Statistica Inferenziale          Test Z          Test T    Test Chi quadrato     Test F (ANOVA)
Statistica inferenziale• Consente di verificare ipotesi sperimentali a  partire dai dati ottenuti da un campione di  sogge...
Verifica di IpotesiIpotesi Nulla (H0): I valori ottenuti dal campione  sono dovuti al caso quindi non sono diversi da  que...
Test statistico“I test statistici si confrontano con la probabilità che le   differenze emerse dall’esperimento siano dovu...
Le tavole statistiche• Applicata una statistica si ottiene un  punteggio. Per capire se questo punteggio ci  consente di a...
Test Z con una sola variabile       (confronto con la popolazione)
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Test T con una sola variabile           (confronto con la popolazione)Quando non conosciamo la distribuzione della  variab...
Punteggio Test T
Test T- Tavola della            distribuzione-Stabilire la soglia di Rifiuto di Ho, individuando il  valore di riferimento...
Tavole T di Student
Ancora un esempio            T test per campioni      appaiati/dipendenti/relazionato• Esempio misuriamo i livelli di ansi...
Punteggi di Ansia           Pre-rilass Post- rilass              D(pre-post)         D2  S1          43          42       ...
Chi Quadrato (χ2)• Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è  possibile calcolare il t e z, poiché non abbiamo  med...
Applicazione χ2• TEST UNIDIMENSIONALE: indagini con una  sola variabile- quando si confronta la  distribuzione di frequenz...
Test ad una sola variabile• Confronta le frequenze osservate (e.g. numero  di soggetti distribuiti per cella) con le  freq...
Test Unidimensionale                      Esempio Si vuole confrontare l’efficacia percepita delle tecniche di  rilassamen...
MATTINA POMERIGGIO SERA     Tot          Freq. TeoricheFrequenze Osservate   10       12       23       45          45/3 =...
Fo          Ft     (fo-ft)    (fo-ft) 2   (fo-ft)2/ft        Mattina        10          15       -5          25       1,66...
Calcolo dei Residui• Il fatto che il χ2 sia significativo ci dice solo che  le frequenze teoriche (attese) sono diverse da...
Fo          Ft     (fo-ft) (fo-ft) 2 (fo-ft)2/ft Radq (Ft) (fo-ft)/Radq (Ft)        Mattina        10          15       -5...
INTERPRETAZIONE RNel nostro caso:Nelle celle MATTINA E POMERIGGIO non c’è differenza tra frequenze attese efrequenze osser...
Test χ2 con 2 VariabiliSi utilizza quando si è interessati a verificare la   relazione tra 2 variabili come ad esempio il ...
Esempio• TABELLA DI CONTINGENZA                          M     F                                          MARGINALE DI RIG...
Calcolo delle Frequenze attese• Se la relazione tra le due variabili è casuale,  significa che ad esempio il numero di mas...
Calcolo delle Frequenze             attese               M              FC.so Cavour 34,1             b        67C.so Vitt...
Calcolo χ2                   M     F                                                  M        F     C.so Cavour 36     31...
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Analysis of Variance (ANOVA)L’ ANALISI DELLA VARIANZA VIENE UTILIZZATA QUANDO SI   VOGLIONO CONFRONTARE LE MEDIE DI Più GR...
One Way ANOVAQUANDO SI HA UNA SOLA VARIABILE DIPENDENTE E   UNA SOLA VARIABILE INDIPENDENTE (fattore)Esempio Verificare se...
Indagine sulla Varianza – Il Test F- • VARIANZA ENTRO I GRUPPI –Varianza within- (differenze     individuali proprie dei s...
IpotesiH0: tutte le medie sono uguali tra di loro• H0: µ1 = µ2 = … = µK = µH1: almeno una media è diversa dalle altre• H1:...
I gradi di Libertà• Ogni componente di devianza ha un suo diverso  grado di libertà• DEVIANZA TRA I GRUPPI (B): k-1 gdl (p...
EsempioN=18K=3(giovani, adulti, anziani)Gdl tra i gruppi = 2Gdl entro i gruppi= 15Test F VarB/VarW= 8.57
Anova a più vie o FattorialeSi utilizza quando il disegno sperimentale prende in   considerazione più variabili indipenden...
Fonti di VarianzaIl modello bivariato ha lo scopo di individuare   quanta parte della varianza della v.d. sia   dovuta:  –...
Variabilità Totale    Variabilità tra i gruppi                       Variabilità entro i gruppi   Varianza          Varian...
Gradi di libertà
Gradi di libertàFattore 1Gdl B= k1-1         Var B (fattore1)+ VarB (fattore2)+ VarB (interazione)                F=Fattor...
Esempio• Disegno fattoriale 3x236 soggetti vengono reclutati per valutare gli effetti   dell’età (giov, ad, anz) e della d...
Gdl W = (36-1)- 2 - 1- 2 = 30Effetto principale EtàF critico= 3,32Effetto principale del livello di depressioneF critico =...
Un esempio con STAT   (VEDI LUCIDI)
Dott.ssa Picucci Statistica Inferenziale
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  1. 1. Statistica Inferenziale Test Z Test T Test Chi quadrato Test F (ANOVA)
  2. 2. Statistica inferenziale• Consente di verificare ipotesi sperimentali a partire dai dati ottenuti da un campione di soggetti estratti casualmente dalla popolazione• A partire da effetti riscontrati nel campione è possibile INFERIRE le caratteristiche “vere” della popolazione.
  3. 3. Verifica di IpotesiIpotesi Nulla (H0): I valori ottenuti dal campione sono dovuti al caso quindi non sono diversi da quelli della popolazioneIpotesi Alternativa (H1): I valori ottenuti dal campione non sono dovuti al caso ma attribuibili ad una particolare teoriaBidirezionale: Mi aspetto una differenza tra i dati del campione e quelli della popolazione senza saperne specificare la direzioneMonodirezionale: Sono in grado di formulare ipotesi direzionali
  4. 4. Test statistico“I test statistici si confrontano con la probabilità che le differenze emerse dall’esperimento siano dovute al caso. Se questa probabilità è davvero molto bassa allora possiamo rigettare l’ipotesi nulla. Possiamo quindi accettare l’ipotesi sperimentale che i risultati dell’esperimento siano significativi cioè non casuali” (Greene e D’Oliveira, 2000)Test Z •Ipotesi con una sola variabile ( il confronto è con la popolazione normativa)Test T • Ipotesi con due variabili ( il confronto è con un altro gruppo)Test FTest “CHI quadrato”
  5. 5. Le tavole statistiche• Applicata una statistica si ottiene un punteggio. Per capire se questo punteggio ci consente di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla dobbiamo fare riferimento alle TAVOLE STATISTICHE che consentono di verificare l’esatta percentuale di probabilità che i risultati siano dovuti al caso. Se l’ipotesi è bidirezionale è necessario dimezzare l’alfa, per ottenere l’esatta significatività.
  6. 6. Test Z con una sola variabile (confronto con la popolazione)
  7. 7. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,5 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,16111,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,02332,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,00143,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,00103,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,00073,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,00053,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,00033,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,00023,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,000173,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,000113,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,000083,8 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,000053,9 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,000034,0 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002
  8. 8. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,5 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,16111,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,02332,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,00143,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,00103,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,00073,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,00053,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,00033,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,00023,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,000173,6 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,000113,7 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,000083,8 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,000053,9 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,000034,0 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002
  9. 9. Test T con una sola variabile (confronto con la popolazione)Quando non conosciamo la distribuzione della variabile e l’ampiezza campionaria è inferiore a 30 unità non si può fare riferimento alla distribuzione normale quindi bisogna riferirsi alla distribuzione t di StudentAll’aumentare di n la differenza tra t e Z è trascurabile (teoria del limite centrale)
  10. 10. Punteggio Test T
  11. 11. Test T- Tavola della distribuzione-Stabilire la soglia di Rifiuto di Ho, individuando il valore di riferimento sulla tavolaLa tavola del test T definisce il valore soglia, (T critico) in funzione della probabilità richiesta, specifica per il tipo di ipotesi (mono/bidirezionale) e dei gradi di libertàGradi di libertà: Ci domandiamo se i punteggi della popolazione e del campione variano allo stesso modo oppure no. Per verificare le ipotesi è necessario che i punteggi siano liberi di variareGDL= N-1
  12. 12. Tavole T di Student
  13. 13. Ancora un esempio T test per campioni appaiati/dipendenti/relazionato• Esempio misuriamo i livelli di ansia di 7 soggetti prima e dopo una seduta di rilassamento. H0: Pre= Post H1: Pre≠Post (bidirezionale) H1: Pre>Post (monodirezionale) α= 0.05
  14. 14. Punteggi di Ansia Pre-rilass Post- rilass D(pre-post) D2 S1 43 42 1 1 S2 44 39 5 25 S3 40 38 2 4 S4 45 42 3 9 S5 43 38 5 25 S6 41 40 1 1 S7 44 41 3 9 ∑D 20 ∑D2 74 (∑D) 2 400 T 4.51 gdl 6Tcritico 1,94 4.51 > 1,94 Rifiuto H0
  15. 15. Chi Quadrato (χ2)• Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t e z, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze.• Il test chi quadrato fa dunque riferimento a categorie e non a punteggi(Es: verificare se le persone presentano o meno un certo comportamento)• Ciò che si intende verificare è se la distribuzione di frequenza dei soggetti nelle diverse categorie sia dovuta al caso oppure no.• I soggetti sono inclusi in una ed una sola categoria
  16. 16. Applicazione χ2• TEST UNIDIMENSIONALE: indagini con una sola variabile- quando si confronta la distribuzione di frequenze osservate con un modello teorico di riferimento (frequenze teoriche)-• TEST BIDIMENSIONALE: indagine con due variabili- quando si studia la relazione tra due variabili-
  17. 17. Test ad una sola variabile• Confronta le frequenze osservate (e.g. numero di soggetti distribuiti per cella) con le frequenze attese (numero di soggetti che dovrebbero trovarsi in ogni cella in funzione di assunti teorici)• H0: F (OSSERVATA) = F (TEORICA)• H1: F (OSSERVATA) ≠ F (TEORICA)
  18. 18. Test Unidimensionale Esempio Si vuole confrontare l’efficacia percepita delle tecniche di rilassamento chiedendo ad un gruppo di 45 soggetti di stabilire in quale momento della giornata reputino più efficace il training tra MATTINA, POMERIGGIO, SERAH0: Non ci sia differenza nei 3 momenti della giornata. Se l’ipotesi nulla è vera dovrei attendermi che il numero di soggetti in ogni categoria sia più o meno uguale, quindi che non si discosti troppo dal caso 45/3 = 15. Questo valore lo chiamiamo “FREQUENZA ATTESA o TEORICA”H1 : C’è un momento in cui il rilassamento è percepito come più efficace.
  19. 19. MATTINA POMERIGGIO SERA Tot Freq. TeoricheFrequenze Osservate 10 12 23 45 45/3 = 15 Fo = frequenze osservate F t = frequenze teoriche (attese)Per ogni categoria si calcola il quadrato della differenza tra le frequenze osservate equelle attese e si divide per le frequenza attese. Il χ2 è dato dalla somma deirisultati di questa operazione per ogni categoria.La distribuzione del χ2 dipende dai gradi di libertà, che per un disegno con una solavariabile sarà gdl= K-1 ; il numero di categorie disponibili – 1Inoltre essendo la distribuzione del χ2 ad una sola coda (destra) i livelli di αsaranno sempre monodirezionali.Le ipotesi invece sono sempre bidirezionali, ciò che il χ2 consente di stabilire è cheesiste una differenza tra frequenze osservate e frequenze attese.
  20. 20. Fo Ft (fo-ft) (fo-ft) 2 (fo-ft)2/ft Mattina 10 15 -5 25 1,6666667 Pomeriggio 12 15 -3 9 0,6 Sera 23 15 8 64 4,2666667 ∑ 6,5333333χ2 = 6,53χ2 critico α=0.05 5,99 Rifiuto H0 α=0.01 9,21 Accetto H0
  21. 21. Calcolo dei Residui• Il fatto che il χ2 sia significativo ci dice solo che le frequenze teoriche (attese) sono diverse da quelle osservate. Per comprendere quale categoria è diversa dalle altre, è opportuno calcolare i RESIDUI STANDARDIZZATI per ognuna delle celle
  22. 22. Fo Ft (fo-ft) (fo-ft) 2 (fo-ft)2/ft Radq (Ft) (fo-ft)/Radq (Ft) Mattina 10 15 -5 25 1,67 3,87 -1,29 Pomeriggio 12 15 -3 9 0,60 3,87 -0,77 Sera 23 15 8 64 4,27 3,87 2,07 ∑ 6,53χ2 = 6,53χ2 critico α=0.05 5,99 Rifiuto H0 RSERA > 2 α=0.01 9,21 Accetto H0
  23. 23. INTERPRETAZIONE RNel nostro caso:Nelle celle MATTINA E POMERIGGIO non c’è differenza tra frequenze attese efrequenze osservateNella cella SERA c’è differenza tra frequenze attese e frequenze osservate, in terminidi un numero maggiore di frequenze rispetto a quelle attese.La conclusione che possiamo desumere è che gli effetti del rilassamento sonopercepiti come maggiormente benefici la sera ( da qui si possono porre nuove basiper studi successivi )
  24. 24. Test χ2 con 2 VariabiliSi utilizza quando si è interessati a verificare la relazione tra 2 variabili come ad esempio il percorso scelto per Arrivare in P.zza Ferrarese e il genere.H0: se tra le due variabili non c’è relazione i soggetti si distribuiranno in maniera casuale nelle categorie, ovvero non c’è relazione tra il genere e la scelta del percorsoIl calcolo del χ2 rimane invariato, ciò che varia è la modalità di organizzare i dati:TABELLA A DOPPIA ENTRATA o di CONTINGENZA, e il calcolo delle FREQUENZE ATTESE
  25. 25. Esempio• TABELLA DI CONTINGENZA M F MARGINALE DI RIGA C.so Cavour 36 31 67 C.so Vitt.Eman 19 22 41 55 53 108 MARGINALE DI COLONNA Totale dei marginali
  26. 26. Calcolo delle Frequenze attese• Se la relazione tra le due variabili è casuale, significa che ad esempio il numero di maschi che percorre C. Cavour deve essere proporzionale al numero totale di persone che sceglie C.so Cavour nel campione complessivo.Se vi sono 67 persone su 108 quante ce ne saranno su 55?? M F C.so Cavour ?? 67x:55=67:108; C.so Vitt.Eman x=(55*67) /108 = 34,1 55 108
  27. 27. Calcolo delle Frequenze attese M FC.so Cavour 34,1 b 67C.so Vitt.Eman c d 41 55 53 108 Freq. attesa (a) = 34.1 Freq. attesa (b)= (53*67)/108; = 32.8 Freq. attesa (c)= (55*41)/108=20.08 Freq.attesa (d)= (54*41)/ 108= 20.5 M F C.so Cavour 34,1 32,08 C.so Vitt.Eman20,05 20,5
  28. 28. Calcolo χ2 M F M F C.so Cavour 36 31 67 C.so Cavour 34,1 32,08 C.so Vitt.Eman 19 22 41 C.so Vitt.Eman20,05 20,5 55 53 108Χ2 =[(36-34,1) 2 /34,1 ]+[(31-32,8) 2 /32,8 ]+[(19-20,05) 2 /20,05]+[(22-20,5) 2 /20,5 ]=0,34Gdl= (c-1) *(r-1); 2α=0.05Χ2critico = 5.99 0,34<5,99; ACCETTO Ho
  29. 29. Esercitazione• Verificare la relazione tra Soddisfazione dopo un esame affrontato con successo e Locus of Control (interno vs esterno)
  30. 30. Svolgere l’esercizio senza tener conto della correzione di Yates (VI colonna) checonsiste nel sottrarre 0,5 a ogni differenza assoluta tra la frequenza osservata equella attessa L of Contr Interno Esterno
  31. 31. Analysis of Variance (ANOVA)L’ ANALISI DELLA VARIANZA VIENE UTILIZZATA QUANDO SI VOGLIONO CONFRONTARE LE MEDIE DI Più GRUPPIQuando le medie sono solamente due è indifferente usare questo test F (per ANOVA) o il t-testANALISI DELLA VARIANZA AD UNA VIA (One Way ANOVA)ANALISI DELLA VARIANZA A PIU’ VIELa scelta dipende dal numero di fattori presi in considerazione; il fattore è la causa di variazione considerata.
  32. 32. One Way ANOVAQUANDO SI HA UNA SOLA VARIABILE DIPENDENTE E UNA SOLA VARIABILE INDIPENDENTE (fattore)Esempio Verificare se l’età (3 gruppi) produce una riduzione nella percezione delle capacità mnestiche. Somministriamo ai 3 gruppi un test sulla percezione dei fallimenti cognitivi.Il nostro fattore è l’età a tre livelli (giovane, adulto,anziani), la VD ovvero la variabile che prendiamo in considerazione per osservare gli effetti dell’età è la percezione delle proprie capacità mnestiche
  33. 33. Indagine sulla Varianza – Il Test F- • VARIANZA ENTRO I GRUPPI –Varianza within- (differenze individuali proprie dei soggetti presi inconsiderazione o varianza d’errore) • VARIANZA TRA I GRUPPI –Varianza between-( dovuta al fattore di interesse ETA) -Test F- Si tratta del rapporto tra due varianze Varianza B/Varianza W VarB/ VarW segue la distribuzione F di Fisher che è tabulata in funzione dei gradi di libertà • Quando VarB è grande e VarW è piccola il test risulterà significativo
  34. 34. IpotesiH0: tutte le medie sono uguali tra di loro• H0: µ1 = µ2 = … = µK = µH1: almeno una media è diversa dalle altre• H1: esiste almeno uno strato k per cui µk ≠ µIl test F è un test globale, per sapere quale sia la media che differisce dalle altre bisogna operare i post-hoc (ovvero facciamo dei test t tra le coppie delle medie)
  35. 35. I gradi di Libertà• Ogni componente di devianza ha un suo diverso grado di libertà• DEVIANZA TRA I GRUPPI (B): k-1 gdl (perde il gd l dellamedia totale)• DEVIANZA ENTRO I GRUPPI (W): n-k gdl(si perde un gdl per ogni media di gruppoIn cui:N = numero dei soggettik = numero delle condizioni/gruppi
  36. 36. EsempioN=18K=3(giovani, adulti, anziani)Gdl tra i gruppi = 2Gdl entro i gruppi= 15Test F VarB/VarW= 8.57
  37. 37. Anova a più vie o FattorialeSi utilizza quando il disegno sperimentale prende in considerazione più variabili indipendenti.Uno dei Vantaggi della ANOVA fattoriale: Permette di evidenziare le interazioni tra variabili , ovvero gli effetti congiunti delle variabili indipendenti sulla variabile dipendente.
  38. 38. Fonti di VarianzaIl modello bivariato ha lo scopo di individuare quanta parte della varianza della v.d. sia dovuta: – agli effetti dei trattamenti del primo fattore – agli effetti dei trattamenti del secondo fattore – agli effetti d’interazione tra il primo ed il secondo fattore – agli effetti dovuti alle differenze individuali.
  39. 39. Variabilità Totale Variabilità tra i gruppi Variabilità entro i gruppi Varianza Varianza Varianza 1° fatt. 2° fatt. 1° fatt x 2° fatt.Il calcolo degli F avviene dividendo le varianze degli effetti principali e di quello d’interazione per la varianza entro i gruppi
  40. 40. Gradi di libertà
  41. 41. Gradi di libertàFattore 1Gdl B= k1-1 Var B (fattore1)+ VarB (fattore2)+ VarB (interazione) F=Fattore 2 Varianza WGdl B= k2-1Effetto interazioneGdlB= gdl1 * gdl2Gdl W comune a tutti = (N-1)- gdl (1)-gdl(2)-gdl (int) oppure N- (k1 *k2 )
  42. 42. Esempio• Disegno fattoriale 3x236 soggetti vengono reclutati per valutare gli effetti dell’età (giov, ad, anz) e della depressione (Media dei punteggi alti e bassi) sulla percezione dei fallimenti mnestici.Effetto principale dell’etàGdlB= k-1, 3-1= 2Effetto principale del livello di depressioneGdlB=K-1; 2-1 = 1Effetto di interazione Eta X DepressioneGdlB = 2*1
  43. 43. Gdl W = (36-1)- 2 - 1- 2 = 30Effetto principale EtàF critico= 3,32Effetto principale del livello di depressioneF critico = 4,17Effetto di interazione Eta X DepressioneF critico = 3,32
  44. 44. Un esempio con STAT (VEDI LUCIDI)
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