Geometria espacial de posição

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Parte da teoria de geometria espacial de posição

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Geometria espacial de posição

  1. 1. Geometria: parte da matemática que estuda aspropriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, ageometria trata de problemas métricos, como o cálculo daárea e do diâmetro de figuras planas e da superfície evolume de corpos sólidos. Outros campos da geometriasão a geometria analítica, a descritiva, a topologia, ageometria de espaços com quatro ou mais dimensões, ageometria fractal e a geometria não-euclidiana.
  2. 2. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaGeometria Plana Geometria Espacial
  3. 3. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacialConceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição.1. Ponto PCaracterísticas:Não possui dimensãoSua representação geométrica é indicada por letra maiúsculaPor um ponto passam infinitas retas
  4. 4. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial2. RetarCaracterísticas:É unidimensional e tem comprimento infinitoSua representação geométrica é indicada por letra minúsculaEm uma reta há infinitos pontos
  5. 5. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial3. PlanoβCaracterísticas:É bidimensional, possui largura e comprimentos infinitos e não possuiespessura.Sua representação geométrica é indicada por letra do alfabeto grego.Com 3 pontos distintos e não colineares determina-se um plano
  6. 6. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial4. Espaço: é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. Étridimensional.
  7. 7. Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacialPostulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitosprimitivos e aceitamos sem demonstração.Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nospostulados
  8. 8. PostuladosPostuladosPostulado 1Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos.Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos.
  9. 9. PostuladosPostuladosPostulado 2Por dois pontos distintos passam uma única reta.
  10. 10. PostuladosPostuladosPostulado 3Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um,plano que os contém.
  11. 11. PostuladosPostuladosTeorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único planoTeorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano
  12. 12. PostuladosPostuladosTeorema 3: Duas retas paralelas distintas determinam um único plano
  13. 13. PostuladosPostuladosPostulado 4: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano,então ela está contida no plano.Por dois pontos distintos passam uma única reta (postulado 2)
  14. 14. PostuladosPostuladosPostulado 5: Se dois planos possuem um ponto em comum, então elespossuem pelo menos mais de um ponto em comum, ou seja, uma reta emcomumP
  15. 15. PostuladosPostuladosPostulado 6: Por um ponto qualquer, não pertencente a uma reta r dada,passa uma única reta paralela à r.r
  16. 16. rRetas Reversas: duas retas são reversas quando não existeplano que contém ambas.
  17. 17. Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasConcorrentes: Duas retas são concorrentes quando têm um único pontoem comum.PrsPsr =
  18. 18. Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasParalelas: Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum esão coplanares.∅=sr 
  19. 19. Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasCoincidentes: Duas retas são coincidentes quando possuem infinitospontos em comum.r = ssr =
  20. 20. Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasReversas: Duas retas são reversas quando não existe plano que contémambas.rsQual a diferença entre retas paralelase reversas?Paralelas: não tem ponto em comum esão coplanaresReversas: não tem ponto em comume não são coplanares.
  21. 21. Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelomenos, dois de seus pontos pertencem ao plano.rABα⊂r
  22. 22. Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto emcomum.PrPr =α
  23. 23. Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa retaé paralela a pelo menos uma reta desse plano.Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.srα∅=⇒ αα rr //
  24. 24. Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos paralelos: dois planos são paralelos quanto não possuemponto em comum. No entanto, uma condição necessária para quedois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retasconcorrentes paralelas ao outro plano.∅=βα 
  25. 25. Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos coincidentes: dois planos são coincidentes quandopossuem infinitos pontos em comum.βα =
  26. 26. Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos concorrentes: dois planos são concorrentes quando suaintersecção é uma reta.αβPr=βα 
  27. 27. PerpendicularismoPerpendicularismoEntre RetasRetas Perpendiculares: São retas que se encontram e formam ângulode 90°
  28. 28. PerpendicularismoPerpendicularismoRetas Ortogonais: São retas que não se encontram, mas suas projeçõesformam um ângulo reto.
  29. 29. PerpendicularismoPerpendicularismoEntre Reta e Plano: uma reta concorrente com um plano, num ponto P,é perpendicular ao plano se é perpendicular a todas as retas do plano quepassam por P.
  30. 30. PerpendicularismoPerpendicularismoTeorema: Se uma reta r é perpendicular ou ortogonal a um par deretas concorrentes contidas no plano, então r é perpendicular ao plano.
  31. 31. PerpendicularismoPerpendicularismoEntre Planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, umdeles contiver uma reta r que é perpendicular ao outro plano.β
  32. 32. Projeção OrtogonalProjeção OrtogonalPP’Projeção ortogonal de um ponto
  33. 33. Projeção OrtogonalProjeção OrtogonalProjeção ortogonal de um segmentoAB
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