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Apostila mat fund 1

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  • 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA INICIANTES DE ENGENHARIA GEOMETRIA Prof. Luciano Galdino
  • 2. SUMÁRIONoções de Geometria........................................................................................................ 02Polígono................................................................................................................................. 02Triângulo .............................................................................................................................. 03Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 05Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14Lei dos senos ........................................................................................................................ 14Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17Área dos principais polígonos ....................................................................................... 19Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21Circunferência e círculo .................................................................................................. 21Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22Área de um círculo............................................................................................................ 23Radiano ................................................................................................................................. 24Volume de alguns sólidos geométricos ....................................................................... 25
  • 3. Noções de GeometriaA geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seuestudo apresenta uma grande importância. Em diversos projetos de Engenhariautilizam-se conceitos de geometria, sendo os de maior destaque as aplicações comtriângulos e circunferências, os cálculos de área e os cálculos de volume. PolígonoÉ uma figura geométrica fechada e formada por segmentos de reta. Pode serclassificado segundo a sua quantidade de segmentos de retas (lados), sendo quealguns deles recebem nomes especiais, conforme pode ser observado na tabela 1. Número de Nomes lados 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Tabela 1: Nomenclatura dos polígonos especiais.Os demais polígonos não recebem nomes especiais, assim, caso ele tenha 13 lados,será chamado de polígono de 13 lados, se tiver 21 lados, será chamado de polígonode 21 lados, e assim sucessivamente.Os polígonos mais utilizados na Engenharia são os triângulos e os quadriláteros(em especial o quadrado e o retângulo). 2
  • 4. TriânguloO triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudadana geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e tambémsegundo os seus ângulos.Classificação quanto aos lados:1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos iguais.Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º,assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º.2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais.3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os três ângulos diferentes. 3
  • 5. Classificação quanto aos ângulos:1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º).2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º.3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º). 4
  • 6. Relações métricas num triângulo retânguloConforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato delepossuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomesespecíficos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamadosde catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Teorema de PitágorasEste teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo,isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular oterceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como: (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir:a)Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e queo “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 5
  • 7. hip 2 cat 2 cat 2x2 62 82x2 36 64x2 100x 100x 10 cmObserve que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois(-10)2=100 e (+10)2=100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outranegativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimentoter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daquipor diante, iremos considerar somente o resultado positivo.b)Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágorastemos:hip 2 cat 2 cat 250 2 30 2 x22500 900 x22500 900 x21600 x2 1600 x40 x oux 40 mm 6
  • 8. Nesses tipos de cálculos as funções que utilizamos na calculadora científica são:Tecla para elevar ao quadrado:Tecla para extrair a raiz quadrada: Relações trigonométricas num triângulo retânguloConhecendo o valor de um lado e de um ângulo (exceto o de 90º que já éconhecido) de um triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos outroslados deste triângulo através das relações trigonométricas, assim como, podemoscalcular um ângulo de referência conhecendo-se dois lados de um triânguloretângulo também pelas relações trigonométricas.O primeiro passo para trabalhar com as relações trigonométricas num triânguloretângulo é verificar qual o ângulo deste triângulo que será utilizado e, a partir delenomear os catetos, isto é, o lado do triângulo que estiver oposto a esse ângulo édenominado cateto oposto (co) e o lado que está formando esse ângulo, isto é, queé vizinho do ângulo, é chamado de cateto adjacente. Já a hipotenusa é sempre olado oposto ao ângulo de 90º do triângulo.Assim, do triângulo a seguir temos:a = hipotenusa;b = cateto oposto ao ângulo ;c = cateto adjacente ao ângulo . 7
  • 9. Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o catetooposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim:a = hipotenusa;b = cateto adjacente ao ângulo ;c = cateto oposto ao ângulo .Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conheceras relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo.Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados comtamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre doisde seus lados, conforme ilustrado a seguir:1) b b , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo a apela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto: cateto opostoseno do ângulo hipotenusa 8
  • 10. De maneira simplificada: cosen hip2) c c , observe que aqui está sendo dividido o cateto adjacente ao ângulo a a pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de cosseno,portanto: cateto adjacentecos seno do ângulo hipotenusaDe maneira simplificada: cacos hip2) b b , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto pelo cateto c cadjacente ao ângulo de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de tangente,portanto: cateto opostotan gente do ângulo cateto adjacenteDe maneira simplificada: cotg caPortanto, seno, cosseno e tangente de um ângulo nada mais é do que a divisãoentre dois lados de um triângulo retângulo. A tabela 2 indica alguns valores paraseno, cosseno e tangente, mas a calculadora científica pode fornecer valores paraqualquer ângulo através das teclas:Figura 1: Teclas para utilizar as funções seno, cosseno e tangente na calculadora científica. 9
  • 11. Deve-se tomar o cuidado de verificar se a calculadora está adequada para calcularem graus (D), radianos (R) ou gradianos (G). Isso é verificado na parte superior dovisor da calculadora. Figura 2: Visor de uma calculadora científica. Observe que aparece a letra D na partesuperior do visor, indicando que a calculadora está programada para trabalhar em graus. Ângulo seno cosseno tangente 0o 0 1 0 10o 0,174 0,985 0,176 20o 0,342 0,940 0,364 30o 0,500 0,866 0,577 40o 0,643 0,766 0,839 50o 0,766 0,643 1,192 60o 0,866 0,500 1,732 70o 0,940 0,342 2,747 80o 0,985 0,174 5,671 90o 1 0 Não existe 180o 0 -1 0 270o -1 0 Não existe 360o 0 1 0 Tabela 2: Valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos.Exemplos:1) Determine os valores de X nos triângulos retângulos a seguir:a) O primeiro passo é identificar o que foi fornecido no triângulo: Hipotenusa (hip) = 8 mm Ângulo ( ) = 20o Cateto oposto (co) = X 10
  • 12. Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim: co sen hip X sen 20o 8 Multiplicando em “cruz”, temos: X 8.sen 20 o X 2, 74 mmb) Dados: Hipotenusa (hip) = X Ângulo ( ) = 40o Cateto adjacente (ca) = 12 cm A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa e cateto adjacente, assim: ca cos hip 12 cos 40o X X .cos 40o 12 12 X cos 40o X 15, 66 cmc) Dados: Ângulo ( ) = 31,9o Cateto oposto (co) = 16 mm Cateto adjacente (ca) = X 11
  • 13. A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui catetooposto e cateto adjacente, assim: cotg ca 16tg 31, 9o XMultiplicando em “cruz”, temos:X .tg 31, 9o 16 16X tg 31, 9oX 25, 71 cm2) Determine os ângulos dos seguintes triângulos retângulos: a) Dados: Hipotenusa (hip) = 15 mm Cateto oposto (co) = 10 mmA relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui catetooposto e hipotenusa, assim: cosen hip 10sen 15sen 0, 667Mas queremos calcular o ângulo e não o seno do ângulo , assim, devemosutilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualqueroutra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do senoque é a função “sin-1”. Portanto: sen 1 (0, 667) 41,84o 12
  • 14. Apertando a tecla da calculadora indicada a seguir teremos o resultado em graus,minutos e segundos: 41o50´24´´b) Dados: Cateto adjacente (ca) = 74 mm Cateto oposto (co) = 82 mmA relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui catetooposto e cateto adjacente, assim: cotg ca 82sen 74 82 tg 1 74 47, 94o 47o 56 24 c) Dados: Cateto adjacente (ca) = 10 mm Hipotenusa (hip) = 32 mmA relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que possui catetoadjacente e hipotenusa, assim: 13
  • 15. cacos hip 10cos 32 10 cos 1 32 71, 79o 71o 47 24 Relações trigonométricas num triângulo qualquerAs relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas paratriângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outrasrelações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relaçõessão conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos. Lei dos senosObserve o triângulo a seguir:Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintesresultados: 12 18, 66sen40o 9, 33 18, 66sen30o 17, 54 18, 66sen110oObserve que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode serutilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo. 14
  • 16. lado 1 lado 2seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 2Ou lado 1 lado 3seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 3Ou lado 2 lado 3seno do ângulo oposto ao lado 2 seno do ângulo oposto ao lado 3Exemplos:1) Monte a expressão da lei dos senos para o triângulo a seguir: a b csen sen sen2) Calcule o valor de x nos triângulos a seguir:a) 15
  • 17. X 80sen 400 sen 1200X .sen 1200 80.sen 400 80.sen 400X sen 1200X 59, 38 mmb)Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 1800, então otriângulo terá os seguintes ângulos: Aplicando a lei dos senos: X 40 0 sen 70 sen 600 X .sen 600 40.sen 700 40.sen 700 X sen 600 X 43, 41 mm3) Calcule os valores de X e Y no triângulo a seguir: Aplicando a lei dos senos: X 25 Y 25 0 sen 50 sen 300 sen 1000 sen 300 X .sen 300 25.sen 500 Y .sen 300 25.sen 1000 25.sen 500 25.sen 1000 X Y sen 300 sen 300 X 38, 30 mm Y 49, 24 mm 16
  • 18. 4) Calcule o ângulo nos triângulos a seguir:a) 60 25, 789 sen sen 200 25, 789.sen 60.sen 200 60.sen 200 sen 25, 789 1 60.sen 200 sen 25, 789 52, 720 52o 4312 b) 13 30 sen sen 1050 30.sen 13.sen 1050 13.sen 1050 sen 30 13.sen 1050 sen 1 30 24, 740 24o 44 24 Lei dos cossenosA lei dos cossenos é menos empregada que a lei dos senos devido à simplicidadeda equação da lei dos senos, mas em algumas situações, a resolução através da leidos cossenos se torna a forma mais rápida.A lei dos cossenos também pode ser aplicada em um triângulo qualquer, inclusiveo retângulo. Sua definição é a seguinte:O quadrado da medida de um lado é igual à soma das medidas dos quadrados dosoutros dois lados (até aqui lembra o teorema de Pitágoras) menos duas vezes oproduto destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. 17
  • 19. Para simplificar a definição da lei dos cossenos, vamos utilizar como exemplo otriângulo abaixo:Traduzindo a definição, têm-se:a2 b2 c2 2.b.c.cosExemplos:1) Calcule o valor de X no triângulo a seguir: Aplicando a lei dos cossenos: X2 502 602 2.50.60.cos 1000 X2 2500 3600 1041,89 X 7141,89 X 84, 5 mm2) Calcule o valor de no triângulo a seguir:Observe que o triângulo tem todos os lados iguais, isto é, ele é equilátero. Assim, otriângulo também terá todos os ângulos iguais e como a soma dos ângulos internos 18
  • 20. é igual a 1800, então cada ângulo tem 600, isto é o ângulo vale 600. Utilizando alei dos cossenos, vamos provar que seu valor é de 600.Neste caso, nós temos os três lados e queremos calcular o ângulo, assim:302 302 302 2.30.30.cos900 900 900 1800.cos900 1800 1800.cos900 1800 1800.cos 900 cos 18000, 5 cos cos 1 (0, 5) 600 Área dos principais polígonosO cálculo de área é utilizado com muita frequência na Engenharia e, portanto, todoengenheiro deve dominar esse assunto.Área do retângulo: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) quepossui os quatro ângulos internos iguais a 900. Sua área é definida como o produtoda medida da base (b) pela medida da altura (h). A b.hÁrea do quadrado: O quadrado é um retângulo que possui o mesmo valor para abase (b) e para a altura (h=b). Assim, sua área também é dada pelo produto da basepela altura. A b.b A b2 19
  • 21. Área do paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que não possuiângulos internos de 90º, mas possui seus lados opostos paralelos. A sua áreatambém é calculada como o produto da base (b) pela altura (h). A b.hÁrea do triângulo: É calculada pelo produto da base (b) pela altura (h) divididopor dois, pois se dividirmos o quadrado, ou o retângulo, ou o paralelogramo aomeio, teremos dois triângulos iguais, e por isso que a área do triângulo tem essadivisão por dois. b.h A 2Área do losango: O losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais e nãoparalelos. Sua área é definida como o produto de sua diagonal maior (D) peladiagonal menor (d) dividido por dois. D.d A 2Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos edois lados não paralelos, sendo que os seus lados paralelos recebem os nomes debase. Sua área é calculada pelo produto da altura (h) pela soma de suas bases (B+b)divididos por dois. 20
  • 22. (B b).h A 2 Perímetro dos polígonosO perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus ladosExemplos:1) p 10 10,921 10,573 p 31, 494 mm2) p 4 4 8 8 p 24 cm Circunferência e círculoCircunferência é uma figura geométrica representada por uma linha contida numplano que possui uma mesma distância de um ponto que é denominado de centroda circunferência. Círculo é toda região que compreende a circunferência, isto é,circunferência é somente a linha externa enquanto círculo é região interna dacircunferência. Circunferência Círculo 21
  • 23. A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) édenominada de raio (R) e o dobro do raio é denominado diâmetro (d). Comprimento da circunferência (perímetro)Curvando uma linha podemos fazer uma circunferência de diâmetro d, sendo que ocomprimento dessa linha é chamado de perímetro ou comprimento dacircunferência (p). Existe uma relação muito interessante e importante entre ocomprimento da linha (perímetro) e o diâmetro da circunferência formada pelalinha: Se dividirmos qualquer comprimento de linha pelo diâmetro que ela forma,teremos sempre o mesmo resultado, e esse resultado tem um valor muitoconhecido e utilizado na matemática, o número (3,14159265...),matematicamente:pdp d.Como d 2.R, então :p 2 RExemplos:1) Qual o perímetro de uma circunferência de raio 20 m?p 2 Rp 2 20p 40p 125, 66 m 22
  • 24. 2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm decomprimento?Resposta: O perímetro da circunferência é o comprimento da linha (300 mm),então:p d.300 d .300 dp 95, 49 mm3) Determine a distância em linha reta percorrida por uma roda de 250 mm de raioquando ela realiza uma volta completa.Resposta: A distância percorrida em uma volta é exatamente o perímetro da roda,assim:p 2 Rp 2 250p 500p 1570,8 mm Área de um círculoA área de um círculo é definida como o produto de pelo quadrado da medida deseu raio. A .R 2Exemplo: Calcule a área de um círculo de diâmetro igual a 20 mm.Resposta: O raio vale 10 mm, pois ele é a metade do diâmetro, assim:A .R 2A .10 2A 100.A 314,16 mm 23
  • 25. RadianoUm radiano é o valor que ângulo central ( adquire quando o comprimento doarco da circunferência possui o mesmo valor do raio da circunferência.Em uma metade de qualquer circunferência (1800) é observado que o comprimentodo arco equivale a 3,14159... raios de circunferência, isto é:1800 = rad (relação entre graus e radianos).Exemplo:1) Converta para radianos as seguintes medidas de ângulos:a) 300 b) 4501800 1800300 x 450 xMultiplicando em “cruz”: Multiplicando em “cruz”:180.x 30. 180.x 45. 30. 45.x x 180 180x rad x rad 6 4x 0, 52 rad x 0, 79 rad 24
  • 26. c) 600 d) 27001800 1800600 x 2700 x180.x 60. 180.x 270. 60. 270.x x 180 180 3x rad x rad 3 2x 1, 05 rad x 4, 71 rad2) Converta as seguintes medidas de ângulos em graus:a) 0,76 rad b) 4,73 rad1800 1800x 0, 76 x 4, 73 .x 180.0, 76 .x 180.4, 73 180.0, 76 180.4, 73x xx 43, 540 x 271, 010x 43032 24 x 2710 0 36 Volume de alguns sólidos geométricosPara finalizar essa introdução à Geometria, é necessário estudarmos o volume dossólidos que são muito utilizados em projetos de Engenharia, o paralelepípedo, ocilindro e a esfera.Paralelepípedo: São sólidos cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedosque iremos estudar são os retos-retângulos e o cubo.O paralelepípedo reto-retângulo possui todos os ângulos internos iguais a 900.Todos os cantos de qualquer paralelepípedo são chamados de arestas. 25
  • 27. arestaO volume deste tipo de paralelepípedo é calculado multiplicando-se todos os seuslados: V a.b.cO cubo é um paralelepípedo que possui todos os seus lados iguais e, também,possui todos os ângulos internos iguais a 900.O seu volume também é calculado multiplicando-se todos os seus lados: V a.a.a V a3Cilindro: Muito parecido com os paralelepípedos, mas apresenta bases circulares.O seu volume é calculado pelo produto (multiplicação) da área da base circular(Ab) pela sua altura (h). 26
  • 28. V Ab .hComo a área de um círculo é dada por Ab .R2 , então: V .R2 .hEsfera: É um sólido que possui uma superfície externa que está a uma mesmadistância até o seu centro, sendo esta distância denominada raio da esfera.O seu volume é calculado pela seguinte expressão: 4. .R3 V 3A área da superfície esférica é calculada por: V 4. .R 2 27