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  • 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 - Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalência financeira. 2 - Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação financeira; A equivalência de taxas de juros: taxas de juros proporcionais; A equivalência de capitais no regime de juros compostos. 3 - Juros compostos - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação financeira; A equivalência de taxas de juros: taxas de juros equivalentes; Taxas nominais e taxas efetivas; A equivalência de capitais no regime de juros compostos. 4 Desconto (operações financeiras de antecipação de recebíveis) - Desconto racional simples e composto; Desconto irracional simples e composto; Cálculo do valor atual, do valor nominal, da taxa de desconto. 5 Operações financeiras com cláusula de correção monetária - Cálculo do montante em operações financeiras pós-fixadas; Taxas nominais x taxas reais. 6 - Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes; Cálculo do valor futuro, do valor presente, do valor dos pagamentos de uma série variável e de uma uniforme de pagamentos; A equivalência financeira de séries de pagamentos. 7 - Sistemas de amortização Sistema americano (método do pagamento periódico dos juros); Sistema price (método das prestações constantes); Sistema sac (método das amortizações constantes); Sistema price com prazo de carência. 8 Análise de investimentos (introdução) - Métodos de avaliação de investimentos; Taxa interna de retorno; Valor presente líquido. 2
  • 2. Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalência financeira. Muitos problemas da área financeira baseiam-se no conceito de encargos (juros) para a utilização do dinheiro de alguém por um determinado período de tempo. O Valor do Dinheiro no Tempo ( VDT ) é o processo de se calcular o valor de um ativo no passado, no presente ou no futuro. Está baseado na premissa de que o principal original crescerá seu valor no tempo através dos juros. Isto significa que um dólar investido hoje valerá mais amanhã. Há dois tipos principais de problemas financeiros: * Juros compostos * Juros simples Com os juros simples , somente o principal (o valor original do dinheiro) sofre a incidência de juros durante todo a duração da transação. O principal, mais os juros ganhos, é amortizado em um único pagamento à vista. Quando os juros simples são acrescentados ao valor principal em intervalos compostos especificados e, conseqüentemente, também sofrem a incidência de juros, os juros são compostos . Contas de poupança, hipotecas e leasings são cálculos de juros compostos. Elementos de TVM Há cinco variáveis padrão utilizadas para descrever a maioria dos problemas de juros compostos (TVM): n Número de pagamentos i Taxa de juros periódica PV Valor presente PMT Valor do pagamento em cada período (valor de pagamento periódico) FV Valor futuro O recurso TVM na calculadora HP 12C resolve vários problemas de juros compostos. Especificamente, a função TVM pode ser utilizada para uma série de fluxos de caixa (dinheiro pago ou dinheiro recebido) quando: • A quantia em dinheiro é a mesma a cada pagamento • Os pagamentos ocorrem em intervalos regulares • período de pagamento coincide com os períodos compostos 5
  • 3. Dados quaisquer quatro dos elementos principais acima, é possível resolver o problema para a quinta variável Linha de Tempo e Notação Lidando com fluxos de caixa que estão em pontos diferentes no tempo torna-se mais fácil usar uma linha de tempo que mostra o instante e a quantia de cada fluxo de caixa numa série deles. Assim, uma série de fluxos de caixa de $100 ao final de cada um dos próximos 4 anos, pode ser desenhada numa linha de tempo como esta da Figura 3.1. Na figura, o 0 refere-se ao agora. Um fluxo de caixa que ocorre no instante 0 está, portanto, já no valor presente e não precisa ter seu valor ajustado no tempo. Uma distinção deve aqui ser feita entre um período de tempo e um ponto no tempo. A porção da linha de tempo entre 0 e 1 refere-se ao período 1, que, neste exemplo, é o primeiro ano. O fluxo de caixa que ocorre no ponto "1" do tempo se refere ao fluxo de caixa que ocorre no final do período 1. Finalmente, a taxa de desconto, que é 10% neste exemplo, é especificada para cada período sobre a linha de tempo e pode ser diferente para cada período. Estando os fluxos de caixa no início de cada ano em vez do final de cada ano, a linha de tempo teria que ser redesenhada como aparece na Figura 3.2. Note que em termos de valor presente, um fluxo de caixa que ocorre no começo do ano 2 é o equivalente de um fluxo de caixa que ocorre no final do ano 1. Os fluxos de caixa podem ser ou positivos ou negativos; fluxos de caixa positivos são chamados de entrada de caixa e fluxos de caixa negativos são chamados de saída de caixa. 6
  • 4. Capital, juros, taxas de juros Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas. Regime Simples Compostos Processo de funcionamento Somente o principal rende juros. Após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros. Taxa: é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Regime de capitalização Regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital, este pode ser pelo regime de capitalização simples ou composta. No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital inicial (VP), já no regime de capitalização composta as taxas de juros são aplicadas sobre o capital acumulado dos juros. Exemplos: a) Empréstimo de R$ 10.000,00 por seis meses, a taxa de 3% a.m. Regime de Capitalização Simples É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide somente e sempre sobre o capital inicial. Portanto, 7
  • 5. em todos os períodos de aplicação, os juros serão sempre calculados através do produto do capital inicial pela taxa de juro (J = C.i). Exemplo: a) Seja a aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização simples. Calcule os juros totais e o montante? Solução: Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $1.000,00 e i = 10% a.m. Então no fim do primeiro mês teremos: J1 = C.i logo J1 = 1.000. 10% J1 = $100,00 No fim do segundo mês teremos: J2 = C.i logo J2 = 1.000. 10% J2 = $100,00 No fim do terceiro mês teremos: J3 = C.i logo J3 = 1.000. 10% J3 = $100,00 Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em cada período (mês): J = J1+ J2+ J3 J = 100 + 100 + 100 J = $300,00 O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é: M=C+J M = 1000 + 300 M = $1.300,00 Regime de Capitalização Composta É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juro no período atual. Portanto, em cada período de aplicação, os juros serão calculados através do produto do montante do período anterior pela taxa de juro. (J = M.i) Um exemplo simples de capitalização composta é o da caderneta de poupança, onde você deposita seu dinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a mesma já apresente um montante igual ao capital inicial mais os juros, que foram gerados sobre o capital inicial (este era o único montante anterior), observe que a partir do primeiro mês, mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, o dinheiro lá existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já estão na conta, sendo 8
  • 6. este processo conhecido como juros sobre juros ou capitalização composta. Exemplo: b) Seja a aplicação de um capital de $1.000 a taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de capitalização composta. Calcule os juros totais e o montante? Solução: A situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de capitalização composta, C = $1.000,00 e i = 10% a.m. Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será: J1 = C.i logo J1 = 1.000 . 10% J1= $100,00 M1 = C + J = 1.000 + 100 M1 = $ 1.100,00 Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do primeiro mês. Logo: J2 = M1.i logo J2 = 1.100 . 10% J2 = $ 110,00 E o montante do segundo mês será: M2 = C + J1 + J2 M2 = 1.000 + 100 + 110 M2 = $ 1.210,00 Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do segundo mês. Então: J3 = M2.i J3 = 1.210 . 10% J3 = $121,00 E o montante ao final do terceiro mês será: M3 = C + J1 + J2 + J3 M3 = 1.000 + 100 +110 +121 M3 = $1.331,00 A soma dos juros totais será de: J = J1+ J2+ J3 J = 100 + 110 + 121 J = $ 331,00 9
  • 7. Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta, os resultados obtidos foram dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma melhor comparação: Capitalização Simples Capitalização Composta Período de tempo Juros Montante Juros Montante 1º ano 100 1.100 100 1.100 2º ano 100 1.200 110 1.210 3º ano 100 1.300 120 1.330 4º ano 100 1.400 130 1.460 Observações: => Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar que o juro e o montante obtidos ao final do primeiro mês de capitalização serão sempre os mesmos. Daí se pode concluir que ao considerarmos um período único de tempo, não há diferença entre os regimes de capitalização, não havendo sentido em se distinguir, para apenas um período, a capitalização simples da capitalização composta. Isto se dá por que ao final do primeiro período os juros compostos são calculados sobre o montante do período anterior, que neste momento é o capital inicial, ficando igual ao cálculo dos juros simples. Veja: J = M.i = C.i (para o primeiro período). => Observe ainda que, no regime de capitalização simples o montante aumenta de acordo com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação aos juros (no exemplo, a razão é 100, ou seja, a cada período o montante sobe de um valor constante e igual a 100). Já no regime de capitalização composta, o montante varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo uma variação exponencial em relação aos juros (a razão da progressão geométrica é dada por ( 1 + i ) = (1,1). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos lineares estamos falando do regime de capitalização simples e em se tratando de juros ou rendimentos exponenciais estamos falando do regime de capitalização composta. => Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esta forma de se capitalizar os juros é também conhecida como juros postecipados. Fluxo de caixa e seus diagramas (gráficos) Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0. Um típico exemplo é o gráfico: 10
  • 8. Fluxo de Caixa da pessoa Eo 0 1 2 3 ... n-1 n S1 S2 S3 ... Sn-1 Sn que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas). No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim: Fluxo de Caixa do banco E1 0 E2 E3 ... En-1 En 1 2 3 ... n-1 n So O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que: 1. t=0 indica o dia atual; 2. Ek é a Entrada de capital num momento k; 3. Sk é a Saída de capital num momento k. Observação: Neste trabalho, o ponto principal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão. Exemplos importantes Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa). Tais situações são muito comuns nas operações financeiras. 1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui há um mês. 11
  • 9. Fluxo de Caixa 01 10.000 0 1 11.000 2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês. Fluxo de Caixa 02 10.000 0 1 2 6.000 6.000 3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias. Fluxo de Caixa 03 10.000 0 1 2 5.500 6.500 4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mês seguinte. Fluxo de Caixa 04 10.000 0 1 2 ... 14 15 12
  • 10. 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mês seguinte. Fluxo de Caixa 05 16.000 0 1 2 ... 23 24 876,54 876,54 876,54 876,54 876,54 6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje. Fluxo de Caixa 06 16.000 0 1 2 ... 23 840,00 840,00 840,00 840,00 840,00 7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte. Fluxo de Caixa 07 12.000 0 1 2 ... 19 20 500 600 ... 2.300 2.400 8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já no momento inicial. Fluxo de Caixa 08 12.000 13
  • 11. 0 1 2 ... 18 19 500 600 700 ... 2.300 2.400 9. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto? Fluxo de Caixa 09 VP=A 0 1 2 ... n-1 n R R R R R Solução matemática: A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n que também pode ser escrito na forma 10.Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de 7% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto? Fluxo de Caixa 10 VP 0 1 2 3 4 5 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Solução matemática: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que: 11.Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir 14
  • 12. deste mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto? Fluxo de Caixa 11 VP=A 0 1 2 ... n-1 R R R R R Solução matemática: A=R+R/(1+i)+R/(1+i)2+R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n-1 que também pode ser escrito na forma 12.Considere o problema do ítem 10 e uma nova alternativa. Refinanciar a compra do objeto que custa o Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mês inicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o valor de cada nova parcela R? Qual será o percentual de aumento da prestação em relação à prestação anterior, com esta nova alternativa? Fluxo de Caixa 12 4.100,20 0 1 2 3 R? R? R? R? Solução matemática: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que: que pode ser escrito na forma 4.100,20 = R × 3,6243160444 de onde segue que 15
  • 13. R = 1.131,30 A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%. Observação: Este percentual poderá mudar se a taxa aplicada for alterada. Equivalência financeira O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia, situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor, que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto. A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros: FV = PV + j 16
  • 14. Questões de concursos 1 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo ) Acerca das questões básicas de matemática financeira, julgue os itens seguintes. De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transporte hidroviário tivessem reajustado seus preços em 10%, na média, poderse- ia dizer que o setor obteve, no período, um ganho real inferior a 4%. • ( ) Certo ( ) Errado 2 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo ) Considere que uma empresa tenha contratado um financiamento para a compra de um navio por 20 milhões de reais, que deveria ser amortizado em 36 meses pelo sistema de prestações iguais a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Tomando-se 0,49 como valor aproximado de 1,02 3,6, se a empresa reservou 780 mil reais de seu faturamento mensal para o pagamento do empréstimo, sua situação financeira em relação ao contrato tenderá a se tornar crescentemente deficitária. • ( ) Certo ( ) Errado 3 - ( FGV - 2010 - SEA-AP - Fiscal da Receita Estadual - Prova 1 ) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de: • a) 60%. • b) 56,6%. • c) 53,4%. • d) 51,2%. • e) 48,8%. 17
  • 15. 4 - ( FGV - 2010 - SEA-AP - Fiscal da Receita Estadual - Prova 1 ) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em: • a) 60%. • b) 66%. • c) 70%. • d) 75%. • e) 100%. 5 - ( CESPE - 2010 - MPS - Técnico em Comunicação Social - Relações Públicas ) O INSS pagou, no dia 24 de novembro, terça-feira, a segunda parcela do 13.º salário. Os segurados devem ficar atentos, pois a contribuição do imposto de renda relativa ao 13.º salário foi descontada na segunda parcela. A primeira parcela, referente a 50% do benefício, foi paga em agosto deste ano. O pagamento foi feito de acordo com o calendário normal do INSS. Naquele dia, puderam sacar os beneficiários que ganharam até um salário mínimo e tinham cartão de benefício com final 1. Até o dia 30 de novembro, foram pagos os benefícios de quem ganha até um salário mínimo e tinha cartão de benefício com final de 1 a 5. De 1.º a 7 de dezembro, puderam sacar os segurados que ganharam acima do mínimo e o restante dos que receberam o piso previdenciário. De acordo com as informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. Se a segunda parcela do 13.º salário de Carlos foi de R$ 850,00 e a contribuição do imposto de renda paga por ele correspondeu a 7,5% de seu salário, então o salário de Carlos era inferior a R$ 1.500,00. • ( ) Certo ( ) Errado GABARITO: 1-C 2-C 3-E 4-A 5-E 18
  • 16. Questões sobre Fluxo de Caixa 1 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Analista Administrativo - Ciências Contábeis ) Acerca de aspectos financeiros dos investimentos, julgue os itens que se seguem. Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta fluxo de investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao projeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, custo de capital de 15% e fluxo de caixa esperado igual a R$ 3.200.000,00. • ( ) Certo ( ) Errado 2 - ( ESAF - 2008 - Prefeitura de Natal - RN - Auditor do Tesouro Municipal - Prova 1 ) Apontando por V - Verdadeiro e F - Falso, indique a opção correta para as seguintes sentenças: I. Um fl uxo de caixa é uma série de capitais (valores) dispostos numa seqüência histórica (de datas). II. Dois (2) fl uxos de caixa são equivalentes, segundo uma determinada taxa de juros, se tiverem o mesmo valor em determinada data (valor atual, por exemplo). III. A taxa interna de retorno de um determinado fl uxo de caixa é a taxa para a qual o valor atual do fl uxo é nulo (igual a zero). • a) V, F, V. • b) F, V, F. • c) V, V, V. • d) F, F, F. • e) V, V, F. 3 - ( FCC - 2010 - SEFIN-RO - Auditor Fiscal de Tributos Estaduais ) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176. 19
  • 17. O valor de X é igual a • a) R$ 17.280,00 • b) R$ 15.000,00 • c) R$ 14.400,00 • d) R$ 13.200,00 • e) R$ 12.000,00 GABARITO: 1-E 2-C 3-A 20
  • 18. Juros simples - Juros compostos - Desconto Juros simples 1. Se n é o numero de periodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por: j=Pin Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00 2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i por r/100 e obtemos a fórmula: j = P r n / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00 3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula: j = P r m / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por: j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00 4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula: j = P r d / 100 Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por: j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00 Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por: j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50 Montante simples Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas: M = P + j = P (1 + i n) Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um 21
  • 19. capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M=2P Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in) Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo n = 2/3 ano = 8 meses Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano? Contagem do tempo: Período Número de dias De 10/01 até 31/01 21 dias De 01/02 até 28/02 28 dias De 01/03 até 31/03 31 dias De 01/04 até 12/04 12 dias Total 92 dias Fórmula para o cálculo dos juros exatos: j = P r (d / 365) / 100 Cálculo: j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05 Das taxas Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxas de juros." Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 22
  • 20. Exemplos: 1. 1200% ao ano com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização mensal. 3. 300% ao ano com capitalização trimestral. Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1. 120% ao mês com capitalização mensal. 2. 450% ao semestre com capitalização semestral. 3. 1300% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por: vreal = 1 + ireal que pode ser calculada por: vreal = resultado / (1 + iinflação) isto é: vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 o que significa que a taxa real no período, foi de: ireal = 2% Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005. Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de: 23
  • 21. V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77 Taxas equivalentes Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação. Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que : S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00 Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos: S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00 Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre. Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque: i = 300/12 = 25 Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque: i = 300/4 = 75 É evidente que estas taxas não são taxas efetivas. Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S. Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano 24
  • 22. é indicado por Np. Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias. A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é: 1 + ia = (1+ip)Np onde ia taxa anual ip taxa ao período Np número de vezes em 1 ano Situações possíveis com taxas equivalentes Fórmula Taxa Período Número de vezes 1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2 1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3 1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4 1+ia = (1+imes)12 imes mês 12 quinzena 24 semana 52 dia 365 1+ia = (1+iquinz)24 iquinz 1+ia = (1+isemana)24 iseman a 1+ia = (1+idias)365 idias Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês? Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%. Vamos observar o fluxo de caixa da situação: Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por 1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247 logo i2 = 0,1268247 = 12,68247% Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva. Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada é: 25
  • 23. 1+ia = (1 + imes)12 Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter: 1,12 = [1 + i(mes)]12 Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter: log(1,12) = 12 log[1+i(mes)] log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)] 0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)] 0,004101501889182 = log[1+i(mes)] assim 100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)] Desenvolvendo a potência obtemos: 1,009488792934 = 1 + i(mes) 0,009488792934 = i(mes) i(mes) = 0,9488792934% A equivalência de capitais no regime de juros compostos Equivalência no Regime Composto O que nós fizemos em juros simples, vamos repetir para juros compostos. A novidade é que vamos utilizar somente um tipo de desconto para efetuar a equivalência, que é o DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (não se usa desconto comercial composto em problemas de equivalência). Uma outra novidade – boa por sinal – é que a data focal pode ser qualquer, pois no regime de juros compostos, diferentemente do regime de juros simples, se dois capitais são equivalentes para uma determinada data, eles também o são para qualquer outra data. Importância da Data Focal Do ponto de vista teórico, a escolha da data focal é indiferente – ela pode ser qualquer - , mas do ponto de vista prático, isto é, levando-se em conta a grande quantidade de cálculos que você terá que realizar, não. Quando for resolver problemas de equivalência composta, você deve estrategicamente escolher a data focal que facilite o máximo possível o trabalho de cálculo (geralmente é a data que mais se projeta no futuro). Dependendo da data focal escolhida, um determinado capital poderá ser movimentado para frente ou para trás com relação ao eixo dos tempos. Quando o capital for movimentado para frente (a favor do eixo dos tempos), precisaremos calcular o seu MONTANTE, isto é, deveremos capitalizá-lo (incorporar juros a ele). Quando o capital for movimentado para trás (em sentido contrário ao do eixo dos tempos), precisaremos descapitalizá-lo, calculando o seu VALOR ATUAL. No regime de desconto racional composto, tudo isto significa que teremos que multiplicar ou dividir o capital pelo fator (1 + i)n. 26
  • 24. Portanto, se quisermos levar o capital para frente, devemos mutiplicá-lo pelo fator (1 + i)n, onde “i”é a taxa de juros considerada e “n”o número de períodos que devemos percorrer com o capital. Se quisermos levar o capital para trás, devemos dividi-lo pelo fator de acumulação composta (1 + i)n, utilizando o mesmo critério. Juros compostos Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos. Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94. Tempo Data Valor Principal Juros Montante 0 01/01/94 100,00 0 100,00 1 01/02/94 100,00 50,00 150,00 2 01/03/94 150,00 75,00 225,00 3 01/04/94 225,00 112,50 337,50 4 01/05/94 337,50 168,75 506,20 5 01/06/94 506,25 253,13 759,38 Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores. Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo) A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim: S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5 Em geral: Sn = P (1+i)n onde Sn Soma ou montante P Valor Principal aplicado inicialmente i taxa unitária n número de períodos da aplicação Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo. 27
  • 25. Montante composto A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por: S = P (1+i)n Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta? Objetivo: S=2P Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por: S=P(1+i)n Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo (2,5)n = 2 Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter: n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano Desconto (operações financeiras de antecipação de recebíveis) Notações comuns na área de descontos: D Desconto realizado sobre o título A Valor Atual de um título N Valor Nominal de um título i Taxa de desconto n Número de períodos para o desconto Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título. D=N-A Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Tipos de descontos Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais. 28
  • 26. Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título. Desconto por fora Juros simples D=Nin j=Pin N = Valor Nominal P = Principal i = taxa de desconto i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos O valor atual no desconto por fora, é calculado por: A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n) Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título. Desconto por dentro Juros simples D=Ain j = P.i.n N = Valor Atual P = Principal i = taxa de desconto i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos O valor atual, no desconto por dentro, é dado por: A = N / (1 + i n) Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título. Desconto composto por fora Juros compostos A = N(1-i)n S = P(1+i)n A = Valor Atual P = Principal i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros n = no. de períodos n = no. de períodos Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período. Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo: A1 = N(1-i) onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é: 29
  • 27. A2 = A1(1-i) = N(1-i)2 Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n: An = N(1-i)n Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por: S = P(1+i)n Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil. Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n] O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos. Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. Solução: D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30 Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa? Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045 Número de períodos para o desconto: n=12-5=7 Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n 30
  • 28. Questões de Concursos – Parte 1 1 -( FEPESE - 2010 - SEFAZ-SC - Auditor Fiscal da Receita Estadual - Parte I ) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta. • a) $ 2.691,43 • b) $ 3.691,43 • c) $ 4.691,43 • d) $ 5.691,43 • e) $ 6.691,43 31
  • 29. 2 - ( CESPE - 2008 - INSS - Analista do Seguro Social - Ciência Atuariais ) Um cliente contraiu empréstimo em uma instituição financeira comprometendo-se a pagá-lo em 3 prestações mensais, iguais, consecutivas de R$ 1.870,00, vencendo a primeira prestação 1 mês após a tomada do empréstimo. A taxa de juros compostos praticada pela instituição financeira foi de 2% ao mês. Considerando essa situação, julgue os itens a seguir, supondo que Considere que, para facilitar o pagamento do empréstimo, diminuindo o valor da prestação e aumentando os prazos, o gerente da instituição tenha proposto ao cliente pagá-lo em 4 prestações iguais de R$ 1.470,00, a serem pagas daqui a 1, 3, 4 e 5 meses. Nessa situação, o valor atual dos planos de pagamentos são iguais, ou seja, nem a instituição financeira nem o cliente serão prejudicados quanto a valores monetários. • ( ) Certo ( ) Errado 3 - ( FCC - 2008 - MPE-RS - Assessor - Área Administração ) Considere que em uma mesma data: I. Antônio aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante 15 meses. II. Paulo aplicou um determinado capital a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre, durante um ano. O valor do montante da aplicação realizada por Antônio superou em R$ 7.004,00 o valor do montante correspondente ao de Paulo. Então, o valor do capital que Paulo aplicou no início foi de • a) R$ 12.500,00. • b) R$ 17.500,00. • c) R$ 16.500,00. • d) R$ 15.000,00. • e) R$ 16.200,00. 4 - ( CESGRANRIO - 2008 - ANP - Analista Administrativo ) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, em reais, será • a) 10.612,08 • b) 10.620,00 32
  • 30. • c) 10.822,34 • d) 10.888,34 • e) 10.913,56 5 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Especialista em Regulação - Economia ) Um comerciante dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa de juros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo de investimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, com vencimento daqui a 4 meses. Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155 como valor aproximado para No referido banco, a taxa de juros efetiva bimestral para desconto racional composto é menor que 10%. • ( ) Certo ( ) Errado 6 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Especialista em Regulação - Economia ) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante não são suficientes para o pagamento do título hoje. • ( ) Certo ( ) Errado 7 - ( CESPE - 2009 - ANTAQ - Especialista em Regulação - Economia ) Se o comerciante aplicar hoje todo o dinheiro no fundo de investimentos do banco, então poderá saldar sua dívida daqui a 2 meses e ainda lhe restarão R$ 1.025,00. • ( ) Certo ( ) Errado 8 -( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa ) Pedro Santos entrou na justiça contra uma empresa construtora por quebra de contrato, pois, mesmo tendo pago o serviço contratado, este sequer havia sido começado. Após o julgamento, foi decidido que a empresa construtora pagaria a Pedro Santos uma indenização de R$ 100.000,00, além de multa contratual e mais um valor a título de dano moral. Na decisão judicial constou que, na data do pagamento, o valor de R$ 100.000,00 correspondente à indenização deveria ser corrigido a uma taxa nominal de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal, contados a partir de 1.º de janeiro de 2002. Considerando essa situação hipotética e tomando 1,13 como valor aproximado para (1,02)6, julgue os itens seguintes. 33
  • 31. Se, com honorários de advogados, tiverem sido gastos R$ 15.000,00, e essa soma tiver correspondido a 12% do valor recebido por Pedro Santos, é correto afirmar que o valor da indenização paga foi superior a R$ 126.000,00. • ( ) Certo ( ) Errado 9 - ( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa ) As taxas de juros compostos de 24% ao ano e de 2% ao mês são taxas proporcionais. • ( ) Certo ( ) Errado 10 - ( CESPE - 2008 - TJ-DF - Analista Judiciário - Área Administrativa ) Ainda considerando a situação hipotética anterior e o valor numérico de aproximação mencionado, julgue os itens que se seguem. Uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização anual, é equivalente a uma taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral. • ( ) Certo ( ) Errado GABARITO: 1-X 2-E 3-D 4-A 5-E 6-E 7-C 8-E 9-C 10 - E Questões de Concursos – Parte 2 1 - ( CESPE - 2009 - TCE-AC - Analista de Controle Externo - Ciências Contábeis ) Em um supermercado, um cliente comprou determinado produto e, na hora de pagar, o operador do caixa registrou um valor 9% superior ao preço impresso na etiqueta do produto. Para corrigir o erro, o operador do caixa efetuou um desconto de R$ 9,81 sobre o preço registrado, de modo que o cliente pagasse apenas o valor impresso na etiqueta. Nessa situação, o valor em reais registrado na embalagem do produto era igual a • a) 106,50. • b) 109. • c) 110,50. • d) 112. • e) 113,35. 34
  • 32. 2 - ( FCC - 2010 - DNOCS - Administrador ) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a • a) R$ 1.260,00. • b) R$ 1.268,80. • c) R$ 1.272,60. • d) R$ 1.276,40. • e) R$ 1.278,90. 3 - ( FGV - 2009 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1 ) O valor presente de um título que paga o valor de R$ 500,00 todo mês, perpetuamente, a uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros compostos, é de: • a) R$ 500,00. • b) R$ 5.000,00. • c) R$ 50.000,00. • d) R$ 100.000,00. • e) R$ 25.000,00. 4 - ( CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade ) Um título no valor de R$ 20.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontado a uma taxa de 4% ao mês (desconto simples). O valor do desconto monta, em reais, a • a) 880,00 • b) 960,00 35
  • 33. • c) 1.240,00 • d) 1.980,00 • e) 2.400,00 5 - ( CESGRANRIO - 2009 - TermoMacaé - Técnico de Contabilidade ) A Empresa Deltamática Ltda. descontou no banco um título no valor de R$ 18.000,00, com prazo de vencimento de 3 meses, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. O valor líquido liberado pelo banco, em reais, foi de • a) 16.861,40 • b) 16.941,45 • c) 16.941,77 • d) 17.123,56 • e) 17.899,99 6 - ( FUNIVERSA - 2009 - ADASA - Advogado ) Paulo tem R$ 1.200,00 e pretende adquirir uma bicicleta que hoje custa R$ 1.560,00. O gerente da loja informou que o próximo aumento de preços ocorrerá daqui a quatro meses. Paulo resolveu, então, aplicar o dinheiro em um investimento que remunera em 10% ao mês (capitalização composta) com o a intenção de adquirir a bicicleta daqui a três meses. A respeito dessa situação hipotética, assinale a alternativa correta, considerando o resultado ao final de três meses. • a) Paulo terá a quantia exata para adquirir a bicicleta. • b) Sobrarão menos de cinquenta reais após a aquisição da bicicleta. • c) Sobrarão mais de cem reais após a aquisição da bicicleta. • d) Faltarão menos de dez reais para a aquisição da bicicleta. • e) Faltarão mais de trinta reais para a aquisição da bicicleta. GABARITO: 1-B 2-E 3-E 4-E 5-B 6-B 36
  • 34. Operações financeiras com cláusula de correção monetária - Cálculo do montante em operações financeiras pós-fixadas; Taxas nominais x taxas reais Como já vimos, o cálculo do montante em operações financeiras pós-fixada é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: C = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês M=? O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês. Mês capital inicio juros cor. montante final (t) mês (Pt) mês (Jt) mês (mt) 1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60 3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86 4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86 5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65 O valor do montante no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados. M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 .......... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão: M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21656 Þ m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos M = C ( 1 + i)n, em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único. Na calculadora HP12C a simbologia é a seguinte: 37
  • 35. PV = capital inicial FV = montante i = taxa n = prazo/tempo/período HP12C = 1.000,00 CHS PV 4 i 5 n FV = 1.216,65. 1 - Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês. Dados: C = 15.000,00 n = 9 meses i = 2% ao mês M=? Solução: M = C(1 + i)n M = 15.000,00 (1 + 0,02)9 M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35 O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples, ou único, cuja conceituação é a mesma já definida para capitalização simples, tem sua fórmula de cálculo deduzida da fórmula, como segue. em que a expressão é chamada Fator de valor atual para pagamento simples (ou único) 2 - A loja “Topa Tudo” financia um bem de consumo de uso durável no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: M = 52.512,15 C =16.000,00 n = 27 meses i=? Solução: M = C (1 + i)n 52.512,15 = 16.000,00(1 + i )27 52.512,15 / 16.000,00 = (1 + i)27 3,28201 = (1 + i)27 i = 3,282011/27 i = 1,045 = 1,045 - 1 x 100 = 4,5% ao mês. HP12C = 52.512,15 FV 16.000,00 CHS PV 27 n i = 4,5% ao mês Taxas nominais x taxas reais 38
  • 36. Na hora de contratar um financiamento ou pagar alguma dívida o consumidor deve ficar atento se a taxa estipulada em contrato é nominal ou efetiva. Muitas vezes, sem saber a diferença, ele acaba pagando mais do que esperava. Os contratos de financiamento, em geral, informam a taxa de juros nominal. Entretanto, a que realmente vigora para o cálculo das prestações e do saldo devedor é a taxa real, que é sempre maior do que a primeira. Uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponderá, na prática, a uma taxa efetiva de 12,6825%. A taxa efetiva é aquela que realmente incide em determinada operação. Já a nominal é a taxa que é divulgada para um período. Mas a que sempre nos é cobrada é a efetiva. Quem pega um financiamento de 1 ano, com taxa nominal de 12% ao ano capitalizada mensalmente, estará pagando juros efetivos de 12,6825% por um motivo simples: no primeiro mês, será cobrado 1% de juro. No segundo, o juro também será de 1%, mas incidirá sobre o saldo do mês anterior (já somado ao juro do mês anterior), e assim sucessivamente. É que esses financiamentos são calculados no regime de juros compostos (juro sobre juro). Acompanhe o exemplo: Financiamento de R$ 1.000, em 12 meses, com taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. A taxa mensal será de 1%: Dívida no 1º mês: R$ 1.000 + 1% = R$ 1.010,00 Dívida no 2º mês: R$ 1.010,00 + 1% = R$ 1.020,10 Dívida no 3º mês: R$ 1.020,10 + 1% = R$ 1.030,30 Dívida no 4º mês: R$ 1.030,30 + 1% = R$ 1.040,60 Dívida no 5º mês R$ 1.040,60 + 1% = R$ 1.051,01 Dívida no 6º mês R$ 1.051,01 + 1% = R$ 1.061,52 Dívida no 7º mês R$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.072,13 Dívida no 8º mês 39
  • 37. R$ 1.061,52 + 1% = R$ 1.082,85 Dívida no 9º mês R$ 1.082,85 + 1% = R$ 1.093,68 Dívida no 10º mês R$ 1.093,68 + 1% = R$ 1.104,62 Dívida no 11º mês R$ 1.104,62 + 1% = R$ 1.115,67 Dívida no 12º mês R$ 1.115,67 + 1% = R$ 1.126,82 Agora, basta fazer o cálculo: quem pegou um financiamento de R$ 1.000 e desembolsou, no fim do prazo R$ 1.126,82, pagou 12,68% de juros, e não 12% como informado. Se a taxa efetivamente cobrada tivesse sido de 12%, a dívida final seria de R$ 1.120,00. É importante que o tomador de empréstimo peça sempre o cálculo da taxa efetiva. Se for um financiamento de um imóvel, por exemplo, que tem prazo longo, a diferença final é realmente muito grande. No caso de um financiamento em 25 anos, com juros nominal de 12% ao ano pagará, de taxa efetiva, um total de 1.878,84%. Se a taxa nominal anunciada estivesse mesmo valendo, o juro seria bem menor: 300%. Diferença prática entre a taxa nominal e a efetiva: TAXA NOMINAL TAXA REAL (EFETIVA) 12% ao ano, capitalizados mensalmente 12,6825% ao ano 6% ao ano, capitalizados mensalmente 6,1678% ao ano 12% ao semestre, capitalizados mensalmente 12,6162% ao semestre 9% ao trimestre, capitalizados mensalmente 9,2727% ao trimestre 4% ao mês, capitalizados diariamente (dias úteis) 4,0773% ao mês Veja a diferença conceitual de cada uma das taxas: Taxa real o efetiva – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Assim, são taxas efetivas: 3% ao mês, capitalizados mensalmente; 4% ao mês, capitalizados mensalmente, e assim por diante. Taxa nominal – É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais ou mensais. Exemplos de taxas nominais: 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados mensalmente. 40
  • 38. Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes; Cálculo do valor futuro, do valor presente, do valor dos pagamentos de uma série variável e de uma uniforme de pagamentos; A equivalência financeira de séries de pagamentos. Mais um tópico cobrado no edital que já vimos boa parte na apostila. Valor presente e valor futuro Na fórmula S = P (1 + I) n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante S é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). Aliás, estas são as designações utilizadas na máquina HP12C. A fórmula anterior pode então ser escrita: FV = PV (1 + I) n e, como conseqüência, vem imediatamente que: Isto pode ser representado graficamente através da figura abaixo, que representa um diagrama de fluxo de caixa, assunto que abordaremos mais detalhadamente na seqüência do assunto. Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxa de juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer da apostila. É conveniente registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta para baixo, sinal negativo (dinheiro pago). Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a calculadora HP 12C. Normalmente, ao entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o fazemos seguindo esta convenção, mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que significa uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal". É conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um valor negativo e vice versa, já que as calculadoras financeiras, e aí inclui-se a HP 12C, foram projetadas, considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e em conseqüência, sinal positivo para FV. Voltemos agora ao uso da calculadora HP12C Apresentaremos a seguir a seqüência de comandos na HP12C, para determinação de PV (valor presente), FV (valor futuro), i (taxa de juros) e n (número de períodos). Cálculo de FV 41
  • 39. • digite o valor presente PV • tecle CHS Nota: o CHS - abreviatura de change signal - muda o sinal para armazenar o valor de PV (present value) dinheiro pago, conforme convenção. • tecle PV • digite 0 • tecle PMT • digite a taxa i ( em %; ex.: i = 12% , digite 12) • tecle i • digite o número de períodos n • tecle n • tecle FV Resposta no visor: o valor futuro procurado. NOTA: Por enquanto, não se preocupe com a tecla PMT, que será explicada adiante. Basta saber que PMT é uma abreviação de payment , que significa pagamento, em inglês. O algarismo 0 (zero) digitado antes de teclar PMT, significa que você anulou o pagamento periódico PMT, uma vez que realmente êle não ocorreu. Cálculo de PV • entre com o valor de FV • CHS ......FV • 0 • PMT • entre com o valor de n • tecle n • entre com o valor de i • tecle i • tecle PV Cálculo de n • entre com o valor de PV • CHS ......PV • 0 • PMT • entre com o valor de FV 42
  • 40. • tecle FV • entre com o valor de i • tecle i • tecle n Cálculo de i • entre com o valor de PV • CHS PV • 0 • PMT • entre com o valor de FV • tecle FV • entre com o valor de n • tecle n • tecle i Séries de pagamentos - Séries variáveis e séries uniformes; Cálculo do valor futuro, do valor presente, do valor dos pagamentos de uma série variável e de uma uniforme de pagamentos; A equivalência financeira de séries de pagamentos As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos X1, X2, X3..., Xn, e com vencimentos sucessivos t1, t2, t3..., tn Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no final de cada período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos antecipados). Este entendimento é de fundamental importância. 43
  • 41. No dia-a-dia podemos verificar vários apelos de consumo e de poupança através de planos de pagamentos que se adaptam aos mais diversos orçamentos. Onde são possíveis através do parcelamento ou recomposição de débitos. O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimentos. Define-se série, renda, ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo de uma renda e conforme sejam iguais ou não, a série se denominará, respectivamente, uniforme ou variável. Se os pagamentos forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a série se denominará periódica; em caso contrário, se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série se denominará não-periódica. Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxa de juros, teremos uma série antecipada, caso contrário, ela será diferida. Teremos uma série temporária ou uma perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. As séries periódicas e uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas. Séries Postecipadas São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte: PV 0 1 2 3 4 ... n PMT PMT PMT PMT ... PMT O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. O valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série. Valor presente dos termos da série: PV = FV PMT1 PMT2 PMTn + + ... + 2 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n Resumindo esta fórmula através da soma dos termos progressão geometria, tem-se a seguintes fórmulas: Encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual – FVA;  (1 + i )n − 1 PV = PMT ×  n   i × (1 + i )  44
  • 42. Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;  (1 + i )n − 1 FV = PMT ×   i   Encontrar o valor da PMT existe duas fórmulas, onde a primeira é utilizando quando se tem o PV e a segunda quando se tem o FV; Fator de recuperação de capital – FRC  i × (1 + i )n  PMT = PV ×   n  (1 + i ) − 1 Fator de acumulação de capital – FAC   i PMT = FV ×   n  (1 + i ) − 1 Exemplo: Calcular o valor do montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Séries Antecipadas São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são efetuados no início de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte: PV 0 1 2 3 4 ... n As fórmulas para encontras PV, PMT, FV, possuem uma pequena diferença das séries postecipada, apresentam (1+i), ou seja, parte paga na data Zero. São elas: PMT PMT PMT PMT PMT ... PMT FV Encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual – FVA;  (1 + i )n − 1 PV = PMT × (1 + i ) ×  n   i × (1 + i )  Encontrar o valor futuro ou Fator de formação de capital – FFC;  (1 + i )n − 1 FV = PMT × (1 + i ) ×   i   Fator de recuperação de capital – FRC  i × (1 + i )n  1 PMT = PV × ×  (1 + i )  (1 + i )n − 1 Fator de acumulação de capital – FAC 45
  • 43. PMT = FV ×   1 i ×  (1 + i )  (1 + i )n − 1 Exemplo: Calcular o valor do montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos antecipado, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Séries diferenciadas São aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento só é efetuado depois de decorridos períodos de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representação gráfica é a seguinte: Caso de postecipado: Caso de antecipado: PV PV 0 1 2 3 4 5 ... n PMT PMT ... PMT C arê nc 0 1 2 3 4 5 ... n PMT PMT PMT ... PMT C arê nc ia ia FV FV Exemplo: Calcular o valor do montante, no final de 2,5 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos antecipado e postecipados. Apresentando 6 meses de carência, sem o pagamento de juros, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. Série perpetua No caso de os pagamentos ou recebimentos serem infinitos, teremos então o que se denomina de perpetuidade; como o número de pagamentos é infinito, não tem sentido o cálculo do montante, mas podemos calcular o valor presente. Assim, tem-se que: PMT = PV × i Postecipado PV × i (1 + i ) Antecipado PMT = 46
  • 44. Situação Problema Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco? Solução: R = 500 (valor da parcela mensal) i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008 n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais 47
  • 45. Utilizando a expressão (1): VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58 Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão: Situação Problema Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos. Solução: n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres VF = 25.000 (valor futuro) i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo Utilizando a expressão (2), temos: R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035)20 -1]} = 884,03 Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser pago em prestações uniformes e periódicas. Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação , substituindo o VF da 48
  • 46. expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo: VP R R R R R n Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme Situação problema Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendose que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m. Solução: n = 6 (número de parcelas mensais) R = 200 (valor de cada parcela mensal) i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo. VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14 Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade. Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão: 49
  • 47. Situação Problema: Uma pessoa adquire um freezer por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m. Solução: Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500; Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05 n = 4 parcelas mensais Usando expressão (4) temos: R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141 SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos. 50
  • 48. Situação problema: Um eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado? Esquematicamente temos: VP (valor financiado) 0 1 2 3 4 5 Meses Apostilas Aprendizado Urbano – Todos os direitos reservados 51
  • 49. 100 100 100 100 100 100 (note que a primeira parcela está sendo paga a vista) 6 parcelas mensais Dados: VP = ? n=6 i = 5% mês R = 100 por mês Solução: Perpetuidade A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc. 52
  • 50. O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão (3), com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula. (5) Situação problema Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m. Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5) chega-se ao seu valor teórico: VP= 1.000 / 0,01 = 100.000 Agora resolva este ! Supondo que o tempo tende ao infinito P = R/i Qual o valor equivalente de uma perpetuidade mensal de R$ 100,00 sendo i 0,05? P = 100/0,05 = 2000 É equivalente receber então R$ 2000 a vista ou R$ 100 por mês, eternamente 53
  • 51. Sistemas de amortização - Sistema americano (método do pagamento periódico dos juros); Sistema price (método das prestações constantes); Sistema sac (método das amortizações constantes); Sistema price com prazo de carência. Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor! Os principais sistemas de amortização são: 1. Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no final. 2. Sistema de Pagamentos variáveis: Vários pagamentos diferenciados. 3. Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados período a período. 4. Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período. 5. Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos (prestações) são iguais. 6. Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. 7. Sistema Alemão: Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação. Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é: Pagamento = Amortização + Juros Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%. Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados: Sistema de Amortização n Juros Amortização do Pagamento Saldo devedor 54
  • 52. Saldo devedor 0 300.000,00 1 2 3 4 5 0 Totais 300.000,00 Sistema Americano O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período. Sistema Americano n Juros 0 0 1 Amortização do Pagamento Saldo devedor Saldo devedor 0 0 300.000,00 12.000,00 12.000,00 300.000,00 2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00 Sistema Price (Sistema Francês) Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece: 55
  • 53. P = K × Vf = 67.388,13 Sistema Price (ou Sistema Francês) Amortização do Pagamento Saldo devedor Saldo devedor n Juros 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 Prazo de carência Considerando uma anuidade antecipada, é o intervalo existente entre a data do início do financiamento (data zero) e a data da primeira amortização, desde que esse prazo seja, no mínimo, o dobro do menor período de amortização. Vamos explicar melhor: consideraremos prazo de carência se o primeiro pagamento ocorrer do período 2 em diante, pois se ocorrer no período 1 consideraremos que os pagamentos são postecipados. Sistema de Amortização Constante (SAC) O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação Sistema de Amortização Constante (SAC) Amortização do Pagamento Saldo devedor Saldo devedor n Juros 0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 56
  • 54. Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 Análise de investimentos (introdução) - Métodos de avaliação de investimentos; Taxa interna de retorno; Valor presente líquido. Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas A análise de investimentos envolve decisões de aplicação de recursos com prazos longos (maiores que um ano), com o objetivo de propiciar retorno adequado aos proprietários desse capital. Orçamento de capital é um processo que envolve a seleção de projetos de investimento e a quantificação dos recursos a serem empregados e busca responder a questões como: 1. O projeto vai se pagar? 2. O projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai diminuí-la? 3. Esta é a melhor alternativa de investimentos? O orçamento de capital requer uma estimativa de fluxos de caixa livres que serão obtidos com o projeto de análise. As previsões de investimentos em ativos, de vendas, também de preços, de custos e despesas devem ser elaboradas da forma mais realista a acurada possível. De qualquer modo, a incerteza em orçamentos de capital é elevada, pois envolve cenários econômicos e políticos de longo prazo. Os métodos mais comuns de avaliação de projetos de investimento são: • Payback; • Payback descontado; • Valor presente líquido – VPL; • Taxa interna de retorno – TIR. Payback é o período de tempo necessário para que as entradas de caixa do projeto se igualem ao valor a ser investido, ou seja, o tempo de recuperação do investimento realizado. Se levarmos em consideração que quanto maior o horizonte temporal, maiores são as incertezas, é natural qu as empresas procurem diminuir seus riscos optando por projetos que tenham um retorno do capital dentro de um período de tempo razoável. Payback Descontado é o período de tempo necessário para recuperar o investimento, avaliando-se os fluxos de caixa descontados, ou seja, considerando-se o valor do dinheiro no tempo. O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL, leva em conta o valor do dinheiro no tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente. O VPL de um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise, descontado pelo custo médio ponderado de capital. A Taxa Interna de Retorno – TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao valor a ser investido em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que iguala o VPL de um projeto a zero. Um aspecto que deve ser considerado é que a utilização exclusiva da TIR como ferramenta de análise pode 57
  • 55. levar ao equívoco de se aceitar projetos que não remuneram adequadamente o capital investido, por isso deve ser uma ferramente complementar à análise. Análise entre dois Investimentos Se tivermos dois Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona; maior retorno ao investidor, isto é: Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2 Análise entre dois Financiamentos Se tivermos dois Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona o menor retorno para a pessoa que financiou, isto é: Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2 A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV) Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades:  Operação com parcelas iguais (Begin)  Operação com parcelas iguais (End)  Operação com parcelas diferentes Operação com parcelas iguais (Begin): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela: t 0 1 2 3 4 ... n-1 n Renda R Tomando u=1+i, poderemos escrever: R R R R R R 0 NPV = R + R/u + R/u²+ R/u³ +...+ R/un-1 ou a forma mais simples NPV = R [un - 1]÷[iun-1] Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0? Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos: NPV = 100 [(1,015)24 - 1]÷[0,015(1,015)23] = 2.033,09 Operação com parcelas iguais (End): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante N 58
  • 56. períodos, com uma renda r em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo de caixa aparece na tabela: t 0 1 2 3 4 ... n-1 n Renda 0 Tomando u=1+i, poderemos escrever: R R R R R R R NPV = R/u + R/u²+ R/u³+...+R/un ou na forma mais simples NPV = R.[un - 1]÷[i.un] Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, por n=24 meses, à taxa de i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1? Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos: NPV = 100 [(1,015)24 - 1] ÷[0,015 (1,015)24]= 2.003,04 Operação com parcelas diferentes: Tomemos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser visto na tabela: t 0 Renda R0 Tomando u=1+i, poderemos escrever: 1 2 3 4 ... n-1 R1 R2 R3 R4 ... Rn-1 NPV = Ro + R1/u1 + R2/u² + R3/u³ +...+ Rn-1/un-1 Exemplo: Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês. Tempo 0 1 2 3 4 Renda 0 1.000 2.000 1.500 2.500 Tomando u=1+i=1,0125, obteremos: NPV = 1000/u + 2000/u² + 1500/u³ +2500/u4 = 6.762,51 59
  • 57. Questões de Concursos 1 - ( FGV - 2010 - SEFAZ-RJ - Fiscal de Rendas - Prova 1 ) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: • a) R$ 525,68. • b) R$ 545,34. • c) R$ 568,24. • d) R$ 576,19. • e) R$ 605,00. 2 - ( FCC - 2009 - SEFAZ-SP - Agente Fiscal de Rendas - Prova 1 ) A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período: O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções: I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a • a) R$ 9.500,00 • b) R$ 9.180,00 • c) R$ 8.550,00 • d) R$ 8.330,00 • e) R$ 8.150,00 60
  • 58. 3 - ( CESPE - 2009 - TCE-AC - Analista de Controle Externo ) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi • a) inferior a 16.800. • b) superior a 16.800 e inferior a 17.300. • c) superior a 17.300 e inferior a 17.800. • d) superior a 17.800 e inferior a 18.300. • e) superior a 18.300. GABARITO: 1-D 2-D 3-B 61

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