Upcoming SlideShare
×

# PAKET PROGRAM SIMULASI STATISTIKA

3,270 views
3,133 views

Published on

PAKET PROGRAM SIMULASI STATISTIKA

Published in: Education
1 Like
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

Views
Total views
3,270
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
99
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### PAKET PROGRAM SIMULASI STATISTIKA

1. 1. MAKALAH PAKET PROGRAM SIMULASI STATISTIKA Dosen Pengampu: Florentina Yuni Arini,S.Kom.,M.Cs. Disusun oleh: Luky Triohandoko ( 4112311002 ) Astetika Rosyana ( 4112311023 ) Muhammad Syarif Hidayat ( 4112311030 ) Dania Istiqomah ( 4112311031 ) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2013
2. 2. DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii BAB I Statistika ................................................................................................. 1 BAB II Variabel dan Data.................................................................................... BAB III Jenis Data ............................................................................................... BAB IV Pemilihan presentasi data tepat .............................................................. BAB V Arti ukuran gejala pusat................................................................... BAB VI Arti Sebaran Data............................................................................
5. 5. John Tukey George Dantzig Thomas Bayes Konsep dasar Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu. Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasi seluruh populasi. Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling. Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya hal terlihat banyak digunakannya uji statistika yang mengambil dasar pada sebaran peluang. Sedangkanmatematika terapan yang statistika merupakan menggunakan teori cabang probabilitas dan analisis dari matematika matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung ratarata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi. Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-
6. 6. rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna. Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya. Metode Statistika Dua jenis penelitian: eksperimen dan survai Terdapat dua jenis utama penelitian: eksperimen dan survei. Keduanya sama-sama mendalami pengaruh perubahan pada peubah penjelas dan perilaku peubah respon akibat perubahan itu. Beda keduanya terletak pada bagaimana kajiannya dilakukan. Suatu eksperimen melibatkan pengukuran terhadap sistem yang dikaji, memberi perlakuan terhadap sistem, dan kemudian melakukan pengukuran (lagi) dengan cara yang sama terhadap sistem yang telah diperlakukan untuk mengetahui apakah perlakuan mengubah nilai pengukuran. Bisa juga perlakuan diberikan secara simultan dan pengaruhnya diukur dalam waktu yang bersamaan pula. Metode statistika yang berkaitan dengan pelaksanaan suatu eksperimen dipelajari dalam rancangan percobaan (desain eksperimen). Dalam survey, di sisi lain, tidak dilakukan manipulasi terhadap sistem yang dikaji. Data dikumpulkan dan hubungan (korelasi) antara berbagai peubah diselidiki untuk memberi gambaran terhadap objek penelitian. Teknik-teknik survai dipelajari dalam metode survei. Penelitian tipe eksperimen banyak dilakukan pada ilmu-ilmu rekayasa, misalnya teknik, ilmu pangan, agronomi, farmasi, pemasaran (marketing), dan psikologi eksperimen. Penelitian tipe observasi paling sering dilakukan di bidang ilmu-ilmu sosial atau berkaitan dengan perilaku sehari-hari, misalnya ekonomi, psikologi dan pedagogi, kedokteran masyarakat, dan industri.
7. 7. Tipe pengukuran Ada empat tipe skala pengukuran yang digunakan di dalam statistika, yaitu nominal, ordinal, interval, dan rasio. Keempat skala pengukuran tersebut memiliki tingkat penggunaan yang berbeda dalam pengolahan statistiknya. Skala nominal hanya bisa membedakan sesuatu yang bersifat kualitatif atau kategoris, misalnya jenis kelamin, agama, dan warna kulit. Skala ordinal selain membedakan sesuatu juga menunjukkan tingkatan, misalnya pendidikan dan tingkat kepuasan pengguna. Skala interval berupa angka kuantitatif namun tidak memiliki nilai nol mutlak sehingga titik nol dapat digeser sesuka orang yang mengukur, misalnya tahun dan suhu dalam Celcius. Skala rasio berupa angka kuantitatif yang memiliki nilai nol mutlak dan tidak dapat digeser sesukanya, misalnya adalah suhu dalam Kelvin, panjang, dan massa. Teknik-teknik statistika Beberapa pengujian dan prosedur yang banyak digunakan dalam penelitian antara lain: Analisis regresi dan korelasi Analisis varians (ANOVA) khi-kuadrat Uji t-Student Statistika Terapan Bebebarapa ilmu pengetahuan menggunakan statistika terapan sehingga mereka memiliki terminologi yang khusus. Disiplin ilmu tersebut antara lain: Aktuaria (penerapan statistika dalam bidang asuransi) Biostatistika atau biometrika (penerapan statistika dalam ilmu biologi) Statistika bisnis Ekonometrika Psikometrika Statistika sosial Statistika teknik atau teknometrika
8. 8. Fisika statistik Demografi Eksplorasi data (pengenalan pola) Literasi statistik Analisis proses dan kemometrika (untuk analisis data kimia analis dan teknik kimia) Statistika memberikan alat analisis data bagi berbagai bidang ilmu. Kegunaannya bermacam-macam: mempelajari keragaman akibat pengukuran, mengendalikan proses, merumuskan informasi dari data, dan membantu pengambilan keputusan berdasarkan data. Statistika, karena sifatnya yang objektif, sering kali merupakan satu-satunya alat yang bisa diandalkan untuk keperluan-keperluan di atas. Piranti lunak Perhitungan statistika modern banyak dilakukan oleh komputer, dan bahkan beberapa perhitungan hanya dapat dilakukan oleh komputer berkecepatan tinggi, misalnya jaringan saraf tiruan. Revolusi komputer telah membawa implikasi perkembangan statistika di masa mendatang, dengan penekanan baru pada statistika eksperimental dan empirik.
9. 9. II. VARIABLE DAN DATA Pengertian Data dan Variabel Data adalah kumpulan kumpulan fakta atau angka atau segala sesuatu yang dapat dipercaya kebenarannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar menarik suatu kesimpulan. Variabel adalah karakteristik yang dapat diamati dari sesuatu (objek) dan mampu memberikan bermacam-macam nilai atau beberapa kategori. Penggolongan Data Statistik 1. Ditinjau dari variabel yang diteliti (segi sifat angkanya), data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: data kontinu dan data diskrit. - Variabel atau data kontinu adalah data statistik yang angka-angkanya merupakan deretan angka yang sambung-menyambung. Dengan kata lain, data kontinu ialah data yang deretan angkanya merupakan suatu kontinum. Contoh: 1. Data statistik mengenai tinggi badan (dalam ukuran sentimeter): 160-160,1- 160,2160,3-160,4-160, 5-160,6-160,7 dan seterusnya. 2. Data statistik mengenai berat badan (dalam ukuran kilogram): 50-50,1-50,2- 50,350, 4-50,5-50,6-50,7-50,8-50,9 dan seterusnya. - Variabel atau data diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan. Contoh: 1. Data statistik tentang jumlah anggota keluarga (dalam satuan orang): 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 dan sebagainya. 2. Data statistik tentang jumlah buku-buku perpustakaan: (dalam satuan eksemplar): 50 – 125 – 307 – 5113 – 12891- dan sebagainya. Dalam hal ini jelas bahwa tidak mungkin jumlah anggota keluarga = 1,25 – 3,50 dan sebagainya; demikian pula tidak mungkin jumlah buku perpustakaan = 50,75 – 125,33 – 209,67 – dan sebagainya.
10. 10. 2. Penggolongan berdasarkan cara menyusun angka ditinjau dari segi cara menyusun angka, data statistik dapat dibedakan menjadi tiga macam; yaitu data nominal, data ordinal, dan data interval. - Data Nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas penggolongan atau klasifikasi tertentu. Data nominal juga sering dinyatakan dengan data hitungan. Disebut demikian, karena data tersebut diperoleh dengan cara menghitung (dalam hal ini menghitung jumlah siswa, baik menurut tingkatan studi maupun jenis kelaminnya). - Data ordinal juga sering disebut dengan data urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas urutan kedudukan (ranking). - Data interval ialah data statistik yang terdapat jarak sama di antara hal-hal yang sedang diselidiki atau dipersoalkan. 3. Penggolongan Data Berdasarkan Bentuk Angka ditinjau dari segi bentuk angkanya, data statistik dapat dibedakan menjadi 2 (dua) macam, yaitu data tunggal (un grouped data) dan data kelompok atau data bergolong (grouped data). - Data tunggal ialah data statistik yang masing-masing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan). Dengan kata lain, data tunggal ialah data statistik yang masingmasing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) atau data statistik yang angkaangkanya tidak dikelompokkan. - Data kelompok ialah data statistik yang tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka. 4. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Sumbernya ditinjau dari sumber mana data tersebut diperoleh, data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: data primer dan data sekunder. - Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan pertama (first hand data). Contoh: data tentang prestasi belajar siswa yang diperoleh dari bagian kesiswaan.
12. 12. SMP, SMA, perguruan tinggi, dan sebagainya. Jumlah anak merupakan variabel diskrit. Jumlah anak hanya dapat: 3, 4, atau 6. Tidak mungkin ada jumlah anak: 4,5; 5,6; 21/2, dan sebagainya. 3. Variabel Dependen dan Variabel Bebas Apabila ada hubungan antara dua variabel, misalnya antara variabel Y dan variabel X, dan jika variabel Y disebabkan oleh variabel X, maka variabel Y adalah variabel dependen dan variabel X adalah variabel bebas. Contoh: jika dibuktikan ada hubungan antara motivasi intrinsik (variabel bebas) dan prestasi belajar (variabel dependen), maka dengan meningkatnya motivasi intrinsik meningkat juga skor prestasi belajar. Model matematika hubungan tersebut, dinyatakan delam fungsi sebagai berikut. X = f (Y) Keterangan: Y = prestasi belajar X = motivasi intrinsik f = fungsi 4. Variabel Aktif Variabel aktif adalah variabel yang dimanipulasikan oleh peneliti. Apabila seorang peneliti memanipulasikan metode mengajar, metode memberikan hukuman kepada siswa, maka metode mengajar dan memberikan hukuman pada siswa adalah variabel-variabel aktif, karena variabel ini dapat dimanipulasikan. 5. Variabel Atribut Variabel-variabel yang tidak dapat dimanipulasikan atau sukar dimanipulasikan, dinamakan variabel atribut. Variabel-variabel atribut umumnya merupakan karakteristik manusia seperti; inteligensia, jenis kelamin, status sosial, pendidikan, sikap, dan sebagainya. Variabel-variabel yang merupakan objek inanimate seperti populasi, rumah tangga, daerah geografis, dan sebagainya, adalah juga variabel-variabel atribut.
14. 14. menunjukkan urutan juga dapat dilakukan operasi matematika. Angka nol yang digunakan pada data interval bukan merupakan nilai nol yang nyata. Contohnya: Interval nilai pelajaran matematika siswa SMA 4 Surabaya adalah antara 0 sampai 100. Bila siswa A dan B masing-masing mempunyai nilai 45 dan 90, bukan berarti tingkat kecerdasan B dua kali A. Nilai 0 sampai 100 hanya merupakan rentang yang dibuat berdasarkan kategori pelajaran matematika dan mungkin berbeda dengan mata pelajaran lain. 4. Rasio Dalam ilmu statistika, data rasio merupakan tipe data dengan level pengukuran yang paling tinggi dibandingkan dengan tipe data lain. Data ini termasuk dalam kelompok data kuantitatif. Angka yang digunakan pada data ini menunjukkan angka yang sesungguhnya, bukan hanya sebagai symbol dan memiliki nilai nol yang sesungguhnya. Pada data ini, dapat dilakukan berbagai operasi matematika. Contohnya: Dalam sebuah bank, seseorang mempunyai tabungan dengan saldo 10.000.000 rupiah. Angka tersebut menunjukkan bahwa orang tersebut benar-benar mempunyai saldo sebesar 10.000.000 rupiah. Jika seseorang mempunyai saldo -1.000.000 rupiah berarti orang tersebut mempunyai hutang sebesar 1.000.000 rupiah. Sedangkan jika seseorang mempunyai saldo 0 rupiah berarti orang tersebut tidak mempunyai tabungan maupun hutang.
15. 15. IV. PEMILIHAN PRESENTASI DATA TEPAT 1. Populasi dan Sampel Populasi yaitu sekelompok orang, kejadian atau segala sesuatu yang mempunyai karakteristik tertentu. Populasi adalah keseluruhan subjek penelitian anggota populasi disebut dengan elemen populasi. Apabila seseorang ingin meneliti semua elemen yang ada dalam wilayah penelitian, maka penelitiannya merupakan penelitian populasi atau disebut studi populasi, atau juga studi sensus. Sampel, jika hanya ingin meneliti sebagian dari populasi, maka penelitiannya disebut penelitian sampel. Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi yang diteliti. Berdasarkan hasil sampel, peneliti kemudian menarik kesimpulan dalam sampel sebagai kesimpulan penelitian yang berlaku bagi populasi. 2. Prosedur Pemilihan Sampel Beberapa faktor yang menjadi alasan kenapa peneliti melakukan penelitian sampel daripada sensus (populasi) adalah : 1. Jika jumlah elemen populasi-nya terlalu banyak, peneliti tidak akan mungkin mengumpulkan seluruhnya karena butuh tenaga dan biaya yang relatif mahal. 2. Kualitas data yang dihasilkan oleh penelitian sampel seringkali lebih baik dibandingkan dengan hasil sensus. 3. Proses penelitian sampel relatif lebih cepat. 4. Alasan lain, adalah jika dilakukan penelitian yang memerlukan pengujian yang bersifat merusak. Agar diperoleh sampel yang representatif peneliti perlu menggunakan prosedur pemilihan sampel yang sistematis. Tahapannya adalah sebagai berikut : 1. Mengidentifikasi populasi target 2. Memilih kerangka pemilihan sampel 3. Menentukan metode pemilihan sampel 4. Merencanakan prosedur penentuan unit sampel 5. Menentukan ukuran sampel 6. Menentukan unit sampel 3. Metode Pemilihan Sampel Probabilitas dan Non-Probabilitas
17. 17. 3) Cara Kouta (Quota Sampling) Quota Sampling adalah metode memilih sampel yang mempunyai ciri-ciri tertentu dalam jumlah atau quota yang diinginkan, teknik ini sangat mudah dan cepat digunakan namun penentuan sampel cenderung subyektif. 4) Cara Bola Salju (Snowball Sampling) Cara ini adalah teknik penentuan sampel yang mula – mula jumlahnya kecil namun kemudian sampel diajak untuk memilih responden lain untuk dijadikan sampel lagi, begitu seterusnya hingga jumlah sampel menjadi banyak. 5) Area Sampling Pada prinsipnya cara ini menggunakan “perwakilan bertingkat”. Populasi dibagi atas beberapa bagian populasi, dimana bagian populasi ini dapat dibagi – bagi lagi. 3. Penentuan Ukuran Sampel Ukuran sample tergantung beberapa faktor yang mempengaruhi diantaranya ialah: a. Homogenitas unit-unit sample: Secara umum semakin mirip unit-unit sampel; dalam suatu populasi semakin kecil sample yang dibutuhkan untuk memperkirakan parameter-parameter populasi. b. Kepercayaan: Kepercayaan mengacu pada suatu tingkatan tertentu dimana peneliti ingin merasa yakin bahwa yang bersangkutan memperkirakan secara nyata parameter populasi yang benar. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang diingnkan, maka semakin besar ukuran sample yang diperlukan. c. Presisi: Presisi mengacu pada ukuran kesalahan standar estimasi. Unutk mendapatkan presisi yang besar dibutuhkan ukuran ssmpel yang besar pula. d. Kekuatan Statsitik: Istilah ini mengacu pada adanya kemampuan mendeteksi perbedaan dalam situasi pengujian hipotesis. Untuk mendpatkan kekuatan yang tinggi, peneliti memerlukan sample yang besar. e. Prosedur Analisa: Tipe prosedur analisa yang dipilih untuk analisa data dapat juga mempengaruhi seleksi ukuran sample. f. Biaya, Waktu dan Personil:
18. 18. Pemilihan ukuran sample juga harus memeprtimbangkan biaya, waktu dan personil. Sample besar akan menuntut biaya besar, waktu banyak dan personil besar juga. Ada bermacam – macam cara untuk menentukan ukuran sampel dari suatu populasi, baik untuk ukuran populasi yang diketahui maupun yang tidak diketahui (atau terlalu besar). 1. Rumus Slovin Untuk menentukan berapa minimal sampel yang dibutuhkan jika ukuran populasi diketahui, dapat digunakan rumus slovin. 2. Cara Interval Takisiran Jika ukuran populasi tidak diketahui atau sangat besar, maka rumus yang dipakai yakni rumus untuk menaksir parameter µ dan parameter P. Alat analisis yang digunakan untuk menyesuaikan sampel adalah alat analisis ChiSquare yang menuntut jumlah observasi tertentu. Menaksir parameter rata – rata X – Za/2 ( σ/√n) < µ < X + Za/2 (σ/√n) Menaksir parameter proporsi P ± Za/2 √(p.q/n) 4. Contoh Penerapannya Penerapan teknik pemilihan sampel biasanya dilakukan untuk membuat penelitian/riset terhadap suatu kelompok objek yang akan diteliti penerapanya tersebut dapat berupa kuisioner, wawancara dll.
19. 19. V. ARTI UKURAN GEJALA PUSAT 1. Pendahuluan Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai sesuatu persoalan, baik mengenai sampel atau pun populasi, selain dari data disajikan dalam tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. Dalam bab ini akan diuraikan tentang ukuran gejala pusat (rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonis dan modus) dan ukuran letak (median, kuartil, desil, dan persentil). Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistik. Apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi, maka namanya parameter bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi. Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah: 1. Mayor Means terdiri dari: Rata-rata hitung (Arithmetic means) Median  Quartile  Decile  Percentile
20. 20. Modus 2. Minor Means, terdiri dari: Rata-rata ukur (Geometric means) Rata-rata Harmonis (Harmonic Means) Rata-rata Tertimbang Rata-rata Kuadratis Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan) Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan. 2. Ukuran Gejala Pusat a. Rata-rata atau rata-rata hitung Nilai –nilai data kuantitatif atau dinyatakan dengan x1, x2..........xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai, simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyak data yang diteliti dalam sampel dengan simbol N dan dipakai untuk menyatakan populasi, yakni banyak anggota terdapat dalam populasi. Rata-rata atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data. Simbol untuk rata-rata dari sampel ialah dipakai simbol µ. Jadi , sedangkan untuk rata-rata dari populasi adalah statistik yang merupakan ukuran yang dihitung dari data dalam sampel, sedangkan µ adalah parameter yang merupakan ukuran yang dihitung dari data dalam populasi. Rumus untuk rata-rata , adalah :
21. 21. Dengan : x1 , x2, ...... : Nilai-nilai individual n : Juml;ah individu dalam distribusi (sampel). Contoh : Jika ada nilai ujian dari 5 orang mahasiswa untuk mata kuliah statistika berbentuk : 70 :69: 45 : 80 dan 56 jadi untuk ke lima nilai ujian di atas, nilai rata-ratanya ialah : b. Modus Modus disingkat Mo, ukuran yang menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat. Untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak di antara data itu. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan “ratarata” data kualitatif. Jika kita dengan atau baca: kebanyakan kematian di Indonesia disebabkanoleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan pengemudi, maka ini tiada lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas. Contoh : Terdapat sampel dengan nilai-nilai data : 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14. Dalam tabel dapat disusun seperti dibawah ini :
22. 22. Tabel 1 xi fi Frekuensi terbanyak, ialah f = 4, terjadi untuk 12 1 data bernilai 34. Maka modus Mo = 34. 14 2 28 2 34 4 Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, modusnya dapat ditentukan: Mo = b + p b1 b1 b2 Untuk: b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak. P = panjang kelas modal. b1= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya. b2= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya. Contoh: Untuk mencari modus Mo data tabel 1, maka diperoleh : Tabel 2 Kelembaban (x) f Kelas modus = kelas kelima = 71 - 80 b = 70,5 b1 = 25 – 15 = 10 b2 = 25 – 20 = 5
23. 23. 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 Jumlah 80 Modus, dibandingkan dengan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya. Ini berarti sekumpulan data tidak bisa mempunyai lebih dari sebuah modus. c. Median Median (Me), menentukan letak data setelah data itu disusun menurut uratan nilainya, artinya 50 % dari data harga-harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50 % lagi harga-harganya paling rendak sama dengan Me. Setelah data disusun menurut nilainya dan jika banyak:  Data ganjil, maka median Me, , merupakan data paling tengah. Untuk sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, mediannya sama dengan rata-rata dihitung dua data tengah.  Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensinya, mediannya dihitung dengan rumus :
24. 24. Me = b + p 1 n F 2 f Dengan : b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak. P = panjang kelas mediannya. n = ukuran sampel atau banyak data F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median. f = frekuensi kelas median.  Contoh : Jika untuk Data Kelembatan Hidrometeorologi di Singomerto Selama 80 Hari akan dihitung mediannya dengan menggunakan daftar berikut kita tempuh hal dibawah ini : Tabel 3 Nilai 31 – 40 (f) 1 Setengah dari seluruh data ada 40 buah. Jadi median akan terletak di kelas interval kelima, karana sampai dengan ini jumlah frekuensi 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 sudah lebih dari 40. Dari kelas median ini didapat
25. 25. Jumlah 80 b = 70,5; p = 10, f = 35, sehingga Me = 70,5 + (10) 40 23 25 77 ,3 Ada 50 % dari data yang bernilai paling rendah 77,3 dan setengahnya lagi bernilai paling besar 77,3. Dari data dalam Daftar 3 tentang nilai ujian 80 mahasiswa, telah didapat x = 76,62; Mo = 77,17 dan Me = 77,3. Kita lihat bahwa harga-harga statistik tersebut berlainan Ketiga nilai, yakni : rata-rata, median dan modus akan sama bila kurva halusnya simetrik. Untuk fenomena dengan kurva halus positif atau negatif, terdapat hubungan: Ratarata – Mo = 3(Rata-rata-Me) Median sering dipakai untuk “memperbaiki” harga rata-rata untuk sekumpulan data. Jika terdapat harga ekstrim, sering rata-rata kurang respresentatif sebagai ukuran gejala pusat. Dalam hal ini median dipakai untuk “memperbaikinya”.  Kuartil, adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat K1, K2, K3. Pemberian nama ini dimulai dari kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil : 1. susun data menurut urutan nilainya
26. 26. 2. tentukan letak kuartil 3. tentukan nilai kuartil Letak K1= data ke i (n 1) , dengan I = 1,2, 3 4 Contoh : Sampel dengan data 75 82 66 57 64 56 92 94 86 52 60 70 setelah disusun menjadi : 52 56 57 60 64 66 70 75 82 86 92 94 Letak K1 = data ke 12 1 =data ke 3 1/4 4 K1 = data ke 3 + ¼ (data ke 4 – data ke 3) = 57 + ¼ (60 – 57) = 57 ¾. Letak K3 = data ke 3(12 1) 4 data ke 9 ¼. K3 = data ke-9 + ¾ (data ke-10 – data ke 9) = 82 + ( ¾ )(86-82) = 85 Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil Ki (i = 1, 2, 3) dihitung dengan rumus : Ki = b + p in 4 F f , dengan i = 1,2, 3 Dengan : b = batas bawah kelas Ki, ialah kelas interval di mana Ki akan terletak. p = panjang kelas Ki F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Ki f = frekuensi kelas Ki
27. 27.  Desil, yaitu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi 10 bagian yang sama setelah dta itu diurutkan. Karenanya ada sembilan buah desil ialah desil pertama, desil kedua,……, desil kesembilan yang disingkat dengan D1, D2,……….D3. Desil- desil ini dapat ditentukan dengan jalan. 1. susun data menurut urutan nilainya 2. tentukan letak desil 3. tentukan nilai desil Letak desil ditentukan oleh rumus : i (n 1) ,dengan i = 1, 2, 3 ……, 9 10 Letak Di = data ke Contoh : Untuk data yang telah disusun dalam contoh terdahulu ialah 52 56 57 60 64 66 70 75 82 86 92 94, maka letak D7 = data ke 7(12 1) 10 data ke 9,1. Nilai D7 = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke 9) atau D7 = 82 + (0,1) (86 – 82) = 82,4. Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai Di (i = 1,2, ….., 9) dihitung dengan rumus : in Di = b + p 10 F f , dengan i = 1, 2, 3 … Dengan : b = batas bawah kelas Di, p = panjang kelas Di F = jumlah frekuensi sebelum kelas Di f = frekuensi kelas Di.
28. 28. Jika sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan persentil pertama, persentil kedua,……., persentil ke 99. Simbol yang digunakan berturut-turut P1, P2 …….., P99. Karena cara perhitungannya sama seperti perhitungan desil, maka disini hanya diberikan rumus-rumusnya letak persentil Pi (I = 1,2,3 ….., 99) untuk sekumpulan data ditentukan oleh rumus : Letak Pi = data ke i (n 1) , dengan i 100 = 1, 2, 3 ……, 99 Untuk nilai Pi untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan : in F 100 Pi = b + p , dengan i = 1, 2, 3 …..,99 f Dengan : b = batas bawah kelas Di, p = panjang kelas Di F = jumlah frekuensi sebelum kelas Di f = frekuensi kelas Di. d. Rata-rata ditimbang Rata-rata ditimbang adalah rata-rata yang memperhitungkan frekuensi dari tiap-tiap nilai variabel. Rumus untuk rata-rata ini adalah:
29. 29. Contoh : Jika 5 mahasiswa mendapat nilai 70 : 6 mahasiswa mendapat 69 : 3 mendapat nilai 45 : seorang mahasiswa mendapat nilai 80 : dan seorang lagi mendapat nilai 56 untuk data tersebut sebaliknya ditulis sebagai berikut : X1 f2 F1xX1 70 5 350 69 6 414 45 3 135 80 1 80 56 1 56 Jumlah 16 1035 Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu ialah : e. Rata-rata gabungan Rata-rata gabungna, yaitu rata-rata dari beberapa sampel lalu disajikan satu. Misalnya kalau k buah sampel masing-masing diketahui Sampel 1 berukuran dengan rata-rata Sampel 2 berukuran dengan rata-rata Sampel k berukuran dengna rata-rata dihubungkan dengan: , maka rata-rata gabungan dari k buah sampel itu
30. 30. Contoh : Tiga sampel masing-masing berkuran 10 : 6 dan 8 sedangkan rata-rata masingmasing 145 : 118 : 162. Jadi rata-rata gabungan adalah : f. Rata-rata dari distribusi frekuensi Menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi pada hakekatnya tidak berbeda dengan menghitung rata-rata dari distribusi tunggal. Hanya saja nilai x disini tidak lagi mewakili nilai variabel individual, melainkan mewakili titik tengah interval kelas. Jadi x disini adalah mewakili titik dari interval kelas dalam distribusi. Dalam hal ini cara menghitung rata-rata daftar distribusi frekuensi adalah dengan cara koding atau cara singkat dengan rumus sebagai berikut : dengan : : Rata-rata yang sebenarnya / yang dicari : Rata-rata tekanan (titik tengah) : Panjang interval kelas : Jumlah deviasi kesalahan akibat tekanan : Jumlah frekuensi Contoh : Untuk data nilai ujian 80 mahasiswaa dalam table sebagai berikut :
31. 31. Interval kelas nilai F1 X1 a F1c1 31 - 40 1 35,5 -4 -4 41 - 50 2 45,5 -3 -6 51 - 60 5 55,5 -2 -10 61 - 70 15 65,5 -1 -15 71 - 80 25 75,5 0 0 81 - 90 20 85,5 1 20 91 - 100 12 95,5 2 24 Jumlah 80 Jadi 9 (Rata-rata nilai ujian) g. Rata-rata ukur Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata umur lebih baik dipakai dari pada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-rata. Untuk data bernilai x1, x2, ........., xn maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai berikut : Yaitu akar pangkat n dari produk ( Contoh : rata-rata ukur untuk data x1 = 2 : x2 = 4 : x3 = 8 adalah Untuk bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan logaritma menjadi: Untuk fenomena yang bersifat tumbuh, seperti pertumbuhan penduduk, bakteri dan lainnya, sering digunakan rumus yang mempunyai rata-rata ukur adalah :
32. 32. Dimana = Keadaan awal = Keadaan akhir = Rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu = satuan waktu yang digunakan Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi dipakai rumus : h. Rata-rata harmonis Untuk data x1, x2, ........,xn dalam sebuah sampel berukuran n maka rata-rata harmonis ditentukan oleh : Contoh : rata-rata harmonis untuk kumpulan data :3, 5, 6, 7, 10, 12 dengan n = 7 adalah : Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi maka rata-rata harmonis ditulis dengan rumus : i. Modus
33. 33. Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terjadi. Digunakan modus disingkat Mo. Modus dapat dibatsi sebagai :  Nilai variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi (distribusi tunggal)  Titik tengah interval kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi (distribusi frekuensi). Modus untuk data kualitatif ditentukan dengan cara menentukan penyebab dari suatu akibat, sedangkan untuk data kuantitatif adalah dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak diantara data itu. Jadi modus adalah nilai, bukan frekuensi yang tertinggi . Contoh : jika dalam distribusi tunggal terdapat sampel dengan nilai-nilai : 12 34 14 34 28 34 34 28 14. Modus dari data tersebut adalah : Mo = 34 Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi : modus ditulis dengan rumus : Dimana : b : batas bawah nyata kelas modus, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p : Panjang kelas modus b1 : Frekuensi kelas moduus dikurangi frekuensi kelas interval sebarannya. b2 : Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya.
34. 34. Contoh: Interval Kelas (nilai) F1 31 – 40 1 41 – 50 2 51 – 60 5 61 – 70 15 71 – 80 25 81 – 90 20 91 – 100 12 Jumlah 80 Modus dibanding dengan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya. Ini berarti sekumpulan data biasa mempunyai lebih dari satu modus.
35. 35. VI. ARTI SEBARAN DATA 1. Pendahuluan Selain ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada lagi ukuran lain ialah ukuran simpangan atau ukuran dispensi. Ukuran ini kadang-kadang dinamakan pula ukuran variasi, yang menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. Ukuran sebaran data adalah ukuran yang menunjukkan sebaran atau penyimpangan tiap observasi data terhadap suatu harga tengah. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan akan diuraikan disini ialah : rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau deviasi antar kuartil, rata-rata simpangan atau ratarata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan koefisien variasi. a. Jangkauan/Rentang (Range) Jangakauan atau rentang adalah nilai yang diperoleh dengan mengurangkan nilai maksimum dari data dengan nilai minimun dari data. Range dapat diartikan juga sebagai selisih nilai tertinggi (maksimum) dan nilai terendah (minimum). Range = score max – score min Misal : dimiliki data : 1,4,2,5,7,3,8,2 dimana nilai maksimum dan minimum dari data berturut-turut :8 dan 1. Maka range atau jangkauan dari data tersebut adalah 8 – 1 = 7 Nilai koefisiemn relatif diberikan sebagai berikut: Koefisien Relatif Range (KR) = Dari data di atas dapat dihitung KR sebagai berikut : KR = = = .
36. 36. Karena mudahnya dihitung, rentang ini banyak sekali digunakan dalam cabang lain statistika, ialah statistika industri. Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan merupakan selisih antar K3 dan K1. Jadi didapatlah hubungan : RAK = K3 – K1 Dengan: RAK = rentang antar kuartil K3 = kuartil ketiga, K1 = kuartil pertama. Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut juga rentang semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil. Jadi, jika simpangan kuartil disingkat SK, maka : SK = b. Deviasi Rata-rata Deviasi rata-rata adalah harga sebaran tiap observasi data terhadap rataratanya. Misalkan data hasil pengamatan berbentuk x1, x2, ......, xn dengan ratarata . Jarak ini, dalam simbol ditulis dengan ). Dengan (baca: harga mutlak dari selisih berarti sama dengan a jika a positif, sama dengan – a jika a negatif dan nol jika a = 0. Jadi hargai mutlak, selalu memberikan tanda positif, karena inilah jarak-jarak: disebut jarak antara , dengan . Jika sekarang , ................, dijumlaahkan, lalu dibagi oleh n, maka dipeeroleh satuan yang disebut rata-rata simpangan atau deviasi rata-rata. Deviasi rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut :
37. 37. Dengan: RS berarti = deviasi rata-rata N = banyaknya data = rata-rata Contoh : dimiliki data : 340, 525, 450, 210, 275 dan diketahui mean = 360. 210 -150 150 275 -85 85 340 -20 20 450 90 90 525 165 165 0 510 Maka : c. Varians dan simpangan baku Untuk mengetahui informasi rata-rata menyimpangnya data dari rataan, orang lebih suka menggunakan informasi varians atau simpangan baku. Sebenarnya mean simpangan juga mencerminkan hal dimaksud di atas.
38. 38. Akan tetapi secara statistika nilai mean simpangan tersebut merupakan nilai bias yang cukup besar terhadap nilai populasinya, sehingga orang memilih bukan mutlak tetapi bentuk kuadratnya. Nilai varians populasinya adalah : Dimana n merupakan jumlah data populasi. Untuk menjangkau nilai varians populasi tersebut biasanya diambil sampel sejumlah n data yang representatif yakni x1, x2, ......, xn. Varians sampel disimbolkan , tergeneralisasi, mengiluti rumusnya di atas diberikan: Akan tetapi secara statistika dapat dibuktikan bahwa merupakan penaksiran populasi yang bias. Dengan modifikasi rumus varians sampel yang tak bias adalah sebagai berikut : Dimana n adalah banyaknya data sampel. Rumus tersebut dapat disajikan dalam bentuk lain dengan cara menguraikan bentuk kuadrat dan menyederhanakannya, diperoleh : Simpangan Baku (S) adalah merupakan akar dari Varians yaitu :