Geometria
Ângulos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma o...
Geometria

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta.
Nesses casos, forma...
Geometria
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de
um â...
Geometria


O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.



A linha horizontal que passa pelo...
Geometria

Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m ...
Geometria
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
Como construir um ângulo util...
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30º = 30 . 60'= 1.800
'Logo, 30º = 1.800

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Transforme 5º35' em minutos.

Solução
5º = 5 . 60' = 300'
300' + 35...
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8.400'' + 40'' = 8.440''
Logo, 2º20'40'' = 8.440''
Transformando uma medida de ângulo em número misto
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Transfo...
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Medidas fracionárias de um ângulo


Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução
0,5º = 0,5 . 60' = 30'
24,5º...
Geometria
54''

x
x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNG...
Geometria


70º25' - 30º15

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38º45'50'' - 27º32'35''

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90º - 35º49'46''

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80º48'30'' - 70º58'55''

Observe que:

Lo...
Geometria



5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.

Divisão por um número natural
Observe os exemplos:
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ÂNGULOS CONGRUENTES
Observe os ângulos abaixo:

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos co...
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Assim:

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Propriedades da Congruência
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Reflexiva:

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Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:

Os ângulos CÔB e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado ...
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Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns

Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns

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BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Observe a figura abaixo:

m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta
Nesse cas...
Geometria


Traçamos
, determinando assim a
bissetriz de AÔB.

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO
Podemos classificar um ângulo ...
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RETAS PERPENDICULARES
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
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ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:
m (AÔB) + m (BÔC) = 90º
N...
Geometria
Exemplo:


Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução
Medida do complemento = 90º - medida do â...
Geometria

As semi-retas

formam um ângulo raso.

Verifique que:
m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º
Nesse caso, dizemos que os âng...
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Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de
suplementares, são também adjacentes. Dizemos
que esses ângulos ...
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Sabemos que:
X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
...
Geometria
Solução:

x + 60º = 3x - 40º
x - 3x
-2x
x

ângulos o.p.v

= - 40º - 60º
= - 100º
= 50º

Logo, o valor de x é 50º...
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  1. 1. Geometria Ângulos O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos: Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas. O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô. 1
  2. 2. Geometria Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.   As semi-retas As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta. não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta. Podemos, então, estabelecer que: Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem. 2
  3. 3. Geometria MEDIDA DE UM ÂNGULO A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º. Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º). Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º. O grau compreende os submúltiplos:  O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'. 1º=60'  O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''. 1'=60'' Logo, podemos concluir que: 1º = 60'.60 = 3.600'' Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal. Como medir um ângulo, utilizando o transferidor Observe a seqüência 3
  4. 4. Geometria  O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.  A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo  Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta . . Leitura de um ângulo Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras: 15º (lê-se "15 graus'') 45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'') 30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'') Observações Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação. A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número. Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º. O ângulo de uma volta mede 360º. Questões envolvendo medidas de ângulos Observe a resolução das questões abaixo:  Determine a medida do ângulo AÔB na figura: 4
  5. 5. Geometria Solução Medida de AÔB = x Medida de BÔC = 105º Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos: m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) x + 105º = 180º x = 180º - 105º x = 75º Logo, a medida de AÔB é 75º.  Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura: Solução Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim: 5
  6. 6. Geometria x + 50º = 360º x = 360º - 50º x = 310º Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º. Como construir um ângulo utilizando o transferidor Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:  Traçamos uma semi-reta .   Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.  Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º. Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais. Eles podem ser desenhados com esquadro. TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal. Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:  Transforme 30º em minutos. Solução Sendo 1º = 60', temos: 6
  7. 7. Geometria 30º = 30 . 60'= 1.800 'Logo, 30º = 1.800  Transforme 5º35' em minutos. Solução 5º = 5 . 60' = 300' 300' + 35'= 335' Logo, 5º35'= 335'.  transforme 8º em segundos. Solução Sendo 1º = 60', temos: 8º = 8 . 60'= 480 'Sendo 1'= 60'', temos: 480'= 480 . 60'' = 28.800'' Logo, 8º = 28.800''.  Transforme 3º35' em segundos. Solução 3º = 3 . 60'= 180' 180' + 35' = 215' 215' . 60'' = 12.900'' Logo, 3º35'= 12.900''  Transforme 2º20'40'' em segundos. Solução 2º = 2 . 60' = 120' 120' + 20' = 140' 140'. 60''= 8.400'' 7
  8. 8. Geometria 8.400'' + 40'' = 8.440'' Logo, 2º20'40'' = 8.440'' Transformando uma medida de ângulo em número misto  Transforme 130' em graus e minutos. Solução  Transforme 150'' em minutos e segundos. Solução  Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos. Solução 8
  9. 9. Geometria Medidas fracionárias de um ângulo  Transforme 24,5º em graus e minutos. solução 0,5º = 0,5 . 60' = 30' 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30' Logo, 24,5º = 24º30'.  Transforme 45º36' em graus. solução 60' 1º 36' x x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'') Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.  Transforme 5'54'' em minutos. Solução 60'' 1' 9
  10. 10. Geometria 54'' x x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'') Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9' OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos: Adição  30º48' + 45º10'  10º36'30'' + 23º45'50''  43º18'20'' + 25º20'30'' Simplificando 33º81'80'', obtemos: Logo, a soma é 34º22'20''. Subtração Observe os exemplos: 10
  11. 11. Geometria  70º25' - 30º15  38º45'50'' - 27º32'35''  90º - 35º49'46''  80º48'30'' - 70º58'55'' Observe que: Logo, a diferença é 9º 49'35''. Multiplicação por um número natural Observe os exemplos:  2 . ( 36º 25')  4 . ( 15º 12') 11
  12. 12. Geometria  5 . ( 12º36'40'') Logo, o produto é 63º3'20''. Divisão por um número natural Observe os exemplos:  ( 40º 20') : 2  ( 45º20' ) : 4  ( 50º17'30'' ) : 6 12
  13. 13. Geometria ÂNGULOS CONGRUENTES Observe os ângulos abaixo: Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação: 13
  14. 14. Geometria Assim: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. Propriedades da Congruência  Reflexiva:  Simétrica:  Transitiva: ÂNGULOS CONSECUTIVOS Observe a figura: Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras abaixo que: Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: 14
  15. 15. Geometria Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos. Assim: Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum. ÂNGULOS ADJACENTES Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que: Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns 15
  16. 16. Geometria Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. Assim: Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Observação: Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos: 16
  17. 17. Geometria BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Observe a figura abaixo: m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º Verifique que a semi-reta Nesse caso, a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes. é denominada bissetriz do ângulo AÔB. Assim: Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.  Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas respectivamente.  , Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C a D traçamos arcos que se cruzam em E. 17
  18. 18. Geometria  Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB. ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.  Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:  Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:  Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo: 18
  19. 19. Geometria RETAS PERPENDICULARES As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos. Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos: Observação Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo: 19
  20. 20. Geometria ÂNGULOS COMPLEMENTARES Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: Verifique que: m (AÔB) + m (BÔC) = 90º Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Assim: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. Exemplo: Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º. Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa. Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo x Complemento 90º - x 20
  21. 21. Geometria Exemplo:  Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º? Solução Medida do complemento = 90º - medida do ângulo Medida do complemento = 90º - 75º Medida do complemento = 15º Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º. Observação: Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares. ÂNGULOS SUPLEMENTARES Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: 21
  22. 22. Geometria As semi-retas formam um ângulo raso. Verifique que: m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. Exemplo: Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º. Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa. Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo Suplemento X 180º - X Exemplo:  Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º? Solução Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo Medida do suplemento = 180º - 55º Medida do suplemento = 125º Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º. Observação: 22
  23. 23. Geometria Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo: Verifique que: Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro. Na figura abaixo, vamos indicar: 23
  24. 24. Geometria Sabemos que: X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares) X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares) Então: Logo: y=k Assim: m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB Daí a propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:  Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x? 24
  25. 25. Geometria Solução: x + 60º = 3x - 40º x - 3x -2x x ângulos o.p.v = - 40º - 60º = - 100º = 50º Logo, o valor de x é 50º. 25

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