Interpretação geométrica de sistemas lineares 2x2 , 3x3 e não lineares

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Este é um arquivo texto sobre a interpretação geométrica dos sistemas lineares 2x 2, 3x3 e não lineares. Há contextualização para cada situação: determinada, indeterminada e impossível, além de uma cônica com quatro soluções.

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Interpretação geométrica de sistemas lineares 2x2 , 3x3 e não lineares

  1. 1. NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – NTEM ALUNA: LUANA FERREIRA D’AVILA PÓLO: NOVA IGUAÇU GRUPO: 2 Atividade 1: TAAGEM Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2 Apresentarei neste tópico três exemplos que demonstram a interpretação geométricada solução algébrica de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas.Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível eindeterminado (SPI) ou impossível (SI). SISTEMA IMPOSSIVELEste tipo de sistema não tem solução algébrica. De fato, as retas cujas equações gerais são: 6x + 4y = 31 são retas paralelas, não possuem ponto em comum na geometria euclidiana. 3x + 2y = 7Contextualizando: O triplo da altura de uma estrutura metálica pequena somado ao dobrode sua largura dá 7 metros. Ao somarmos as medidas da altura e largura de uma estruturamaior que possui o dobro da medida da estrutura menor obtemos 31 metros. Quanto mede aaltura e largura da estrutura maior? Não existe estrutura que atenda estas características. FIGURA 1
  2. 2. SISTEMA LINEAR POSSÍVEL E DETERMINADO O sistema tem solução algébrica única, que podemos ver através darepresentaçãográfica que nos mostra o ponto de interseção das retas cujasequações gerais são: x+y=2 Solução: x=2 e y=0 3x - y = 6 Contextualizando: A soma da quantidade em reais que eu e minha irmã temos nobolso dá R$ 2,00. O triplo da quantia que me cabe diminuido da quantia exata que minhairmã tem resulta em R$ 6,00. Quantos reais temos separadamente? FIGURA 2
  3. 3. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO Este tipo de sistema tem infinitas soluções que são representadas pela interseção dasretas cujas equações gerais são: x+y=4 Observa-se que estas equações representam retas coincidentes. 2x + 2 y = 8 Contextualizando: O semi-perímetro de uma caixa de lados x e y mede 4 metros. Operímetro de uma segunda caixa com lados iguais a 2x e 2y mede 8 metros. Qual a medidados lados de cada caixa? FIGURA 3
  4. 4. Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3 Apresentarei neste tópico exemplos que demonstram a interpretação geométrica dasolução algébrica de sistemas de equações lineares de três equações com três incógnitas. Emum sistema de equações com três equações com três incógnitas, cada equação representa umplano no espaço tridimensional. Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível eindeterminado (SPI) ou impossível (SI). Na totalidade, existem oito posições possíveis para os planos α, βe µ. sistema possível e determinado: 1 posição sistema possível e indeterminado: 3 posições sistemas impossíveis: 4 posições Abaixo são expostas estas oito posições relativas de α, βe µ:
  5. 5. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E DETERMINADO- 3X3 O sistema é determinado , ou seja, possui solução única, quando os três planos seencontram em um único ponto. x-y+z = 6 ( ) x+y-z = 4 ( ) Solução: x=5, y=6 e z=7 2x - y + 3z = 25 ( ) Contextualizando: Fui ao shopping passear e num impulso adquiri vestidos, saias esapatos. Ao ser questionada por meu pai sobre a quantidade de peças, respondi: A quantidade de vestidos diminuída da quantidade de saias, mais o número de sapatos dá 6. A quantidade de vestidos somada a quantidade de saias, diminuída do número de sapatos dá 4. O dobro de vestidos menos o número de saias somado ao triplo da quantidade de sapatos daria 25. Será que meu pai será capaz de descobrir a quantia exata de vestidos, saias e sapatos que comprei? y PLANO α PLANO β PLANO µ z x FIGURA 4
  6. 6. SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO- 3X3 Quando os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se α∩ β∩ µ = r, diz-se queo sistema é indeterminado e a solução do sistema está contida em qualquer ponto da reta r. Hátrês casos possíveis: 1º CASO- Os 3 planos são diferentes e possuem uma reta r em comum, α∩ β∩ µ = r.Qualquer ponto desta reta r pertence ao conjunto solução do sistema. x y+z =1 ( ) 2x - y z = 3 ( ) Uma das possíveis soluções: x= 4/3 , y= -1/3 e z=0 5x 2y + 4z = 6 ( ) Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com asdimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado comosolução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto. (-2.68,-4.47,3.29) z PLANO α PLANO β PLANO µ x y (5.35,3.81,-3.29) FIGURA 5.1
  7. 7. 2º CASO: Os 3 planos são coincidentes, ou seja, estão sobrepostos.Neste caso osistema é indeterminado e qualquer pontodos planos é uma solução do sistema. x 2y - z = 3 ( ) 2x 4y 2z = 6 ( ) Uma das possíveis soluções: x= 3 , y= 0 e z=0 3x 6y - 3z = 9 ( ) Observa-se qua as equações dos planos são múltiplas uma das outras. Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com asdimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado comosolução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto. (4.88,4.92,1.29) x z PLANO α y PLANO β PLANO µ (-2.88,-0.92,-5.29) FIGURA 5.2
  8. 8. 3º CASO: 2 planos coincidem e o 3º plano intercede-os numa reta r. Qualquer pontoque esteja sobre a reta r pertence ao conjunto solução deste sistema. x + 2y - z = 3 ( ) 2x + 4y - 2z = 6 Uma das possíveis soluções é : x=3, y=0 e z=0 3x + 6y + z = 9 ( ) Contextualizando: Um grupo de amigos que viaja em carros separados desloca-sesegundo o sistema de equações acima. Há possibilidade de nos encontrarmos nocaminho?Algum grupo viaja junto? Em que ponto podemos marcar para nos encontrarmos? (-0.46,-2.44,3.56) PLANO α PLANO β PLANO µ (6.46,2.44,-3.56) FIGURA 5.3
  9. 9. SISTEMA LINEAR IMPOSSÍVEL Um sistema é dito impossível quando ao menos dois desses planos estão paralelos noespaço, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas. Neste caso a interseçãoα∩ β∩ µ é vazia. Há quatro casos possíveis de impossibilidade de solução: 1º CASO- 2 planos são coincidentes e o 3º plano é paralelo aos demais. Não háinterseção dos três planos mutuamente. x + 2y - z = 3 ( ) 2x + 4y - 2z = 6 3x + 6y - 3z = 8 ( ) Contextualizando: Recebi uma encomenda de casinha de cachorro com as seguintescaracterísticas: A medida da altura somada ao dobro da largura diminuída da medida da profundidade deve resultar em 3 metros. O dobro das características acima deve resultar em 6 metros. No entanto, o triplo das caracteríticas exigidas dever se igualar a 8 metros, devido a problemas de espaço.Que medidas deve ter a casinha de cachorro para que atenda a todas as característicasacima? Existe alguma possibilidade desta casinha ser construída?
  10. 10. z PLANO α PLANO β PLANO µ yx FIGURA 6
  11. 11. 2º CASO- os 3 planos são paralelos. Assim, α// β // µ , impossibilitando um ponto deinterseção aos planos. x + 2y - z = 3 ( ) 2x + 4y - 2z = 4 3x + 6y - 3z = 5 ( ) Contextualizando: Existe algum sólido geométrico cujas medidas de altura, largura eprofundidade atenda às características citadas no sistema cima? (6.88,-2.92,6.29) PLANO α PLANO β PLANO µ(-3.88,5.92,-3.29) FIGURA 6.1
  12. 12. 3º CASO- Há 2 planos paralelos e o 3º faz uma interseção com os demais. Pode-seobservar no gráfico queα // β e µ∩ α, µ∩β. Não há ponto de interseção entre os três planossimultaneamente. x - 2y + 3z = 4 ( ) 2x + 4y + z = 0 x+y+z =3 ( ) Contextualizando: Crie um cubo cujas faces obedeçam as medidas de altura, largurae comprimento indicadas no sistema de equações acima. (3.77,-3.77,10.54) PLANO α PLANO β PLANO µ x y (-3.77,3.77,-4.54) FIGURA 6.2
  13. 13. 4º CASO: Os 3 planos se interceptam dois a dois segundo retas paralelas: α ∩ β, α ∩ µ, µ∩β x + 2y - 3z = 1 ( ) 3x + y + z = 2 8x + y + 6z = 2 Contextualizando: Eu, meu avô e uma tia nos movimentamos em carros separadossegundo o sistema de equações acima. Em que ponto podemos marcar para nós três nosencontrarmos? (-4.51,-4.19,3.43) z PLANO α x y PLANO β PLANO µ (4.51,4.19,-3.43) FIGURA 6.3 (4.51,-4.19,3.43) z x y (-4.51,4.19,-3.43) FIGURA 6.4
  14. 14. Resolução e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações Não Lineares Um sistema não-linear é aquele que não pode ser modelado por meio de equaçõeslineares: algébricas ou diferenciais. Intersecção de círculo com hipérbole Temos 4 soluçõesque são os pontos onde as curvas se interceptam. No gráfico pode-sever claramente os pontos de interseção. x 2 + y2 - 2 = 0 9x 2 - y 2 - 9 = 0 Contextualizando: Um satélite que possui órbita circular descrita pela equaçãox 2 + y 2 - 2 = 0 é ameaçado pela órbita de um astro que se move segundo a equação9x 2 - y 2 - 9 = 0 . Há chance deste satélite colidir com o astro desconhecido? Se houverchance, cite em qual ponto esta colisão pode ocorrer.
  15. 15. y x
  16. 16. Sistemas 2x2 – Print da tela do MaximaSistemas 3x3 – Print da tela do Maxima
  17. 17. Print com tela do Maxima para as cônicas

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