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Álgebra         Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif                              GeometriaFon...
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Apostila de Matemática - CEFET/COLTEC

  1. 1. CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAISCurso Pró-TécnicoDisciplina:MatemáticaTexto Experimental – 1a Edição Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira Varginha – Minas Gerais Dezembro de 2006
  2. 2. Álgebra Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif GeometriaFonte: http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif
  3. 3. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - VarginhaMATEMÁTICA I Prof. Antônio José Bento Bottion ÍNDICE1. TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 6 1.1. SIMBOLOGIA ....................................................................................................................................... 6 1.2. CONCEITOS PRIMITIVOS ...................................................................................................................... 6 1.3. REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO .................................................................................................. 7 1.4. MAIS DOIS POSTULADOS ..................................................................................................................... 8 1.5. DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO.............................................................................................................. 8 1.6. TEOREMAS ......................................................................................................................................... 9 1.7. COMPLEMENTAR............................................................................................................................... 10 1.8. CONJUNTO UNIVERSO ....................................................................................................................... 10 1.9. UNIÃO .............................................................................................................................................. 11 1.10. INTERSECÇÃO .................................................................................................................................. 12 1.11. DIFERENÇA ...................................................................................................................................... 13 1.12. PAR ORDENADO................................................................................................................................ 15 1.13. PRODUTO CARTESIANO ..................................................................................................................... 152. CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................. 17 2.1. NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS ........................................................................................ 17 2.2. NÚMEROS RACIONAIS........................................................................................................................ 17 2.3. NÚMEROS IRRACIONAIS..................................................................................................................... 19 2.4. NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................... 19 2.5. TEOREMAS ....................................................................................................................................... 19 2.6. OUTRAS NOTAÇÕES .......................................................................................................................... 21 2.7. INTERVALOS ..................................................................................................................................... 213. ARITMÉTICA DOS INTEIROS ............................................................................................................... 23 3.1. MÚLTIPLO E DIVISOR ......................................................................................................................... 23 3.2. NÚMERO PAR ................................................................................................................................... 23 3.3. TEOREMA ......................................................................................................................................... 25 3.4. NÚMERO PRIMO ................................................................................................................................ 26 3.5. NÚMERO COMPOSTO ........................................................................................................................ 26 3.6. TEOREMA ......................................................................................................................................... 26 3.7. FORMA FATORADA ............................................................................................................................ 28 3.8. DIVISÃO EUCLIDIANA ......................................................................................................................... 30 3.9. MÁXIMO DIVISOR COMUM .................................................................................................................. 31 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  4. 4. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha 3.10. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI .............................................................................................................. 32 3.11. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................................................. 32 3.12. TEOREMA ......................................................................................................................................... 334. TÉCNICAS DE FATORAÇÃO................................................................................................................ 34 4.1. EXPRESSÃO ALGÉBRICA .................................................................................................................... 34 4.2. VALOR NUMÉRICO ............................................................................................................................. 34 4.3. FATORAR – DESENVOLVER ............................................................................................................... 35 4.4. CASOS DE FATORAÇÃO ..................................................................................................................... 365. POTENCIAÇÃO...................................................................................................................................... 46 5.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 46 5.2. DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 47 5.3. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ....................................................................................................... 49 5.4. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ........................................................................................................ 50 5.5. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................................ 53 5.6. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................................................ 55 5.7. RESUMO .......................................................................................................................................... 566. RADICIAÇÃO ......................................................................................................................................... 58 6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 58 6.2. GENERALIZAÇÃO .............................................................................................................................. 58 6.3. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 59 6.4. PROPRIEDADES DOS RADICAIS........................................................................................................... 61 6.5. REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE .......................................................................................... 64 6.6. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................. 65 6.7. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL ................................................................................................... 66 6.8. RADICANDO NEGATIVO ...................................................................................................................... 67 6.9. PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 687. EQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................................................................................................................... 69 7.1. DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 69 7.2. RAIZ DA EQUAÇÃO ............................................................................................................................ 69 7.3. CONJUNTO SOLUÇÃO ........................................................................................................................ 70 7.4. FÓRMULA RESOLUTIVA ...................................................................................................................... 70 7.5. OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 70 7.6. EQUAÇÕES INCOMPLETAS ................................................................................................................. 72 7.7. A FORMA FATORADA ......................................................................................................................... 72 7.8. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES........................................................................................................... 73 7.9. EQUAÇÕES BIQUADRADAS ................................................................................................................. 758. TEORIA DAS FUNÇÕES ....................................................................................................................... 77 8.1. FUNÇÃO DE A EM B .......................................................................................................................... 77 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  5. 5. ............................................................................ Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais – Campus VIII - Varginha 8.2. UMA OUTRA NOTAÇÃO....................................................................................................................... 78 8.3. DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL............................................................................. 80 8.4. CONJUNTO IMAGEM .......................................................................................................................... 81 8.5. GRÁFICO .......................................................................................................................................... 83 8.6. CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO......................................................................................................... 85 8.7. CONJUNTO SIMÉTRICO ...................................................................................................................... 87 8.8. PARIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................... 879. A FUNÇÃO DO 1° GRAU....................................................................................................................... 89 9.1. FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ............................................................................................................. 89 9.2. TEOREMA ......................................................................................................................................... 9210. A FUNÇÃO DO 2° GRAU .................................................................................................................. 94 10.1. FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 94 10.2. A PARÁBOLA..................................................................................................................................... 94 10.3. CONSIDERAÇÕES.............................................................................................................................. 96 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
  6. 6. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1. Teoria dos conjuntos1.1. Simbologia Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos: Símbolo Leia-se (∀ x ) para todo x (∃ x ) existe x (∃ x ) existe um único x P⇒Q se P, então Q P⇔Q P se, e somente se, Q Na implicação P ⇒ Q , deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se aproposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença ( x > 5 ) ⇒ ( x > 3) éVERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que 3, enquanto que a sentença( x > 3) ⇒ ( x > 5) é FALSA, pois existem números maiores que 3, que não são maiores que 5. A bi-implicação P ⇔ Q é equivalente à sentença ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) . Assim, por exemplo, x = 5 ⇔ x + 1 = 6 é uma sentença verdadeira, pois as sentençasx = 5 ⇒ x + 1 = 6 e x + 1 = 6 ⇒ x = 5 são ambas verdadeiras.1.2. Conceitos primitivos O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos: − conjunto − elemento de um conjunto − igualdade de conjuntos Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A (leia-se também xpertence a A.) A notação x ∉ A significa que x não é elemento do conjunto A. É importante observar que acima não consta o conceito de “elemento”, e sim o conceito de“elemento de um conjunto”. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-seapenas se x é ou não elemento de um dado conjunto. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6
  7. 7. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.3. Representações de um conjunto Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), sãousadas as seguintes representações: − {e1, e2, ..., en}, onde e1, e2, ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição. − {x ∈A :S ( x )} , onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por finalidade selecionar elementos de A; por exemplo, {x ∈A :x > 5} . Adotaremos também o seguinte postulado: Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então osconjuntos A e B são iguais.Exemplo 1 {1, 2} = {2,1} e {1, 2} = {1, 2,1, 2, 2}Exemplo 2 Sendo ℕ = {0,1, 2,...,10,11,...} o conjunto dos números naturais, quantos são oselementos do referido conjunto: {x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} ? 2x + 5 ≤ 17 ⇒ 2x ≤ 12 e 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6 Tem-se então que x ≤ 6 e x ∈{0,1, 2,3, 4,5, 6} . Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7elementos.Resposta: 7.Exemplo 3 Quais são os elementos do conjunto ℕ dos números naturais que satisfazem à condiçãoS(x) :x + 2 ≤ 1 ? x + 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ −1 Repare que não há número natural que satisfaz tal condição.Resposta: Nenhum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 7
  8. 8. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.4. Mais dois postulados Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o“nada”, como no último exemplo, vamos estabelecer que: Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos,sem preferência por { } ou por ∅ (Postulado). Sendo assim, podemos voltar ao item 2 e obter maior precisão, se ficar estabelecido que: Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos umavez sem ser introduzida por “existe x”, nem por “para todo x”, existe sempre um conjunto B tal queB = {x ∈ A : S ( x )} (Postulado). Assim, {x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} = {0,1, 2,3, 4,5, 6} e {x ∈ℕ :x + 2 ≤1} = { } = ∅1.5. Definição de subconjunto Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todoelemento de B é elemento de A. Notação: B ⊂ A (leia-se B está contido em A). A B B ⊂ A ⇔ ( ∀x )( x ∈ B ⇒ x ∈ A )Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn. Por outro lado, tem-se que B ⊄ A se, e somente se, existir pelo menos um elemento deB que não é elemento de A. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 8
  9. 9. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Em símbolos: B ⊄ A ⇔ ( ∃x )( x ∈ B e x ∉ A )Exemplo 4 Dado o conjunto A = {1, 2,3, {3, 4}} , classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada umadas seguintes proposições:a) A possui quatro elementos ( )b) 1 ∈ A e 2 ∈ A ( )c) {1, 2} ⊂ A ( )d) {3, 4} ⊂ A ( )e) {{3, 4}} ⊂ A ( ) O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1, 2, 3 e o conjunto binário {3, 4} ;portanto, tem-se que 1 ∈ A , 2 ∈ A , 3 ∈ A e {3, 4} ∈ A . {1, 2} ⊂ A , pois 1 e 2 são elementos de A {3, 4} ⊄ A , pois 4 não é elemento de A {{3, 4}} ⊂ A , pois {3, 4} é elemento de A Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d).1.6. Teoremas Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A. Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que nãopertencesse a A (o que é absurdo). Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A. Pois todo elemento de A é elemento de A. Tem-se então que ( ∀A )( A ⊂ A ) , mesmo com A = { }. Repare ainda que a expressão “todo elemento de A” não implica que o conjunto A tenhaelementos. Assim, por exemplo, a afirmação “Toda tarefa deve ser cumprida.” não implica quehaja tarefa. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 9
  10. 10. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo A e B conjuntos, tem-se que: A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B. Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de nAé2. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado “o conjunto das partes de A” e seráindicado por P(A).Exemplo 5 Dado o conjunto A = {1, 2,3} , obter o conjunto das partes de A. Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que o número de seus subconjuntos é 32 = 8. Os subconjuntos de A são:{ }{1} {2} {3}{1,2} {1,3} {2,3}AResposta:O conjunto das partes de A éP(A)= {{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}1.7. Complementar Dados os conjuntos A e B, com B ⊂ A , chama-se de complementar de B em relação a Aao conjunto: A B CBA = {x ∈ A :x ∉ B}1.8. Conjunto universo Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, quecontém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjuntouniverso. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 10
  11. 11. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A aoconjunto: U A A = CA U = {x ∈ U :x ∉ A}Exemplo 6 Considerando como universo o conjunto U = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , e dados os conjuntosA = {1, 2,3, 4} e B = {2, 4} , tem-se que:O complementar de B em relação a A é CBA = {1,3} .O complementar de A em relação a A é CA A = { }.O complementar de B é B = {0,1, 3,5, 6} .O complementar de A é A = {0,5, 6} .1.9. União Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com Bao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A B U A ∪ B = {x ∈ U :x ∈ A ou x ∈ B}Exemplo 7a) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4,5} = {1, 2,3, 4,5}b) {3, 4,5} ∪ {1, 2,3, 4} = {1, 2,3, 4,5} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 11
  12. 12. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginhac) {1, 2,3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2,3, 4}d) {1, 2,3, 4} ∪ { } = {1, 2,3, 4}Propriedades:A∪B = B∪AB⊂ A ⇒ A∪B = AA ∪{ }=A( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C1.10. Intersecção Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B aoconjunto dos elementos comuns a A e B. A B U A ∩ B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∈ B}Exemplo 8a) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4,5} = {3, 4}b) {3, 4,5} ∩ {1, 2,3, 4} = {3, 4}c) {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}d) {1, 2,3, 4} ∩ { } = { }Propriedades:A∩B = B∩AB⊂ A ⇔ A∩B = BA ∩{ }={ }( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C ( A ∩ B) ⊂ ( A ∪ B) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 12
  13. 13. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha1.11. Diferença Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nestaordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. A B U A − B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∉ B} Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B emrelação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A.Exemplo 9a) {1, 2,3, 4} − {3, 4,5} = {1, 2}b) {3, 4,5} − {1, 2,3, 4} = {5}c) {1, 2} − { } = {1, 2}d) { } − {1, 2} = { }Propriedades:( A − B) ⊂ AA −{ }=A{ }−A ={ }B ⊂ A ⇔ A − B = CBAA − ( A ∩ B) = A − BExemplo 10 Dados os conjuntos A = {1, 2,3, 4} e B = {3, 4,5, 6, 7} , obter os conjuntos A ∩ B ,A ∪B, A − B e B− A .A ∩ B = {3, 4}A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}A − B = {1, 2}B − A = {5, 6, 7} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 13
  14. 14. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 11 Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é A = {e, f , g, h,i}A ∪ B = {a, b, c, d, e, f , g}A ∩ B = {c, d} Obter os conjuntos A e B. A ∩ B = {c, d} ⇒ c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum. a ∉ A ⇒ a ∈ A e a ∉ ( A ∩ B) Logo, a ∈ ( A − B) . Analogamente, conclui-se que b ∈ ( A − B) . e∈A ⇒ e∈A e e ∉ ( A ∪ B) Logo, e ∈(B − A) . Analogamente para f, g. Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a A ∪B.Resposta: A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f ,g}Exemplo 12 Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção,constatou-se que:300 alunos acertaram somente um dos problemas260 acertaram o segundo100 acertaram os dois210 erraram o primeiro Quantos alunos fizeram esta prova? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 14
  15. 15. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResolução: Prb-1 Prb-2 x y z U Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima,segue que: x + z = 300 (1) y + z = 260 ( 2 ) y = 100 ( 3)z + w = 210 ( 4 ) Das equações (3) e (2) tem-se que z = 160. Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de xe w; x = 140 e w = 50. O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = 450.1.12. Par ordenado Sabemos que {a, b} representam o mesmo conjunto. No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para istoexiste o conceito de par ordenado. Definição: ( a, b ) = {{a} , {a, b}} Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição,é fácil concluir que, se a ≠ b , então ( a, b ) ≠ ( b, a ) , pois ( b, a ) = {{b} , {b, a}} , que é diferentede {{a} , {a, b}} .1.13. Produto cartesiano Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, aoconjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B. A × B = {( x, y ) : x ∈ A e y ∈ B}Exemplo 13 Dados os conjuntos A = {1, 2,3} e B = { 4,5} , obtenha os produtos cartesianos AXB, 2BXA e B =BXB. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 15
  16. 16. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaA × B = {(1, 4 ) , (1,5 ) , ( 2, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 3,5 )}B × A = {( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5,3)}B2 = {( 4, 4 ) , ( 4,5 ) , ( 5, 4 ) , ( 5,5 )} Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode nãoser igual a BXA. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 16
  17. 17. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha2. Conjuntos numéricos2.1. Números naturais e números inteiros O conjunto dos números naturais {0,1, 2,... , n, ...} será representado por ℕ , e oconjunto dos números inteiros {..., − 2, − 1, 0,1, 2, ...} , por ℤ . Repare que todo natural é inteiro,isto é, ℕ éum subconjunto de ℤ .2.2. Números racionais a Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde ba e b são inteiros quaisquer, com b ≠ 0.  5  −1  Assim, os números 5  =  e -0,333333...  =  são dois exemplos de números  1  3 racionais. O conjunto dos números racionais é expresso por ℚ. Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que ℤ ⊂ ℚ. ℤ ℕ ℚExemplo 1 Obter uma representação decimal para os números: 3 9a) b) 16 7Resolução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 17
  18. 18. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha b) 9, 7a) 3, 16 20 1, 285714285714...285714... 30 0,1875 60 140 40 120 50 80 10 0 30 20 Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode serexpresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódicainfinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de umaseqüência de algarismos).Exemplo 2 Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes):a) -1,23456b) 5,644444...4...c) 5,645454545...45...Resolução: −1, 23456 −123456a) f= = 1 100 000b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II). Calculando a diferença (II) – (I):10f = 56, 44444...4... f = 5,644444...4... − 9f = 50,8 50,8 508 e, portanto, f= = 9 90c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando por 100, segue que 100f=564,54545454... (II). Calculando a diferença (II) – (I): 100f = 564,54545454... f= 5, 64545454... − 99f = 558,9 558, 9 5589 e, portanto, f= = 99 990Resposta: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 18
  19. 19. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha −123456 508 5589a) b) c) 100 000 90 990 Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional. Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0,999...9... é uma outrarepresentação do número 1 (um).2.3. Números irracionais Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos denúmeros irracionais, podemos citar: π = 3,1415926535... 2 = 1, 4142135623... 3 = 1, 7320508075... a Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e bb ≠ 0.2.4. Números reais A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dosnúmeros reais ( ℝ ). Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais,de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um únicoponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéiaé construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos. Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real. -0,5 0,5 1,5 -1 0 1 22.5. Teoremas Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 19
  20. 20. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha n− Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m ⋅ n e m são todos naturais. (Lembre-se 0 de que 0 = 1.)− Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h ⋅ k são todos inteiros. r r− Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r ⋅ s e são todos racionais. (Em , devemos ter s s s ≠ 0 .)− Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional.− Sendo r, r ≠ 0 , um racional e x um número irracional, tem-se que r ⋅ x é irracional. 1− Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que é irracional. x− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais.− Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais.Exemplo 3 Quantos são os elementos do conjunto {x ∈ ℕ /10 2 < x < 10 3 ? }Resolução: 2 = 1, 41... ⇒ 10 2 = 14,1... e 3 = 1, 73... ⇒ 10 3 =17, 3...Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17.Resposta: 3Exemplo 4 (G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:a) x ⋅ y é irracionalb) y ⋅ y é irracionalc) x + y é racionald) x − y + 2 é irracionale) x + 2y é irracionalResolução:Vejamos cada uma das alternativas:a) (FALSA) Se x for igual a zero, x ⋅ y = 0, que é racional.b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y = 3 , segue que y ⋅ y = 3 que é racional.c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional.d) (FALSA) Se y = 2 , x − y + 2 = x , que é racional.e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional.Resposta: e Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 20
  21. 21. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 5 Mostre que o número 3 + 2 2 + 3 − 2 2 é irracional.Resolução:Seja x = 3+ 2 2 + 3− 2 2 .Observe que x é um número real positivo.Segue que:x2 = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + 2 (3 + 2 2 )(3 − 2 2 )x2 = 6 + 2 ( 3 + 2 2 )(3 − 2 2 )x2 = 6 + 2 9 − 8x2 = 8E como x > 0, tem-se que x = 2 2 , que é irracional.2.6. Outras notações Sendo A um dos conjuntos ℤ , ℚ ou ℝ , usaremos ainda as seguintes notações: A∗ para indicar {x ∈ A / x ≠ 0} A + para indicar {x ∈ A / x ≥ 0} (os não negativos) A∗ para indicar {x ∈ A / x > 0} (os positivos) + A − para indicar {x ∈ A / x ≤ 0} (os não positivos) A∗ para indicar {x ∈ A / x < 0} (os negativos) − Assim, por exemplo, ℝ + é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, oconjunto {x ∈ ℝ / x ≥ 0} .2.7. Intervalos Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de ℝ,chamados de intervalos: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 21
  22. 22. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha [ a, b] = {x ∈ ℝ |a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado) ]a, b[ = {x ∈ ℝ |a < x < b} (intervalo aberto) [ a, b[ = {x ∈ ℝ |a ≤ x < b} (intervalo fechado só à esquerda) ]a, b] = {x ∈ ℝ |a < x ≤ b} [ a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a} ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} ]−∞, a ] = {x ∈ ℝ | x ≤ a} ]−∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a}Exemplo 6 Obter [ 2,10] ∩ ]5,12[ .Resolução: [ 2,10] : 2 10 ]5,12[ : 5 12 [ 2,10] ∩ ]5,12[ 5 10Resposta: ]5,10] Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 22
  23. 23. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha3. Aritmética dos inteiros3.1. Múltiplo e divisor Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existirum inteiro k tal que m = k ⋅ d. Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m.3.2. Número par Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de 2. Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar.Exemplo 1 Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e +500.Resolução:Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -42, -35, ... , an), cujoprimeiro termo é a1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é an.Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500.Como a n = a1 + ( n − 1) ⋅ r , segue que:-49 + (n – 1) ⋅ 7 < 500-49 + 7n < 556O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79.Resposta: 79Exemplo 2 Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos.Resolução:Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo,tem-se que( x − 4 ) + ( x − 2 ) + x + ( x + 2 ) + ( x + 4 ) = 1995 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 23
  24. 24. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5x = 1995 , ou ainda, x = 399.Resposta: 395 + 397 + 399 + 401 + 403Exemplo 3 2 Seja um inteiro tal que a é ímpar. Prove que a é ímpar.Demosntração: (Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = 2k, com k inteiro. 2 2 2Segue que a = 4n , ou seja, a é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese.Observações importantes: Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de 2, pode ser representado,indiferentemente, pela expressão 2k + 1, ou por 2k – 1, com k inteiro, pois sempre existem doisnúmeros pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro. Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18. Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de 3. Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma 3k + 1 e afirmar que x é daforma 3k – 1, onde k é um inteiro. Assim, por exemplo, o número 4 é da forma 3k + 1 e não da forma 3k – 1, enquanto onúmero 5 é da forma 3k – 1, sempre considerando k inteiro. Observe que todo inteiro não múltiplo de 3, ou é da forma 3k + 1, ou é da forma 3k–1. Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro: - Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas: 5k + 1, 5k – 1, 5k + 2, 5k - 2Exemplo 4 2 2 Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a ou o sucessor de aé um múltiplo de 5.Demosntração: Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k + 2. No primeiro caso, tem-se que: a 2 = 25k 2 + 10k + 4 , isto é, a 2 − 1 = 5 ( 5k 2 + 2k ) No segundo caso, tem-se que: a 2 = 25k 2 + 10k + 4 e, portanto: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 24
  25. 25. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a 2 + 1 = 25k 2 + 10k + 5 = 5 ( 5k 2 + 2k + 1) (c.q.d.)3.3. Teorema Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y.Justificativa:Existe um inteiro k1 tal que x = d ⋅ k1Existe um inteiro k2 tal que x + y = d ⋅ k2Logo, d ⋅ k1 + y = d ⋅ k2 y = d ⋅ k2 - d ⋅ k1 y = d ⋅ (k2 – k1)Como k2 – k1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y.(c.q.d.)Exemplo 5 Obter os valores inteiros de n de modo que n + 3 seja um divisor de n + 13.Resolução:n + 3 é divisor de n + 11n + 3 é divisor de n + 3 + 8 (*)n + 3 é divisor de n + 3 (**)De (*) e (**) segue que:n + 3 é divisor de 8Portanto,n + 3 ∈ {1, 2, 4,8, −1, −2, −4, −8}n ∈ {−2, −1,1,5, −4, −5, −7, −11}Resposta: -2, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11.Exemplo 6 Mostre que um inteiro ℕ com quatro algarismos é múltiplo de 3 se, e somente se, a somados algarismos for múltiplo de 3.Demosntração: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 25
  26. 26. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Seja ℕ = ( a, b,c, d ) , isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o dasdezenas e d o das unidades.ℕ = 1000a + 100b + 10c + dℕ = 999a + 99b + 9c + a + b + c + dℕ = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d1a parte: se a + b + c + d = 3m, então ℕ é obviamente múltiplo de 3.2a parte: se ℕ for um múltiplo de 3, isto é, ℕ = 3h, então 3h = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d 3h − 3 ( 333a + 33b + 3c ) = a + b + c + d Logo, a + b + c + d é múltiplo de 3. (c.q.d.)Observação: Esta regra de divisibilidade por 3 vale para todos os inteiros, independentemente donúmero de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por 9.3.4. Número primo Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuirquatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e –p.)3.5. Número composto Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados denúmeros compostos.Observações:− Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos.− Os números 2 e -2 são os únicos números primos e pares.− Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo.3.6. Teorema Existem infinitos números primos. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 26
  27. 27. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaDemosntração: Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p1, p2, p3, ... , pn econsideremos o número p = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn + 1. Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é umnúmero composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p. Seja pk, com 1<k<n, este divisor. Como pk é divisor de p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn e pk é divisor de p, conclui-se que pk é divisor de 1,o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1. (c.q.d.)Exemplo 7 Verificar se 251 é primo.Resolução: O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como ocrivo de Erastótenes. Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superemo número 251. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (Note que 162 > 251) O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor donúmero 251. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não fordivisor, então seus números também não o serão. Note que 2 não é divisor de 251 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 também nãoserão. Vamos “eliminar” o número 2 e todos os seus múltiplos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Note que 3 não é divisor de 251 e, portanto, também podemos “eliminar” todos osmúltiplos de 3. Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até “eliminar” todos osnúmeros da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; casocontrário, o número é primo. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 27
  28. 28. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResposta: 251 é primoObservação: A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte: Consideremos o produto d1 ⋅ d2. Se d1 > 15 e d2 > 15, então d1 ⋅ d2 > 251. Logo, se 251 admitisse um divisor d1, d1 > 15, deveríamos ter um inteiro d2, d2 < 15, demodo que d1 ⋅ d2 = 251, isto é, 251 teria um divisor menor ou igual a 15. Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 251 não admite divisor menorou igual a 15.Exemplo 8 4 2 Obter todos os inteiros a tais que a + a + 1 seja um número primo.Resolução:a 4 + a 2 + 1 = a 4 + 2a 2 + 1 − a 2 = ( a 2 + 1) − a 2 2 = ( a 2 + 1 − a )( a 2 + 1 + a )Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que umdos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos:a 2 + 1 − a = 1 ⇒ a = 1 ou a = 0a 2 + 1 − a = −1 ⇒ a não é int eiroa 2 + 1 + a = 1 ⇒ a = −1 ou a = 0a 2 + 1 + a = −1 ⇒ a não é int eiroOs valores encontrados foram 1, -1 e 0. 4 2Substituindo, conclui-se que a + a + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1.Resposta: 1 e -13.7. Forma fatorada Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma: a = + p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a > 0 , ou a = −p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a < 0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 28
  29. 29. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha onde p1, p2, ... e pn são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α1, α2, ...,αn são números naturais não nulos.Exemplo 9 Qual a forma fatorada de 528?Resolução:528 2264 2132 2 66 2 33 3 11 11 1 4Resposta: 2 ⋅ 3 ⋅ 11Exemplo 10 3 4 Quantos divisores possui o número 5 ⋅ 11 ?Resolução:Consideremos os conjuntos:D1 = {50 , 51 , 52 ,53 } eD 2 = {110 ,111 ,112 ,113 ,114 }Repare que todo produto do tipo d1 ⋅ d2 com d1 ∈ D1 , d 2 ∈ D 2 e apenas estes produtos são 3 4divisores positivos de 5 ⋅ 11 .Para d1, temos (1 + 3) opções, e para d2 há (1 + 4) opções.Logo, existem (1 + 3)(1 + 4) = 20 divisores positivos. 3 4Consequentemente há 20 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de 5 ⋅ 11 .Resposta: 40Observação: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 29
  30. 30. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Sendo p1α1 p 2 α2 p 3α3 ...p n αn a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir queo número de divisores positivos de n é ( α1 + 1)( α 2 + 1) ... ( α n + 1) .3.8. Divisão euclidiana Dados dois inteiros n e d, com d ≠ 0 , efetuar a divisão de n por d significa obter doisinteiros q e r tais que n = d ⋅ q + r e 0≤r< d . Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente eresto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos.Exemplo 11 Efetuar a divisão de:a) 29 por 4b) 29 por -4c) -29 por 4Resolução: a) 29 4 b) 29 −4 c) −29 4 1 7 1 −7 3 −8Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor!Resposta:a) quociente 7, resto 1b) quociente -7, resto 1c) quociente -8, resto 3Exemplo 12 Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do restoda divisão de x por y.Demonstração: Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então:x = y⋅q + rSendo x = a ⋅ d e y = b ⋅ d , segue que:r = x − y = a ⋅ d − b ⋅ d = d (a − b) (c.q.d.)Exemplo 13 Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 27,deixam um resto igual ao quociente. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 30
  31. 31. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaResolução:x = 27r + r com 0 ≤ r ≤ 27 e x < 180x = 28rr ∈ {1, 2,3, 4,..., 26}x ∈ {28,56,84,112,140,168,196,... }Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: {28,56,84,112,140,168} .Resposta: {28,56,84,112,140,168}3.9. Máximo divisor comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b aomaior dos divisores que eles têm em comum. Notação: mdc(a,b)Exemplo 14 Calcular mdc(1750,1400).Resolução:1a maneira:1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71O maior divisor (ou fator) comum é21 ⋅ 52 ⋅ 71 = 350 .2a maneira (por divisões sucessivas):Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o últimodivisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.) 1750 1400 350restos: 350 0(O exemplo 12 justifica a validade deste processo.)Resposta: 350 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 31
  32. 32. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 15 Calcular mdc(2048,1935).Resolução: 2048 1935 113 14 1restos: 113 14 1 0Resposta: 13.10. Números primos entre si Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1.Exemplo 16 Os números 2048 e1935 são primos entre si.Exemplo 17 Verificar se existe um inteiro k tal que 3k + 1 e 2k + 1 não sejam primos entre si.Resolução:Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que:3k + 1 = a ⋅ d (−2) 2k + 1 = b ⋅ d (3)−6k − 2 = −2a ⋅ d 6k + 3 = 3b ⋅ d + 1 = ( 3b − 2a ) ⋅ dComo d=1, conclui-se que os números 3k + 1 e 2k + 1 são primos para todo inteiro k.(Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.)Resposta: não3.11. Mínimo múltiplo comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b aomenor dos múltipos positivos que eles têm em comum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 32
  33. 33. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Notação: mmc(a,b)Exemplo 18 Calcular mmc(1750,1400).Resolução: 1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71 O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é 23 ⋅ 53 ⋅ 71 .Resposta: 70003.12. Teorema Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que: mdc ( a, b ) ⋅ mmc ( a, b ) = a ⋅ b .Exemplo 19 Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 20 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160.Resolução:20 ⋅ k = 4 ⋅160 ⇒ k = 32 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71Resposta: 32 e -32 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 33
  34. 34. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha4. Técnicas de fatoração4.1. Expressão algébrica Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos,quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação,parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, emque pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas. O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e aconcisão de linguagem. Observe o quadro abaixo: Exemplo: Expressão Algébrica: O dobro de um número 2x 2 O quadrado da soma de dois números (a + b) 2 2 A soma dos quadrados de dois números a +b A soma do quadrado de um número com o 2 n + 2n seu dobro4.2. Valor numérico Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e aseventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numéricoda expressão algébrica.Exemplo 1 2 2 Obter o valor numérico de a – b + ab para: a) a = 1 e b = 2 b) a = 2 e b = 1Solução: a) Substituindo a por 1 e b por 2, obtemos: 12 − 22 + (1)( 2 ) = 1 − 4 + 2 = −1 . b) Substituindo a por 2 e b por 1, obtemos: 22 − 12 + ( 2 )(1) = 4 − 1 + 2 = 5 .Exemplo 2 Sendo a = 3 e b = 4, obter o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1)Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 34
  35. 35. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Substituindo a por 3 e b por 4, obtemos: ( 3 + 2 )(12 + 1) − 3 (12 + 8 + 1) = ( 5 )(13) − ( 3)( 21) = 2 .Exemplo 3 Mostrar que o valor numérico de ( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1) independe dos valoresde a e b.Solução: Efetuando os produtos indicados, obtemos: a 2 b + a + 2ab + 2 − a 2 b − 2ab − a = 2 . Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico 2.EXERCÍCIOS Sendo a = 5 e b = 2, obter os valores numéricos de: (a + b) 21)2) a 2 + b2 (a − b) 23) (b − a ) 24)5) a − b 2 26) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b. ( a + b )( ab + 1) − b ( a 2 + ab + 1) .4.3. Fatorar – Desenvolver Consideremos as expressões:F = ( x + 2y )( 2x + 3y ) e D = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Repare que:( x + 2y )( 2x + 3y ) = 2x 2 + 3xy + 4xy + 6y 2 = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Denomina-se:• ( x + 2y )( 2x + 3y ) de FORMA FATORADA• 2x 2 + 7xy + 6y 2 de FORMA DESENVOLVIDA Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 35
  36. 36. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto,não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário.Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? A seguir veremos algumas identidades fundamentais, que serão ferramentasindispensáveis para a técnica de fatoração.4.4. Casos de fatoração1° caso: o fator comum Pela propriedade distributiva, temos que a ( b + c ) = ab + ac e portanto: a ⋅ b + a ⋅ c = a (b + c) Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h’uma soma (adição ou subtração)de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foicolocado em “evidência”. A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira: b+c ab ac a b c A área da região hachurada é igual a a ( b + c ) = ab + ac .Exemplo 4 Fatorar 2x + xy − ax .Solução: Como x é fator comum, segue que: 2x + xy − ax = x ( 2 + y − a )Exemplo 5 Fatorar 8x 2 − 4x . Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 36
  37. 37. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaSolução: Observe que 4x é fator comum! 8x 2 − 4x = = 4x ⋅ 2x − 4x ⋅1 = 4x ( 2x − 1)Exemplo 6 Fatorar x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 .Solução: O fator comum é x 2 y2 : x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 = = xx 2 y 2 − x 2 y 2 y + x 4 x 2 y 2 y3 = x 2 y 2 ( x − y + x 4 y3 )EXERCÍCIOS Fatorar as seguintes expressões:7) a 2 + ab − a8) a ( x + y) + b( x + y)9) a ( 3x − 2 ) − b ( 3x − 2 )10) x (a − b) + y (a − b)11) x (a − b) + b − aOBSERVAÇÃO Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico. ax + ay + bx + by = = ( ax + ay ) + ( bx + by ) = a ( x + y) + b ( x + y) = ( a + b )( x + y )Exemplo 7 Fatorar ax + ay − bx − by .Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 37
  38. 38. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha ax + ay − bx − by = = ( ax + ay ) − ( bx + by ) = a ( x + y) − b ( x + y) = ( a − b )( x + y )Exemplo 8 Fatorar ax − ay − bx + by .Solução: ax − ay − bx + by = = ( ax − ay ) − ( bx − by ) = a ( x − y) − b ( x − y) = ( x − y )( a − b )EXERCÍCIOS Fatorar:12) ab − a 2 b − a + b 213) x −3x + bx −3b 214) ap − by + bp − ay15) x 2 + ax + bx + ab16) x + ( a − b ) x − ab 22° caso: diferença de dois quadrados a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 2 Assim, por exemplo, 5 – 3 é igual a 2 ( 5 + 3)( 5 − 3) (verifique!). É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e,desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir domembro esquerdo e, fatorando, chegar no direito? Repare que em a 2 − b 2 = a ⋅ a − b ⋅ b não há fator comum! Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando esubtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão.a 2 − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2 = a (a + b) − b (a + b) = ( a + b )( a − b ) Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 38
  39. 39. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a a 2 − b2 a b b a b ( a + b )( a − b ) a-b As regiões hachuradas têm áreas iguais e ilustram o fato de quea 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) .Exemplo 9 Fatorar x 2 − 25 .Solução: x 2 − 25 = = x 2 − 52 = ( x + 5 )( x − 5 )Exemplo 10 Fatorar a 4 − b4 .Solução: a 4 − b4 = = ( a 2 ) − ( b2 ) 2 2 = ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 ) = ( a 2 + b 2 ) ( a + b )( a − b ) 2 2(Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a + b não é fatorável!) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 39
  40. 40. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaEXERCÍCIOS Fatorar as seguintes expressões em ℝ:17) x2 −118) x4 −119) a 2 − b 2 + ax + bx20) a + b + b2 − a 221) a 2 − b 2 + a 2 − ab22) a 2 − b2 + b − a23) x 3 − 3x 2 − 4x + 123° caso: trinômio quadrado perfeito a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 Veja:a 2 + 2ab + b 2 = = a 2 + ab + ab + b 2 = ( a 2 + ab ) + ( ab + b 2 ) = a (a + b) + b (a + b) = ( a + b )( a + b ) = (a + b) 2a 2 − 2ab + b 2 = = a 2 − ab − ab + b 2 = ( a 2 − ab ) − ( ab − b 2 ) = a (a − b) − b (a − b) = ( a − b )( a − b ) = (a − b) 2Ilustrando: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 40
  41. 41. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha a b a a2 ab b ab b2 a+b (a + b) 2 a+bExemplo 11 Desenvolver ( 2x + 3y ) 2 2 .Solução: ( 2x + 3y ) 2 2 = = ( 2x ) + 2 ( 2x ) ( 3y 2 ) + ( 3y 2 ) 2 2 = 4x 2 + 12xy 2 + 9y 4Exemplo 12 2  1 Desenvolver  x −  .  xSolução: 2  1 x−  =  x 2 1 1 = x2 − 2 ( x )   +   x x 1 = x2 + 2 + 2 x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 41
  42. 42. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 13 Fatorar 4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 .Solução: 4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 = = ( 2a ) + 2 ( 2a ) ( 5b 2 ) + ( 5b 2 ) 2 2 = ( 2a + 5b 2 ) 2EXERCÍCIOS 2  124) Desenvolver:  x +   x Fatorar as seguintes expressões em ℝ:25) x2 + 6x +926) x2 −10x + 2527) x3 −16x2 + 64x28) −x2 + 20x −10029) 2x − 1 − x 2 130) a4 + a2 + 431) a + 2ab + b 2 − c 2 232) x 2 + 2x + 1 − y 2 x 2 − ( y − 1) 233)4° caso: soma e diferença de cubos a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )Justificativa:( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = = a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b3( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b3 = a 3 − b3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 42
  43. 43. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaExemplo 14 Fatorar x3 + 8 .Solução: x3 + 8 = = x 3 + 23 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 22 ) = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 )Exemplo 15 Fatorar 27x 3 − 1 .Solução: 27x 3 − 1 = = ( 3x ) − 13 3 = ( 3x − 1) ( 3x ) + ( 3x )(1) + 12  2   = ( 3x − 1) ( 9x 2 + 3x + 1)Exemplo 16 Fatorar a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b .Solução: a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b = = ( a 3 − b3 ) + ( a 2 − b 2 ) + ( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b )( a − b ) + 1( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b ) + 1   = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 + a + b + 1)EXERCÍCIOS 334) a) Fatorar x - 1 x3 −1 b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de x −135) Fatorar: a) x 9 + y9 b) x 9 − y9 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 43
  44. 44. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5° caso: cubo da soma e cubo da diferença a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 3 a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b ) 3 Justificativa:(a + b) = (a + b) (a + b) 3 2 = ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a + b ) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3(a − b) = (a − b) (a − b) 3 2 = ( a 2 − 2ab + b 2 ) ( a − b ) = a 3 − a 2 b − 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 − b3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3Exemplo 17 ( 2x + 5 ) 3 Desenvolver .Solução: ( 2x + 5 ) 3 = = ( 2x ) + 3 ( 2x ) ( 5 ) + 3 ( 2x )( 5 ) + 53 3 2 2 = 8x 3 + 60x 2 + 150x + 125Exemplo 18 ( x − 2y ) 3 Desenvolver .Solução: ( x − 2y ) 3 = = x 3 − 3x 2 ( 2y ) + 3x ( 2y ) − ( 2y ) 2 3 = x 3 − 6x 2 y + 12xy 2 − 8y 3Exemplo 19 Fatorar x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 44
  45. 45. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 3x 2 ⋅1 + 3x ⋅12 + 13 = ( x + 1) 3EXERCÍCIOS36) Desenvolver as expressões: a) ( x + yz ) 2 3 b) ( 2x − 1) 3 Fatorar as expressões:37) x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y338) x 3 + 6x 2 y 2 + 12xy 4 + 8y 639) x 3 − 9x 2 + 27x − 2740) a + 3a b + 3ab + b + c 3 2 2 3 3RESUMO 1. ab + ac − ad = a ( b + c + −d ) 2. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 3. a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 4. a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) 2 5. a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 6. a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 7. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 3 8. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b ) 3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 45
  46. 46. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha5. Potenciação5.1. Definição Dado um número a, a ∈ ℝ , e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de na, que se indica por a , ao produto de n fatores iguais a a. Assim: a n = a ⋅ a ⋅ a ... a n fatores O número a é chamado de base e n, de expoente.Exemplo 1a) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 ( −2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = −8 3b)Exemplo 2 Obter o valor de cada expressão: 3 2 3 1 2  −3  4 + ( −3 ) 2  ⋅10 ⋅  2 2 a) b)  c)    10  3  2 Solução: 42 + ( −3) = 4 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25 2 a) 3 1   1  1  1 1   ⋅10 =   ⋅  ⋅  ⋅ 10 ⋅ 10 = ^ 2 b)  10   10   10   10  10 2 2  3   3   3 2 3 2  3 3 c)   ⋅  −  = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −  = − 3  2 3 3  2   2   2 2OBSERVAÇÕES ( −2 ) ≠ −22 pois: 21) ( − 2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 − 2 2 = − ( 2 ⋅ 2 ) = −4 2 e ( −1) = 1 , se n é par n2) ( −1) = −1 , se n é ímpar n Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 46
  47. 47. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - VarginhaEXERCÍCIOS1) Calcular:a) 1 4 d) 4 3 g) −4 2 2 2 e) ( −4 ) 4 2b) 0 h)   3 2  2 ( −4 ) 3c) 4 2 f) i) −  −   32) Calcular: ( −4 ) 2a) − 32 3  1b)  −  ⋅10 4  10  2 2 2  3c)   ⋅ −  3  25.2. Definições 5 Considere, por exemplo, a potência 2 , que é 32. Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência ficadividido por 2, que é o valor da base. Veja: 25 = 32 , 2 4 = 16 , 23 = 8 , 22 = 4 Continuando-se o raciocínio anterior, vem: 1 −2 1 21 = 2 , 20 = 1 , 2 −1 = , 2 = e assim por diante. 2 4 Tais resultados sugerem as definições: n −n 1 1 a =a 1 a =1 0 a = n =   ,a ≠ 0 a aExemplo 3 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 47
  48. 48. ............................................................. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Campus VIII - Varginha 1 1a) 31 = 3 e) 3−2 = = 32 9 1 1 ( −3 ) 3−3 = 1b) = −3 f) 3 = 3 27 1 1 ( −3 ) −2c) 30 = 1 g) = = ( −3 ) 2 9 1 1 ( −3 ) −3d) ( −3 ) 0 =1 h) = =− ( −3 ) 3 27Exemplo 4 Calcular: −2 −2 −4 2  2 a) 1 b)   c)  −  d) 2 2 ⋅ 2 −2 3  3Solução: 1a) 1−4 = =1 14 −2 2 2 3 9b)   =   = 3 2 4 −2 2  2  3 9c)  −  =  −  =  3  2 4 −2 1d) 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 1 2 2 2EXERCÍCIOS3) Calcular: 1 −2 1 3 ( −5 ) 1 1a) 5 d) g)   j)   5 4 0 −2 1  3 ( −5 ) 0b) 5 0 e) h)   k)  −  5  4 −1 −2 1  3 ( −5 ) −1 −1c) 5 f) i)   l) −−  5  44) Calcular: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 48

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