Geometria espacial de posição
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Parte da teoria de geometria espacial de posição

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Geometria espacial de posição Geometria espacial de posição Presentation Transcript

  • Geometria: parte da matemática que estuda aspropriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, ageometria trata de problemas métricos, como o cálculo daárea e do diâmetro de figuras planas e da superfície evolume de corpos sólidos. Outros campos da geometriasão a geometria analítica, a descritiva, a topologia, ageometria de espaços com quatro ou mais dimensões, ageometria fractal e a geometria não-euclidiana.
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaGeometria Plana Geometria Espacial
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacialConceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição.1. Ponto PCaracterísticas:Não possui dimensãoSua representação geométrica é indicada por letra maiúsculaPor um ponto passam infinitas retas
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial2. RetarCaracterísticas:É unidimensional e tem comprimento infinitoSua representação geométrica é indicada por letra minúsculaEm uma reta há infinitos pontos
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial3. PlanoβCaracterísticas:É bidimensional, possui largura e comprimentos infinitos e não possuiespessura.Sua representação geométrica é indicada por letra do alfabeto grego.Com 3 pontos distintos e não colineares determina-se um plano
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacial4. Espaço: é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. Étridimensional.
  • Introdução a GeometriaIntrodução a GeometriaEspacialEspacialPostulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitosprimitivos e aceitamos sem demonstração.Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nospostulados
  • PostuladosPostuladosPostulado 1Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos.Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos.
  • PostuladosPostuladosPostulado 2Por dois pontos distintos passam uma única reta.
  • PostuladosPostuladosPostulado 3Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um,plano que os contém.
  • PostuladosPostuladosTeorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único planoTeorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano
  • PostuladosPostuladosTeorema 3: Duas retas paralelas distintas determinam um único plano
  • PostuladosPostuladosPostulado 4: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano,então ela está contida no plano.Por dois pontos distintos passam uma única reta (postulado 2)
  • PostuladosPostuladosPostulado 5: Se dois planos possuem um ponto em comum, então elespossuem pelo menos mais de um ponto em comum, ou seja, uma reta emcomumP
  • PostuladosPostuladosPostulado 6: Por um ponto qualquer, não pertencente a uma reta r dada,passa uma única reta paralela à r.r
  • rRetas Reversas: duas retas são reversas quando não existeplano que contém ambas.
  • Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasConcorrentes: Duas retas são concorrentes quando têm um único pontoem comum.PrsPsr =
  • Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasParalelas: Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum esão coplanares.∅=sr 
  • Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasCoincidentes: Duas retas são coincidentes quando possuem infinitospontos em comum.r = ssr =
  • Posições entre duasPosições entre duasRetasRetasReversas: Duas retas são reversas quando não existe plano que contémambas.rsQual a diferença entre retas paralelase reversas?Paralelas: não tem ponto em comum esão coplanaresReversas: não tem ponto em comume não são coplanares.
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelomenos, dois de seus pontos pertencem ao plano.rABα⊂r
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto emcomum.PrPr =α
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entreReta e PlanoReta e PlanoReta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa retaé paralela a pelo menos uma reta desse plano.Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.srα∅=⇒ αα rr //
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos paralelos: dois planos são paralelos quanto não possuemponto em comum. No entanto, uma condição necessária para quedois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retasconcorrentes paralelas ao outro plano.∅=βα 
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos coincidentes: dois planos são coincidentes quandopossuem infinitos pontos em comum.βα =
  • Posição Relativa entrePosição Relativa entrePlanosPlanosPlanos concorrentes: dois planos são concorrentes quando suaintersecção é uma reta.αβPr=βα 
  • PerpendicularismoPerpendicularismoEntre RetasRetas Perpendiculares: São retas que se encontram e formam ângulode 90°
  • PerpendicularismoPerpendicularismoRetas Ortogonais: São retas que não se encontram, mas suas projeçõesformam um ângulo reto.
  • PerpendicularismoPerpendicularismoEntre Reta e Plano: uma reta concorrente com um plano, num ponto P,é perpendicular ao plano se é perpendicular a todas as retas do plano quepassam por P.
  • PerpendicularismoPerpendicularismoTeorema: Se uma reta r é perpendicular ou ortogonal a um par deretas concorrentes contidas no plano, então r é perpendicular ao plano.
  • PerpendicularismoPerpendicularismoEntre Planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, umdeles contiver uma reta r que é perpendicular ao outro plano.β
  • Projeção OrtogonalProjeção OrtogonalPP’Projeção ortogonal de um ponto
  • Projeção OrtogonalProjeção OrtogonalProjeção ortogonal de um segmentoAB