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# Apostila mat fund 1

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• 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA INICIANTES DE ENGENHARIA GEOMETRIA Prof. Luciano Galdino
• 2. SUMÁRIONoções de Geometria........................................................................................................ 02Polígono................................................................................................................................. 02Triângulo .............................................................................................................................. 03Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 05Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14Lei dos senos ........................................................................................................................ 14Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17Área dos principais polígonos ....................................................................................... 19Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21Circunferência e círculo .................................................................................................. 21Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22Área de um círculo............................................................................................................ 23Radiano ................................................................................................................................. 24Volume de alguns sólidos geométricos ....................................................................... 25
• 4. TriânguloO triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudadana geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e tambémsegundo os seus ângulos.Classificação quanto aos lados:1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos iguais.Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º,assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º.2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais.3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os três ângulos diferentes. 3
• 5. Classificação quanto aos ângulos:1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º).2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º.3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º). 4
• 6. Relações métricas num triângulo retânguloConforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato delepossuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomesespecíficos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamadosde catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Teorema de PitágorasEste teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo,isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular oterceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como: (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir:a)Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e queo “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 5
• 7. hip 2 cat 2 cat 2x2 62 82x2 36 64x2 100x 100x 10 cmObserve que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois(-10)2=100 e (+10)2=100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outranegativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimentoter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daquipor diante, iremos considerar somente o resultado positivo.b)Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágorastemos:hip 2 cat 2 cat 250 2 30 2 x22500 900 x22500 900 x21600 x2 1600 x40 x oux 40 mm 6
• 9. Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o catetooposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim:a = hipotenusa;b = cateto adjacente ao ângulo ;c = cateto oposto ao ângulo .Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conheceras relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo.Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados comtamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre doisde seus lados, conforme ilustrado a seguir:1) b b , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo a apela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto: cateto opostoseno do ângulo hipotenusa 8
• 12. Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim: co sen hip X sen 20o 8 Multiplicando em “cruz”, temos: X 8.sen 20 o X 2, 74 mmb) Dados: Hipotenusa (hip) = X Ângulo ( ) = 40o Cateto adjacente (ca) = 12 cm A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa e cateto adjacente, assim: ca cos hip 12 cos 40o X X .cos 40o 12 12 X cos 40o X 15, 66 cmc) Dados: Ângulo ( ) = 31,9o Cateto oposto (co) = 16 mm Cateto adjacente (ca) = X 11
• 13. A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui catetooposto e cateto adjacente, assim: cotg ca 16tg 31, 9o XMultiplicando em “cruz”, temos:X .tg 31, 9o 16 16X tg 31, 9oX 25, 71 cm2) Determine os ângulos dos seguintes triângulos retângulos: a) Dados: Hipotenusa (hip) = 15 mm Cateto oposto (co) = 10 mmA relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui catetooposto e hipotenusa, assim: cosen hip 10sen 15sen 0, 667Mas queremos calcular o ângulo e não o seno do ângulo , assim, devemosutilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualqueroutra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do senoque é a função “sin-1”. Portanto: sen 1 (0, 667) 41,84o 12
• 15. cacos hip 10cos 32 10 cos 1 32 71, 79o 71o 47 24 Relações trigonométricas num triângulo qualquerAs relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas paratriângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outrasrelações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relaçõessão conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos. Lei dos senosObserve o triângulo a seguir:Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintesresultados: 12 18, 66sen40o 9, 33 18, 66sen30o 17, 54 18, 66sen110oObserve que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode serutilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo. 14