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  • 1. CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAISCurso Pró-TécnicoDisciplina:MatemáticaTexto Experimental – 1a Edição Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira Varginha – Minas Gerais Dezembro de 2006
  • 2. Álgebra Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif GeometriaFonte: http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif
  • 3. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - VarginhaMATEMÁTICA I Prof. Antônio José Bento Bottion ÍNDICE1. TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 6 1.1. SIMBOLOGIA ....................................................................................................................................... 6 1.2. CONCEITOS PRIMITIVOS ...................................................................................................................... 6 1.3. REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO .................................................................................................. 7 1.4. MAIS DOIS POSTULADOS ..................................................................................................................... 8 1.5. DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO.............................................................................................................. 8 1.6. TEOREMAS ......................................................................................................................................... 9 1.7. COMPLEMENTAR............................................................................................................................... 10 1.8. CONJUNTO UNIVERSO ....................................................................................................................... 10 1.9. UNIÃO .............................................................................................................................................. 11 1.10. INTERSECÇÃO .................................................................................................................................. 12 1.11. DIFERENÇA ...................................................................................................................................... 13 1.12. PAR ORDENADO................................................................................................................................ 15 1.13. PRODUTO CARTESIANO ..................................................................................................................... 152. CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................. 17 2.1. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS ........................................................................................ 17 2.2. NÚMEROS RACIONAIS........................................................................................................................ 17 2.3. NÚMEROS IRRACIONAIS..................................................................................................................... 19 2.4. NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................... 19 2.5. TEOREMAS ....................................................................................................................................... 19 2.6. OUTRAS NOTAÇÕES .......................................................................................................................... 21 2.7. INTERVALOS ..................................................................................................................................... 213. ARITMÉTICA DOS INTEIROS ............................................................................................................... 23 3.1. MÚLTIPLO E DIVISOR ......................................................................................................................... 23 3.2. NÚMERO PAR ................................................................................................................................... 23 3.3. TEOREMA ......................................................................................................................................... 25 3.4. NÚMERO PRIMO ................................................................................................................................ 26 3.5. NÚMERO COMPOSTO ........................................................................................................................ 26 3.6. TEOREMA ......................................................................................................................................... 26 3.7. FORMA FATORADA ............................................................................................................................ 28 3.8. DIVISÃO EUCLIDIANA ......................................................................................................................... 30 3.9. MÁXIMO DIVISOR COMUM .................................................................................................................. 31 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  • 4. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha 3.10. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI .............................................................................................................. 32 3.11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................................................. 32 3.12. TEOREMA ......................................................................................................................................... 334. TÉCNICAS DE FATORAÇÃO................................................................................................................ 34 4.1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA .................................................................................................................... 34 4.2. VALOR NUMÉRICO ............................................................................................................................. 34 4.3. FATORAR – DESENVOLVER ............................................................................................................... 35 4.4. CASOS DE FATORAÇÃO ..................................................................................................................... 365. POTENCIAÇÃO...................................................................................................................................... 46 5.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 46 5.2. DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 47 5.3. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ....................................................................................................... 49 5.4. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ........................................................................................................ 50 5.5. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................................ 53 5.6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................................................ 55 5.7. RESUMO .......................................................................................................................................... 566. RADICIAÇÃO ......................................................................................................................................... 58 6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 58 6.2. GENERALIZAÇÃO .............................................................................................................................. 58 6.3. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 59 6.4. PROPRIEDADES DOS RADICAIS........................................................................................................... 61 6.5. REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE .......................................................................................... 64 6.6. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................. 65 6.7. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL ................................................................................................... 66 6.8. RADICANDO NEGATIVO ...................................................................................................................... 67 6.9. PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 687. EQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................................................................................................................... 69 7.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 69 7.2. RAIZ DA EQUAÇÃO ............................................................................................................................ 69 7.3. CONJUNTO SOLUÇÃO ........................................................................................................................ 70 7.4. FÓRMULA RESOLUTIVA ...................................................................................................................... 70 7.5. OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 70 7.6. EQUAÇÕES INCOMPLETAS ................................................................................................................. 72 7.7. A FORMA FATORADA ......................................................................................................................... 72 7.8. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES........................................................................................................... 73 7.9. EQUAÇÕES BIQUADRADAS ................................................................................................................. 758. TEORIA DAS FUNÇÕES ....................................................................................................................... 77 8.1. FUNÇÃO DE A EM B .......................................................................................................................... 77 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  • 5. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha 8.2. UMA OUTRA NOTAÇÃO....................................................................................................................... 78 8.3. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL............................................................................. 80 8.4. CONJUNTO IMAGEM .......................................................................................................................... 81 8.5. GRÁFICO .......................................................................................................................................... 83 8.6. CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO......................................................................................................... 85 8.7. CONJUNTO SIMÉTRICO ...................................................................................................................... 87 8.8. PARIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................... 879. A FUNÇÃO DO 1° GRAU....................................................................................................................... 89 9.1. FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ............................................................................................................. 89 9.2. TEOREMA ......................................................................................................................................... 9210. A FUNÇÃO DO 2° GRAU .................................................................................................................. 94 10.1. FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 94 10.2. A PARÁBOLA..................................................................................................................................... 94 10.3. CONSIDERAÇÕES.............................................................................................................................. 96 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  • 6. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1. Teoria dos conjuntos1.1. Simbologia Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos: Símbolo Leia-se (∀ x ) para todo x (∃ x ) existe x (∃ x ) existe um único x P⇒Q se P, então Q P⇔Q P se, e somente se, Q Na implicação P ⇒ Q , deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se aproposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença ( x > 5 ) ⇒ ( x > 3) éVERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que 3, enquanto que a sentença( x > 3) ⇒ ( x > 5) é FALSA, pois existem números maiores que 3, que não são maiores que 5. A bi-implicação P ⇔ Q é equivalente à sentença ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) . Assim, por exemplo, x = 5 ⇔ x + 1 = 6 é uma sentença verdadeira, pois as sentençasx = 5 ⇒ x + 1 = 6 e x + 1 = 6 ⇒ x = 5 são ambas verdadeiras.1.2. Conceitos primitivos O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos: − conjunto − elemento de um conjunto − igualdade de conjuntos Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A (leia-se também xpertence a A.) A notação x ∉ A significa que x não é elemento do conjunto A. É importante observar que acima não consta o conceito de “elemento”, e sim o conceito de“elemento de um conjunto”. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-seapenas se x é ou não elemento de um dado conjunto. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6
  • 7. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.3. Representações de um conjunto Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), sãousadas as seguintes representações: − {e1, e2, ..., en}, onde e1, e2, ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição. − {x ∈A :S ( x )} , onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por finalidade selecionar elementos de A; por exemplo, {x ∈A :x > 5} . Adotaremos também o seguinte postulado: Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então osconjuntos A e B são iguais.Exemplo 1 {1, 2} = {2,1} e {1, 2} = {1, 2,1, 2, 2}Exemplo 2 Sendo ℕ = {0,1, 2,...,10,11,...} o conjunto dos números naturais, quantos são oselementos do referido conjunto: {x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} ? 2x + 5 ≤ 17 ⇒ 2x ≤ 12 e 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6 Tem-se então que x ≤ 6 e x ∈{0,1, 2,3, 4,5, 6} . Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7elementos.Resposta: 7.Exemplo 3 Quais são os elementos do conjunto ℕ dos números naturais que satisfazem à condiçãoS(x) :x + 2 ≤ 1 ? x + 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ −1 Repare que não há número natural que satisfaz tal condição.Resposta: Nenhum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 7
  • 8. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.4. Mais dois postulados Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o“nada”, como no último exemplo, vamos estabelecer que: Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos,sem preferência por { } ou por ∅ (Postulado). Sendo assim, podemos voltar ao item 2 e obter maior precisão, se ficar estabelecido que: Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos umavez sem ser introduzida por “existe x”, nem por “para todo x”, existe sempre um conjunto B tal queB = {x ∈ A : S ( x )} (Postulado). Assim, {x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} = {0,1, 2,3, 4,5, 6} e {x ∈ℕ :x + 2 ≤1} = { } = ∅1.5. Definição de subconjunto Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todoelemento de B é elemento de A. Notação: B ⊂ A (leia-se B está contido em A). A B B ⊂ A ⇔ ( ∀x )( x ∈ B ⇒ x ∈ A )Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn. Por outro lado, tem-se que B ⊄ A se, e somente se, existir pelo menos um elemento deB que não é elemento de A. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 8
  • 9. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Em símbolos: B ⊄ A ⇔ ( ∃x )( x ∈ B e x ∉ A )Exemplo 4 Dado o conjunto A = {1, 2,3, {3, 4}} , classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada umadas seguintes proposições:a) A possui quatro elementos ( )b) 1 ∈ A e 2 ∈ A ( )c) {1, 2} ⊂ A ( )d) {3, 4} ⊂ A ( )e) {{3, 4}} ⊂ A ( ) O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1, 2, 3 e o conjunto binário {3, 4} ;portanto, tem-se que 1 ∈ A , 2 ∈ A , 3 ∈ A e {3, 4} ∈ A . {1, 2} ⊂ A , pois 1 e 2 são elementos de A {3, 4} ⊄ A , pois 4 não é elemento de A {{3, 4}} ⊂ A , pois {3, 4} é elemento de A Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d).1.6. Teoremas Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A. Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que nãopertencesse a A (o que é absurdo). Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A. Pois todo elemento de A é elemento de A. Tem-se então que ( ∀A )( A ⊂ A ) , mesmo com A = { }. Repare ainda que a expressão “todo elemento de A” não implica que o conjunto A tenhaelementos. Assim, por exemplo, a afirmação “Toda tarefa deve ser cumprida.” não implica quehaja tarefa. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 9
  • 10. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo A e B conjuntos, tem-se que: A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B. Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de nAé2. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado “o conjunto das partes de A” e seráindicado por P(A).Exemplo 5 Dado o conjunto A = {1, 2,3} , obter o conjunto das partes de A. Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que o número de seus subconjuntos é 32 = 8. Os subconjuntos de A são:{ }{1} {2} {3}{1,2} {1,3} {2,3}AResposta:O conjunto das partes de A éP(A)= {{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}1.7. Complementar Dados os conjuntos A e B, com B ⊂ A , chama-se de complementar de B em relação a Aao conjunto: A B CBA = {x ∈ A :x ∉ B}1.8. Conjunto universo Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, quecontém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjuntouniverso. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 10
  • 11. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A aoconjunto: U A A = CA U = {x ∈ U :x ∉ A}Exemplo 6 Considerando como universo o conjunto U = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , e dados os conjuntosA = {1, 2,3, 4} e B = {2, 4} , tem-se que:O complementar de B em relação a A é CBA = {1,3} .O complementar de A em relação a A é CA A = { }.O complementar de B é B = {0,1, 3,5, 6} .O complementar de A é A = {0,5, 6} .1.9. União Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com Bao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A B U A ∪ B = {x ∈ U :x ∈ A ou x ∈ B}Exemplo 7a) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4,5} = {1, 2,3, 4,5}b) {3, 4,5} ∪ {1, 2,3, 4} = {1, 2,3, 4,5} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 11
  • 12. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginhac) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2,3, 4}d) {1, 2,3, 4} ∪ { } = {1, 2,3, 4}Propriedades:A∪B = B∪AB⊂ A ⇒ A∪B = AA ∪{ }=A( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C1.10. Intersecção Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B aoconjunto dos elementos comuns a A e B. A B U A ∩ B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∈ B}Exemplo 8a) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4,5} = {3, 4}b) {3, 4,5} ∩ {1, 2,3, 4} = {3, 4}c) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}d) {1, 2,3, 4} ∩ { } = { }Propriedades:A∩B = B∩AB⊂ A ⇔ A∩B = BA ∩{ }={ }( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C ( A ∩ B) ⊂ ( A ∪ B) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 12
  • 13. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.11. Diferença Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nestaordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. A B U A − B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∉ B} Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B emrelação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A.Exemplo 9a) {1, 2,3, 4} − {3, 4,5} = {1, 2}b) {3, 4,5} − {1, 2,3, 4} = {5}c) {1, 2} − { } = {1, 2}d) { } − {1, 2} = { }Propriedades:( A − B) ⊂ AA −{ }=A{ }−A ={ }B ⊂ A ⇔ A − B = CBAA − ( A ∩ B) = A − BExemplo 10 Dados os conjuntos A = {1, 2,3, 4} e B = {3, 4,5, 6, 7} , obter os conjuntos A ∩ B ,A ∪B, A − B e B− A .A ∩ B = {3, 4}A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}A − B = {1, 2}B − A = {5, 6, 7} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 13
  • 14. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 11 Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é A = {e, f , g, h,i}A ∪ B = {a, b, c, d, e, f , g}A ∩ B = {c, d} Obter os conjuntos A e B. A ∩ B = {c, d} ⇒ c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum. a ∉ A ⇒ a ∈ A e a ∉ ( A ∩ B) Logo, a ∈ ( A − B) . Analogamente, conclui-se que b ∈ ( A − B) . e∈A ⇒ e∈A e e ∉ ( A ∪ B) Logo, e ∈(B − A) . Analogamente para f, g. Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a A ∪B.Resposta: A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f ,g}Exemplo 12 Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção,constatou-se que:300 alunos acertaram somente um dos problemas260 acertaram o segundo100 acertaram os dois210 erraram o primeiro Quantos alunos fizeram esta prova? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 14
  • 15. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResolução: Prb-1 Prb-2 x y z U Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima,segue que: x + z = 300 (1) y + z = 260 ( 2 ) y = 100 ( 3)z + w = 210 ( 4 ) Das equações (3) e (2) tem-se que z = 160. Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de xe w; x = 140 e w = 50. O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = 450.1.12. Par ordenado Sabemos que {a, b} representam o mesmo conjunto. No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para istoexiste o conceito de par ordenado. Definição: ( a, b ) = {{a} , {a, b}} Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição,é fácil concluir que, se a ≠ b , então ( a, b ) ≠ ( b, a ) , pois ( b, a ) = {{b} , {b, a}} , que é diferentede {{a} , {a, b}} .1.13. Produto cartesiano Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, aoconjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B. A × B = {( x, y ) : x ∈ A e y ∈ B}Exemplo 13 Dados os conjuntos A = {1, 2,3} e B = { 4,5} , obtenha os produtos cartesianos AXB, 2BXA e B =BXB. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 15
  • 16. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaA × B = {(1, 4 ) , (1,5 ) , ( 2, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 3,5 )}B × A = {( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5,3)}B2 = {( 4, 4 ) , ( 4,5 ) , ( 5, 4 ) , ( 5,5 )} Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode nãoser igual a BXA. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 16
  • 17. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha2. Conjuntos numéricos2.1. Números naturais e números inteiros O conjunto dos números naturais {0,1, 2,... , n, ...} será representado por ℕ , e oconjunto dos números inteiros {..., − 2, − 1, 0,1, 2, ...} , por ℤ . Repare que todo natural é inteiro,isto é, ℕ éum subconjunto de ℤ .2.2. Números racionais a Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde ba e b são inteiros quaisquer, com b ≠ 0.  5  −1  Assim, os números 5  =  e -0,333333...  =  são dois exemplos de números  1  3 racionais. O conjunto dos números racionais é expresso por ℚ. Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que ℤ ⊂ ℚ. ℤ ℕ ℚExemplo 1 Obter uma representação decimal para os números: 3 9a) b) 16 7Resolução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 17
  • 18. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha b) 9, 7a) 3, 16 20 1, 285714285714...285714... 30 0,1875 60 140 40 120 50 80 10 0 30 20 Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode serexpresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódicainfinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de umaseqüência de algarismos).Exemplo 2 Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes):a) -1,23456b) 5,644444...4...c) 5,645454545...45...Resolução: −1, 23456 −123456a) f= = 1 100 000b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II). Calculando a diferença (II) – (I):10f = 56, 44444...4... f = 5,644444...4... − 9f = 50,8 50,8 508 e, portanto, f= = 9 90c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando por 100, segue que 100f=564,54545454... (II). Calculando a diferença (II) – (I): 100f = 564,54545454... f= 5, 64545454... − 99f = 558,9 558, 9 5589 e, portanto, f= = 99 990Resposta: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 18
  • 19. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha −123456 508 5589a) b) c) 100 000 90 990 Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional. Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0,999...9... é uma outrarepresentação do número 1 (um).2.3. Números irracionais Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos denúmeros irracionais, podemos citar: π = 3,1415926535... 2 = 1, 4142135623... 3 = 1, 7320508075... a Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e bb ≠ 0.2.4. Números reais A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dosnúmeros reais ( ℝ ). Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais,de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um únicoponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéiaé construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos. Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real. -0,5 0,5 1,5 -1 0 1 22.5. Teoremas Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 19
  • 20. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha n− Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m ⋅ n e m são todos naturais. (Lembre-se 0 de que 0 = 1.)− Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h ⋅ k são todos inteiros. r r− Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r ⋅ s e são todos racionais. (Em , devemos ter s s s ≠ 0 .)− Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional.− Sendo r, r ≠ 0 , um racional e x um número irracional, tem-se que r ⋅ x é irracional. 1− Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que é irracional. x− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais.− Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais.Exemplo 3 Quantos são os elementos do conjunto {x ∈ ℕ /10 2 < x < 10 3 ? }Resolução: 2 = 1, 41... ⇒ 10 2 = 14,1... e 3 = 1, 73... ⇒ 10 3 =17, 3...Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17.Resposta: 3Exemplo 4 (G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:a) x ⋅ y é irracionalb) y ⋅ y é irracionalc) x + y é racionald) x − y + 2 é irracionale) x + 2y é irracionalResolução:Vejamos cada uma das alternativas:a) (FALSA) Se x for igual a zero, x ⋅ y = 0, que é racional.b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y = 3 , segue que y ⋅ y = 3 que é racional.c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional.d) (FALSA) Se y = 2 , x − y + 2 = x , que é racional.e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional.Resposta: e Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 20
  • 21. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 5 Mostre que o número 3 + 2 2 + 3 − 2 2 é irracional.Resolução:Seja x = 3+ 2 2 + 3− 2 2 .Observe que x é um número real positivo.Segue que:x2 = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + 2 (3 + 2 2 )(3 − 2 2 )x2 = 6 + 2 ( 3 + 2 2 )(3 − 2 2 )x2 = 6 + 2 9 − 8x2 = 8E como x > 0, tem-se que x = 2 2 , que é irracional.2.6. Outras notações Sendo A um dos conjuntos ℤ , ℚ ou ℝ , usaremos ainda as seguintes notações: A∗ para indicar {x ∈ A / x ≠ 0} A + para indicar {x ∈ A / x ≥ 0} (os não negativos) A∗ para indicar {x ∈ A / x > 0} (os positivos) + A − para indicar {x ∈ A / x ≤ 0} (os não positivos) A∗ para indicar {x ∈ A / x < 0} (os negativos) − Assim, por exemplo, ℝ + é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, oconjunto {x ∈ ℝ / x ≥ 0} .2.7. Intervalos Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de ℝ,chamados de intervalos: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 21
  • 22. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha [ a, b] = {x ∈ ℝ |a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado) ]a, b[ = {x ∈ ℝ |a < x < b} (intervalo aberto) [ a, b[ = {x ∈ ℝ |a ≤ x < b} (intervalo fechado só à esquerda) ]a, b] = {x ∈ ℝ |a < x ≤ b} [ a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a} ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} ]−∞, a ] = {x ∈ ℝ | x ≤ a} ]−∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a}Exemplo 6 Obter [ 2,10] ∩ ]5,12[ .Resolução: [ 2,10] : 2 10 ]5,12[ : 5 12 [ 2,10] ∩ ]5,12[ 5 10Resposta: ]5,10] Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 22
  • 23. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha3. Aritmética dos inteiros3.1. Múltiplo e divisor Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existirum inteiro k tal que m = k ⋅ d. Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m.3.2. Número par Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de 2. Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar.Exemplo 1 Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e +500.Resolução:Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -42, -35, ... , an), cujoprimeiro termo é a1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é an.Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500.Como a n = a1 + ( n − 1) ⋅ r , segue que:-49 + (n – 1) ⋅ 7 < 500-49 + 7n < 556O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79.Resposta: 79Exemplo 2 Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos.Resolução:Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo,tem-se que( x − 4 ) + ( x − 2 ) + x + ( x + 2 ) + ( x + 4 ) = 1995 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 23
  • 24. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5x = 1995 , ou ainda, x = 399.Resposta: 395 + 397 + 399 + 401 + 403Exemplo 3 2 Seja um inteiro tal que a é ímpar. Prove que a é ímpar.Demosntração: (Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = 2k, com k inteiro. 2 2 2Segue que a = 4n , ou seja, a é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese.Observações importantes: Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de 2, pode ser representado,indiferentemente, pela expressão 2k + 1, ou por 2k – 1, com k inteiro, pois sempre existem doisnúmeros pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro. Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18. Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de 3. Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma 3k + 1 e afirmar que x é daforma 3k – 1, onde k é um inteiro. Assim, por exemplo, o número 4 é da forma 3k + 1 e não da forma 3k – 1, enquanto onúmero 5 é da forma 3k – 1, sempre considerando k inteiro. Observe que todo inteiro não múltiplo de 3, ou é da forma 3k + 1, ou é da forma 3k–1. Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro: - Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas: 5k + 1, 5k – 1, 5k + 2, 5k - 2Exemplo 4 2 2 Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a ou o sucessor de aé um múltiplo de 5.Demosntração: Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k + 2. No primeiro caso, tem-se que: a 2 = 25k 2 + 10k + 4 , isto é, a 2 − 1 = 5 ( 5k 2 + 2k ) No segundo caso, tem-se que: a 2 = 25k 2 + 10k + 4 e, portanto: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 24
  • 25. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a 2 + 1 = 25k 2 + 10k + 5 = 5 ( 5k 2 + 2k + 1) (c.q.d.)3.3. Teorema Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y.Justificativa:Existe um inteiro k1 tal que x = d ⋅ k1Existe um inteiro k2 tal que x + y = d ⋅ k2Logo, d ⋅ k1 + y = d ⋅ k2 y = d ⋅ k2 - d ⋅ k1 y = d ⋅ (k2 – k1)Como k2 – k1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y.(c.q.d.)Exemplo 5 Obter os valores inteiros de n de modo que n + 3 seja um divisor de n + 13.Resolução:n + 3 é divisor de n + 11n + 3 é divisor de n + 3 + 8 (*)n + 3 é divisor de n + 3 (**)De (*) e (**) segue que:n + 3 é divisor de 8Portanto,n + 3 ∈ {1, 2, 4,8, −1, −2, −4, −8}n ∈ {−2, −1,1,5, −4, −5, −7, −11}Resposta: -2, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11.Exemplo 6 Mostre que um inteiro ℕ com quatro algarismos é múltiplo de 3 se, e somente se, a somados algarismos for múltiplo de 3.Demosntração: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 25
  • 26. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Seja ℕ = ( a, b,c, d ) , isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o dasdezenas e d o das unidades.ℕ = 1000a + 100b + 10c + dℕ = 999a + 99b + 9c + a + b + c + dℕ = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d1a parte: se a + b + c + d = 3m, então ℕ é obviamente múltiplo de 3.2a parte: se ℕ for um múltiplo de 3, isto é, ℕ = 3h, então 3h = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d 3h − 3 ( 333a + 33b + 3c ) = a + b + c + d Logo, a + b + c + d é múltiplo de 3. (c.q.d.)Observação: Esta regra de divisibilidade por 3 vale para todos os inteiros, independentemente donúmero de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por 9.3.4. Número primo Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuirquatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e –p.)3.5. Número composto Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados denúmeros compostos.Observações:− Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos.− Os números 2 e -2 são os únicos números primos e pares.− Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo.3.6. Teorema Existem infinitos números primos. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 26
  • 27. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaDemosntração: Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p1, p2, p3, ... , pn econsideremos o número p = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn + 1. Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é umnúmero composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p. Seja pk, com 1<k<n, este divisor. Como pk é divisor de p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn e pk é divisor de p, conclui-se que pk é divisor de 1,o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1. (c.q.d.)Exemplo 7 Verificar se 251 é primo.Resolução: O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como ocrivo de Erastótenes. Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superemo número 251. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (Note que 162 > 251) O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor donúmero 251. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não fordivisor, então seus números também não o serão. Note que 2 não é divisor de 251 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 também nãoserão. Vamos “eliminar” o número 2 e todos os seus múltiplos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Note que 3 não é divisor de 251 e, portanto, também podemos “eliminar” todos osmúltiplos de 3. Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até “eliminar” todos osnúmeros da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; casocontrário, o número é primo. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 27
  • 28. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResposta: 251 é primoObservação: A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte: Consideremos o produto d1 ⋅ d2. Se d1 > 15 e d2 > 15, então d1 ⋅ d2 > 251. Logo, se 251 admitisse um divisor d1, d1 > 15, deveríamos ter um inteiro d2, d2 < 15, demodo que d1 ⋅ d2 = 251, isto é, 251 teria um divisor menor ou igual a 15. Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 251 não admite divisor menorou igual a 15.Exemplo 8 4 2 Obter todos os inteiros a tais que a + a + 1 seja um número primo.Resolução:a 4 + a 2 + 1 = a 4 + 2a 2 + 1 − a 2 = ( a 2 + 1) − a 2 2 = ( a 2 + 1 − a )( a 2 + 1 + a )Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que umdos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos:a 2 + 1 − a = 1 ⇒ a = 1 ou a = 0a 2 + 1 − a = −1 ⇒ a não é int eiroa 2 + 1 + a = 1 ⇒ a = −1 ou a = 0a 2 + 1 + a = −1 ⇒ a não é int eiroOs valores encontrados foram 1, -1 e 0. 4 2Substituindo, conclui-se que a + a + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1.Resposta: 1 e -13.7. Forma fatorada Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma: a = + p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a > 0 , ou a = −p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a < 0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 28
  • 29. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha onde p1, p2, ... e pn são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α1, α2, ...,αn são números naturais não nulos.Exemplo 9 Qual a forma fatorada de 528?Resolução:528 2264 2132 2 66 2 33 3 11 11 1 4Resposta: 2 ⋅ 3 ⋅ 11Exemplo 10 3 4 Quantos divisores possui o número 5 ⋅ 11 ?Resolução:Consideremos os conjuntos:D1 = {50 , 51 , 52 ,53 } eD 2 = {110 ,111 ,112 ,113 ,114 }Repare que todo produto do tipo d1 ⋅ d2 com d1 ∈ D1 , d 2 ∈ D 2 e apenas estes produtos são 3 4divisores positivos de 5 ⋅ 11 .Para d1, temos (1 + 3) opções, e para d2 há (1 + 4) opções.Logo, existem (1 + 3)(1 + 4) = 20 divisores positivos. 3 4Consequentemente há 20 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de 5 ⋅ 11 .Resposta: 40Observação: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 29
  • 30. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo p1α1 p 2 α2 p 3α3 ...p n αn a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir queo número de divisores positivos de n é ( α1 + 1)( α 2 + 1) ... ( α n + 1) .3.8. Divisão euclidiana Dados dois inteiros n e d, com d ≠ 0 , efetuar a divisão de n por d significa obter doisinteiros q e r tais que n = d ⋅ q + r e 0≤r< d . Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente eresto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos.Exemplo 11 Efetuar a divisão de:a) 29 por 4b) 29 por -4c) -29 por 4Resolução: a) 29 4 b) 29 −4 c) −29 4 1 7 1 −7 3 −8Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor!Resposta:a) quociente 7, resto 1b) quociente -7, resto 1c) quociente -8, resto 3Exemplo 12 Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do restoda divisão de x por y.Demonstração: Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então:x = y⋅q + rSendo x = a ⋅ d e y = b ⋅ d , segue que:r = x − y = a ⋅ d − b ⋅ d = d (a − b) (c.q.d.)Exemplo 13 Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 27,deixam um resto igual ao quociente. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 30
  • 31. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResolução:x = 27r + r com 0 ≤ r ≤ 27 e x < 180x = 28rr ∈ {1, 2,3, 4,..., 26}x ∈ {28,56,84,112,140,168,196,... }Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: {28,56,84,112,140,168} .Resposta: {28,56,84,112,140,168}3.9. Máximo divisor comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b aomaior dos divisores que eles têm em comum. Notação: mdc(a,b)Exemplo 14 Calcular mdc(1750,1400).Resolução:1a maneira:1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71O maior divisor (ou fator) comum é21 ⋅ 52 ⋅ 71 = 350 .2a maneira (por divisões sucessivas):Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o últimodivisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.) 1750 1400 350restos: 350 0(O exemplo 12 justifica a validade deste processo.)Resposta: 350 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 31
  • 32. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 15 Calcular mdc(2048,1935).Resolução: 2048 1935 113 14 1restos: 113 14 1 0Resposta: 13.10. Números primos entre si Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1.Exemplo 16 Os números 2048 e1935 são primos entre si.Exemplo 17 Verificar se existe um inteiro k tal que 3k + 1 e 2k + 1 não sejam primos entre si.Resolução:Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que:3k + 1 = a ⋅ d (−2) 2k + 1 = b ⋅ d (3)−6k − 2 = −2a ⋅ d 6k + 3 = 3b ⋅ d + 1 = ( 3b − 2a ) ⋅ dComo d=1, conclui-se que os números 3k + 1 e 2k + 1 são primos para todo inteiro k.(Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.)Resposta: não3.11. Mínimo múltiplo comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b aomenor dos múltipos positivos que eles têm em comum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 32
  • 33. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Notação: mmc(a,b)Exemplo 18 Calcular mmc(1750,1400).Resolução: 1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71 O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é 23 ⋅ 53 ⋅ 71 .Resposta: 70003.12. Teorema Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que: mdc ( a, b ) ⋅ mmc ( a, b ) = a ⋅ b .Exemplo 19 Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 20 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160.Resolução:20 ⋅ k = 4 ⋅160 ⇒ k = 32 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71Resposta: 32 e -32 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 33
  • 34. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha4. Técnicas de fatoração4.1. Expressão algébrica Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos,quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação,parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, emque pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas. O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e aconcisão de linguagem. Observe o quadro abaixo: Exemplo: Expressão Algébrica: O dobro de um número 2x 2 O quadrado da soma de dois números (a + b) 2 2 A soma dos quadrados de dois números a +b A soma do quadrado de um número com o 2 n + 2n seu dobro4.2. Valor numérico Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e aseventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numéricoda expressão algébrica.Exemplo 1 2 2 Obter o valor numérico de a – b + ab para: a) a = 1 e b = 2 b) a = 2 e b = 1Solução: a) Substituindo a por 1 e b por 2, obtemos: 12 − 22 + (1)( 2 ) = 1 − 4 + 2 = −1 . b) Substituindo a por 2 e b por 1, obtemos: 22 − 12 + ( 2 )(1) = 4 − 1 + 2 = 5 .Exemplo 2 Sendo a = 3 e b = 4, obter o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1)Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 34
  • 35. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Substituindo a por 3 e b por 4, obtemos: ( 3 + 2 )(12 + 1) − 3 (12 + 8 + 1) = ( 5 )(13) − ( 3)( 21) = 2 .Exemplo 3 Mostrar que o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1) independe dos valoresde a e b.Solução: Efetuando os produtos indicados, obtemos: a 2 b + a + 2ab + 2 − a 2 b − 2ab − a = 2 . Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico 2.EXERCÍCIOS Sendo a = 5 e b = 2, obter os valores numéricos de: (a + b) 21)2) a 2 + b2 (a − b) 23) (b − a ) 24)5) a − b 2 26) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b. ( a + b )( ab + 1) − b ( a 2 + ab + 1) .4.3. Fatorar – Desenvolver Consideremos as expressões:F = ( x + 2y )( 2x + 3y ) e D = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Repare que:( x + 2y )( 2x + 3y ) = 2x 2 + 3xy + 4xy + 6y 2 = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Denomina-se:• ( x + 2y )( 2x + 3y ) de FORMA FATORADA• 2x 2 + 7xy + 6y 2 de FORMA DESENVOLVIDA Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 35
  • 36. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto,não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário.Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? A seguir veremos algumas identidades fundamentais, que serão ferramentasindispensáveis para a técnica de fatoração.4.4. Casos de fatoração1° caso: o fator comum Pela propriedade distributiva, temos que a ( b + c ) = ab + ac e portanto: a ⋅ b + a ⋅ c = a (b + c) Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h’uma soma (adição ou subtração)de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foicolocado em “evidência”. A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira: b+c ab ac a b c A área da região hachurada é igual a a ( b + c ) = ab + ac .Exemplo 4 Fatorar 2x + xy − ax .Solução: Como x é fator comum, segue que: 2x + xy − ax = x ( 2 + y − a )Exemplo 5 Fatorar 8x 2 − 4x . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 36
  • 37. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaSolução: Observe que 4x é fator comum! 8x 2 − 4x = = 4x ⋅ 2x − 4x ⋅1 = 4x ( 2x − 1)Exemplo 6 Fatorar x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 .Solução: O fator comum é x 2 y2 : x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 = = xx 2 y 2 − x 2 y 2 y + x 4 x 2 y 2 y3 = x 2 y 2 ( x − y + x 4 y3 )EXERCÍCIOS Fatorar as seguintes expressões:7) a 2 + ab − a8) a ( x + y) + b( x + y)9) a ( 3x − 2 ) − b ( 3x − 2 )10) x (a − b) + y (a − b)11) x (a − b) + b − aOBSERVAÇÃO Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico. ax + ay + bx + by = = ( ax + ay ) + ( bx + by ) = a ( x + y) + b ( x + y) = ( a + b )( x + y )Exemplo 7 Fatorar ax + ay − bx − by .Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 37
  • 38. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ax + ay − bx − by = = ( ax + ay ) − ( bx + by ) = a ( x + y) − b ( x + y) = ( a − b )( x + y )Exemplo 8 Fatorar ax − ay − bx + by .Solução: ax − ay − bx + by = = ( ax − ay ) − ( bx − by ) = a ( x − y) − b ( x − y) = ( x − y )( a − b )EXERCÍCIOS Fatorar:12) ab − a 2 b − a + b 213) x −3x + bx −3b 214) ap − by + bp − ay15) x 2 + ax + bx + ab16) x + ( a − b ) x − ab 22° caso: diferença de dois quadrados a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 2 Assim, por exemplo, 5 – 3 é igual a 2 ( 5 + 3)( 5 − 3) (verifique!). É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e,desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir domembro esquerdo e, fatorando, chegar no direito? Repare que em a 2 − b 2 = a ⋅ a − b ⋅ b não há fator comum! Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando esubtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão.a 2 − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2 = a (a + b) − b (a + b) = ( a + b )( a − b ) Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 38
  • 39. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a a 2 − b2 a b b a b ( a + b )( a − b ) a-b As regiões hachuradas têm áreas iguais e ilustram o fato de quea 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) .Exemplo 9 Fatorar x 2 − 25 .Solução: x 2 − 25 = = x 2 − 52 = ( x + 5 )( x − 5 )Exemplo 10 Fatorar a 4 − b4 .Solução: a 4 − b4 = = ( a 2 ) − ( b2 ) 2 2 = ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 ) = ( a 2 + b 2 ) ( a + b )( a − b ) 2 2(Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a + b não é fatorável!) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 39
  • 40. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaEXERCÍCIOS Fatorar as seguintes expressões em ℝ:17) x2 −118) x4 −119) a 2 − b 2 + ax + bx20) a + b + b2 − a 221) a 2 − b 2 + a 2 − ab22) a 2 − b2 + b − a23) x 3 − 3x 2 − 4x + 123° caso: trinômio quadrado perfeito a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 Veja:a 2 + 2ab + b 2 = = a 2 + ab + ab + b 2 = ( a 2 + ab ) + ( ab + b 2 ) = a (a + b) + b (a + b) = ( a + b )( a + b ) = (a + b) 2a 2 − 2ab + b 2 = = a 2 − ab − ab + b 2 = ( a 2 − ab ) − ( ab − b 2 ) = a (a − b) − b (a − b) = ( a − b )( a − b ) = (a − b) 2Ilustrando: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 40
  • 41. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a b a a2 ab b ab b2 a+b (a + b) 2 a+bExemplo 11 Desenvolver ( 2x + 3y ) 2 2 .Solução: ( 2x + 3y ) 2 2 = = ( 2x ) + 2 ( 2x ) ( 3y 2 ) + ( 3y 2 ) 2 2 = 4x 2 + 12xy 2 + 9y 4Exemplo 12 2  1 Desenvolver  x −  .  xSolução: 2  1 x−  =  x 2 1 1 = x2 − 2 ( x )   +   x x 1 = x2 + 2 + 2 x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 41
  • 42. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 13 Fatorar 4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 .Solução: 4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 = = ( 2a ) + 2 ( 2a ) ( 5b 2 ) + ( 5b 2 ) 2 2 = ( 2a + 5b 2 ) 2EXERCÍCIOS 2  124) Desenvolver:  x +   x Fatorar as seguintes expressões em ℝ:25) x2 + 6x +926) x2 −10x + 2527) x3 −16x2 + 64x28) −x2 + 20x −10029) 2x − 1 − x 2 130) a4 + a2 + 431) a + 2ab + b 2 − c 2 232) x 2 + 2x + 1 − y 2 x 2 − ( y − 1) 233)4° caso: soma e diferença de cubos a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )Justificativa:( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = = a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b3( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b3 = a 3 − b3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 42
  • 43. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 14 Fatorar x3 + 8 .Solução: x3 + 8 = = x 3 + 23 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 22 ) = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 )Exemplo 15 Fatorar 27x 3 − 1 .Solução: 27x 3 − 1 = = ( 3x ) − 13 3 = ( 3x − 1) ( 3x ) + ( 3x )(1) + 12  2   = ( 3x − 1) ( 9x 2 + 3x + 1)Exemplo 16 Fatorar a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b .Solução: a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b = = ( a 3 − b3 ) + ( a 2 − b 2 ) + ( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b )( a − b ) + 1( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b ) + 1   = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 + a + b + 1)EXERCÍCIOS 334) a) Fatorar x - 1 x3 −1 b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de x −135) Fatorar: a) x 9 + y9 b) x 9 − y9 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 43
  • 44. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5° caso: cubo da soma e cubo da diferença a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 3 a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b ) 3 Justificativa:(a + b) = (a + b) (a + b) 3 2 = ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a + b ) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3(a − b) = (a − b) (a − b) 3 2 = ( a 2 − 2ab + b 2 ) ( a − b ) = a 3 − a 2 b − 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 − b3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3Exemplo 17 ( 2x + 5 ) 3 Desenvolver .Solução: ( 2x + 5 ) 3 = = ( 2x ) + 3 ( 2x ) ( 5 ) + 3 ( 2x )( 5 ) + 53 3 2 2 = 8x 3 + 60x 2 + 150x + 125Exemplo 18 ( x − 2y ) 3 Desenvolver .Solução: ( x − 2y ) 3 = = x 3 − 3x 2 ( 2y ) + 3x ( 2y ) − ( 2y ) 2 3 = x 3 − 6x 2 y + 12xy 2 − 8y 3Exemplo 19 Fatorar x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 44
  • 45. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 3x 2 ⋅1 + 3x ⋅12 + 13 = ( x + 1) 3EXERCÍCIOS36) Desenvolver as expressões: a) ( x + yz ) 2 3 b) ( 2x − 1) 3 Fatorar as expressões:37) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y338) x 3 + 6x 2 y 2 + 12xy 4 + 8y 639) x 3 − 9x 2 + 27x − 2740) a + 3a b + 3ab + b + c 3 2 2 3 3RESUMO 1. ab + ac − ad = a ( b + c + −d ) 2. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 3. a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 4. a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 5. a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 6. a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 7. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 3 8. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b ) 3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 45
  • 46. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5. Potenciação5.1. Definição Dado um número a, a ∈ ℝ , e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de na, que se indica por a , ao produto de n fatores iguais a a. Assim: a n = a ⋅ a ⋅ a ... a n fatores O número a é chamado de base e n, de expoente.Exemplo 1a) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 ( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = −8 3b)Exemplo 2 Obter o valor de cada expressão: 3 2 3 1 2  −3  4 + ( −3 ) 2  ⋅10 ⋅  2 2 a) b)  c)    10  3  2 Solução: 42 + ( −3) = 4 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25 2 a) 3 1   1  1  1 1   ⋅10 =   ⋅  ⋅  ⋅ 10 ⋅ 10 = ^ 2 b)  10   10   10   10  10 2 2  3   3   3 2 3 2  3 3 c)   ⋅  −  = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −  = − 3  2 3 3  2   2   2 2OBSERVAÇÕES ( −2 ) ≠ −22 pois: 21) ( − 2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 − 2 2 = − ( 2 ⋅ 2 ) = −4 2 e ( −1) = 1 , se n é par n2) ( −1) = −1 , se n é ímpar n Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 46
  • 47. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaEXERCÍCIOS1) Calcular:a) 1 4 d) 4 3 g) −4 2 2 2 e) ( −4 ) 4 2b) 0 h)   3 2  2 ( −4 ) 3c) 4 2 f) i) −  −   32) Calcular: ( −4 ) 2a) − 32 3  1b)  −  ⋅10 4  10  2 2 2  3c)   ⋅ −  3  25.2. Definições 5 Considere, por exemplo, a potência 2 , que é 32. Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência ficadividido por 2, que é o valor da base. Veja: 25 = 32 , 2 4 = 16 , 23 = 8 , 22 = 4 Continuando-se o raciocínio anterior, vem: 1 −2 1 21 = 2 , 20 = 1 , 2 −1 = , 2 = e assim por diante. 2 4 Tais resultados sugerem as definições: n −n 1 1 a =a 1 a =1 0 a = n =   ,a ≠ 0 a aExemplo 3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 47
  • 48. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 1 1a) 31 = 3 e) 3−2 = = 32 9 1 1 ( −3 ) 3−3 = 1b) = −3 f) 3 = 3 27 1 1 ( −3 ) −2c) 30 = 1 g) = = ( −3 ) 2 9 1 1 ( −3 ) −3d) ( −3 ) 0 =1 h) = =− ( −3 ) 3 27Exemplo 4 Calcular: −2 −2 −4 2  2 a) 1 b)   c)  −  d) 2 2 ⋅ 2 −2 3  3Solução: 1a) 1−4 = =1 14 −2 2 2 3 9b)   =   = 3 2 4 −2 2  2  3 9c)  −  =  −  =  3  2 4 −2 1d) 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 1 2 2 2EXERCÍCIOS3) Calcular: 1 −2 1 3 ( −5 ) 1 1a) 5 d) g)   j)   5 4 0 −2 1  3 ( −5 ) 0b) 5 0 e) h)   k)  −  5  4 −1 −2 1  3 ( −5 ) −1 −1c) 5 f) i)   l) −−  5  44) Calcular: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 48
  • 49. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha  −1  1 −1    2  −2  1  −1  a)  2 +    b)   −  −     2    3    3  5) Calcular o valor de ( x −1 + y −1 ) , sabendo que x = 0,1 e y = 0,9. −15.3. Simplificação de expressões Numa expressão numérica com parêntesis ( ), colchetes [ ] e chaves { }, efetuamosinicialmente as operações que estão entre parênteses, depois as que estão entre colchetes e porfim aquelas que estão entre chaves, obedecendo à seguinte ordem de cáculo: 1) as potenciações; 2) as multiplicações ou divisões na ordem em que aparecem; 3) as adições ou subtrações na ordem em que aparecem.Exemplo 5 Simplificar a expressão: {3 x 4 + ( 6 : 2 − 7 )} + 3 2 1 2 2 0 2Solução: Efetuando as operações entre parênteses na ordem dada: {3 x 4 + ( 36 : 4 − 1)} + 3 2  1  2 = {3 x  4 + ( 9 − 1) } + 3  2 1  2 = {3 x  4 + 8} + 3  2  1 2 Efetuando as operações entre colchetes na ordem dada: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 49
  • 50. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha {3 x [ 4 + 8]} + 3 2 2 = {3 x12} + 3 2 2 Efetuando as operações entre chaves na ordem dada: {9x12} + 32 = 108 + 32 = 108 + 9 = 117EXERCÍCIOS6) Calcular: a) {  } 20 : 32 +  20 + ( 23 : 8)  − 1 b) 3 + {1 − ( 2 − 2 ) : 2 } −1  4  0 −1 −1 c) 10 x {10 : ( 6 : 3 + 2 : 2 ) } 2  −1  3 05.4. Propriedades das potências Observe os cálculos:(A) 24 ⋅ 22 = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 2 ⋅ 2 ) = 2 4+ 2 ( B) ( 4 + 2 ) fatores(A) 24 = ( 2 ⋅ 2 ⋅2⋅2 = 2 ⋅ 2 = 24− 2 ( B ) ) 2 2 2⋅2 ( ( 4− 2) ) fatores(A) ( 2 ) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 2 ( B) 4 2 4.2 ( 4.2 ) fatores 2 2 2 2 ⋅ 2 22(A)   = ⋅ = 2   = ( B) 3 3 3 3 ⋅ 3 32( A ) ( 2 ⋅ 3) = ( 2 ⋅ 3 )( 2 ⋅ 3) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 32 ( B ) 2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 50
  • 51. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Imprimiremos maior rapidez aos cálculos se passarmos diretamente do estágio (A) para oestágio (B) e vice-versa. Tal passagem é garantida pelas chamadas propriedades das potências. Para todo a ∈ ℝ , b ∈ ℝ , m e n inteiros, prova-se:P1. a m ⋅ a n = a m + n amP2. = a m−n , a ≠ 0 anP3. ( a m ) = a m⋅n n m a amP4.   = m , b ≠ 0 b bP5. ( a ⋅ b ) = a m ⋅ b m mExemplo 6a) 27 ⋅ 23 = 27 +3 = 210 (P1) −2 7 + 3+ ( −2 )b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 28 (P1) 7 3 7 −3c) 2 : 2 = 2 = 24 (P2) 7 3d) (2 ) 5 3 = 215 (P3) 4 2 24e)   = 4 (P4) 3 3 ( 2 ⋅ 5) 3f) = 23 ⋅ 53 (P5)Exemplo 7 1. Calcular: (5 ⋅ 57 ) (10 ) 2 −1 3 3 4 3 4 ⋅10−7 a) b)   ⋅ 5 c) 518 5 10−10Solução: (5 ⋅ 57 ) (5 ) 3 2 10 2 520 a) = = 18 = 52 = 25 518 518 5 4  3 4 3 4 4 b)   ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 34 = 81 5 5 c) (10 ) −1 3 ⋅10−7 = 10−3 ⋅10 −7 10−10 = −10 = 10 ( ) = 100 = 1 −10 − −10 10−10 10 −10 10 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 51
  • 52. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 2. Calcular: −1 1 1 ( 0, 01) − 3 a) 2 b) 34 ⋅   c) 32 9Solução: 1 1 − − 1 1  1   1  = (10−2 ) − 2 2 − a) ( 0, 01) 2 =  = 2  2 = 101 = 10  100   10  −1 −1 1 1 34 ⋅   = 34 ⋅  2  = 34 ⋅ ( 3−2 ) = 34 ⋅ 32 = 36 = 729 −1 b) 9 3  c) 3 32 = 3 ( 2 ) = 38 = 6561 3OBSERVAÇÕES1) 24 ≠ ( 24 ) , pois 24 = 2 ( 4 ) = 216 (2 ) 2 2 2 2 4 2 e = 28 ( 2 + 3) ≠ 22 + 32 , pois ( 2 + 3) = 52 = 25 e 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13 2 22)EXERCÍCIOS7) Transformar cada expressão abaixo numa única potência de base 2.a) 25 ⋅ 2 4 ⋅ 2 −2 d) 84 26b) e) 84 : 2 −2 2 −3 1 ( 23 ) 4c) f) 8 −3 :   28) Transformar cada expressão abaixo em uma única potência de base 10. −200  1 a) 10 ⋅100 3 c) 10 500 ⋅   100  (100 ) 2 :103 2b) d) 1039) Calcular o valor de cada expressão. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 52
  • 53. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ( 0, 001) 2 ⋅1002 a) 0,1 10003 ⋅ ( 0, 001) 2 b) 5200 ⋅ ( 0, 2 ) 19910) A expressão é equivalente a: 1a) 5 d) 10b) 10 e) 100 1c) 511) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa) a) 23 ⋅ 2 4 = 412 ( ) b) 5 + 5 = 5 2 2 4 ( ) c) 10 :10 = 10 8 4 2 ( ) d) (10 ) 2 3 = 10 6 ( ) 3 e) 10 = 10 2 8 ( )12) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa) a) 2 x +3 = 8 ⋅ 2 x ( ) x −1 2x b) 2 = ( ) 2 c) ( 2x ) = 8x 3 3 ( )13) Se 2, 46 = a e 2, 47 = b , então 2, 413 é igual a:a) a + b d) a – bb) a ⋅ b e) 42c) 6a + 7b5.5. Equações exponenciais Sendo b > 0 e b ≠ 1 , tem-se b x1 = b x 2 ⇔ x1 = x 2Exemplo 8 2 x = 25 ⇔ x = 5 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 53
  • 54. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 9 Resolver em ℝ a) 32x −1 = 37Solução: Sendo 3 > 0 e 3 ≠ 1 , temos que: 2x − 1 = 7 ∴ 2x = 8 ∴ x = 4 Logo: S = {4} x 3 2 1 1 1 b)   =   ⋅  2 2 2Solução: x 5 1 1   =  2 2 1 1 Sendo > 0 e ≠ 1 , temos que x = 5. 2 2 Logo: S = {5} c) 9 ⋅ 9 x = 27Solução: 91+ x = 27 ∴ ( 32 ) 1+ x 1 = 33 ∴ 32 + 2x = 33 ∴ 2 + 2x = 3 ∴ x = 2 1  Logo: S =   2 1 d) x = 3−2 3Solução: 1 x = 3−2 ⇔ 3− x = 3−2 3 Sendo 3 > 0 e 3 ≠ 1 , temos que: − x = −2 ∴ x = 2 Logo: S = {2} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 54
  • 55. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaOBSERVAÇÃO Se a base for zero, um ou negativa, não se poderá concluir a igualdade entre osexpoentes. De fato:1) 14 = 17 e no entanto 4 ≠ 72) 03 = 05 e no entanto 3 ≠ 53) ( −1) = ( −1) e no entanto 2 ≠ 4 2 4EXERCÍCIOS14) Resolver em ℝ 1a) 5x = 53 f) 9x = 3b) 5− x = 53 g) 3x = 3 ⋅ 27c) 5x = 25 h) 8 ⋅ 8x = 4d) 25x = 125 i) 3x +1 + 6 ⋅ 3x = 27 −x 1 =5 2e)   j) 2x = 42x − 2 55.6. Notação científica Todo número N, não nulo, pode ser representado numa das formas: N = a ⋅10 m ou N = −a ⋅10m (1 ≤ a ≤ 10 ) e ( m ∈ ℤ )conforme N seja positivo ou negativo, respectivamente. Essa forma de se escrever um número échamada de notação científica e é bastante utilizada na Química, Física, Matemática, etc. 7 7 Por exemplo, os números 3 ⋅ 10 e -3 ⋅ 10 estão em notação científica. Para se escrever um número em notação científica, devem-se observar as seguintespropriedades:1) Multiplicar um número por 10p , p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p “casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se a vírgula para a esquerda. Assim: a) 0, 00037 ⋅104 = 3, 7 b) 2500 ⋅10−3 = 2, 52) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10 p ⋅10 − p . De fato: 10 p ⋅10 − p = 100 = 1 . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 55
  • 56. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha As duas propriedades acima permitem escrever um número em sua notação científica.Exemplo 10 a) 5000000 = 5000000 ⋅10 −6 ⋅106 = 5 ⋅106 −5 b) 170000 = 170000 ⋅10 ⋅10 = 1, 7 ⋅10 5 5 c) −60200 = −60200 ⋅10 −4 ⋅104 = −6, 02 ⋅104 d) 0, 00032 = 0, 00032 ⋅104 ⋅10−4 = 3, 2 ⋅10−4EXERCÍCIOS15) Escrever em notação científica os númerosa) 230 e) 8000b) 23 f) 8237c) 2 g) -354,2d) 0,2 h) 0,0116) A carga de um elétron é 0,0000000000000000016 C. Escreva este número em notação científica.17) A vida na terra existe há aproximadamente 10 bilhões de anos. Escreva este número em notação científica.5.7. ResumoDEFINIÇÕES OBSERVAÇÕESb ∈ ℝ, n ∈ ℕ b n = b ⋅ b ⋅ b ... b , n ≥ 2 ( −2 ) 21) 1) =4 n fatores 2) −2 2 = −42) b 1 =b ( −1) n 3) a) = 1 , se n é par3) b =1 0 ( −1) n n b) = 1 , se n é ímpar 1 14) b−n = =  , b≠0 bn  b PROPRIEDADES OBSERVAÇÕES 1) 22 + 32 = 13 ( 2 + 3) 2A ∈ ℝ, b ∈ ℝ, m e n int eiros 2) = 25 3) (3 ) 5 2 = 310 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 56
  • 57. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaP1. a m ⋅ a n = a m+ n 2 4) 35 = 325 amP2. n = a m−n , a ≠ 0 aP3. ( a m ) = a m⋅n n m a amP4.   = m , b ≠ 0 b bP5. ( a ⋅ b ) = a m ⋅ b m mEQUAÇÃO EXPONENCIAL OBSERVAÇÃOb > 0, b ≠ 1 Se a base for zero, um ou negativa, nadab x1 = b x 2 ⇔ x1 = x 2 se poderá concluir.NOTAÇÃO CIENTÍFICA N = a ⋅10 m ou N = −a ⋅10m (1 ≤ a < 10 ) e ( m ∈ ℤ ) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 57
  • 58. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha6. Radiciação6.1. Introdução Consideremos o seguinte problema: 2 Qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm de área? Para resolvermos esse problema, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x(x>0). x x x x 2 A área desse quadrado é dada por x , e pelo enunciado devemos ter: x2 = 5 Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor 2positivo de x que torne verdadeira a sentença x = 5. 2 O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 5 , que deve serlido: “raiz quadrada de cinco”. Assim, x=25 2 Portanto, o lado do quadrado mede 5 cm.6.2. Generalização Suponhamos a sentença x =a onde n n ∈ ℕ∗ e a ≥ 0 . O valor não negativo que satisfaz tal nigualdade será indicado por a e deve ser lido: “raiz enésima de a”. Adotaremos a seguintenomenclatura para o novo símbolo apresentado:n a é o radicaln é o índice do radicala é o radicando Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 58
  • 59. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplos Leitura Radical Índice Radicando Raiz quinta de 5 5 5 4 4 4 quatro Raiz terceira ou 3 3 3 8 8 8 Raiz cúbica de oito Raiz segunda ou 2 2 2 9 9 Raiz quadrada de 9 noveObservação 2 Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, a , ser utilizada com muitafreqüência, é comum denotá-la simplesmente, por a , suprimindo-se por comodidade, o índice 2.6.3. Definição Sendo a ≥ 0 e n ∈ ℕ∗ , tem-se: n a = b ⇔ bn = a e b ≥ 0onde b é um número real chamado raiz enésima de a.Exemplo 1 Usando a definição temos:a) 9 = 3 , pois 32 = 9 e 3 ≥ 0b) 3 64 = 4 , pois 43 = 64 e 4 ≥ 0c) 4 16 = 2 , pois 2 4 = 16 e 2 ≥ 0d) 1 7 = 7 , pois 71 = 7 e 7 ≥ 0 2 4 2 2 4 2e) = , pois   = e ≥ 0 9 3 3 9 3Exemplo 2 3 O volume de um cubo de aresta x é dado por x . x x x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 59
  • 60. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 3Calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm .Solução: Sendo x a medida da aresta do cubo, devemos ter: x 3 = 64 e x > 0 . Pela definição de raiz, temos: x = 3 64 = 4 , pois 43 = 64 e 4 ≥ 0 . Portanto a aresta do cubo mede 4 cm.Exemplo 3 2 Obter a medida do lado de um quadrado de área 25 cm .Solução: Sendo x a medida do lado do quadrado, devemos ter: x 2 = 25 e x > 0 . Pela definição de raiz, temos que: x = 25 = 5 Portanto, a medida do lado do quadrado é 5 cm.Observação 2 Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x =25: 5 ou -5 O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é indicado por − 25 . Assim, x 2 = 25 ⇒ x = ± 25 De modo geral, para a ≥ 0 e n par: xn = a ⇒ x = ± n a Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 60
  • 61. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExercícios1) Calcular, usando a definição, o valor de cada uma das raízes. 1 5a) 3 e) 1 6b) 25 f) 0 3 9c) 8 g) 4 4d) 162) Obter a medida, em cm, do lado de um quadrado de área: 2 2 2a) 36 cm b) 64 cm c) 81 cm3) Obter a medida, em cm, da aresta de um cubo de volume: 3 3 3a) 8 cm b) 27 cm c) 125 cm4) Assinalar V (verdadeiro) ou F (falso)a) 9 =3 ( )b) 9 = −3 ( )c) 9 = ±3 ( )d) x2 = 9 ⇒ x = ± 9 ( )e) x3 = 8 ⇒ x = ± 3 8 ( )f) x3 = 8 ⇒ x = 3 8 ( )6.4. Propriedades dos radicais Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos,temos: P1. n a ⋅ n b = n a ⋅ b n a na P2. n = b≠0 b b np P3. a mp = n a m ( a) m P4. n = n am P5. n m a = nm a Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 61
  • 62. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 4 P1a) 3 2 ⋅ 3 5 = 3 2 ⋅ 5 = 3 10 5 8 P2 5 8 5b) 5 = = 2 4 4 P3c) 27 59 = 27 ÷9 59 ÷9 = 3 5 ( 2) 12 P 4 P3d) 3 = 3 212 = 3÷3 212 ÷3 = 24 P5e) 3 4 2 = 12 2 1 P2 3 1 1f) 3 =3 = 125 125 5 ( 8) P4 5g) 3 85 = 3 = 25Exercícios5) Simplificar as expressões: 3 1a) 5 2⋅ 3 5 f) 3   2 1b) 25 2 ⋅ 5 3 g) 3 8 16c) 25 2 ⋅65 3 h) 9 ( 2) 5 3 15d) 10 : 3 5 i) ( 3) 8 4e) 18 3 10 : 3 3 5 j)6) Simplificar os radicais: 3a) 12 26 c) 53 4b) 38 d) 3 64Exemplo 5 Simplificar os radicais: 3 4a) 320 b) 32 c) 160 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 62
  • 63. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaSoluções: a) Decompondo 320 em fatores primos, temos: 320 2 160 2 80 2 40 2 320 = 26 ⋅ 5 20 2 10 2 5 5 1 Assim, 3 320 = 3 26 ⋅ 5 = 3 26 ⋅ 3 5 = 1 22 ⋅ 3 5 = 4 3 5 b) Decompondo 32 em fatores primos, temos 32 = 25 . Assim, 32 = 25 = 24 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 c) Decompondo 160 em fatores primos, temos 160 = 25 ⋅ 5 . Assim, 4 160 = 4 25 ⋅ 5 = 4 24 ⋅ 2 ⋅ 5 = 4 24 ⋅ 4 2 ⋅ 5 = 2 4 10Exercícios7) Simplificar os radicais: 4a) 12 e) 80b) 18 f) 5 a13 ( a ≥ 0)c) 3 40 g) 3 16a 5 ( a ≥ 0)d) 3 625 h) 8a 3 b6 c9 ( a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 )Exemplo 6 Efetuar: a) 2 5+4 5 Como 5 é fator comum às duas parcelas, temos 2 5 + 4 5 = ( 2 + 4 ) 5 = 6 5 . b) 6 2 −3 2 + 2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 63
  • 64. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Como 2 é fator comum às três parcelas, temos6 2 − 3 2 + 2 = ( 6 − 3 + 1) 2 = 4 2 .Exercícios8) Efetuar:a) 3 5+7 5 d) 9 3 40 + 3 5 − 2 3 625b) 43 2 − 3 2 e) 5 3 a 4 + 3 64a 4 (a ≥ 0)c) 5 12 + 2 75 − 276.5. Redução de radicais ao mesmo índice Em algumas situações, é necessário transformar dois ou mais radicais de índicesdiferentes em outros equivalentes e que possuam um índice comum.Exemplo 7 3 4 Reduzir ao mesmo índice os radicais 2, 5 e 3.Solução: Tomando como índice comum o mmc(2,3,4)=12, temos: P3 3 51 = 3⋅4 21⋅4 = 12 2 4 P3 4 51 = 3⋅4 51⋅3 = 12 53 P3 2 31 = 2⋅6 31⋅6 = 12 36Exemplo 8 3 3 Comparar os radicais: 5 e 2.Solução: Entre dois radicais de mesmo índice e radicandos não negativos, será maior aquele quetiver o maior radicando. Assim, 3 5 > 3 2.Exemplo 9 6 4 Comparar os radicais: 3 e 2. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 64
  • 65. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaSolução: Reduzindo os radicais ao mesmo índice, temos: mmc(6,4)=12Sendo 12 9 > 12 8 , temos 6 3> 4 2.Exercícios 3 3 39) Escrever em ordem crescente os números 5, 2 e 9. 4 310) Escrever em ordem decrescente os números 5, 2 e 3.Exemplo 10 Calcular 3 2⋅ 3.Solução: Reduzindo ao mesmo índice, temos: 3 2 ⋅ 3 = 6 22 ⋅ 6 33 = 6 22 ⋅ 33 = 6 108Exercício11) Calcular 3a) 4 2⋅ 3 b) 3 36.6. Racionalização de denominadores Vejamos agora como, em algumas situações, podemos evitar a divisão por númerosirracionais, minimizando assim os possíveis erros propagados pelos cálculos.Exemplo 11 Racionalizar o denominador de: 3 3⋅ 2 3⋅ 2 3⋅ 2 a) = = = 2 2⋅ 2 22 2 5 5 ⋅ 3 72 5 ⋅ 3 49 5 ⋅ 3 49 b) = = = 3 7 3 7 ⋅ 3 72 3 3 7 7Exercício12) Racionalizar o denominador de: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 65
  • 66. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 3 3a) d) 5 ( a > 0) 5 a2 5 1b) 4 e) 6 ( a > 0) 8 a4 4c) 3 2Exemplo 12 Racionalizar o denominador de: a) 3 = 3 ( 7 −2 ) = 3 ( 7 −2 ) = 3( 7 −2 ) = 3( 7 −2 )= 7 −2 7 +2 ( 7 +2 )( ) ( 7) −2 7−4 7 −2 3 2 2 5 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) b) = = = = 3 − 1 ( 2 3 − 1)( 2 3 + 1) ( 2 3 ) − 1 12 − 1 2 2 11 2Exercícios 2 3a) d) 5+2 3 −1 2 1b) e) 5− 3 3 2+ 3 2 2 +1c) f) 2 3 +1 2 −16.7. Potência de expoente racional 2 6 -2 Já sabemos calcular potências do tipo 5 , 8 , 4 , isto é, potências com expoentes inteiros. 3 5Vejamos agora como interpretar uma potência do tipo 7 . 3 Chamando essa potência de x, temos x = 75 . Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos: 5  3 3 ⋅5 x =  7 5  ou x 5 = 7 5 5   Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 66
  • 67. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Daí, x 5 = 73 e, por definição de raiz, temos x = 5 73 . 3 Assim, 7 = 5 73 . 5 Isso sugere a seguinte definição: m a = n a m , com a > 0, m e n inteiros e n > 0. nObservação Para a=0 devemos ter m>0.Exemplo 13 2a) 5 3 = 3 52 1b) 9 0,5 =9 = 9 2 −1c) 6−0,1 = 6 10 = 10 6−1Exercícios13) Escrever os radicais abaixo na forma de potência.a) 4 23 b) 6 28 c) 3 d) 3 a (a ≥ 0)14) Calcular o valor da expressão: 1 −0,5 100 + 8 − 160,75 36.8. Radicando negativo ( −2 ) 3 A igualdade = −8 sugere escrever 3 −8 = −2 . Por isso, define-se n a = b ⇔ b n = a , a < 0 e n natural ímpar.Exemplo 14a) 3 −64 = −4b) 5 −1 = −1 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 67
  • 68. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha6.9. Propriedade Se n é um número natural ímpar, então n −a = − n a .Exemplo 15a) 3 −8 = − 3 8b) 5 −4 = − 5 4 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 68
  • 69. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha7. Equação do 2º grau7.1. Definição Chamamos de equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode serreduzida à forma ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 . a, b e c são reais chamados de coeficientes.Exemplo 1 Quais são os coeficientes da equação: 2x 2 − 5x − 2 = 0Solução: Comparando a equação com a forma: ax 2 + bx + c = 0temos que os coeficientes são a = 2, b = -5 e c = -2.Exercício1) Qual a soma dos coeficientes da equação x 2 + 5x + 1c = 07.2. Raiz da equação Um número r será chamado raiz, ou solução da equação ax 2 + bx + c = 0 , se, e somentese, a sentença ar 2 + br + c = 0 for verdadeira.Exemplo 2 Verificar se o número 2 é uma das raízes da equação 2x 2 − 5x + 2 = 0 .Solução: Substituindo x por 2 temos: 2 ⋅ 22 − 5 ⋅ 2 + 2 = 8 − 10 + 2 = 0portanto 2 é uma raiz da equação.Exemplo 3 1 seja uma raiz da equação 2x − 5x + c = 0 . 2 Determinar o coeficiente c de modo que 2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 69
  • 70. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaSolução: 1 Substituindo x por , segue que: 2 2 1 1 1 52 ⋅   − 5 ⋅   + c = 0 , isto é, − + c = 0 . 2 2 2 2 1 5 Daí devemos ter c = − + e, portanto, c = 2. 2 2Exercícios2) Obter o coeficiente c na equação ax 2 + bx + c = 0 , sabendo que a = 1, b = 2 e uma das raízes é -1.3) Obter a constante p na equação x 2 − px = p , sabendo que uma de suas raízes é o número 2.7.3. Conjunto solução Resolver a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0 no conjunto universo U significa obter oconjunto de todas as raízes dessa equação que pertencem a U. O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação. Assim, por exemplo, no conjunto universo ℝ , o conjunto solução da equação x 2 = 4 é{2, −2} .7.4. Fórmula resolutiva Tendo como universo o conjunto ℝ dos números reais, pode-se provar que a equaçãoax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) com b 2 − 4ac ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2. Estas podem ser obtidas pelas fórmulas: −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac x1 = e x2 = 2a 2a A expressão b 2 − 4ac , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), échamada de discriminante da equação. −b ± ∆ Se ∆ ≥ 0 , podemos escrever de maneira resumida x1,2 = . 2a Mais adiante veremos que há situações particulares em que podemos obter as raízes semter de recorrer a essa fórmula.7.5. Observações ∆ > 0 ⇔ A equação possui duas raízes reais distintas. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 70
  • 71. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ∆ = 0 ⇔ A equação possui duas raízes reais e iguais. ∆ < 0 ⇔ A equação não possui raízes reais.Exemplo 4 Resolver em ℝ : 2x 2 − 5x + 2 = 0 .Solução: ⇒ ∆ = b 2 − 4ac = ( −5 ) − 4 ( 2 )( 2 ) = 9 2a = 2; b = -5; c = 2 −b ± ∆ 5 ± 3 1Portanto x1,2 = = ⇒ x = 2 ou x = 2a 4 2 1 S =  , 2 2 Exemplo 5 Resolver em ℝ : − x 2 + 4x − 4 = 0 .Solução: ⇒ ∆ = b 2 − 4ac = ( 4 ) − 4 ( −1)( −4 ) = 0 2a = -1; b = 4; c = -4 − b ± ∆ −4 ± 0Portanto x1,2 = = ⇒ x=2 2a −2Ambas as raízes são iguais a 2 (2 é raiz dupla)S = {2}Exemplo 6 Resolver em ℝ : x2 + x + 2 = 0 .Solução: ⇒ ∆ = b 2 − 4ac = (1) − 4 (1)( 2 ) = −7 2a = 1; b = 1; c = 2Como ∆ < 0 , podemos afirmar que não há raízes reais.S={ } (o conjunto vazio)Exercícios4) Resolver em ℝ : x 2 − x − 2 = 05) Resolver em ℝ : x 2 + 2x + 1 = 0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 71
  • 72. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha6) Resolver em ℝ : x 2 + 2x + 2 = 07.6. Equações incompletas A equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0 será chamada incompleta se, e somente se, pelomenos um dos coeficientes b ou c for nulo. O conjunto solução dessas equações pode ser obtidosem o uso da fórmula estudada anteriormente, como veremos nos exemplos a seguir.Exemplo 7 Resolver em ℝ : x 2 − 3x = 0 .Solução:x 2 − 3x = 0 se, e somente se, x ( x − 3) = 0Portanto, x = 0 ou x – 3 = 0Devemos ter então x = 0 ou x = 3S = {0,3}Exemplo 8 Resolver em ℝ : x2 − 9 = 0 .Solução:x 2 − 9 = 0 se, e somente se, x 2 = 9Devemos ter então x = ± 9 = ±3S = {3, −3}Exercícios Resolver em ℝ as seguintes equações: 2 27) x – 7x = 0 8) x + 7x = 0 2 29) x – 81 = 0 10) x + 81 =0 2 211) 2x – 5x = 0 12) 7x + 3x = 07.7. A forma fatorada Supondo que b 2 − 4ac ≥ 0 , tem-se que a expressão ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 ,denominada trinômio do segundo grau, é idêntica ao produto a ( x − x1 )( x − x 2 ) , onde x1 e x2 sãoraízes da equação ax 2 + bx + c = 0 . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 72
  • 73. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 )Exemplo 9 Fatorar a expressão 2x 2 − 5x + 2 .Solução: 1Resolvendo a equação 2x 2 − 5x + 2 = 0 , conclui-se que suas raízes são x1 = e x 2 = 2 ; logo, 2  1segue que 2x 2 − 5x + 2 = 2  x −  ( x − 2 )  2Exemplo 10 2x 2 − 5x + 2 Sendo x = 3,14, obter o valor numérico de . 2x − 1Solução:  1 2  x −  ( x − 2) 2x − 5x + 2 2  2Repare que = = x−2 2x − 1  1 2 x −   2Logo, para x = 3,14, o valor numérico da expressão é 1,14.Exercícios Fatorar as expressões 213) 2x – 2x – 4 214) 3x + 10x + 3 9x 2 + 6x − 815) Simplificar a expressão supondo que seu denominador não seja nulo. 6x 2 − 16x + 87.8. Soma e produto das raízes Sendo x1 e x2 as duas raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 , pode-se mostrar que a somae o produto dessas raízes são, respectivamente, iguais a: b c S = x1 + x 2 = − e P = x1 ⋅ x 2 = a aExemplo 11 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 73
  • 74. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha A Equação Soma x1 + x2 Produto x1.x2 Conj. Sol. {x1,x2} 2 x - 5x + 6 = 0 5 6 {2,3} 2 x + 5x + 6 = 0 -5 6 {-2,-3} 2 5 1  2x - 5x + 2 = 0 1  , 2 2 2  2 x -4=0 0 -4 {-2,2} Observe ainda que, se quisermos escrever uma equação do segundo grau cujas raízessejam x1 e x2, bastará escrever x 2 − Sx + P = 0 , onde S e P são, respectivamente, a soma e oproduto de x1 e x2.Exemplo 12Dada a equação 3x 2 − 7x + 2 = 0 , obtera) a soma das raízesb) o produto das raízesc) o inverso da soma das raízesd) a soma dos inversos das raízese) o quadrado da soma das raízesf) a soma dos quadrados das raízesSoluçãoSendo x1 e x2 as raízes, segue que b 7a) x1 + x 2 = − = a 3 c 2b) x1 ⋅ x 2 = = a 3 1 3c) = x1 + x 2 7 1 1 x 2 + x1 7d) + = = x1 x 2 x 1 ⋅ x 2 2 2 7 49 ( x1 + x 2 ) 2e) =  = 3 9 ( x1 + x 2 ) 2f) Lembrando que = x12 + x 2 2 + 2x1x 2 , tem-se que 49 4 37 x12 + x 2 2 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = = 2 − = 9 3 9Exercícios Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 74
  • 75. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha16) Sendo r e s raízes da equação x 2 − 8x + 10 = 0 , obter 2 2a) r + s d) r s + rs 2 2b) r . s e) r + s -1 -1c) r + s17) Obter os valores de m e n na equação x 2 + mx + n = 0 , sabendo que suas raízes são 2+ 3 e 2− 3 .18) Obter a constante k, tal que a equação ( k − 2 ) x 2 − 3kx + 1 = 0 tenha duas raízes cuja soma é igual a seu produto.7.9. Equações biquadradas Chamamos de equações biquadradas àquelas que podem ser reduzidas à formaax 4 + bx 2 + c = 0 , a ≠ 0 . a, b e c são constantes reais quaisquer. 2 Repare que, se substituirmos x por y, obteremos a equação ay 2 + by + c = 0 . 2 Resolvendo essa última equação, obtemos os possíveis valores de y e, como y = x ,podemos afirmar que x = ± y , para cada valor real não negativo de y. É também fácil concluir que a equação biquadrada ax 4 + bx 2 + c = 0 possui, no máximo,quatro raízes reais.Exemplo 13 Resolver em ℝ : 4x 4 − 5x 2 + 1 = 0 .Solução 2 Com x = y, tem-se que 4y 2 − 5y + 1 = 0 Resolvendo esta equação, obtém-se 1 y= ou y = 1 4 1 1 1 x2 = y = ⇒ x=± =± 4 4 2 x 2 = y = 1⇒ x = ± 1 = ±1  1 1  Logo, S = − , , −1,1 .  2 2  Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 75
  • 76. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 14 Resolver em ℝ : x 4 + 7x 2 − 18 = 0 .Solução 2 Com x = y, tem-se que y 2 + 7y − 18 = 0 Resolvendo esta equação, obtém-se y = -9 ou y = 2. 2 Note que a equação x = -9 não tem raízes reais. Por outro lado, x 2 = 2 ⇒ x = ± 2 e, portanto, S = { 2, − 2 . }Exercícios Resolver em ℝ:19) x 4 − 7x 2 + 12 = 020) x 4 + 4x 2 + 3 = 0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 76
  • 77. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha8. Teoria das funções Muitas, ao observar fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois conjuntose alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análisedestas três coisas, os dois conjuntos e a lei, pode esclarecer detalhes sobre a interdependênciados elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.8.1. Função de A em B Dados dois conjuntos A e B, vimos, na Teoria dos Conjuntos, que uma relação de A em Bé um conjunto qualquer de pares ordenados (x, y), onde x é um elemento de A e y é um elementode B. Chamemos, em cada par (x,y), y de conseqüente de x. Adotaremos a seguinte definição: Uma função de A em B é uma relação em que para cada x, x ∈ A , existe um único y,y ∈ B , que seja conseqüente de x. A B− O conjunto A é chamado de domínio de f, e o conjunto B é chamado de contradomínio de f.− Nas condições acima, x é chamado de variável independente, e y é chamado de variável dependente (de x).− Diz-se também que y é uma função de x.Exemplo 1 Seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja ℕ o conjunto dos númerosnaturais. Ao associar a cada elemento de T a sua idade (que é um número natural), ficaestabelecida uma função de T em ℕ. Repare que é possível, talvez até provável, que haja em T várias pessoas com a mesmaidade, mas há, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes:− a todo elemento de T corresponde um elemento de ℕ , já que toda pessoa tem uma idade;− nenhuma pessoa tem duas ou mais idades. Em resumo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de ℕ. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 77
  • 78. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 2 Considere os conjuntos A = {−1, 0,1, 2} e B = {0,1, 2,3, 4,5} . Ao associar a cada elemento de A ao seu quadrado em B, estabelece-se uma função de Aem B, pois, assim, para cada elemento de A corresponde um único elemento de B. A função é o conjunto de pares ordenados: {( −1,1) , ( 0, 0 ) , (1,1) , ( 2, 4 )} Sendo x um elemento de A e y o seu correspondente em B, podemos representar afunção acima descrita pela equação y = x2 .8.2. Uma outra notação Para operar com os pares ordenados (x,y) de uma função dada, é muito comum escolher-se uma letra, uma palavra ou alguma abreviatura, para indicar a função. Assim, no exemplo 1, podemos indicar a idade de cada pessoa x, x ∈ T , por Idade(x). Supondo que Alexandre, Tatiana e Juliana sejam elementos de T e que suas idades sejamrespectivamente 17, 14 e 9, escrevemos:Idade(Alexandre) = 17Idade(Tatiana) = 14Idade(Juliana) = 9 Por outro lado, com a notação Idade: T → ℕ queremos dizer que Idade é, no caso,uma função de T em ℕ. No exemplo 2, se indicarmos o quadrado de x por q(x), isto é, q ( x ) = x 2 , seguirá que: Para indicar que se trata de uma função de A em B, usa-se a notação q: A → B.Exemplo 3 Considere a função f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2x + 3 . Obter:a) f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )b) f ( 0 + 1 + 2)c) x tal que f (x) = 0Resolução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 78
  • 79. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginhaa) f ( 0 ) = ( 2 )( 0 ) + 3 = 3 f (1) = ( 2 )(1) + 3 = 5 f (1) = ( 2 )( 2 ) + 3 = 7 Logo, f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 ) = 15b) 0 +1+ 2 = 3 f ( 0 + 1 + 2 ) = f ( 3) = ( 2 )( 3 ) + 3 = 9 Logo, f ( 0 + 1 + 2) = 9c) f ( x ) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 3 2x + 3 = 0 ⇔ x = − 2 3 Logo, f (x) = 0 ⇔ x = − 2 3Resposta: a) 15 b) 9 c) − 2Exemplo 4 Considere a função f : ℝ → ℝ∗ tal que: + f (1) = 5 f ( u ) ⋅ f ( v ) = f ( u + v ) , para todo u e v Obter:a) f(2) d) f(-1) 1b) f(3) e) f  2c) f(0)Resolução:a) f (1) ⋅ f (1) = f (1 + 1) Como f (1) = 5 , tem-se que f ( 2 ) = 25 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 79
  • 80. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginhab) f (1) ⋅ f ( 2 ) = f (1 + 2 ) Como f (1) = 5 e f ( 2 ) = 25 , tem-se que f ( 3) = 125c) f ( 0 ) ⋅ f (1) = f ( 0 + 1) f ( 0 ) ⋅ f (1) = f (1) f ( 0) ⋅ 5 = 5 f ( 0) = 1d) f ( −1) ⋅ f (1) = f ( −1 + 1) f ( −1) ⋅ f (1) = f ( 0 ) f ( −1) ⋅ 5 = 1 1 f ( −1) = 5 1 1 1 1e) f  ⋅f   = f  +  2 2 2 2 2   1  f  2   = f (1)    2   1  f  2   = 5    1 1 Como f   ∈ ℝ∗ , segue que + f = 5 2 2Resposta: a) 25 b) 125 c) 1 d) 1/5 e) 58.3. Domínio de uma função real de variável real Sejam D um subconjunto não vazio de ℝ e f : D → ℝ uma função. Então sabemosque, para todo x, x ∈ D , existe y, y ∈ ℝ , tal que y = f ( x ) . Nestas condições, diremos que f é uma função real de variável real. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 80
  • 81. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Estabeleçamos ainda a seguinte convenção: Quando o domínio D de uma função f real de variável real não for especificado, este seráo conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) seja um número real, isto é,D = {x ∈ ℝ | f ( x ) ∈ ℝ} . Quando o contradomínio de uma função real de variável real não for especificado, deve-sesubentender que este seja o conjunto ℝ de todos os reais.Exemplo 5 1 Qual o domínio da função f (x) = ? xResolução: 1 Devemos obter o conjunto de todos os valores reais de x para os quais seja real. xRepare que a única condição para isto é que x seja diferente de 0 (zero).Resposta: O domínio de f é o conjunto ℝ∗ .Exemplo 6 Qual o domínio da função f (x) = x ?Resolução A condição para que x seja real é que x seja um número real não negativo, isto é, xdeve ser positivo ou nulo.Resposta: O domínio de f é o conjunto ℝ+ .8.4. Conjunto imagem Sendo A e B conjuntos e f :A → B uma função, sabemos que, para cada x, x ∈ A ,existe um único y, y ∈ B , tal que y = f ( x ) . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 81
  • 82. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha A B Im Fica determinado assim um subconjunto de B cujos elementos são os correspondentesdos elementos de A pela função f. Este subconjunto é chamado de conjunto imagem de f. Em símbolos: { I m = y ∈ B | ( ∃x ) ( x ∈ A e y = f ( x ) ) }Exemplo 7 Sejam G um conjunto de pessoas e H o conjunto dos dias do ano de 1992. Se associamosa cada elemento de G o seu dia de aniversário em H, teremos uma função em que:− o domínio é o conjunto G− o contradomínio é o conjunto H− o conjunto imagem é o conjunto de todos os dias de 1992 (elementos de H) em que pelo menos uma pessoa, elemento de G, faça aniversário.Observação: Determinar o conjunto imagem de uma função dada poderá exigir técnicas e conceitosavançados. Nos próximos exemplos veremos apenas alguns casos simples e fundamentais.Exemplo 8 Sejam A = {−1, 0,1, 2} e B = {0,1, 2,3, 4,5} . Obter o conjunto imagem da funçãog :A → B , g ( x ) = x 2 .Resoluçãog ( −1) = 1 , g ( 0 ) = 0 , g (1) = 1 e g ( 2 ) = 4Resposta: {0,1, 4}Exemplo 9 Obter o conjunto imagem da função f :ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 82
  • 83. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResoluçãoDevemos obter o conjunto de todos os reais y para os quais exista pelos menos um valor real dex, tal que y = x 2 . Repare que é necessário e suficiente que y seja maior ou igual a zero, dado queo expoente é um número par.Resposta: Logo, o conjunto imagem é Im = ℝ +Exemplo 10 3x − 7 Obter o domínio e o conjunto imagem da função f (x) = x − 10ResoluçãoComo não se define divisão por zero, devemos ter x − 10 ≠ 0 .Logo, o domínio D de f é ℝ − {10} . 3x − 7 Para cada real x, x ≠ 10 , existe um real y tal que y = . x − 10Segue que:y ( x − 10 ) = 3x − 7xy − 10y = 3x − 7xy − 3x = 10y − 7x ( y − 3) = 10y − 7 Observe que, para y=3, obtemos a equação x ⋅ 0 = 23 , que não possui solução real. 10y − 7 Por outro lado, para todo real y, y ≠ 3 , segue que existe x e x = y−3Resposta: Portanto, D = ℝ − {10} ; I m = ℝ − {3}8.5. Gráfico Sendo f uma função real de variável real, chama-se de gráfico de f ao conjunto de todospontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x). Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 83
  • 84. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y (x,y) xExemplo 11 Esboce o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = xResolução y 1 (1,1) 1 xO gráfico é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x) = x, isto é, abissetriz dos quadrantes I e III.Exemplo 12 Esboce o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2Resolução y (0,2) xO gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano com ordenada y igual a 2.Exemplo 13 O gráfico abaixo representa a função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = mx + n , onde m e n sãoconstantes reais. Obter os valores de m e n. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 84
  • 85. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y 2 (2,2) 1 (0,1) xResolução( 0,1) ∈ f ⇒ f ( 0) = 1 ( m )( 0 ) + n = 1 n =1( 2, 2 ) ∈ f ⇒ f ( 2) = 2 ( m )( 2 ) + n = 2 ( m )( 2 ) + 1 = 2 1 m= 2 1Resposta: m= e n =1 28.6. Crescimento de uma função Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B. Seja I um subconjuntode A. Então:− f é uma função crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { x1 , x 2 } , x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) > f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) aumenta. y x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 85
  • 86. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha− f é uma função decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { x1 , x 2 } , x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) < f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) diminui. y x− f é uma função constante em I se, e somente se, para todo par de elementos { x1 , x 2 } de I, tivermos f ( x1 ) = f ( x 2 ) . y x− f é uma função não crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { x1 , x 2 } , x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) ≤ f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) não aumenta. y x− f é uma função não decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I, { x1 , x 2 } , x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) ≥ f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) não diminui. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 86
  • 87. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y x8.7. Conjunto simétrico Um conjunto A, A ⊂ ℝ , é dito simétrico se, e somente se, para todo x, x ∈ A , tivermos−x ∈ A . Assim, os conjuntos {−3,3} , [ −3,3] , ℤ , ℚ e ℝ são exemplos de conjuntos simétricos,enquanto os conjuntos [ −3, 4] e ℕ não o são.8.8. Paridade de uma função Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função par se, e somente se,para todo x, x ∈ D , tivermos que f ( − x ) = f ( x ) . Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função ímpar se, e somentese, para todo x, x ∈ D , tivermos que f ( − x ) = −f ( x ) . Chamamos de função sem paridade àquela que não é par nem ímpar.Exemplo 14 Verificar a paridade das seguintes funções:a) f (x) = 3b) f (x) = xc) f ( x ) = x2 + 7d) f ( x ) = 2x + 7e) f ( x ) = g ( x ) + g ( − x ) , onde g é uma função de ℝ em ℝResoluçãoa) f ( − x ) = 3 = f ( x ) , logo f é uma função parb) f ( − x ) = x = −f ( x ) , logo f é uma função ímpar Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 87
  • 88. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha f ( − x ) = ( − x ) + 7 = f ( x ) , logo f é uma função par 2c)d) f ( − x ) = −2x + 7 f ( − x ) = f ( x ) e f ( − x ) = −f ( x ) , logo f não tem paridadee) f ( − x ) = g ( − x ) + g ( x ) = f ( x ) , logo f é uma função par Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 88
  • 89. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha9. A função do 1° grau9.1. Função do primeiro grau Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B. Diremos que f é umafunção do primeiro grau, ou uma função afim, se e somente se, existirem constantes reais m e n,m ≠ 0 , tais que f ( x ) = mx + n , para todo x, x ∈ A . Se nas condições acima tivermos n = 0, diremos que a função f é linear. Repare que,neste caso, tem-se que: f (0) = 0 f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) , quaisquer que sejam u e v f ( k ⋅ x ) = k ⋅ f ( x ) , qualquer que seja a constante k O gráfico de toda função deste tipo é um conjunto de pontos colineares e, em particular,se A = ℝ , então o gráfico é uma reta. y θ (0,n) x A constante m é igual à tangente do ângulo θ, indicado no gráfico, é chamada decoeficiente angular da reta e consiste numa espécie de taxa de crescimento ou de decrescimentoda função. Com m > 0, a função é crescente (0 < θ < 90°), e com m < 0, a função é decrescente (90°< θ < 180°). Por outro lado, a constante n indica onde a reta y = mx + n intercepta o eixo y. Estaintersecção é o ponto (0,n). No caso da função ser linear, isto é, n=0, o gráfico é uma reta que “passa” pela origem.Exemplo 1Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 89
  • 90. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResposta: y 1 (1,1) 1 xExemplo 2Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x + 2 .Resposta:Como uma reta é determinada por dois pontos distintos, podemos atribuir simplesmente doisvalores a x para obter dois pares ordenados. y x y 3 (1,3) 0 2 1 3 (0,2) 1 x 1Exemplo 3Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2x .Resposta: y x y 0 0 2 1 2 (1,2) 1 x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 90
  • 91. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 4Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = − x .Resposta: x y y 0 0 -1 1 (-1,1) 1 -1 xExemplo 5Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2x − 3 .Resposta: y x y 0 -3 1 1 -1 x -1 (0,-3)Exemplo 6  x, se x ≤ 0Esboçar o gráfico da função f : ℝ → ℝ, f ( x ) =  . − x + 3, se x > 0Resposta: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 91
  • 92. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y (0,3) -1 3 x (-1,-1) -19.2. Teorema Sendo f ( x ) = mx + n (com m e n constantes) uma função em ℝ , tem-se que: f ( r ) − f (s ) =m r −s para todo par de números reais r e s, r ≠ s . A demonstração é imediata. Veja: f ( r ) = mr + n e f ( s ) = ms + n , logo f ( r ) − f ( s ) = mr + n − ms − n = m ( r − s ) . f ( r ) − f (s ) Como, por hipótese, r ≠ s , segue que m = . r −sExemplo 7 Identificar a função f dada pelo gráfico: y 5 (6,5) 3 (2,3) 2 6 xResolução:Como o gráfico é uma reta, a f é definida em ℝ e é tal que f ( x ) = mx + n , onde m e n sãoconstantes. f ( 6) − f ( 2)m= 6−2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 92
  • 93. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 5−3m= 4 1m= 2 1f ( 2) =   2 + n 23 = 1+ n ⇒ n = 22ª maneira: f ( 6 ) = 5 Sendo f ( x ) = mx + n , segue que  f ( 2 ) = 3  6m + n = 5Daí  2m + n = 3 1Resolvendo este sistema, conclui-se que m= e n = 2. 2 xResposta: f : ℝ → ℝ, f ( x ) = +2 2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 93
  • 94. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha10. A Função do 2° Grau10.1. Função do segundo grau Sejam A e B subconjuntos de ℝ e seja f uma função de A em B. Se existirem constantes reais a, b e c, com a ≠ 0 , tais que f ( x ) = ax 2 + bx + c , paratodo x, x ∈ A , diremos que f é uma função do segundo grau (ou uma função quadrática). Pode-se provar que o gráfico de uma função do segundo grau é um subconjunto de umaparábola. Se A ∈ ℝ , então o gráfico de f é uma parábola.10.2. A parábola Antes de prosseguir, vamos estudar o conceito de parábola. Consideremos, num plano α, uma reta (d) e um ponto (F), F∈d . Chama-se de parábola ao conjunto de todos os pontos do plano α que eqüidistam de (d) e(F). Observe, na figura abaixo, que os pontos V, P1 e P2 são eqüidistantes da reta (d) e doponto (F). P1 (F) P2 V (d) O roteiro a seguir mostra como obter outros pontos que eqüidistam de (d) e (F):− considerar o semiplano αF como origem na reta (d) ao qual pertence o ponto (F).− traçar em αF uma reta (r) paralela a (d), de modo que a distância h, de (r) a (d), seja maior que a distância de (V) a (d).− traçar uma circunferência λ de centro (F) e raio h.− os pontos obtidos pela intersecção da circunferência com a reta (r) são eqüidistantes da reta (d) e o ponto (F) e são, portanto, pontos da parábola. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 94
  • 95. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha (e) λ parábola αF P (r) (F) h P1 P2 h V (d) Observe que:− existem infinitos pontos na parábola.− a parábola é uma figura simétrica em relação à reta (e) determinada pelos pontos (F) e (V).− a reta (e) é chamada eixo da parábola.− o ponto (V) é chamado vértice da parábola.Exemplo 1 Esboçar, no mesmo plano, os gráficos das funções:a) f ( x ) = x2b) g ( x ) = −x 2Resolução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 95
  • 96. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y a) x f(x) (2,4) 0 0 1 1 -1 1 2 4 -2 4 y = f(x) (-1,1) (1,1) -1 1 2 x b) x g(x) 0 0 (-1,-1) (1,-1) 1 -1 -1 -1 -1 2 -4 y = g(x)10.3. Considerações− A parábola y = ax 2 + bx + c tem a concavidade no sentido do eixo y se, e somente se, a > 0, e no sentido oposto se, e somente se, a < 0. a>0 x x a <0− A toda expressão ax 2 + bx + c corresponde um número ∆ = b 2 − 4ac , chamado discriminante, que, como veremos, tem papel importante no estudo das funções.− Quando ∆ > 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, ( x1 , 0 ) e ( x 2 , 0 ) , onde x1 e x2 são as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 . a>0 V x1 x2 x x1 x2 x V a<0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 96
  • 97. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha  −b − Quando ∆ = 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c é tangente ao eixo x, no ponto  , 0  . Repare  2a  que quando tivermos o discriminante ∆ = 0 , as duas raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 são −b iguais a . 2a a>0 x1 = x2 x 1 = x2 x x a <0− Se ∆ < 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c não intercepta o eixo x. V x x V− Na parábola y = ax 2 + bx + c existem dois pontos em que y = c, e estes correspondem aos −b  pares ordenados ( 0, c ) e   ,0 .  2a  y  b   − ,c  (0,c)  a  yV V xV b x − a− A parábola é simétrica em relação a uma reta chamada eixo da parábola. Sobre esta reta se encontra o vértice da parábola. Em todos os casos o vértice da parábola y = ax 2 + bx + c é o −b −∆ ponto V, de abscissa xV = e ordenada y V = . 2a 4a −b Que xV = é conseqüência direta da simetria da parábola, e para obter yV basta 2alembrar que yV = f ( x V ) : Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 97
  • 98. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhayV = a ⋅ x2 + b ⋅ xV + c V 2  −b   −b  = a  b +c  2a   2a  2 2 b b = a⋅ 2 − +c 4a 2a b2 b 2yV = − +c 4a 2a b2 − 2b2 + 4ac = 4a −b + 4ac 2 = 4a −∆ = 4a Repare que, se x for uma variável real, então o vértice corresponde a um extremo(máximo ou mínimo) da função y = ax 2 + bx + c .Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função f(x) = x – 2x – 3, 2 ( x ∈ ℝ ) e obter o seu conjunto imagem.Resolução: y -1 3 x raízes: 3 e -1 −b vértice: x V = =1 2a y V = f (1) = −4 -3 (1,-4)Resposta: Im = { y ∈ ℝ | y ≥ −4}Exemplo 3 2 Esboçar o gráfico da função f(x) = x – 2x +3 e obter o valor mínimo de y.Resolução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 98
  • 99. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha y ∆ = −8 −b xV = =1 2a −∆ 2 yV = =2 (1,2) 4a 1 xResposta: 2Exemplo 4 2 Esboçar o gráfico da função f(x) = 3x - x e obter o valor máximo de f(x).Resolução: y −b 3 xV = = 3 9 2a 4a  ,  2 4 3 9 yV = f   = 2 4 0 3 x 9Resposta: 4Exemplo 5 Qual a função representada pela parábola abaixo? y 4 (1,4) -1 1 2 xResolução:1ª maneira:Seja f ( x ) = ax 2 + bx + c . Então temos que: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 99
  • 100. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha(1,4 ) ∈ f ⇒ f (1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 4( −1,0 ) ∈ f ⇒ f ( −1) = a ( −1) + b ( −1) + c = 0 2( 2,0 ) ∈ f ⇒ f ( 2 ) = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 0Resolvendo o sistema a+b+c = 4 a−b+c = 04a + 2b + c = 0obtemos a = - 2, b = 2 e c = 4.Logo, a função é f : ℝ → B , f ( x ) = −2x 2 + 2x + 4 , com B ⊂ ℝ .2ª maneira:Lembrando que ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) , onde x1 e x2 são as raízes -1 e 2, tem-se quef ( x ) = a ( x − x1 )( x − x 2 ) .Por outro lado, de f (1) = 4 segue que a (1 + 1)(1 − 2 ) = 4 isto é, −2a = 4 , ou ainda a = −2 .Logo, f ( x ) = −2 ( x + 1)( x − 2 ) = −2x 2 + 2x + 4 .Resposta: f : ℝ → B , f ( x ) = −2x 2 + 2x + 4 , com B ⊂ ℝ .Exemplo 6 Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outroslados será usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser asdimensões do galinheiro para que sua área seja máxima.Resolução:Sendo u e v as dimensões do galinheiro, tem-se que: u + 2v = 25 ( u = 25 − 2v )A área do galinheiro será igual a A = u . v, ou ainda A = v ( 25 − 2v ) = −2v 2 + 25vAbaixo temos o gráfico da área A em função de v. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 100
  • 101. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha v v uÉ fácil concluir que a área será máxima para −b −25 v= = = 6,25 2a −4Nestas condições, tem-se que u = 25 – 2v = 12,5.Resposta: 12,5 m por 6,25 m Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 101
  • 102. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaReferências Bibliográficas[1] TEIXEIRA, J. C. et al. Matemática, Livro 1, Assuntos Básicos. São Paulo: Gráfica e Editora Anglo LTDA, 1990-1991. 58p. (Coleção Anglo)[2] AMSON, G. A. J. V.; JAMAL, R. M. E.; TEIXEIRA, J. C. Matemática, Livro 2, Álgebra I. São Paulo: Gráfica e Editora Anglo LTDA, 1990-1991. 91p. (Coleção Anglo) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 102
  • 103. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaMATEMÁTICA II Prof. Paulo Henrique Cruz Pereira ÍNDICE1. RAZÕES E PROPORÇÕES: ..................................................................................................... 105 1.1. RAZÃO .................................................................................................................................. 105 1.2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS: ................................................................................................ 106 1.3. PROPORÇÃO: ........................................................................................................................ 1072. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ............................................................................................. 109 2.1. PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:.................................... 109 2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: ................................ 1103. DIVISÃO PROPORCIONAL ..................................................................................................... 112 3.1. DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:............................................................... 112 3.2. DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: ............................................................ 112 3.3. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA: ..................................................................................... 1144. REGRA DE TRÊS ...................................................................................................................... 116 4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES ...................................................................................................... 116 4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA .................................................................................................. 1175. PORCENTAGEM ....................................................................................................................... 119 5.1. CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: .............................................................................................. 119 5.2. ELEMENTOS DOS CÁLCULOS PORCENTUAL ............................................................................. 1206. JUROS SIMPLES ...................................................................................................................... 123 6.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 123 6.2. RELAÇÃO ENTRE CAPITAL, JUROS SIMPLES E MONTANTE ....................................................... 124 6.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...................................................................................................... 1247. SISTEMA MÉTRICO.................................................................................................................. 129 7.1. MEDIDAS DE COMPRIMENTO .................................................................................................. 129 7.2. UNIDADES DE POTÊNCIA DE 10 .............................................................................................. 129 7.3. MEDIDAS DE TEMPO .............................................................................................................. 123ATIVIDADES EM GERAL.............................................................................................................. 1248. GEOMETRIA.............................................................................................................................. 126 8.1. DEFINIÇÕES .......................................................................................................................... 126 8.2. CONHECENDO A GEOMETRIA PLANA....................................................................................... 127 8.2.1. Triângulos .................................................................................................................... 128 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 103
  • 104. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 8.2.2. Quadriláteros ............................................................................................................... 129 8.2.3. Polígonos..................................................................................................................... 132 8.2.4. Circunferência (Círculo)............................................................................................... 135 8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo ........................................................................... 137 8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos ......................................................................................... 139 Fórmulas em Geral de Geometria ......................................................................................... 143REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................. 145 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 104
  • 105. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1. RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todosos temas a serem trabalhados ao longo do curso se baseiam nas grandezas proporcionais. Maspara compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceitode razão em Matemática.1.1. Razão Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 sãoanalfabetos”, “De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias dechuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. Noprimeiro caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quocientechamado razão.Temos, então: 5 1 1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = = 20 4 2 1 2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = = 10 5 3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 1/2 Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b. a Indica-se: ou a : b e lê-se a para b. b O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente.Exemplos: 3 1. A razão de 3 para 12 é: =¼ 12 20 2. A razão de 20 para 5 é: =4 5 2 3. A razão de 5 e ½ é = 5 . = 10 1 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 105
  • 106. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.2. Razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que arazão entre duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeiragrandeza e a medida da segunda grandeza. - Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas namesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos: 2m 2 1. A razão de 2 m para 3 m é: = 3m 3 30dm 3m 2. A razão de 30 dm para 6 m = = = ½ 6m 6m - Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidadedepende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.Exemplo: Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 160km = 80 Km/h 2hATIVIDADES:1.Calcule a razão entre as grandezas:a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l deálcool f) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d2.No vestibular de 2005 da Faculdade concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros deágua. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções temmaior teor alcoólico?4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 106
  • 107. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.3. Proporção: Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem serexpressas por razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmoquociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemossupor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática.Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80. 10 20 Escrevemos: = 40 80 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Portanto: Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d * a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.Propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.Exemplo: 2 9 = 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36 4 18Transformações de uma proporção: Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modoque a igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.Exemplo: Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la : • alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 • alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 107
  • 108. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha • invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160 • transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla): Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente.Exemplo: 6 10 12 8 6 + 10 + 12 + 8 6 10 12 8 = ou ou ou 3 5 6 4 3+5+ 6+ 4 3 5 6 4ATIVIDADES:1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades: 9,5 − 4,82 14,1 5/9 2/3a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d) = 2 60 2/3 0,82.Encontrar o valor de x nas proporções: x+2 −2a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) = x x −33.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 108
  • 109. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas detal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número dequilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operáriosempregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho. A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma emrelação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: aproporção direta e a proporção inversa.2.1. Proporção Direta ou Grandezas Diretamente Proporcionais: Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média edistância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombraprojetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta oudiminui. Então: Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.Exemplo 1: Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diáriaindividual. Veja na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária. Número de pessoas 1 2 4 5 10 Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00 Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumentoda despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesadiária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e a despesadiária são iguais: 1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 109
  • 110. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10Exemplo 2: Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessaordem, porque possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade: 3/ 6 = 10/20 = 8/16 ↓ ↓ ↓ ½ = ½ = ½2.2. Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais: Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para amesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher umtanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá. Então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza.Exemplo 1: Suponhamos que no exemplo analisado anteriormente (razão direta), a quantia gasta pelogrupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerádo número de pessoas. Analise a tabela: Número de pessoas 1 2 4 5 10 Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2 Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência sereduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas enúmero de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual aoinverso da razão do tempo de permanência: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 110
  • 111. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 1 2 4 5 10 = = = = = 20 1 / 20 1 / 10 1/ 5 1/ 4 1/ 2 Exemplo 2: Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem,porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elementocorrespondentes na segunda sucessão são iguais. 9 6 2 = = = 16 1 / 4 1 / 6 1 / 18 ATIVIDADES: 1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aosnúmeros 6, 2 e 1. 2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamenteproporcionais aos números da sucessão (4,5,6) 3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionaisaos números 4, 2 e 1. 4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamenteproporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36. 5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamenteproporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 111
  • 112. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha3. DIVISÃO PROPORCIONAL3.1. Divisão em partes diretamente proporcionais: Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhoudurante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serãopagos por essa tarefa? Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional aotempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto: Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e5 são as horas que as pessoas A e B trabalharam. Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então: x + y = 660 e x/6 = y/5 Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemosresolver : x+ y x y 660 x y = = = = 6+5 6 5 11 6 5 Onde: 660 x 660 y = = 11 6 11 5 x = 360 y = 300 Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.3.2. Divisão em partes inversamente proporcionais: E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais? Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar evender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, comoefetuar essa divisão com justiça? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 112
  • 113. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, poisdeve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados. Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, quesão os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem areceber e de y o que B tem a receber. x + y = 160 x y x+ y 160 160 x = = x = 100 1/ 3 1/ 5 1 / 3 + 1 / 5 8 / 15 8 / 15 1 / 3 160 y = y = 60 8 / 15 1/ 5 Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.ATIVIDADES:1. Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)2. Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e60)3. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se umtrabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo detrabalho? (84 e 96)4. A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para osquatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, paraaqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiadosfizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)5. Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suasidades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)6. Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a partecorrespondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 113
  • 114. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha3.3. Divisão proporcional composta: Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duasturmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: naprimeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homenstrabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, comodividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho? Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta empartes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números dehomens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que:- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 .5).- Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ).Portanto: Para dividir um número em partes, de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta dividir esse número em partes proporcionais a m . n e p . q.Resolvendo o problemas, temos: x y x y x+ y x 29400 x = ou = = = x = 15 000 10.5 12.4 50 48 50 + 48 50 98 50 Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$14.400,00.ATIVIDADES:1. Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamenteproporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)2. Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamenteproporcionais a 5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)3. Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisãofosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. Asmoças tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a serdividida entre elas era de R$ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2184 000). Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 114
  • 115. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha4. (BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu narazão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razãoinversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)5. (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeirosfregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes 5inversamente proporcionais a 2 ¼ , e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a 3ser pago? (120)6. (TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segundacomo 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ªparte? (300) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 115
  • 116. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha4. REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação degrandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essasgrandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos ebusca-se encontrar o quarto termo. Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, ea composta, que envolve mais de duas grandezas.4.1. Regra de Três Simples A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezasdiretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabelacolocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos umaequação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezasforem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feitainvertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamenteproporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais,dizemos que a regra de três é inversa.Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem serexpressas sempre na mesma unidade de medida Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: - Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. - Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamentaldas proporções.Exemplo: Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros domesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentosacima: Comprimento(m) Preço(R$) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 116
  • 117. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 5 80,00 9 x 5 80 80.9 = x = x = 144,00 9 x 5ATIVIDADES:1. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesmaobra?2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriamnecessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?3. Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras demesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?4. Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte domesmo tecido de 3m x 5 m?5. Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?4.2. Regra de Três Composta A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Osprocedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependênciainversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos oselementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém avariável com as demais grandezas.Exemplo: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças dessemesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias? Nº de operários Nº de dias Nº de peças 3 6 400 7 9 x Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos quesão diretamente proporcionais. Então: 400 3 .6 400 18 400 2 = = = 2x = 2 800 x = 1.400 peças x 7 .9 x 63 x 7ATIVIDADES:1. Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá500 Km, viajando 5 horas por dia? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 117
  • 118. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha2. Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos,durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?3. Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesmacapacidade, prepararão 800 páginas?4. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazercerto percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo elefaria o mesmo percurso?5. Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quantotempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham omesmo tanque?6. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes.Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia,durante 15 dias?7. Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriamnecessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?8. Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantosdólares conseguirá comprar? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 118
  • 119. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5. PORCENTAGEM Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ Oíndice de reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “Liquidação de inverno com 30% de desconto”... Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem,portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como umarazão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “por cento“. 80 = 0,80 = 80% 1005.1. Cálculos de Porcentagem: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:Exemplo: Quanto é 20% de 800? 20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160 ou usando taxa unitária: 20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 1602º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quantopassou a ser o seu novo salário? Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:1ª). 2000 100% 2000.5 x 5% x= x = 100,00 100 Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,002ª) 2 000 100% 2000.105 x 105% x= 100 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 119
  • 120. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha x = 2 100,00 Salário: 2 100,00Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00.Qual foi a taxa de desconto? 15 000 100% 100.1800 1800 x x = x = 12% 100 Taxa de desconto: 12%Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valorporcentual de 5 200,00. De quanto era o capital? 13% 5 200 100.5200 100% x x= x = 40.000 100 Capital: R$ 40 000,005.2. Elementos dos Cálculos Porcentual Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculode porcentagem: Principal ou Capital: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P ou C) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem ou juros: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p ou j) Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio: Pr incipal.taxa P.i 100. p 100. p Porcentagem = p= , onde P= e i= 100 100 i P Também poderemos encontrar em algumas literaturas: C.i j.100 100. j j= , onde C= e i= 100 i C Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 120
  • 121. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaÉ mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25ATIVIDADES:1. Calcular:a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 5502. Qual a taxa unitária de 20%?3. Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?4. Qual é o número principal em que 20 representa 3%?5. Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?7. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15%. Quanto ganhou?8. Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados numconcurso público com 6 500 inscritos?10. Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste(que naquele dissídio seria 7,5%) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salárioera de R$ 2.850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$3.092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foiatendido.11. Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida,vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi ataxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?12. Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foramencontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool.Quanto por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/13. Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação,restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?14. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessacidade se nela residem 60 500 mulheres?15. Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial,calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.16. Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?17. Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00de comissões, qual o total vendido por ele?18. Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 121
  • 122. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha19. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinadodia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulasnesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?20. Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi ataxa de desconto? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 122
  • 123. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha6. JUROS SIMPLES6.1. Introdução Juros simples é o regime de remuneração do capital onde a taxa de juros é aplicadasempre sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os períodos de aplicação. Não se trata, portanto, de porcentuais acumulados, pois é calculado sempre sobre omesmo valor. Exemplo: Um capital de R$ 1.000 é aplicado a 20% ao mês, durante o tempo de 4meses. Quais os juros? Solução: 20% de R$ 1.000 é igual a R$ 200. Como o capital foi aplicado por 4 meses, a quantia total dos juros é de 4 x R$ 200 = R$ 800. Podemos também calcular o porcentual total, ou 20% ao mês durante 4 meses resultam 80%. 80% de 1.000 resultam R$ 800. O porcentual total é calculado portanto, multiplicando a taxa (i) pelo número de períodos de tempo ( t ), tomados em unidades adequadas.Exemplos:a) i = 20% ao mês (a.m) t = 3 meses it = 20 x 3 = 60%b) i = 45% ao ano (a.a.) t = 8 meses it = (45/12) x 8 = 30%c) i = 25% ao mês (a.m.) t = 2 anos it = 25 x 24 = 600%d) i = 30% ao ano (a.a.) t = 4 meses it = (3/12) x 4 = 1%Observações: 1) Quando na taxa não vem explicando o período de tempo, considera-se o período anual; 2) Para efeito comercial, considera-se: 1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 123
  • 124. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha6.2. Relação entre Capital, Juros Simples e Montante Como o porcentual total (it) é aplicado sobre o capital (C), podemos montar asseqüências diretamente proporcionais: Capital C --------- 100% Juros J ------- it% Montante M ---------- (100 + i t) % lembrando que o montante M é a soma do capital mais juros.6.3. Exercícios Resolvidos a) Um capital de R$15.000 foi aplicado a uma taxa de 60% a.a., durante 4 meses. Quais os juros? Solução: 60Calculando o porcentual total, temos: it = x 4 = 20% 12 Cit 15000 x 20Montando a proporção: j= j= 3.000 100 100 Resposta: Juros de R$ 3.000. b) Um capital foi aplicado a 24% a.a. durante 8 meses, rendendo juros de R$ 1.600. Qual o capital aplicado? Solução: 24Calculando o porcentual total, temos: it = x8 = 16% 12 Cit jx100 1600 x100Montando a proporção: j= C= C= = 10.000 100 it 16 Resposta: Capital de R$ 10.000. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 124
  • 125. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha c) O capital de R$ 12.000 foi aplicado durante 9 meses, rendendo juros de R$ 4.320. Qual a taxa de juros? Solução:Calculando porcentual total, temos: it = i x 9 = 9i% Cit jx100 4.320 x100Montando a proporção: j= it = 9i = 9i = 36 i = 4% a.m. 100 C 12.000 Resposta: A taxa é de 4% ao mês (a.m.) ou 48%) ao ano (a.a.). d) O capital de R$ 25.000 foi aplicado a 36% ao mês, rendendo juros de R$ 4.500. Qual o tempo de aplicação? Solução:Calculando o porcentual total, temos: it = 36t. Cit jx100 4.500 x100Montando a proporção: j= it = 36t = 36t = 18 t = ½ mês 100 C 25.000 Resposta: Tempo de 1/2 mês ou 15 dias. e) Um capital foi aplicado a uma taxa de 18% a.m., durante 75 dias, gerando um montante de R$ 7.250. Qual foi o capital aplicado? Solução: 18Calculando o porcentual total, temos: it = x75 = 45% 30 C (100 + it ) Mx100 7.250 x100Montando a proporção: M = C + j M = C= C= 100 100 + it 100 + 45 C = 5.000 Resposta: O capital foi de R$ 5.000. f) 1/4 de um capital foi aplicado a 10% a.m., durante dois meses. O restante foi aplicado a 5% a.m., durante o mesmo tempo. O total de juros obtidos foi de R$ 1.250. Qual o capital aplicado? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 125
  • 126. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Solução:Calculando os porcentuais totais, temos: 1) it= 10x2= 20% 2) it= 5x2= 10%,.Vamos resolver o problema supondo o capital inicial de 100. 20% 1/4 25 5,0100 12,5 (juros totais para 100) 3/4 75 7,5 10%Ou seja, para um capital de 100 obtivemos juros totais de 12,5, que são números diretamenteproporcionais aos valores do problema. 100 -------------- 12,5 1.250 x100Por regra de 3 temos: donde: x= = 10.000 12,5 X ------------- 1.250 Resposta: O capital total foi de R$ 10.000. g) Dois capitais foram aplicados a 36% a.a. durante 4 meses. Os juros dos capitais diferem de R$ 360. Qual a diferença entre os capitais? Solução: Se a diferença entre os juros é de R$ 360, esta foi devida à diferença dos capitais. Paradeterminarmos a diferença dos capitais, basta determinar qual o capital que, na taxa e no tempodados, renderia juros de R$ 360.Temos portanto: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 126
  • 127. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 36 Cit jx100Porcentual total: it = x 4 = 12% na proporção j= C= 12 100 it 360 x100C= = 3.000 12 Resposta: A diferença entre os capitais é de R$3.000. h) Qual a taxa necessária para que um capital, em 4 anos, triplique de valor? Solução:Supondo um capital 100, teremos um montante de 300. C (100 + it ) Mx100 300 x100M=C+j M = C= 100 = 4i = 300 – 100 i = 50 100 100 + it 100 + 4i Resposta: A taxa necessária é de 50% ao ano.ATIVIDADES01) O capital de R$ 3.500, em 6 meses, a 4% a.a., produz juros, em Reais, de a) 55. b)60. c) 65. d) 70. e) 75.02) Um capital de R$ 1.500 produz juros de R$ 25, em 75 dias, a uma taxa de a) 6% a.a. b) 7% a.a. c) 8% a.a. d) 9% a.a. e) 10% a.a.03) O capital de R$ 48.000 produz R$ 11.160 de juros, a uma taxa de 9%, em a) 2a 7m. b) 2a 6m. c) 2a 5m. d) 2a 4m. e) 2a 3m.04) O capital que a taxa de 6,5% a.a., em 6 anos, produz um montante de R$ 2.085, em Reais, é a) 1.350. b) 1.400. c) 1.450. d) 1.500. e) 1.600.05) O capital que diminuído de seus juros de 5 anos, 4 meses e 12 dias, à taxa de .5% a.a., reduz- se a R$ 96.580, em Reais, é a) 128.000. b) 132.000. c) 135.000. d) 136.000. e) 144.000.06) A taxa para que certo capital produza, em 5 anos, juros iguais a 2/3 de si mesmo, é Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 127
  • 128. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a) 12 1/2%. b) 12 1/3%. c) 13 2/3%. d) 13 1/2%. e) 13 1/3%.07) Um capital foi aplicado a 10% a.m. durante 5 meses. Findo este prazo, o montante foi reaplicado por um mesmo período, à taxa de 8% a.m., resultando em um montante final de R$ 21.000. O capital, em Reais, era de: a) 9.000. b) 9.500. c) 10.000. d) 10.500. e) 11.000.08) Coloquei 1/5 de meu capital a 10%, e o restante a 5%. Recebi juros anuais de RS 3.600. Em Reais, meu capital era de a) 50.000. b) 55.000. c) 60.000. d) 65.000. e) 70.000.09) Sabendo-se que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a taxa anual empregada foi de a) 10%. b) 12,5%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%.10) O tempo para que um capital triplique de valor a 20% ao ano, no regime de juros simples, em anos, é a) 5. b)8. c) 10. d) 12. e) 15.11) Dois capitais aplicados a 5% ao mês, durante 5 meses, rendem juros que diferem de R$ 750. A diferença entre os capitais, em Reais, é de a) 2.500. b) 2.750. c) 3.000. d) 3.250. e) 3.500.12) Depositei certa quantia em um banco e recebi o montante de RS 6.342 no fim de 40 dias. Se a aplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, os juros são, em Reais, de a) 40. b) 42. c) 44. d) 48. e) 52.13) Um certo capital aplicado durante 5 meses resulta em um montante de R$ 12.500 e aplicado durante 6 meses resulta em outro montante de R$ 13.000. O capital, em Reais, é a) 8.000. b) 9.000. c) 9.500. d) 10.000. e) 12.000.14) Dividindo R$ 360 em duas partes de tal forma que a primeira produza em 6 meses os mesmos juros que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma taxa de aplicação, a maior parte vale, em Reais, a) 200. b)210. c) 220. d) 230. e) 240. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 128
  • 129. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha7. SISTEMA MÉTRICO7.1. Medidas de Comprimento A unidade fundamental para medir comprimento é o metro e é representado pela letra“m”. Outras unidades são: 1) Múltiplos do metro: quilômetro, hectômetro, decâmetro. 2) Submúltiplos do metro: decímetro, centímetro e milímetro. A tabela abaixo de unidades representa um exemplo de conversão Km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001mCada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior, ou seja, 312,45 dm = 124,5 cm ou 1,245 x 10 mm8,73 dam = 0,873 hm7.2. Unidades de Potência de 10 Para facilitar a representação de números múltiplos de 10 existe as potências de 10, ouseja, podemos substituir “os zeros” por letras que contenham a sua representação. As maisutilizadas são: 9G = 10 = 1.000.000.000 = Giga 6M = 10 = 1.000.000 = Mega 3K = 10 = 1.000 = Kilo -3 1m = 10 = = mili 1.000 -6 1 = 10 = = micro 1.000.000 -9 1n = 10 = = nano 1.000.000 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 129
  • 130. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha7.3. Medidas de Tempo A unidade fundamental para medir tempo é o segundo e é representado pela letra “s”. Outrasunidades também utilizadas são:a) Horas [h] = 3.600 sb) Minutos [min] = 60 sc) Dia = 24 h = 1.440 min = 86.400 sd) Mês = 30 dias = 720 h (comercial)e) Ano = 12 meses = 360 dias (comercial)Observação: vale ressaltar que para o Sistema Internacional (SI) de medidas utilizamos o metro e osegundo.ATIVIDADES1. Realize as seguintes conversões:a) 12 m para hm, dm e mmb) 15 Km para m, dam e cm 2 2c) 10 m para cm 3 3d) 10 dm para m2. Realize as seguintes operações, em potência de 10:a) 1,2G + 100Mb) 12m + 900c) 1.200 + 2md) 110K + 20.0003. Realize as conversões de tempo:a) 120 min = ? hb) 2 h e 30 min = ? h Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 123
  • 131. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginhac) 36 h e 40 min = ? hd) 2,65 h = ? mine) 465 s = ?? h e ?? min (resposta em XX h: YY min)ATIVIDADES EM GERAL01) Na fração a/b, o numerador vale um terço do denominador. Somando-se 10 ao numerador, a fraçãotorna-se equivalente a 1. Determine o valor de a + b.02) Peguei 2/5 de R$ 10,20 e distribuí 1/3 para cada filho. Quanto recebeu cada um?03) Certa chácara dista de São Paulo 2/5 da distância entre Rio e São Paulo. Quanto gasto emcombustível para ir e voltar da chácara?Dados:Distância Rio-São Paulo: 425km;Consumo do carro: 11,1 / 3 km por litro;Preço do combustível: R$ 0,66 por litro.04) A soma de três números é 98. A razão entre o primeiro e o segundo (nesta ordem) é 2/3, e entre osegundo e o terceiro é 5/8. O segundo número é:a) 15b) 20c) 30d) 32e) 3305) Um motorista dirige um carro em velocidade constante, de uma cidade A para outra B. sabendo-seque faz 60km/h na ida e 80 km/h na volta e que gastou 9 horas e 20 minutos no percurso de ida e volta,determinar a distância entre A e B.06) Um fenômeno foi observado desde o instante 2h 30 min até o instante 7h 45 min. Quanto tempo durouesse fenômeno?07) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2cm. A massa de cada folha é de 1,2g ea massa de cada capa do livro é de 10g.a) Qual a massa do livrob) Qual a espessura de uma folha?08) Uma pessoa ganha R$ 500,00 por 10 dias de trabalho, quanto receberá por 200 dias de trabalho?09) No mesmo instante em que uma casa de 5m de altura projeta uma sombra de 20 cm, qual será aaltura, em metros, de um prédio cuja sombra projetada mede 2m?10) Para realizar uma obra, 20 operários levarão 150 dias, se o número de operários aumentar de 30, emquantos dias a obra ficará pronta?11) Para forrar as paredes de um salão, são necessárias 30 peças de papel com 70cm de largura cadauma. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura? Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 124
  • 132. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha12) Uma torneira aberta durante 4 horas enche uma banheira de 150 litros. Se a banheira tivesse metadedo volume, em quantos minutos a banheira estaria cheia?13) A água do mar contém 2,5g de sal para cada 100g de água. Quantos gramas de sal terão em 5 kg deágua do mar? 214) Para cobrir 2m de uma parede precisamos de 16 azulejos. Quantos azulejos serão necessários para 2cobrir uma parece de 8m ?15) Para realizar a metade de uma obra 10 operários levam 14 dias. Se forem empregados mais 18operários, quantos dias levarão para terminar essa obra?16) Uma roda de 20 dentes engrena com outra de 50 dentes. Quantas voltas darão esta última sabendoque a primeira deu 120 voltas?17) Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 pessoas adultas com 80kg cada uma. Quantascrianças, pesando 35 kg cada, atingiriam a carga máxima desse elevador?18) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. Quantas torneiras iguais aessa encheriam o mesmo tanque em 54 minutos?19) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra enche o mesmo tanque em 4 horas. Em quantashoras as duas juntas encheriam o tanque?20) Comprei 12 m de certo tecido e paguei R$ 48,00. Quanto cursta o metro do tecido?21) 900 gramas de glicose contêm 360 gramas de carbono, 60 gramas de hidrogênio e 480 gramas deoxigênio. Calcule quantos gramas de carbono, hidrogênio e oxigênio têm, respectiva-mente, em 300gramas de glicose.22) Uma banheira tem três formas de ser cheia. Uma torneira que enche em 3 horas, outra que leva 4 horaspara enchê-la e o chuveiro que demora 12horas para enchê-la. Se abrirmos tudo junto, em quanto tempo abanheira ficará cheia? Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 125
  • 133. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha8. GEOMETRIA A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo queessas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns dessesobjetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecemfuncionar na prática! A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos maiscomplexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias,centros de gravidade de objetos, etc.8.1. DefiniçõesPolígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada ladotem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadasvértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezestratada como se fosse o próprio polígonoPolígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão nointerior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendoestes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito nãoconvexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiverpontos que estão fora do polígono. Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Undecágono 11 Dodecágono 12Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmentoque tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que numparalelogramo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 126
  • 134. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaOs lados opostos são congruentes;Os ângulos opostos são congruentes;A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;As diagonais cortam-se ao meio.Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formamum ângulo de 90o.Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possuiquatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos,denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios doslados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética dassomas das medidas das bases maior e menor do trapézio.Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ânguloscongruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isóscelesmenor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seuslados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares eque os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.8.2. Conhecendo a Geometria Plana Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usualna Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem estacompreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o quetem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja tambémisósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderãoas vantagens de optar por uma classificação. Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de"arrumação". Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma umalinha poligonal fechada. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 127
  • 135. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha 8.2.1. Triângulos Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aoslados e quanto aos ângulos.Quanto aos lados: Equilátero Isósceles Escaleno todos os lados iguais dois lados iguais todos os lados diferentesQuanto aos ângulos: Acutângulo Obtusângulo RetânguloUm ângulo agudo Um ângulo obtuso Um ângulo reto8.2.1.1. Algumas propriedades: - Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais. - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.8.2.1.2. Área de um Triângulo Considere as seguintes figuras: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 128
  • 136. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade daárea do retângulo ABCD. Assim, de modo geral, temos: área do triângulo: S = (b.h)/2 Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base (b). A altura (l) a serconsiderada é a relativa a esse lado.8.2.2. Quadriláteros- Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem ladosparalelos).- Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos(apenas com dois lados paralelos). Paralelogramos Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo8.2.2.1. Propriedades:Retângulo: - lados opostos iguais - quatro ângulos retos Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 129
  • 137. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha - diagonais iguais que se cortam ao meio (bissteriz) - dois eixos de simetriaLosango: - quatro lados iguais - ângulos opostos iguais - diagonais perpendiculares que se cortam ao meio (bissetriz) - dois eixos de simetriaQuadrado: - quatro lados iguais - quatro ângulos retos - diagonais perpendiculares - quatro eixos de simetriaParalelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais - ângulos opostos iguais - não tem eixos de simetriaTrapézios propriamente ditos Isósceles Retangular EscalenoPropriedades:Isósceles: - dois lados iguais - um eixo de simetriaRetângular: - um ângulo reto - não tem eixos de simetriaEscaleno: - quatro lados diferentes - não tem eixos de simetria8.2.2.2. Área do Retângulo Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 130
  • 138. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginhaa = medida do comprimento ou baseb = medida da largura ou alturaS = área totaltemos que: área do retângulo: S = b.h8.2.2.3. Área do Quadrado Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais,figura abaixo:l = medida do comprimento ou basel = medida da largura ou alturaS = área total 2temos que: área do quadrado: S = l . l ou S = l8.2.2.4. Área de um Losango O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:1) O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por “D”.2) O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por “d”. Note que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são asmedidas D e d das diagonais do losango, então: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 131
  • 139. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha área do losango: S = (D.d)/28.2.2.5. Área de um Trapézio Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:1) MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B.2) PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.3) A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h. Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm amesma altura de medida h.Da figura temos:- área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN- área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2- área do trapézio = (B.h+b.h)/2 área do trapézio: S = (B + b).h/28.2.3. Polígonos Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo: Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 132
  • 140. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo: Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo: Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Os polígonos podem ser côncavos ou convexos. Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta opolígono em duas partes. Exemplo: Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determinadeixa o polígono de um só lado. Exemplo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 133
  • 141. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Os polígonos podem ser regulares ou não regulares. Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se nãoregular. Exemplo de polígonos regulares: Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.8.2.3.1. Área de um Polígono Regular Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono. A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes,em cada um desses triângulos temos:1) base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja medida vamos indicar por “l”.2) altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamosindicar por “a”.A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por: 5.(l.a)/2 Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 134
  • 142. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaLogo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono. área de um polígono regular = n.(l.a)/2Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado, a expressão 5.l/2representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.Assim temos: área do pentágono = 5.l/2Concluímos que para todos os polígonos regulares, podemos escrever: área de um polígono regular = p.aObservações: n(n − 3)1) O número de diagonais de um polígono convexo é determinado por: d= 2Onde: d = diagonal n = número de lados 02) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é Si = (n-2) . 1808.2.4. Circunferência (Círculo) Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distamigualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). Àdistância constante denominamos de RAIO (indicado por “r”). Por exemplo: r o Vejamos alguns elementos da circunferência:1) Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r).2) Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 135
  • 143. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha3) A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maiorcorda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar odiâmetro por d, logo d=2r.8.2.4.1. Área de um Circulo Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência. Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir coma região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.Assim, termos: 1) O perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CIRCUNFERÊN-CIA (C=2.pi.r).;2) O semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.;3) O apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então: 2 área de um círculo: S = pi.r.r ou S = pi.r Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 136
  • 144. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaATIVIDADES1. Coloque V (verdadeira) ou F (falsa), conforme as sentenças seguintes:a) Em qualquer losango as diagonais, cortam-se mutuamente ao meio ( )b) Em qualquer parelelogramo, as diagonais são congruentes ( )c) Em qualquer paralelogramo, as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos ( )d) Todo quadrado é inscritível e circunscritivel ( )e) Todo retângulo2. As bases de um trapézio ABCD medem: AB = 4 cm e CD = 10 cm, e a altura mede 12 cm. Calcule aárea deste trapézio. 23. Um triângulo ABC tem uma altura de 20 cm e sua base igual a 10 cm. Calcule sua área, em m .4. Um determinado círculo possui seu diâmetro igual a 24 cm. Calcule a área e o perímetro deste circulo.8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo Seja um triângulo ABC retângulo em Â, e seja α a medida de um de seus ângulos agudos: B a c C α A bTemos:a = hipotenusa c = cateto oposto b = cateto adjacenteLogo: cateto − oposto csen α = senα = (seno) hipotenusa a cateto − adjacente bcos α = cos α = (cosseno) hipotenusa a cateto − oposto ctag α = senα = (tangente) cateto − adjacente b Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 137
  • 145. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaTambém vale lembrar que: sen2 α + cos2 α = 1 e que 2 2 2 2 2 2(hipotenusa) = (cateto-oposto) + (cateto-adjacente) a =b +c (Teorema de Pitágoras)Para um triângulo qualquer temos: C b a e A c B 2 2 21) Teorema dos cossenos: a = b + c – 2bc cos α a b c2) Teorema dos senos: ^ = ^ = ^ = sen A sen B sen C 0 03) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 . â + ^b + ^c = 1804) Num triângulo qualquer, um ângulo extreno é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes aele. ê = â + ^cNota: Tabela com alguns ângulos principais Sen Cos Tag 0 1 3 3 30 2 2 3 0 45 2/2 2/2 1 0 3 1 60 3 2 2 0 90 1 0 infinitoATIVIDADES a 31. O lado de um triângulo eqüilátero mede a. Calcule a medida de sua altura. h= 22. Calcule a medida do raio da circunferência inscrita num trapézio isóceles cujas bases medem 8 m e 18 m. (r = 6m)3. Sabendo que o lado de um quadrado mede a, calcule a medida de sua diagonal. (d = a 2) Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 138
  • 146. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha4. O triangulo ABC tem base de 18 cm e altura de 12 cm. Calcule o perímetro do quadro inscrito. A B C ^5. Em relação ao triângulo ABC, qualquer, sabemos que: AB = 5 cm , BC = 8 cm e B = 600. Calcule:a) A medida do lado AC (x=7cm)b) A medida da altura AH. A 5 3(h = cm) 2 B C H6. Os lados do triângulo ABC medem: AB = 12 cm , BC = 4 7 cm e AC = 8 cm. Calcule a medida daprojeção do lado AC sobre o lado AB (base). (x=4 cm)8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos Consideremos duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t, conforme a figura abaixo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 139
  • 147. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha 0Onde: a1 é colateral de b4 e a1 + b4 = 180Pelo postulado de Euclides: a1 = a2 = a3 = a4 (ângulos agudos) e b1 = b2 = b3 = b4 (ângulos obtusos)Observação: Os ângulos a2 e a3 são chamados de alternados internos, assim como os ângulos b2 e b3.Ângulos na CircunferênciaÂngulo Central: possui o vértice no centro da circunferência e, portanto, seus lados são raios. O ângulocentral e o arco determinado por ele têm a mesma medida. α αÂngulo Inscrito: possui o vértice na circunferência e os seus lados são cordas da circunferência. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 140
  • 148. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – Varginha β βTeorema: Se um ângulo central e um ângulo inscrito estiverem determinado num mesmo arco, numamesma circunferência, o ângulo central vale o dobro do inscrito. β α α = 2βExemplo:(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados nafigura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87 Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 141
  • 149. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaSolução 0 0O arco PQ = 90 (pois PQ = 2 x 45 ) 0 0Já o arco QR = 36 (2 x 18 ) 0 0Mais uma vez o arco RS = 76 (2 x 38 ) 0 0 0 0Logo: o arco PS = PQ + QR + RS PS = 90 + 36 + 76 PS = 202 0Sabemos que o perímetro de uma circunferência ‘é de 360 , portanto: 0 0 0 0 0 PS + 202 = 360 PS = 360 – 202 PS = 158Como a medida do arco é o dobro da medida do ângulo, que desejamos, teremos: 0 O ângulo PQS = 158/2 = 79 , ou seja, letra C.ATIVIDADES 01. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 5 cm, e o ângulo formado por eles mede 30 . Calcule: 2a) A área deste triângulo. (S = 5 cm )b) A altura relativa ao lado maior. (h = 2 cm)2. Num losango, uma diagonal mede o triplo da outra. Calcule a área deste quadrilátero, sabendo que seu 2perímetro é 40 m. (S=60m )3. Calcule a área da coroa circular seguinte, sabendo que seus raios medem 4 cm e 3 cm. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 142
  • 150. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaResp.: Scoroa = 7π cm2Fórmulas em Geral de Geometria Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 143
  • 151. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaFonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 144
  • 152. ................................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII – VarginhaReferências Bibliográficas 1. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1999. 2. MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2000. 3. SPINELLI, Walter e SOUZA, Maria Helena. Matemática. São Paulo: Ática, 2001. 4. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2004. 5. NERY, Chico e TROTTA, Fernando. Matemática: Curso Completo. Rio de Janeiro: Moderna, 1988 Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 145

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