Derivadas. teoremas
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Derivadas. teoremas Derivadas. teoremas Presentation Transcript

  • Derivadas y sus aplicaciones2º Bachillerato
  • Derivada de una función en un puntoSi el límite existe y es finito,la derivada de f(x) en x=p esDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.f (p) =h→olimf(p+h) – f(p)hh→olimf(p+h) – f(p)h
  • Interpretación geométrica de la derivadaAl hacer que h → 0, ocurrirá que• p + h tiende (se acerca) a p• Q recorre la curva acercándose a P• La recta secante a la curva seconvierte en la recta tangente• La inclinación de la recta secante tiendea la inclinación de la recta tangenteSi la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente ala gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .0( ) ( )lim ( )hf p h f pf ph→+ −′=
  • Ecuación de la recta tangenteaf(a)αtαtEntonces:• Pendiente de la tangente: mt = f (a)• Ecuación de la recta tangente:t ≡ y – f(a) = f (a) (x – a)tEcuación de la recta que pasa por unpunto A(a, b) y de pendiente m:y – b = m (x – a)
  • Ecuación de la recta normalComo la tangente y la normal sonperpendiculares sus pendientes soninversas y cambiadas de signo.Entonces:Pendiente de la tangente: mt = f (p)Ecuación de la recta tangente:y – f(p) = f (p) (x – a)Pendiente de la normal:mn = –1/f (p)Ecuación de la normal:y – f(p) = [–1/f (p)] (x – a)Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y – f(p) = m (x – p)
  • Derivadas lateralesαaβf (a+) = tg α > 0f (a–) = tg β < 0Por ser f (a+) ≠ f (a–), f(x) no esderivable en el punto a.La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,dado por f (a+) =hxfhxfh)()(lim*0−++→Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha ypor la izquierda y las derivadas laterales coinciden.La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, siexiste, dado por f (a –) =hxfhxfh)()(lim0−+−−→
  • TeoremaUna función derivable en un punto es continua en dicho punto.( ) ( )( ) ( )f a h f af a h f a hh+ −+ − = ×( )0 0( ) ( )lim ( ) ( ) limh hf a h f af a h f a hh→ →+ − + − = × ÷ 0 0( ) ( )lim limh hf a h f ahh→ →+ −= ×( ) 0 0f a′= × =0lim ( ) ( )hf a h f a→+ = ( ) es continua enf x x a=( ) es derivable enf x x = aDemostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto
  • f(0–) =h → 0–limf(a + h) – f(a)h =h → 0–lim– hh = –1Relación continuidad y derivabilidadHay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho puntof(0+) =h → 0+limf(a + h) – f(a)h =h → 0+limhh = 1Puesto que las derivadas laterales en 0 sondiferentes la función no es derivable en dichopunto.= tgα= tg β
  • Función derivadaf (3) =h→0limf(3 + h) – f(3)h=h→0lim(3 + h)2– 32h=h→0limh (h + 6)h= 6• Derivada de f(x) = x2en el punto 2:f (x) =h→0limf(x + h) – f(x)h=h→0lim(x + h)2– x2h=h→0limh (h + 2x)h= 2x• Derivada de f(x) = x2en el punto 3:f (2) =h→0limf(2 + h) – f(2)h=h→0lim(2 + h)2– 22h=h→0limh (h + 4)h= 4Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2es f (x) = 2xSe llama función derivada de una función f(x) a la función f (x) que asocia acada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.Para obtener la derivada en x
  • Máximos y mínimos relativosUna función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe unintervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo xperteneciente al intervalo.• La función y = x2– 6x + 8 tiene un mínimo relativo enel punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.• La función y = x2– 6x + 8 tiene un mínimo absolutoen su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tienemáximo absoluto en su dominio.• La función y = x2– 6x + 8 tiene un mínimo absolutoen el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En esemismo intervalo tiene un máximo absoluto en elpunto (1, 3).• La función y = x2– 6x + 8 no tiene máximos nimínimos en el intervalo (4, 5).•m(3, -1)1 5
  • Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo omínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f (c) = 0Si la función es constanteentonces f (c) = 0Si A es máximo, la tangenteen x = c es horizontal. Supendiente es 0Si A es mínimo, la tangenteen x = c es horizontal. Supendiente es 0f (c) = 0f (c) = 0f (c) = 0
  • XYMonotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo[a]bxf(x)x+hf(x+h)hFunción creciente en [a, b]f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0XY[a]bxf(x)Función decreciente en [a, b]f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0f(x+h)x+hhf ’(x) >0 f ‘ (x) < 0
  • Derivadas y curvatura: concavidadLas pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f es creciente ⇒ su derivada que es f “debe ser f”(x) > 0 ⇒ función convexaXY[a]bα1α2x1 x2tg α1 < tg α2 ⇒ f (x1) < f (x2)XY[a]bx1 x2α1α2
  • Derivadas y curvatura: convexidadXY[a]bx1 x2a1a2XY[a]ba1a2x1 x2tg a1 > tg a2 ⇒ f (x1) > f (x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f es decreciente ⇒ su derivada que esf " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cóncava
  • Puntos de inflexiónXYP(a, f(a))f" < 0f" > 0f"(a) = 0Son los puntos en los que la función cambia de curvatura