2. Los polinomios son una parte importante del
Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos: desde los
ordenadores y la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula para calcular La fórmula que
el volumen de un cubo expresa el
en función de la longitud movimiento de un
(l) de su lado viene dada cuerpo en caída
por: libre viene dada
V (l ) l
3 por el siguiente
polinomio:
1 2
P (t ) gt
2
t: tiempo
g: gravedad
3. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que la únicas operaciones que afectan a las letras
son la multiplicación y la potencia de exponente
natural.
Son monomios: NO son monomios:
2
2x 2x 2
3 2
12 x yz 2
2 3
15 7 yz x
4abc
4. Partes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
1 1 1
Gr. 2 Gr. 3 1 2 6 Gr. 1 1 15 17
5. Tipos de monomios
Monomios semejantes: Monomios opuestos:
tienen la misma parte literal. son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
2 3 2 3 2 3 2 3
25a b ab 25a b 25a b
1 1 3 2 1 3 2
5xy xy x y x y
7 7 7
NO semejantes NO opuestos
2 3 2 3 3 2 2 3
3a b c ab 25a b 25a b
6. Operaciones con monomios
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2 2 2 2
Ejemplo 1: 5 xy 3 xy 5 xy 7 xy
( ) xy2 10xy2
2 2 2
Ejemplo 2: 5 xy 3x y No son
semejantes, luego no
se pueden sumar.
7. Operaciones con monomios
Para multiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
2 3
Ejemplo 3: 3y 7 y ( ) 21y
2 3 4 2
Ejemplo 4: 5xy 3x ( ) 15x y
8. Operaciones con monomios
Para dividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
7 2 5
Ejemplo 5: 21y : 7 y ( )( : ) 3y
3 2 25 3
Ejemplo 6: 25a b : 4b a
4
9. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Coeficiente Grado: 2 + 5 = 7
Término
principal independiente
3 2 5
3 xy 7x y 3 xyz 21
Términos
Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte
literal se llama término independiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado
del polinomio.
Se llama coeficiente principal al coeficiente del monomio de
mayor grado.
10. Polinomios
El valor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
4 3
Ejemplo: P( x) 7x 3x 4 x 10
4 3
P(2) 7 2 3 2 4 2 10
7 16 3 8 8 10 112 24 8 10 86
4 3
P( 1) 7 1 3 1 4 1 10
71 3 1 4 10 7 3 4 10 4
11. Polinomios
El polinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
4 3
Ejemplo: P( x) 7x 3x 4 x 10
4 3
Polinomio opuesto: P( x ) 7x 3x 4 x 10
12. Operaciones con polinomios
Para sumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
5 4 2
Ejemplo: P( x) 2x x 7x 1
2x 7x
4 3 2
Q( x) 3x 2x 2x 7 x 8
3x 2 x 2 x
P ( x) Q( x ) 5 4 3 2
2x 2x 2x 5x 7x 7
13. Operaciones con polinomios
Para restar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
5 4 2
Ejemplo: P( x) 2x x 7x 1
2x 7x
4 3 2
Q( x) 3x 2x 2x 7 x 8
3x 2 x 2 x
P ( x) Q( x ) 5 4 3 2
2x 4x 2x 9x 7x 9
14. Operaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
5 4 2 3
Ejemplo: P( x ) 2 x x 7x 1 por 2x
2x
3
2 x P( x) 8 7 5 3
4x 2x 14 x 2x
15. Operaciones con polinomios
El producto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes. 3 2
Ejemplo: P( x ) 2 x 5x 1 Q( x) 3x 4
3
8x 20 x 4
5 3 2
6x 15x 3x
P ( x) Q( x) 5 3 2
6x 23x 3x 20 x 4
16. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
5 4 2
P( x) 6 x 9 x 27 x
2 5 2 4 2 2 2
P( x) : 3 x 6 x : 3x 9 x : 3x 27 x : 3x
3 2
2 x 3x 9
3
Q( x) 7 x y 5xy
3
7 x y 5 xy 7 2 5
Q( x) : 2 x x y
2x 2x 2 2
17. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
3 4 2
P( x) 2 x x 20 11x 30 x
2
Q( x ) 3 x x 2
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
4 3 2 2
x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
18. Operaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
4 3 2 2
x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
4 3 2 2
x 3x 2x x
x 2 3x 2
x2
x 4 3x 3 2 x 2
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
19. Operaciones con polinomios
4º) Se suman algebraicamente.
4 3 2 2
x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
4 3 2 2
x 3x 2x x 5x
3 2
5x 9 x 30 x 20
3 2 x 2 3x 2
5 x 15 x 10 x 5x
5 x 3 15 x 2 10 x
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
20. Operaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
4 3 2 2
x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
4 3 2 2
x 3x 2x x 5x 6
3 2
5x 9 x 30 x 20
3 2
5 x 15 x 10 x
2
6x 20 x 20
2
6x 18 x 12
2x 8
21. Operaciones con polinomios
Polinomio dividendo
D(x) Polinomio divisor
4 3 2 2
x 2x 11x 30x 20 x 3x 2
2
d (x) x 5x 6
Polinomio cociente
c(x)
Polinomio resto
r (x) 2x 8
22. Identidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
23. Identidades notables
Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a b a + b
a + b
a+b
a a2 ab ab + b2
(a+b)2 a2 + ab
b ab b2 a2 + 2ab + b2
a+b
24. Identidades notables
Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
(a-b)2 - ab + b2
a2 ab a2 - ab
ab a2 - 2ab + b2
b2
25. Identidades notables
Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2
