DinamicaI

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Escalas dos movimentos atmosféricos; Escalas características horizontais; Força do gradiente da pressão; Força gravitacional; Escoamento viscoso em estado permanente unidimensional; Coeficiente de viscosidade dinâmica; Tensão de cisalhamento; Coeficiente de viscosidade cinemática; Força centrífuga; Aceleração centrípeta; Força de Coriolis; Sistema Eureliano e sistema Lagrangeano; Diferencial total: derivada substantiva de um vetor em um sistema de referência girando; Aproximação geostrófica; Número de Rossby; Análise de escala da componente vertical da equação do movimento: a aproximação hidrostática

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DinamicaI

  1. 1. 1.1 A Atmosfera (continuum)Meteorologia dinâmica é o estudo daqueles movimentos da atmosfera que estão associadoscom o tempo e o clima. Para todos estes movimentos a natureza molecular discreta daatmosfera pode ser ignorada e a atmosfera pode ser reconhecida como um fluido contínuo, oucontinuum. Um ponto no continuum é reconhecido como um elemento de volume que émuito pequeno comparado com o volume da atmosfera em consideração, mas ainda contémum grande número de moléculas. As expressões parcela de ar e partícula de ar são ambasusadas para se referir a um ponto. As várias quantidades físicas que caracterizam o estado daatmosfera, isto é, pressão, densidade e temperatura, são assumidas tendo valores únicos emcada ponto no continuum. Mais que isso, estas variáveis de campo e suas derivadas sãoassumidas para serem funções contínuas do espaço e do tempo. As leis fundamentais damecânica de fluidos e termodinâmica, as quais governam os movimentos da atmosfera podementão serem expressadas em termos de equações diferenciais parciais envolvendo as variáveisde campo como variáveis dependentes e espaço e tempo como variáveis independentes. Oconjunto geral de equações diferenciais parciais que governam os movimentos da atmosfera éextremamente complexo. Para adquirir um entendimento da regra física dos movimentosatmosféricos em determinado tempo e clima, é necessário desenvolver modelos baseados emsimplificação esquemática das equações fundamentais. O desenvolvimento de modelosapropriados para sistemas de movimentos atmosféricos particulares requer cuidados com asescalas do movimento envolvido.1.2 Dimensões físicas e unidadesAs leis fundamentais que governam os movimentos da atmosfera satisfazem o princípio dehomogeneidade dimensional. Isto é, todos os termos nas equações devem ter as mesmasdimensões físicas. Estas dimensões podem ser expressadas em termos de múltiplos e razõesde quatro propriedades independentes dimensionalmente: comprimento, tempo, massa etemperatura termodinâmica. Para medir e comparar as escalas dos termos nas leis domovimento, um conjunto de unidades de medidas deve ser definido para estas quatropropriedades.Para se manter valores numéricos dentro de limites convenientes, é convencional usarmúltiplos e submúltiplos decimais, conforme tabela abaixo.
  2. 2. 1.3 Análise de escalaA análise de escala é uma técnica conveniente para estimar as intensidades dos vários termosnas equações para um tipo particular de movimento. Valores típicos das seguintesquantidades são especificados: i) magnitudes das variáveis de campo; ii) amplitudes dasflutuações nas variáveis de campo; e iii) as características das escalas de comprimento,profundidade e tempo nas quais estas flutuações ocorrem. Estes valores típicos são entãousados para comparar as magnitudes dos vários termos. Por exemplo, num ciclone de médialatitude sinótica a pressão na superfície poderá flutuar de 10hPa sobre uma distânciahorizontal de 1000km. Denominando a amplitude da flutuação da pressão horizontal por δp,as coordenadas horizontais por x e y, e a escala horizontal por L, a magnitude do gradiente depressão horizontal pode ser estimada dividindo δp pelo comprimento L temos ( )As flutuações de pressão de magnitudes similares ocorrem em outros sistemas demovimentos de escalas muito diferentes tais como tornados e furacões. Assim, o gradiente depressão horizontal pode estender-se por várias ordens de magnitudes para sistemas deinteresse meteorológico. A natureza dos termos dominantes nas equações governantes é
  3. 3. crucialmente dependente na escala horizontal dos movimentos. Em particular, movimentoscom escala horizontal de alguns quilômetros ou menos tendem a ter curta escala de tempo,logo tais termos, envolvendo a rotação da terra são negligenciáveis, enquanto que paragrandes escalas eles se tornam muito importante. Como os movimentos atmosféricosdependem fortemente da escala horizontal, essa escala fornece um método conveniente para aclassificação dos sitemas do movimento. A seguinte tabela 1.4 mostra exemplos de váriostipos de movimentos em escala horizontal.1.4 Forças FundamentaisOs movimentos da atmosfera são controlados pelas leis fundamentais da conservação demassa, momento e energia.1.4.1 Força Gradiente de PressãoConsideremos um elemento de volume infinentesimal de ar, , com centro em como ilustrado na figura 1.1. Devido aos movimentos aleatórios, momento écontinuamente transferido às paredes do elemento de volume pelo ar ao redor. Essatransferência de momento por unidade de tempo por unidade de área é apenas a pressãoexercida nas paredes do elemento de volume pelo ar circunvizinho. Se a pressão no centro doelemento de volume é designada por , então a pressão na parede A na figura 1.1 pode serexpressada em uma expansão de séries de Taylor como
  4. 4. Fig.1.1 A componente x da força gradiente de pressão agindo num elemento de fluido.Ignorando os termos de ordem superior nesta expressão, a força de pressão agindo noelemento de volume na parede A é ( )Onde é a área da parede A. Similarmente, a força de pressão agindo no elemento devolume na parede B é ( )Então, o conjunto x componente dessa força agindo no volume éComo o conjunto de forças é proporcional à derivada da pressão na direção da força, ela éreferida como força gradiente de pressão. A massa m da diferencial do elemento de volume éa densidade vezes o volume: . Assim, a componente x da força gradiente depressão por unidade de massa éSimilarmente, pode-se facilmente mostrar que as componentes y e z da força gradiente depressão por unidade de massa são
  5. 5. Então, a força de gradiente de pressão total por unidade de massa é1.4.2Força GravitacionalA Lei de Newton do estado da gravitação universal diz que qualquer dois elementos de massano universo se atraem com força proporcional as suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distância que os separa. Assim, se dois elementos de massa M e m estãoseparados pela distância ( com o vetor r em direção como mostra a figura 1.2), entãoa força exercida pela massa M na massa m devido a gravitação é ( )Onde G é a constante universal chamada de constante gravitacional. A lei da gravitação comoexpressa em (1.2) na verdade se aplica somente a “pontos” de massa hipotéticos desde quepara objetos de extensão finita r irá variar de uma parte do objeto a outra. Entretanto, paracorpos finitos, (1.2) pode ainda ser aplicado se |r| é interpretado como a distância entre oscentros de massa dos corpos. Assim, se a terra é designada como M e a atmosfera como m,então a força por unidade de massa exercida na atmosfera pela atração gravitacional da terra é ( ) Fig.1.2 Duas massas esféricas cujos centros estão separados pela distância r.Em meteorologia dinâmica é comum usar a altura média acima do nível do mar comocoordenada vertical. Se o raio médio da terra é denominado por a e a distância média acima
  6. 6. do nível do mar é z, então, negligenciando a pequena deformação esférica do formato da terratemos . Então (1.3) pode ser reescrita como ( )Onde ( ) ( ) é a força gravitacional ao nível médio do mar. Para aplicaçõesmeteorológicas, z<<a então com erros negligenciáveis, podemos ter e a forçagravitacional é tratada simplesmente como constante.1.4.3Forças ViscosasQualquer fluido está sujeito à fricção interna (viscosidade), a qual causa resistência ao seufluxo. Embora uma discussão completa das forças viscosas resultantes poderia ser um tantocomplicado, o conceito físico básico pode ser ilustrado por um simples experimento. Umacamada de um fluxo incompressível está confinada entre duas paredes separadas por umadistância l como mostra a figura 1.3. Fig.1.3 Fluxo de cisalhamento viscoso em estado constante em uma dimensão.A parede inferior está fixa e a superior é deslocada na direção x com velocidade . Aviscosidade força as partículas do fluido na camada em contato com a parede a se moveremcom a velocidade da parede. Assim, em o fluido se move com velocidade ,eem o fluido está em repouso. A força tangencial na parede superior requerida paramanter o movimento uniforme se torna proporcional a área da parede, a velocidade, e aoinverso da distância que separa as paredes. Assim, podemos escrever onde éa constante de proporcionalidade, o coeficiente de viscosidade dinâmica. Esta força deve
  7. 7. apenas ser igual a força exercida pela parede superior no fluido imediatamente abaixo dela.Para um estado de movimento uniforme, cada camada horizontal do fluido de profundidade deve exercer a mesma força F no fluido abaixo. Esta pode ser expressa na forma onde é a velocidade de cisalhamento através da camada . A forçaviscosa por unidade de área, ou stress de cisalhamento, pode então ser definida comoOnde é a componente do stress de cisalhamento na direção x devido ao cisalhamentovertical da velocidade na componente x. Do ponto de vista molecular, esse stress decisalhamento resulta de um conjunto de transporte para baixo do momento pelo movimentoaleatório das moléculas. Como a média do momento x aumenta com a altura, as moléculasseguem para baixo através do plano horizontal em qualquer instante e carregam maismomento que aquelas que seguem para cima através do plano. Assim, há um conjunto detransporte para baixo de momento x. Este momento de transporte para baixo por unidade detempo por unidade de área é o stress de cisalhamento. Em uma maneira semelhante,movimentos moleculares aleatórios transportarão calor para baixo numa temperatura médiagradiente e traços constuintes para baixo além de gradientes de mistura médios. Nestes casoso transporte é referido como difusão molecular. A difusão molecular sempre atua para reduzirirregularidades no campo que está sendo difuso.Em duas dimenões com movimento constante como no exemplo dado acima não há forçasviscosas agindo nos elementos do fluido, assim como o stress de cisalhamento agindo atravésdo topo da camada de cada elemento de fluido é igual e oposto ao que está agindo através dacamada mais baixa. Para casos mais gerais em duas dimensões não constante com fluxo decilhamento num fluido incompressível, podemos calcular as forças viscosas considerando adiferencial do elemento de volume centrado em (x, y, z) com lados como mostra afigura 1.4
  8. 8. Fig.1.4 A componente x do stress de cisalhamento vertical num elemento de fluido.Se o stress de cisalhamento na direção x agindo através do centro do elemento é designadopor então o stress agindo através da camada superior no fluido abaixo pode ser escritoaproximadamento comoEnquanto o stress agindo através da camada inferior no fluido acima é * +(Esta é igual e oposta ao stress agindo através da camada inferior no fluido abaixo.) Oconjunto de forças viscosas no elemento de volume agindo na direção x é então dado pelasoma dos stresses agindo através da camada superior no fluido acima e através da camadainferior no fluido abaixo: ( ) ( )Dividindo essa expressão pela massa encontramos a força viscosa por unidade demassa devido ao cisalhamento vertical da componente do movimento na direção x: ( )
  9. 9. Para a constante , o lado direito da equação acima pode ser simplificado para , onde é o coeficiente de viscosidade cinemática. Para condições de atmosfera padrão aonível do mar . As componentes da força friccional por unidade demassa nas três direções de coordenadas cartesianas são: * + * + * +Para a atmosfera abaixo de 100km, é tão pequeno que a viscosidade molecular é ignoradaexceto num camada fina com alguns centímetros da superfície terrestre onde o cisalhamentovertical é muito grande. Longe dessa camada limite da superfície molecular, momento étransferido por movimentos de redemoinhos turbulentos.1.5Corpos com referencial não inercial e forças aparentesEm relação às leis da dinâmica da atmosfera é natural usar sistema referencial geocêntrico,que é, um sistema de referência em repouso em relação à rotação da terra.A primeira lei denewton do movimento diz que a massa em movimento uniforme em relação a um sistema decoordenadas fixo no espaço irá permanecer em movimento uniforme na ausência de qualquerforça. Tal movimento é referido como movimento inercial; e o sistema de referência fixado énão inercial, ou absoluto, ou sistema de referência. Está claro, então, que um objeto emrepouso ou em movimento uniforme com relação à rotação da terra não está em repouso ouem movimento uniforme em relação a um sistema de coordenadas fixo no espaço. Portanto, omovimento que aparece é movimento inercial para um observador num sistema de referênciageocêntrico é realmente acelerado. Portanto, um sistema de referência geocêntrico é umsistema de referência não inercial. As leis de newton do movimento somente podem seraplicadas em tal sistema se a aceleração das coordenadas é levada em conta. A forma maissatisfatória de incluir efeitos de aceleração é introduzir forças “aparentes” na segunda lei de
  10. 10. newton. Essas forças aparentes são termos de reação inercial que surgem devido a aceleração.Para um sistema de coordenadas em rotação uniforme duas forças aparentes são necessárias:a força centrífuga e a força de Coriolis.1.5.1Aceleração Centrípeta e Força CentrífugaUma bola de massa m é anexada num cordão e girado através de um círculo de raio r numavelocidade angular constante . Do ponto de vista de um observador num espaço inercial avelocidade da bola é constante, mas sua direção de trajetória está continuamente mudando,portanto sua velocidade não é constante. Para calcular a aceleração consideremos a mudançana velocidade que ocorre num tempo durante o qual a bola gira num ângulo comomostra a figura 1.5.Fig.1.5 Aceleração centrípeta é dada pela razão da mudança da direção do vetor velocidade, o qual está direcionado para o eixo de rotação, ilustrado aqui por .Como é também o ângulo entre os vetores V e , a intensidade de é apenas . Se dividirmos por e notarmos que no limite , está direcionado aoeixo de rotação, obtemos ( )Entretanto, e , entãoVisto de um sistema de coordenadas fixos, o movimento é de aceleração uniforme e emdireção ao eixo de rotação e igual ao quadrado da velocidade angular vezes a distância do
  11. 11. eixo de rotação. Essa aceleração é chamada aceleração centrípeta. Ela é causada pela forçada corda puxando a bola. Agora suponha que observamos o movimento num sistema decoordenadas em rotação com a bola. Nesse sistema de rotação a bola está estacionária, masainda há uma força agindo na bola, a força que puxa a corda. Assim, a força centrífuga éequivalente à reação inercial da bola na corda e igual e oposta à aceleração centrípeta.Resumindo, observando de um sistema fixo a rotação da bola sofre uma aceleração centrípetauniforme em resposta à força exercida pela corda. Observando de um sistema de rotação aolongo dele, a bola está estacionária e a força exercida pela corda é balanceada pela forçacentrífuga.1.5.2Força da GravidadeUm objeto em repouso na superfície da terra não está em repouso ou em movimentouniforme relativo a um sistema de referência inercial exceto nos pólos. Um objeto de unidadede massa em repouso na superfície da terra está sujeito a uma aceleração centrípetadirecionada ao eixo de rotação da terra dada por , onde R é o vetor posição entre oeixo de rotação e o objeto e é a velocidade angular de rotação daterra.A Terra gira em torno do seu eixo uma vez a cada dia sideral, o qual equivale a 23h 56 min 4s, ou seja, 86,164s, assim .Com exceção dos pólos e no equador a aceleração centrípeta tem uma componentedirecionada aos pólos ao longo da superfície horizontal da terra (isto é, constantegeopotencial), deve haver um conjunto de forças horizontais com direção aos póloshorizontalmente para sustentar a componente horizontal da aceleração centrípeta. Esta forçasurge porque a rotação da terra não é esférica, mas temos assumido o formato de esferaabaolada na qual há uma componente polar de gravitação e uma constante geopotencial desuperfície suficiente apenas para contar a componente em direção ao polo da aceleraçãocentrípeta em cada latitude para um objeto em repouso na superfície da terrra. Em outraspalavras, do ponto de vista de um observador num sistema de referência inercial, a superfíciegeopotencial se inclina para cima em direção ao equador como mostra a figura 1.6.
  12. 12. Fig.1.6 Relação entre o vetor de gravidade real e a gravidade g. Para uma Terra esféricahomogênea ideal, poderia ser direcionada para o centro da Terra.Na realidade, não éexatamente o ponto para o centro exceto no equador e nos polos. A gravidade, g, é o vetor soma ea força centrífuga e é perpendicular ao nível de superfície da Terra, a qual se aproxima de umaesfera abaolada.Como consequência, o raio equatorial da terra é em torno de 21 km maior que o raio dospolos. Visto de um sistema de referência em rotação com a terra, entretanto, a superfíciegeopotencial é em todo lugar normal à soma da foça da gravidade , e a força centrífuga (a qual é apenas a força de reação da aceleração centrípeta). Uma superfíciegeopotencial é assim enfrentada como um nível de superfície por um objeto em repouso emrotação com a terra. Exceto nos pólos, o peso de um objeto de massa m em repouso numasuperfície, o qual é apenas a força de reação com a terra no objeto, será um pouco menor quea força gravitacional porque como ilustrado na figura 1.6 a força centrífuga regulaparcialmente a força gravitacional.É conveniente então combinar efeitos da força gravitacional e da força centrífuga definindogravidade g comoOnde k denomina um vetor unitário paralelo à vertical local. A gravidade, g, às vezesreferido como “gravidade aparente” será tomada como uma constanteExceto nos pólos e no equador, g não está direcionada ao centro da terra, mas é perpendicular
  13. 13. à superfície geopotencial como indicado na figura 1.6. A gravidade , entretanto, não éperpendicular à superfície geopotencial, mas tem uma componente horizontal grande osuficiente para regular a componente horizontal de A gravidade pode ser representadaem termos do gradiente da função potencial , a qual é . Como onde está claro que e Assim as superfícies horizontais na terra sãosuperfícies de geopotencial constante. Se o valor do geopotencial é definido como zero aonível do mar, o geopotencial na altura z é o trabalho requerido para levar uma unidadede massa à altura z do nível do mar ∫Apesar do fato de que a superfície da terra “se incha” no equador, um objeto em repouso nasuperfície em rotação da terra não deslisa “montanha abaixo” em direção aos polos, porque,como indicado acima, a componente polar da gravitação é regulada pela componenteequatorial da força centrífuga. Entretanto, se o objeto é colocado em movimento relativo coma terra, esse balanço será desencadeado. Consideremos um objeto com pouco atrito localizadoinicialmente no pólo norte. Tal objeto tem momento angular zero sobre o eixo da terra.Se eleé deslocado para longe do polo na ausência de um torque zonal, ele não irá adquirir rotação eentão sentirá uma força de restauração devido à componente horizontal da gravidade, a qual éigual e oposta à componente horizontal da força centrífuga para um objeto em repouso nasuperfície da terra. Deixando R ser a distância a partir do pólo, a força de restauraçãohorizontal para um deslocamento pequeno será e a aceleração do objeto vista numsistema de coordenadas inerciais satisfaz a equação para um oscilador harmônico simples:O objeto irá sofrer uma oscilação de período ao longo de uma superfície que iráaparecer como uma linha reta passando através do pólo para um observador em um sistemade coordenadas fixo, mas irá aparecer como um círculo fechado traçado em meio dia para umobservador em rotação com a terra (figura 1.7). Do ponto de vista para um observador naborda da terra, há uma força de deflexão aparente que causa o desvio do objeto para à direitade sua direção de movimento numa razão fixa.
  14. 14. Fig.1.7 Movimento de um objeto com pouca fricção lançado do polo norte ao longo do meridiano delongitude 0º no tempo t = 0, como visto em sistemas de referência em rotação ou fixos como em 3, 6,9 e 12h depois de lançados. As linhas pontilhadas horizontais marcam a posição na longitude 0º no t= 0, e as linhas curtas pontilhadas mostram sua posição no sistema de referência fixo na sequênciade um intervalo de 3h.As setas horizontais mostram o deslocamento a 3h sendo visto por umobservador no sistema de referência fixo.A seta da grande curva mostra a trajetória do objeto sendovisto por um observador num sistema em rotação. Os traços A, B e C mostram a posição do objetorelativa à coordenadas de rotação no intervalo de 3h. No sistema de coordenadas fixas o objetooscila de cá pra lá ao longo de uma linha reta sobre a influência da força restaurativa fornecida pelacomponente horizontal da gravitação. O período para completar a oscilação é 24h (somente 1/2período é mostrado). Para um observador em coordenadas rotativas, entretanto, o movimento pareceestar com velocidade constante e descreve um círculo completo no sentido horário em 12h.1.5.3A Força de Coriolis e a Força do Efeito de CurvaturaA segunda lei de Newton expressada em coordenadas de rotação com a terra pode ser usadapara descrever o balanço da força para um objeto em repouso na superfície da terra, fornecidoque uma força aparente, a força centrífuga, está incluída nas forças que estão agindo noobjeto. Se, todavia, o objeto está em movimento ao longo da superfície da terra, forçasaparentes adicionais são necessárias na segunda lei de newton do estado.Suponha que um objeto de unidade de massa, inicialmente na latitude movendo-sezonalmente com velocidade u, em relação à superfície da terra, é deslocado em latitude ou emaltitude por uma força impulsiva. Como o objeto é deslocado ele conservará o momento
  15. 15. angular na ausência de um torque na direção leste-oeste. Como a distância R do eixo derotação muda para deslocamentos em latitude ou altitude, a velocidade angular absoluta, , deve mudar se o objeto conserva o momento angular. Como é constante, avelocidade relativa zonal deve mudar. Assim, o objeto comporta-se em direção zonal emboraa força de deflexão esteja agindo nele.A forma da força de deflexão zonal pode ser obtida pelo momento angular na distância inicialR ao momento angular na distância ocorrida : ( ) ( )Onde é a mudança na velocidade relativa para leste depois do deslocamento. Expandindoo lado direito da equação, negligenciando diferenciais de segunda ordem, e resolvendo para temosNotando que , onde a é o raio da terra e a latitude, dividindo pelo incrementode tempo e tirando o limite , temos no caso de deslocamento meridional no qual (veja figura 1.8): Fig.1.8 Relação do e para deslocamento em direção ao equador.
  16. 16. ( ) ( )E para o deslocamento vertical no qual : ( ) ( )Onde e são as componentes da velocidade para norte e para cima,respectivamente. Os primeiros termos na direita em (1.10a) e (1.10b) são as componentes daforça de Coriolis para movimentos meridionais e verticais, respectivamente. Os segundostermos à direita são referidos como termos métricos ou efeitos de curvatura. Esses surgem dacurvatura da superfície da terra.Um argumento similar pode ser usado para se obter a componente meridional da força deCoriolis. Suponha agora que o objeto é colocado em movimento na direção leste por umaforça impulsiva. Como o objeto está agora girando mais rápido que a terra, a força centrífugano objeto irá aumentar. Deixando R ser o vetor posição do eixo de rotação ao objeto, oexcesso da força centrífuga sobre ele para um objeto em repouso é ( )Os termos no lado direito representam as forças de deflexão, as quais atuam para leste aolongo do vetor R (isto é, perpendicular ao eixo de rotação). As componentes meridional evertical destas forças são obtidas tirando as componentes meridional e vertical do R comomostra a figura 1.9 dando ( ) ( )
  17. 17. Fig.1.9 Componentes da força de Coriolis devido ao movimento relativo ao longo do cículo de latitude.Os primeiros termos no lado direito são as componentes meridional e vertical,respectivamente, da força de Coriolis para movimento zonal; os segundos termos no ladodireito são de novo os de efeitos de curvatura. Para movimentos de escala sinótica ,os últimos termos em (1.10a) e (1.11a) podem ser negligenciados numa primeiraaproximação. Então o movimento horizontal relativo produz uma aceleração horizontalperpendicular à direção do movimento: ( ) ( )Onde é o parâmetro de Coriolis.O subscrito Co indica que a aceleração é a parte da aceleração total devido somento à forçade Coriolis. Assim, por exemplo, um objeto movendo-se para leste na horizontal é defletidopara o equador pela força de Coriolis enquanto um objeto que se move para leste é defletidopara os pólos. Em ambos os casos a deflexão é para à direita da direção do movimento noHemisfério Norte e para à equerda no Hemisfério Sul. A componente vertical da força deCoriolis em (1.11b) é ordinariamente muito menor que a força gravitacional então este é oúnico efeito a causar uma mudança muito menor no peso aparente de um objeto dependendose o objeto está se movendo para leste ou oeste.
  18. 18. A força de Coriolis é negligenciável para movimentos com escala de tempo que são muitocurtas comparadas com o período de rotação da terra. Assim, a força de Coriolis não éimportante para dinâmicas de nuvens cúmulus individuais, mas é essencial para entenderfenômenos de grande escala tais como sistema de escala sinótica. A força de Coriolis devetambém ser levada em conta quando calculamos trajetórias para mísseis ou artilharia de longoalcance.Como um exemplo, suponha que um míssel balístico é atirado para leste na latitude 43ºN . Se o míssel viaja 1000km na horizontal comvelocidade , quanto o míssel é defletido de uma superfície a leste pela forçade Coriolis?Integrando (1.12b) com o respectivo tempo encontramos queOnde é assumido que a deflexão é suficientemente pequena, então podemos deixarsendo constantes. Para encontrar o deslocamento total devemos integrar (1.13) com orepectivo tempo: ∫ ∫ ∫Assim, o deslocmento total éEntão, o míssel é defletido para sul a 50km devido ao efeito de Coriolis.As componentes x e y dadas em (1.12a) e (1.12b) podem ser combinadas em forma de umvetor ( )Onde é a velocidade horizontal, K é um vetor unitário vertical, e o subscrito Coindica que a aceleração é devido unicamente a força de Coriolis. Assim, é um vetorrotado 90º para à esquerda de V, sendo que a equação (1.14)
  19. 19. ( )claramente mostra a deflexão característica da força de Coriolis. A força de Coriolis podesomente mudar a direção do movimento, não a velocidade do movimento.1.5.4Oscilações de Momento Angular ConstanteSuponha um objeto inicialmente em repouso na terra no ponto é impulsivamentepropelido ao longo do eixo x com uma velocidade V no tempo . Então de (1.12a) e(1.12b), o tempo de evolução da velocidade é dado por e .Entretanto como e , integrando em relação ao tempo a posição do objeto notempo t éOnde a variação de f como a latitude é ignorada. As equações (1.15a) e (1.15b) mostram queno Hemisfério Norte, onde f é positivo, o objeto orbita no sentido horário(anticiclonicamente) num círculo de raio sobre o ponto ( ) com um períododado porAssim, um objeto deslocado horizontalmente da sua posição de equilíbrio na superfície daterra sobre a influência da força da gravidade oscilará sobre sua posição de equilíbrio com umperíodo que depende da latitude e é igual a um dia sideral na latitude 30º e meio dia sideral nopólo. Oscilações de momento angular constante (frequentemente referidas erroneamentecomo “oscilações inerciais”) são comumente observadas nos oceanos, mas não sãoaparentementes importantes na atmosfera.1.6Estrutura da Atmosfera EstáticaO estado termodinâmico da atmosfera em qualquer ponto é determinado pelos valores dapressão, temperatura, e densidade (ou volume específico) naquele ponto. Essas variáveis de
  20. 20. campo estão relacionadas uma com a outra pela equação de estado para um gás ideal.Denotando e como pressão, temperatura, densidade e volume específico,respectivamente, podemos expressar a equação do estado para o ar seco comoOnde R é a constante dos gases par ao ar seco1.6.1A Equação HidrostáticaNa ausência de movimentos atmosféricos a força da gravidade deve ser exatamentebalanceada pela componente vertical da força gradiente de pressão.Assim, como ilustrado nafigura 1.10 temosFig.1.10Balanço das forças para o equilíbrio hidrostático.As pequenas setas mostram as forças paracima e para baixo exercidas pela pressão do ar na massa de ar representada pelo bloco escuro.Aforça exercida para baixo pela gravidade no ar no bloco é dada por , enquanto que o sistemaforça de pressão dado pela diferença entre a força para cima através da superfície inferior e a forçapara cima através da superfície superior é – . Note que é negativo, como a pressão decrescecom a altura.Esta condição do balanço hidrostático fornece uma excelente aproximação pela dependênciavertical do campo de pressão na atmosfera real. Somente para sistemas intensos de pequena
  21. 21. escala tais como linhas de rajada e tornados é necessário considerar balanço hidrostático.Integrando a equação (1.18) de uma altura z até o topo da atmosfera encontramos que ∫A pressão em qualquer ponto é simplesmente igual ao peso da seção unitária da coluna de aracima de tal ponto. Assim, a pressão média ao nível do mar ésimplesmente o peso médio por metro quadrado da coluna atmosférica total (para cálculosconvenientes, a pressão de superfície média é frequentemente assumida como 1000hPa). Éfrequentemene usual expressar a equação hidrostática em termos do geopotencial um tantomais que altura geométrica. Notando que de (1.8) e de (1.7) que ,podemos expressar a equação hidrostática na forma ( )Assim, a variação do geopotencial com relação a pressão depende somente da temperatura.Integrando (1.20) nos campos verticais uma forma da equação hipsométrica ∫Aqui , é a altura geopotencial , onde é a média global dagravidade ao nível do mar. Assim na troposfera e na baixa troposfera, Z é numericamentequase idêntica a altura geométrica z. Em termos de Z a equação hipsométrica se torna ∫Onde é a espessura da camada atmosférica entre as superfícies de pressão e .Definindo a camada média de temperatura 〈 〉 ∫ *∫ +E uma escala média da camada de altura 〈 〉 temos de (1.22)
  22. 22. Assim a espessura da camada limitada por superfícies isobáricas é proporcional à temperaturamédia da camada. A pressão diminui mais rapidamente com a altura numa camada fria doque em uma camada quente. E também segue de (1.23) que numa atmosfera isotérmica detemperatura T, a altura geopotencial é proporcional ao logaritmo natural da pressãonormalizada pela pressão de superfície,Onde é a pressão em Z = 0. Assim, numa atmosfera isotérmica a pressão decresceexponencialmente com a altura geopotencial por uma fator pela escala de altura1.6.2Pressão como Coordenada VerticalDa equação hidrostática (1.18), está claro que existe uma relação entre pressão e altura emcada coluna vertical da atmosfera. Assim podemos usar pressão como a coordenada verticalindependente e altura (ou geopotencial) como variável dependente. O estado termodinâmicoda atmosfera é então especificado pelos campos deAgora as componentes horizontais da força gradiente de pressão dadas por (1.1) são avaliadaspela diferenciação parcial sendo z constante. Entretanto, quando a pressão é usada comocoordenada vertical, as derivadas parciais horizontais devem ser avaliadas considerando pconstante. A transformação da força gradiente de pressão horizontal de altura paracoordenadas de pressão pode ser realizada com o auxílio da figura 1.11. Fig.1.11Declive das superfícies de pressão no plano x,z.
  23. 23. Considerando somente o plano x,z vemos na figura 1.11 que * + * + ( )Onde os subscritos indicam variáveis que lembram constantes avaliando as diferenciais.Assim, por exemplo, no limite * + ( )Onde o sinal negativo está incluso porqueTirando os limites obtemos ( ) ( ) ( )A qual depois da substituição da equação hidrostática (1.18) leva a ( ) ( ) ( )Similarmente, é fácil mostrar que ( ) ( )Assim no sistema de coordenadas isobáricas a força gradiente de pressão horizontal é medidapelo gradiente do geopotencial na pressão constante. A densidade não mais apareceexplicitamente na força gradiente de pressão; esta é a vantagem diferencial do sistemaisobárico.1.6.3Uma Coordenada Vertical GeneralizadaQualquer pressão de função monótona de único valor ou altura pode ser usada comocoordenada vertical independente. Por exemplo, em muitos modelos de previsão numérica dotempo, a pressão normalizada pela pressão no chão [ ] é usadacomo uma coordenada vertical. Esta escolha garante que o chão é uma superfície decoordenada mesmo na presença espacial e temporal das variações de pressões na
  24. 24. superfície. Assim, esse é então chamado de sistema de coordenada e é particularmenteusual nas regiões de fortes variações topográficas.Obtemos agora uma expressão geral para o gradiente de pressão horizontal, a qual é aplicávelpara qualquer coordenada vertical que é uma função monótona de valorúnico de altura. Referindo-se a figura 1.12 vemos que para uma distância horizontal adiferença de pressão avaliada ao longo da superfície de constante s está relacionada com aconstante z pela relação Fig.1.12 transformação da força gradiente de pressão para coordenadas s.Tirando os limites obtemos ( ) ( ) ( )Usando a identidade ( ) ( ) podemos expressar (1.27) na forma alterada ( ) ( ) ( ) ( )

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