ; e0= 1 ; e1= e]112 20 11141 1x eexedx dt arctg t arctg e arctg arctg ee tπ= = = − = −+ +∫ ∫SOL: B)EEjjeerrcciicciioo 333202 20 0 0 0 013· ·3·0 3· 3 3· 3 0 9 9cos 3lim lim lim lim lim0 2 cos 2 0 2cos2 2sen 2cos2 cos 3xx x x x xtg t dttg x tg x xsenx x sen x xx x x→ → → → →= = = = = = =∫Se aplica la Regla de LHopitalSOL: B)EEjjeerrcciicciioo 44Se aplica la Fórmula de Newton-Cotes para 2n+1 nodos (pág. 356); en nuestro caso, 4nodos:[ ][ ] [ ]300 1 2 33( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )83·2 3 3·6 9( 1) 3 (1) 3 (3) (5) 2 3·1 3·2 18 4 4 2xxhf x dx f x f x f x f xf f f f= + + + == − + + + = − + + − = =∫donde 3 0 5 ( 1)23 3x xh− − −= = =SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 55Se compara la serie 32 1n nn++∑ con la p-serie 21n∑ , que por ser p = 2 > 1 esconvergente.
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático - Septiembre – Modelo A Miguel Sobrino Morchón- 3 -3 233212 1lim lim 11 2 1 2x xn nn n nnnn→∞ →∞+++ = = <+Luego por el segundo criterio de comparación, laserie es convergente.SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 66Se calculan los límites laterales:a) Límite por la izquierda: 21 13 3 3lim ( ) lim2 2 2x xf x x sen senxππ− −→ →⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠b) Límite por la derecha:221 1 12 1 0 4 1 3lim ( ) lim lim1 0 2 2x x xx x xf xx x+ + +→ → →− − −= = = =−Luego el límite existe, pero no es cero, luego la solución es la c)SOL: C)EEjjeerrcciicciioo 77P(0) = λ y P(1) = λ - 6 . Para que la función P(x) tenga una raíz en el intervalo [0, 1], tieneque cambiar de signo en los extremos; P(0)·P(1) < 0 ; P(0)·P(1) = λ (λ -6) = λ 2- 6λ . Si se dibuja laparábola y = λ 2- 6λ , corta al eje de abscisas en los puntos 0 y 6 y es negativa en (0, 6)SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 88La serie( )22 21 12 2nn n++ +−=∑ ∑ , que es convergente por ser una serie geométrica derazón112r = < , luego la serie:( )2212nn++−∑ es absolutamente convergente (pág. 281)SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 99Se aplica la Regla de la Cadena para derivar la función compuesta f(x):( )( ) ( )( )( )221 1( ) 3· 1 · 1 · ·21 1f x g arctg x g arctg xxx= − −+ −( )( ) ( )( )( )221 1(1) 3· 1 1 · 1 1 · ·2 11 1 1f g arctg g arctg= − − =+ −( )( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 221 1 1 13· 0 · 0 · · 3· 0 · 0 · 3·2 ·2· 3·4 122 22 11 0g arctg g arctg g g= = = = =+SOL: B)
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático - Septiembre – Modelo A Miguel Sobrino Morchón- 4 -EEjjeerrcciicciioo 1100Se calcula la primera derivada y se buscan los valores que la anulan:3 2 24 3 4 312 12 6 ( 1)( )2 3 4 2 3 4 2x x x xf xx x x x+ += =+ + + +, que se anula para 0x = (doble) y para 1x = −Por otro lado el signo de la primera derivada es el de ( 1)x + , que es positivo para 1x > − ynegativo para 1x < − , luego en 1x = − tiene un mínimo relativo (pasa de ser decreciente a sercreciente) y en 0x = tiene un punto de inflexión pues, aunque (0) 0f = , la función siempre escreciente (tanto a la derecha como a la izquierda de 0x = ).SOL: A)Zamora, 10 de Septiembre de 2.002
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  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod A - 29-Enero 2003 - 1 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod A - 29-Enero 2003 - 2 - Miguel Sobrino MorchónEEjjeerrcciicciioo 11Sea 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además,ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. 2( ) 3 2f x ax bx c= + + .Como (0) 0 y (0) 0f d f c= = = = se reduce a resolver el sistema:8 4 2 1 3;12 4 0 2 2a ba ba b+ = ⎫ −= =⎬+ = ⎭Luego 3 21 3( )2 2f x x x= − + , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximorelativo en (2, 2), ya que "( ) 3 3, "(0) 3 0 y "(2) 3 0f x x f f= − + = > = − < Luego la solución es lac) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 22cos( ) ( ) xf x g x= . Hay que derivar logarítmicamente: [ ] ( )cosln ( ) ln ( ) cos ·ln ( )xf x g x x g x⎡ ⎤= =⎣ ⎦( )( ) ( )ln ( ) cos( ) ( )f x g xsenx g x xf x g x= − + luego ( ) cos( )( ) ln ( ) cos · ( )( )xg xf x senx g x x g xg x⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( ) ( ) cos(0) cos(0) 1(0) (0) 2(0) 0 ln (0) cos 0 · (0) (0) 1 2(0) (0) 1g gf sen g g gg g⎡ ⎤= − + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 33( ) ( )23/2 5/22 21/2 3/20 004 22 2 2 8 323 5 3 52 2x xx xdx x x dx⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ =4 2 8 8 8 8 40 24 162 2 4 2 2 2 2 2 23 5 3 5 3 5 15 15−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 44Como ( ) cosf x senx x= − + , calculamos:( ) ( )( ) cos 1f senπ π π= − + = − ;3 3 3cos 12 2 2f senπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )(2 ) 2 cos 2 1f senπ π π= − + = ;5 5 5cos 12 2 2f senπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aplicamos el Método de Newton para calcular el polinomio interpolador2 31 2 2 031 0 222 1 2512x y y y yππππ∆ ∆ ∆− −−−−2hπ= ( ) ( )22 1 3( ) 1 222!2 4P x x x xππ ππ π⎛ ⎞= − + − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠=
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod A - 29-Enero 2003 - 3 - Miguel Sobrino Morchón22 24 14 8 14 8 14 6 3 12 14 2( ) 11 ; ( ) ; ( ) ; 2P x x x P x x P Pπππ π π π π π π π π π⎛ ⎞= − + − = − + = − + = = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠Luego la solucion es B) SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 55Como 2(2) 2 2·2 2 4 4 2 2f = − + + = − + + = , pero ( )22 2lim ( ) lim 2 2 2x xf x x x− −→ →= − + + = y( )2 2lim ( ) lim 1 3x xf x x+ +→ →= + = .Entonces2 2lim ( ) lim ( )x xf x f x+ −→ →≠ , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función( )f x no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable escontinua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 66La serie3!nn∑ es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos:( )( )11131 ! 3 ! 3lim lim lim lim 013 3 1 !!nnnn nn n n nnna na nnn+++→∞ →∞ →∞ →∞+= = = =++< 1 por tanto Convergente SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 77( ) ( )332 30( ) ( ) ( ) 3 3 3x xF x f t dt F x x f x x−= ⇒ = − −∫ ; como ( ) 0f x > para todo x, el signo de( )F x es igual al signo de 23 3x − , que es negativo en (-1, 1) y por tanto ( )F x es decreciente en( 1, 1)− SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 88La serie( ) 112nnn+−+∑ es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge porel Criterio de Libnitz (La sucesión2nn +es decreciente y además lim 02nnn→∞=+), pero la serie delos valores absolutos:2nn +∑ es divergente, pués si la comparamos con1n∑ , que esdivergente, 2lim lim 11 2n nnnnnn→∞ →∞+ = =+. Luego la serie2nn +∑ también es divergente. SSooll:: AA))
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod A - 29-Enero 2003 - 4 - Miguel Sobrino MorchónEEjjeerrcciicciioo 99Sea 5( ) 5 1f x x x= − + ; como ( 1) 5 0 y (1) 3 0f f− = > = − < , el Teorema de Bolzano nos aseguraque hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como 4( ) 5 5f x x= − es siempre negativa en [-1, 1] , elteorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego lasolucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 1100El ( )10lim 1x xxe x+∞→+ = . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.Si ( ) ( ) ( )1 1 10 0 0lim ; ln ln lim lim lnx x xx x xx x xy e x y e x e x+ + +→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=( ) 000 0 01ln 1 1 1 1lim lim lim 21 10xx xxxx x xee x e ee xx e x e+ + +→ → →+⎡ ⎤+ + + ++⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦2y e⇒ = SSooll:: AA))Zamora, 29 de Enero de 2.003
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 - 1 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 - 2 - Miguel Sobrino MorchónEEjjeerrcciicciioo 11El ( )10lim 1x xxe x+∞→+ = . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.Si ( ) ( ) ( )1 1 10 0 0lim ; ln ln lim lim lnx x xx x xx x xy e x y e x e x+ + +→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=( ) 000 0 01ln 1 1 1 1lim lim lim 21 10xx xxxx x xee x e ee xx e x e+ + +→ → →+⎡ ⎤+ + + ++⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦2y e⇒ = SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 22( ) ( )332 30( ) ( ) ( ) 3 3 3x xF x f t dt F x x f x x−= ⇒ = − −∫ ; como ( ) 0f x > para todo x, el signo de( )F x es igual al signo de 23 3x − , que es negativo en (-1, 1) y por tanto ( )F x es decreciente en( 1, 1)− SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 33( )( ) cos2xf x sen xππ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠( )(1) cos 1 ( 1) 02f senππ⎛ ⎞= + = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠( ) ( )(2) cos 2 0 1 1f sen π π= + = + =( ) ( )3(3) cos 3 1 ( 1) 22f senππ⎛ ⎞= + = − + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠el polinomio 22( )P x ax bx c= + + pasa por los puntos (1, 0) (2, 1) y (3, -2), luego aplicando elMétodo de Newton, o resolviendo el sistema:04 2 1 2 ; 7 ; 59 3 2a b ca b c a b ca b c+ + = ⎫⎪+ + = = = = −⎬⎪+ + = − ⎭Se tiene que222 21 1 1 1 7( ) 2 7 5 y 2 7 5 5 22 2 2 2 2P x x x P⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − + − = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 44La serie( ) 112nnn+−+∑ es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge porel Criterio de Libnitz (La sucesión2nn +es decreciente y además lim 02nnn→∞=+), pero la serie de
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 - 3 - Miguel Sobrino Morchónlos valores absolutos:2nn +∑ es divergente, pués si la comparamos con1n∑ , que esdivergente, 2lim lim 11 2n nnnnnn→∞ →∞+ = =+. Luego la serie2nn +∑ también es divergente. SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 55Como 2(2) 2 2·2 2 4 4 2 2f = − + + = − + + = , pero ( )22 2lim ( ) lim 2 2 2x xf x x x− −→ →= − + + = y( )2 2lim ( ) lim 1 3x xf x x+ +→ →= + = .Entonces2 2lim ( ) lim ( )x xf x f x+ −→ →≠ , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función( )f x no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable escontinua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 66( ) ( )23/2 5/22 21/2 3/20 004 22 2 2 8 323 5 3 52 2x xx xdx x x dx⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ =4 2 8 8 8 8 40 24 162 2 4 2 2 2 2 2 23 5 3 5 3 5 15 15−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 77Sea 5( ) 5 1f x x x= − + ; como ( 1) 5 0 y (1) 3 0f f− = > = − < , el Teorema de Bolzano nos aseguraque hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como 4( ) 5 5f x x= − es siempre negativa en [-1, 1] , elteorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego lasolucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 88La serie3!nn∑ es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos:( )( )11131 ! 3 ! 3lim lim lim lim 013 3 1 !!nnnn nn n n nnna na nnn+++→∞ →∞ →∞ →∞+= = = =++< 1 por tanto ConvergenteEEjjeerrcciicciioo 99cos( ) ( ) xf x g x= . Hay que derivar logarítmicamente: [ ] ( )cosln ( ) ln ( ) cos ·ln ( )xf x g x x g x⎡ ⎤= =⎣ ⎦( )( ) ( )ln ( ) cos( ) ( )f x g xsenx g x xf x g x= − + luego ( ) cos( )( ) ln ( ) cos · ( )( )xg xf x senx g x x g xg x⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 - 4 - Miguel Sobrino Morchón( ) ( ) ( ) cos(0) cos(0) 1(0) (0) 2(0) 0 ln (0) cos 0 · (0) (0) 1 2(0) (0) 1g gf sen g g gg g⎡ ⎤= − + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 1100Sea 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además,ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. 2( ) 3 2f x ax bx c= + + .Como (0) 0 y (0) 0f d f c= = = = se reduce a resolver el sistema:8 4 2 1 3;12 4 0 2 2a ba ba b+ = ⎫ −= =⎬+ = ⎭Luego 3 21 3( )2 2f x x x= − + , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximorelativo en (2, 2), ya que "( ) 3 3, "(0) 3 0 y "(2) 3 0f x x f f= − + = > = − < Luego la solución es lac) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))Zamora, 29 de Enero de 2.003
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 - 1 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 - 2 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 - 3 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 - 4 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. – Mod F - 15 -Feb 2003 - 5 - Miguel Sobrino Morchón
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  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. Mod A- 04-Sept-2003 - 1 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. Mod A- 04-Sept-2003 - 2 - Miguel Sobrino MorchónEEjjeerrcciicciioo 11Estudiamos la serie de valores absolutos:( )2 21 12 2! !n nn nn nn n∞ ∞= =−=∑ ∑Si aplicamos el Criterio del Cociente:( )( ) ( )( )( )( )2 12 212 2 2 21 21 ! 1 2 ! 1 2 2 2lim lim lim lim 0 12 2 1 ! 1!nnn nn n n nnn n n n nn n n n n nn++→∞ →∞ →∞ →∞++ + + += = = = <+ +y por tantoconverge. La serie es absolutamente convergente y la solución correcta es SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 22Aplicamos el Criterio de la Raíz:( ) ( )( )2 222 21 12 2lim lim 2nnnnn nsen senn nsenn nα αα→∞ →∞   + +      = = , ya que1lim 0n n→∞= , y 2lim 1nnn→∞= =Ahora, si3πα = ,22 3 3 32 2 2 13 2 4 2senπ   = = = >       y la serie diverge. La solución es A)Si6πα = ,22 1 1 12 2 2 16 2 4 2senπ   = = = <      y la serie convergería. SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 33Construimos ( )3T x :( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 ; 0 0 3cos 3cos 3 ; 0 3 3 0" 3 9 3 ; " 0 0" 3cos 27cos 3 ; " 0 3 27 24f x sen x sen x ff x x x ff x sen x sen x ff x x x f= − == − = − == − + == − + = − + =Luego ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 33 0 " 0 " 0 240 41! 2! 3! 6f f fT x f x x x x x= + + + = = SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 44La concavidad y la convexidad se estudia con la segunda derivada:( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )2222 2 2 2 24 3 32 2 2212 1 2 ·2 1 2 2 2 8 6 2"1 1 1xf xxx x x x x x xf xx x x−=+− + + + − − + −= = =+ + +
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. Mod A- 04-Sept-2003 - 3 - Miguel Sobrino MorchónEl signo de ( )"f x lo decide el numerador, y este es negativo en el intervalo3 3,3 3 −   y aquí escóncava, y positivo en3 3, ,3 3   −∞ − ∞         U , luego es convexa en3,3 −∞ −   SSooll:: CC))EEjjeerrcciicciioo 55Se aplica tres veces la Regla de L’Hôpital( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23 20 02022 2 201 cos0 0lim lim0 032 1 0lim6 02 1 4 1 cos 2 1 1lim6 6 2x xxxtg x xtg x sen xx xtg x tg x sen xxtg x tg x tg x x→ →→→+ −−= = = = =+ += = =+ + + + += = =La solución es por tanto la A) A=1/2 SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 66La función ( )( )( )2si 01 si 0sen x xf xxLn x x ≤= + >es contínua en 0x = (se comprueba viendo que( )0 0f = y que los límites por la derecha y por la izquierda valen cero.Calculamos ahora la primera y la segunda derivada en el origen (por la derecha y por la izquierda):( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )0 0000 0 lim 2 cos lim 2 0 0 lim 1 01" 0 lim 2cos 2 21 1" 0 lim 1 1 21 1x xxxxf sen x x sen xxf Ln xxf xx xfx x− −+−+−→ →+→−→+→= = = = + + = +   = = + −= + = + =  + +   Luego tiene derivada segunda en x = 0 y vale 2. La solución es la A) SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 77Este ejercicio es muy simple, pues al ser ( )f x una función polinómica, ( ) ( )3P x f x= , y por tanto,( ) ( ) 3 23 1 1 1 1 1 1P f= = + − = SSooll:: AA))EEjjeerrcciicciioo 88Teniendo en cuenta las fórmulas:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos coscos cos cosa b a b sen a sen ba b a b sen a sen b+ = −− = +, sumando ydespejando se tiene que: ( ) ( )( ) ( )cos coscos cos2a b a ba b+ + −=
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Examen de Análisis Mat. Mod A- 04-Sept-2003 - 4 - Miguel Sobrino Morchóny en nuestro caso, ( ) ( )( ) ( )cos 5 coscos 3 cos 22 2x xx x = + , Luego:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2cos 5 cos 5cos 2 cos 32 2 10 255 1 1 32 20 010 2 10 2 10 2 5x x sen x sen xx x dx dxsen sensen senπ π πππ ππ ππ π   = + = + =               = + − − = + − − = −∫ ∫SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 99Construimos el polinomio interpolador aplicando el método de Newton:2 32donde 20 2 0 52 2 54 7x y y y yh∆ ∆ ∆−=1 1 -1 6( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 0 03 0 0 0 1 0 1 22 33 223 3 31! 2! 3!1 1 6 11 2 2 2 2 2 162 8 48 81 1 6 3 3 2 2 ; " 6 2 ; P"8 8 8 4y y yP x y x x x x x x x x x x x xh h hx x x x x x x x xP x x x P x x x∆ ∆ ∆= + − + − − + − − − == + + − + + + − = − − += − − = − = =SSooll:: BB))EEjjeerrcciicciioo 1100( ) ( ) ( )2 22 2x xx xF x xsen t dt x sen t dt= =∫ ∫ Se saca la x fuera de la integral y ahora se deriva comoproducto:( ) ( ) ( )221 1· 2 22 2xxxF x sen t dt x sen x sen  = + −     ∫( ) ( ) ( )( ) ( )2221 2 22 21cos 0 cos cos 12 2 2 2F sen t dt sen sentππππππ π ππ π ππ π  = + − =       = + − = − − = − −         ∫SSooll:: AA))Zamora, 4 de Septiembre de 2.003
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  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Miguel Sobrino MorchónSSoolluucciioonneess nnoo ooffiicciiaalleess ddeell eexxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccooccoorrrreessppoonnddiieennttee aa llaa pprriimmeerraa sseemmaannaa ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044PPrreegguunnttaa nnºº 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100MMooddeelloo AA AA AA AA CC AA BB CC CC CC BBMMooddeelloo CC AA CC AA BB AA CC AA AA CC CCZZaammoorraa,, 2288 ddee EEnneerroo ddee 22..000044
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 1 - Miguel Sobrino Morchón
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 2 - Miguel Sobrino MorchónEExxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccooFFeebbrreerroo ((1111 ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044))MMOODDEELLOO BBEEjjeerrcciicciioo 11La serie( )511nnn−+∑ es absolutamente convergente ya que la serie de valores absolutos51nn +∑ es convergente. Para verlo basta con comparar la serie con 21n∑ , que esconvergente (p serie, con p =2 y por tanto convergente).La comparación la haríamos: 25 5 41 11n nnn n n≤ = =+SOL: B)EEjjeerrcciicciioo 22Para calcular los extremos de la función ( )( )x212Ln tF x dtt=∫ , calculamos la primeraderivada de .( )F x ( )( )2Ln xF xx= . Se iguala a cero ( ) ( ) 0 0F x Ln x x 1= ⇒ = ⇒ =Ahora calculamos la segunda derivada: ( )( ) ( )24 312 1 2x xLn x Ln xxF xx x− −= =Y como ( )( )1 2 1 1 1 > 01LnF−= = , ( )F x tiene un mínimo local en 1x =SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 33La integral se hace por partes, y vale( )Ln x dx∫ ( ) ( ) 1Ln x dx x Ln x C= − +⎡ ⎤⎣ ⎦∫Luego ( ) ( ) ( ) ( )Ln−⎤ ⎡⎦ ⎣ ( )22111 2 2 1 1 1 2 2 1Ln x dx x Ln x Ln Ln= − = − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫SOL: C)EEjjeerrcciicciioo 44La familia de funciones ( ) 33mf x x x m= − + son continuas., ya que m > 10.( ) ( )0 0 ; 1 1 3 2f m f m m= > = − + = − > 0
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 3 - Miguel Sobrino MorchónPor otro lado, ( ) 2 3f x x= −3, es decreciente en el intervalo [ ]0, 1 (Basta con dibujar laparábola ), con lo cual23y x= −3 ( )mf x no se anula nunca en el intervalo [ ]0, 1SOL: C)EEjjeerrcciicciioo 55Sean x el radio de la base e y la altura. El volumen del cono es:( ) ( )2 21 1100 1003 3 3V x y y y y y3π= π = π − = − . Téngase en cuenta que 2 2100x y+ =( 2 100 33Vπ= − )y y al igualar a cero sale103y = ±( ) 6 23V yπ= − = − πy , que al dar el valor de y positivo, sale menor que cero y por tantomáximo. Para103y = , sale 2 100 200 10 2 10 6100 1003 3 33x y= − = − = = =SOL: A)EEjjeerrcciicciioo 66( )2 2lim 9 3 1 9 1xx x x→+∞+ − − + = ∞ − ∞ , Indeterminado. Para quitar la indeterminación semultiplica y se divide por el conjugado del binomio:( ) ( )( )2 2 2 22 22 29 3 1 9 1 9 3 1 9 1lim 9 3 1 9 1 lim9 3 1 9 1x xx x x x x xx x xx x x→+∞ →+∞+ − − + + − + ++ − − + = =+ − + +2 22 2 2 29 3 1 9 9 3 10 3 3lim lim6 29 99 3 1 9 1 9 3 1 9 1x xx x x xx x x x x x→+∞ →∞+ − − − −= = =++ − + + + − + +1= =Para quitar esta última indeterminación se divide numerador y denominador por x.SOL: C)EEjjeerrcciicciioo 77( ) ( )21niif x x a== −∑ . Derivamos: ( ) ( )1 1 2 2n ni ii if x x a nx= =a⎡ ⎤⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑SeaSi igualamos a cero la primera derivada:( )1 11 0 2 0n ni ii i 1niif x nx a nx a xn= =⎡ ⎤⎢ ⎥= = − ⇒ − = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑a=Como ,( ) 2 0f x n= > ( )f x tiene un mínimo local en11niix an==∑SOL: A)
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 4 - Miguel Sobrino MorchónEEjjeerrcciicciioo 88La integral ( )21arctan1dx x Cx=+∫ + , es inmediata.Luego ( ) ( ) ( )112 001arctan arctan 1 arctan 0 04 41dx xxπ π= = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦+∫ =
  • Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora________________________________________________________________________________Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 5 - Miguel Sobrino MorchónSSoolluucciioonneess nnoo ooffiicciiaalleess ddeell eexxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccooccoorrrreessppoonnddiieennttee aa llaa sseegguunnddaa sseemmaannaa ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044PPrreegguunnttaa nnºº 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100MMooddeelloo BB BB AA CC CC AA CC AA AA AA AAMMooddeelloo DD CC BB AA BB BB AA AA CC AA CCZZaammoorraa,, 1111 ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044