Todas identidades y funciones trigonometricas completa

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Teoria y Ejercicios

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Todas identidades y funciones trigonometricas completa

  1. 1. Trabajo Investigativo  Nombre: Lider Eduardo Pilligua Menéndez.  Curso: NBU.  Paralelo: C.  Tema: Todas las identidades y funciones trigonométricas . Nº de lista: 30.
  2. 2. Funciones trigonométricas  Función Seno Función cosecante  Función coseno Función secante  Función tangente Función cotangente
  3. 3. Función Seno  El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
  4. 4. Función Seno
  5. 5. Función coseno  El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
  6. 6. Función tangente  La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
  7. 7. Función cotangente  La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
  8. 8. Función secante  La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
  9. 9. Función cosecante  La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
  10. 10. Funciones trigonométricas inversas  Función seno inverso  Función coseno inverso  Función tangente inversa  Función cotangente inversa  Función secante inversa  Función cosecante inversa
  11. 11. Identidades trigonométrica
  12. 12. Identidades Pitagóricas
  13. 13.    1 – Sen² x = Cos² x Sen² x = 1 – Cos² x
  14. 14. a c a a = b a a + Csc² x = Ctg² + 1 Csc² x - Ctg² = 1 Ctg² x = Csc² - 1
  15. 15. b b b _ c ( _ )²= 1+ ( a )² bb b b Sec² x =1+T x ag² Sec² x - Tag² x = 1 T x =Sec² x - 1 ag²
  16. 16. Identidades Reciprocas  Se llama así todo debido a que por definición, al intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se obtiene estas.
  17. 17. Procedimiento de la Identidades Recíprocas =1 =1 =1
  18. 18. Identidades Recíprocas
  19. 19. Identidades por cociente  Las identidades trigonométricas por cociente que se utiliza en la resolución de problemas de trigonometría son :
  20. 20. Identidad Par  Propiedad Nº1  Para todo función F(x) , la función de G(x) defina por :  G(x) = F(x) +F(-x)  Una función es par si :  f (x) = f (-x) Esta es la función que se debe comprobar Demostración  Cos(+-x)+Cos(--x)=Cos(++x)+Cos(+-x)  Cos(-x)+Cos(x)=Cos(x)+Cos(-x) Es Par Sec(+-x)+Sec(--x)=Sec(++x)+Sec(+-x) Sec(-x)+Sec(x)=Sec(x)+Sec(-x) Es Par
  21. 21. Identidad Impar  Para toda función F(x), la función de H(x) definida por :  H (x) = F(x) – F (-x)  Una función es impar si :  F (x) = - F (-x) Esta es la función que se debe comprobar  Demostración   Sen(-+x) – Sen(--x) = -( Sen(x) – Sen(-x)) Sen(-x) – Sen(x) = - Sen(x) + Sen(-x) Tan(-+x) – Tan(--x) = -( Tan(x) – Tan(-x)) Tan(-x) – Tan(x) = - Tan (x) + Tan(-x) Csc(-+x) – Csc(--x) = -( Csc(x) – Csc(-x)) Csc(-x) – Csc(x) = - Csc(x) + Csc(-x) Cot(-+x) – Cot(--x) = -( Cot(x) – Cot(-x)) Cot(-x) – Cot(x) = - Cot (x) + Cot(-x) Todos son Impar
  22. 22. Identidades pares e impares  El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares. Se cumple f(x)=f(-x) Se cumple f(-x) = - f(x)
  23. 23. Identidades de suma y diferencia de ángulos Este tipo de identidades muestra una suma o una adición para un ángulo; la idea es poder expresar un ángulo cualquiera en función de un suma o una resta ; además este tipo de identidades generaliza la teoría de las identidades trigonométricas de la siguiente forma:
  24. 24. Tabla para determinar los ángulos notables
  25. 25. Fórmulas de suma y diferencia de ángulos
  26. 26. Identidades de ángulo doble  Cuando en la suma o diferencia de ángulo, si a=b entonces se obtienen los que llamamos ángulos doble que son herramienta en el análisis del movimiento curvilínea.
  27. 27. Formula de ángulo doble
  28. 28. Formula de ángulo Triple
  29. 29. Formula de ángulo medio
  30. 30. Identidades de producto a suma  Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
  31. 31. Demostración:  A partir de :
  32. 32. Identidades de suma a producto  Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
  33. 33. Demostración:
  34. 34. Eliminar seno y coseno  A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
  35. 35. Ejercicios de identidades trigonométricas
  36. 36.  1º)
  37. 37.  2º)
  38. 38.  3º)
  39. 39. 4º)
  40. 40.  5º)
  41. 41.  6º)
  42. 42.  7º)
  43. 43.  8º)
  44. 44.  9º)
  45. 45.  10º)
  46. 46.  11º)
  47. 47.  12º)
  48. 48.  13º) Ctg x –Sen x = Cos x Cos x/Sen x * Sen x = Cos x Cos x = Cos x 14º) Tang z * Cos z * Csc z = 1 Sen z/Cos z * Cos z * 1/Sen z = 1 1=1 15º) Tang x * Cot x = 1 Sen x/Cos x * Cos x/Sen x = 1 1=1
  49. 49.  16º)Cos x * Cosc x = Cotg x Cos x * 1/Sen = Cotg x Cos/Sen = Cotg x Cotg = Cotg 17º) 1+tang x/1+Cot x = Sen x/Cos x 1+Sen x /Cos x /1+Cos x/Sen x = Sen x/Cos x Cos x + Sen x /Cos x /Sen x + Cos x /Cos x = Sen x/Cos 18º) Tang x + Cotg x = Sec x Cosec x Sen x / Cos x + Cos x / Sen x = Sec x * Cosec x Sen² x + Cos² x / Cos x * Sec x = Sec * Cosec x 1/Cos x * Sec x = Sec x * Cosec x Sec x * Cosec x = Sec x * Cosec x
  50. 50.  19º) Cos²x – Sen² x = 1 - 2 Sen² x 1 – Sen² x – Sen² x = 1 – 2 Sen x 1 – 2 Sen² x = 1 – 2 Sen x  20º) Cos² x – Sen² x = 2Cos²x – 1 Cos² x –(1 – Cos² x ) = 2 Cos² x – 1 Cos² x – 1 + Cos² x = 2 Cos² x – 1 2 Cos² x – 1 = 2 Cos² x – 1 21º) ( 1 + Cotg² x ) * Sen² x = 1 Cosc² x * Sen² x = 1 1/Sen² x * Sen² x = 1 1=1
  51. 51.  22º) ( Cosc² x – 1 ) Sen² x = Cos²x Cotg² x * Sen² x = Cos² x Cos² x/ Sen² x * Sen² x = Cos² x Cos²x = Cos² x 23º) Sec² x + Cosc² x = Sec² x * Cosc² x 1/Cos² x + 1/Sen² x = Sec² x * Cosc² x Sen²x+ Cos² x/Cos² x + Sen² x = Sec² x * Cosc² x 1/Cos² x * Sen² x = Sec² x * Cosc² x Sec² x * Cosc² x = Sec² x * Cosc² x
  52. 52.  24º) Cos4 x – Sen4 x + 1 = 2 Cos² x (Cos² x + Sen² x ) ( Cos² x – Sen² x ) + 1 = 2 Cos² x Cos² x – Sen² x + 1 = 2 Cos² x Cos²x – ( 1 – Cos² x ) + 1 = 2 Cos² x Cos² x –1 + Cos² x + 1 = 2 Cos²x 2 Cos² x = 2 Cos² x 25º)( Sen x + Cos x )² + ( Sen x – Cos x)² = 2 Sen² x +2Sen x * Cos x + Cos² x + Sen² x – 2Sen x * Cos² x + Cos² x = 2 1+1=2 2=2
  53. 53.  26º) Cosc² x / 1 + Tang² x = Cotg² x Cosc² x/Sec² = Cotg² x 1/Sen² x / 1/Cos² x = Cotg² x Cos² x/Sen² x = Cotg² x Cotg² x = Cotg² x 27º) Tang² x – Sen² x = Tang² x * Sen² x Sen² x/Cos² x – Sen² x = Sen² x – Sen² x/Cos² x Sen² x/Cos² x – Sen² x = Tang² x – Sen² x Sen² x/Cos² x – Sen² x = Sen² x/Cos² x – Sen² x
  54. 54.  28º) Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + 1/Tang x Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cotg x Sen x + Cos x/ Sen x = 1 + Cos x/Sen x Sen x + Cos x/ Sen x = Sen x + Cos x/ Sen x 29º) 1-Sen x/Cos x = Cos x/1 + Sen x ( 1 – Sen x) ( 1 + Sen x ) = Cos x * Sen x 1 – Sen² x = Cos² x Cos² x = Cos² x
  55. 55.  30º) Sec x ( 1 – Sen² x ) = Cos x 1/Cos x (Cos² x ) = Cos x Cos x = Cos x 31º) Sen² x ( 1 + Cot² x) = 1 Sen² x ( Csc² x ) = 1 Sen² x (1/Sen² x ) = 1 1=1 32º) ( Sen x – 1 ) ( Sec x + 1 ) = Tang² x Sec² x – 1² = Tang² x 1 + Tang² x – 1 = Tang² x Tang² x = Tang² x
  56. 56.  33º) Tan x/Cot x = 1/Cos² x - 1 Sen x/Cos x/Cos x/ Sen x = 1/Cos² x - 1 Sen² x/Cos² x = 1/Cos² x - 1 1 – Cos² x/ Cos² x = 1/Cos² x - 1 1/Cos² x – Cos² x/ Cos² x = 1/Cos² x - 1 1/Cos² x - 1 = 1/Cos² x - 1 34º) Sen x( Cos x- Sen x) = Cos² x Sen x( 1/Sen x – Sen x) = Cos² x Sen x( 1 – Sen² x / Sen x) = Cos² x Sen x * Cos x/ Sen x = Cos² x Cos² x = Cos² x
  57. 57.  35º) Sen x/Csc x + Cos x/Sec x = 1 Sen x/1/Sen x + Cos x/1/Cos x = 1 Sen² x+ Cos² x = 1 1 = 1
  58. 58. Referencias de consulta           http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_3.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica http://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CGkQFjAH&url=htt p%3A%2F%2Fdcb.fi-c.unam.mx%2Fusers%2Fgustavorb%2FCalculoDiferencial%2FCDA2.p http://es.scribd.com/doc/91815/TRIGONOMETRIA http://www.youtube.com/watch?v=zuAQgCmo8vs http://www.fic.umich.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.pdf http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/143/mod_resource/content/1/cap3.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas

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