Princípios básicos da matemática do movimento - PDF

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Princípios Básicos da Matemática do Movimento. Doc.WORD. Documento em WORD.

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Princípios básicos da matemática do movimento - PDF

  1. 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA DO MOVIMENTO Notas de curso de equações diferenciais ordinárias – IFPI – 2012 Lossian Barbosa Bacelar Miranda – IFPI / lossian@oi.com.br 1 - Conceitos Fundamentais Equações diferenciais são equações contendo derivadas. Para compreender e investigar problemas envolvendo os movimentos de corpos e fluidos, fluxos de corrente elétrica em circuitos, dissipação de calor em objetos sólidos, propagação e detecção de ondas sísmicas, aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais. Vale lembrar que toda a parte do cálculo chamada de cálculo de primitivas é determinação de soluções de equações diferenciais. 1.1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) - se a função desconhecida depende de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples, ordinárias. 1.2. Equações Diferenciais Parciais (EDP) - se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. Não estudaremos estes tipos de equações neste curso, os quais fazem parte da disciplina teoria do potencial. 1.3. Ordem - a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação. 1.4. Equações Lineares e não-lineares A equação diferencial (n) f (t , x(t ), x' (t ), x" (t ),..., x (t )) 0 é dita linear se a aplicação f for linear nas coordenadas t , x, x' (t ), x" (t ),..., x ( n ) . Em caso contrário, diz-se que a equação é não-linear. A forma geral n) de uma equação diferencial ordinária linear (de ordem é ( 3) ( n) a0 (t ) x(t ) a1 (t ) x' (t ) a2 (t ) x" (t ) a3 (t ) x (t ) ... an (t ) x (t ) g (t ) . Se os coeficientes a k (t ), k 1,2,3,..., n, são constantes reais, dizemos que a EDO é linear de coeficientes constantes, e é este o único tipo genérico de equações diferenciais para as quais existe uma teoria bem desenvolvida, e que dá solução para qualquer equação do referido tipo 1. Quando g (t ) 0 dizemos que a equação é homogênea e, em caso contrário, não homogênea. 1.5. Soluções - uma solução da equação y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) no intervalo < t < é uma função (t) tal que `(t), ``(t), ... (n)(t) existem e satisfazem (n)(t) = f (t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)) para todo t dentro do intervalo <t< . 1.6. Intervalo maximal – dizemos que [ , ] é intervalo maximal da solução (t ) da equação diferencial y(n)(t) = f (t, y(t), y’(t), y(t)”, ..., y(n-1)(t) ) se a aplicação (t ) não puder ser estendida para nenhum outro intervalo que tenha [ , ] como subintervalo próprio. 1.7. Sistema de m EDOs de ordem n – é uma expressão do tipo  (n)      y (t ) f (t , y (t ), y ' (t ), y" (t ),..., y ( n 1) (t )) , sendo y(t ) ( y1 (t ),..., y m (t )) R m , para todo t 1 Em particular, grande parte da teoria das matrizes, tal como diagonalização, formas canônicas de Jordan e teorema espectral foram desenvolvidas objetivando construir a teoria que fornece a solução geral das equações diferenciais ordinárias de coeficientes constante.
  2. 2. num intervalo considerado e é um campo vetorial. Observe que em um sistema, em vez de uma única função na variável t aparecem m funções. A solução do  sistema é qualquer m upla (t ) ( 1 (t ),..., m (t )) de funções definidas em um intervalo  (n)    (t ) f (t , (t ), (1) (t ),..., ( n 1) (t )) , comum [ , ] tal que t [ , ] . Em tais circunstâncias definimos, também, intervalo maximal de qualquer solução do sistema. Aqui, paramos para fazermos algumas reflexões sobre as mais relevantes questões relativas às equações diferenciais ordinárias e sistemas as quais são três: a) Uma equação diferencial sempre tem solução não vazia? (existência); b) Quantas soluções tem uma equação diferencial, na suposição de que ela tem pelo menos uma? Que condições adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma única solução? (unicidade); c) Dada uma equação diferencial, podemos determinar, de fato, uma solução? E, se for o caso, como? Vejamos alguns exemplos ilustrativos destas três questões:  ( x) 2 1 não é satisfeita por nenhuma função, em nenhum intervalo; i)  ii) , em qualquer x 0 possui infinitas soluções constantes (t ) c, intervalo não degenerado do conjunto dos números reais;  iii) x x possui infinitas soluções, a saber, x(t ) ce t . De fato, d d (ce t ) c (e t ) ce t . Note que x(0) ce 0 c1 c , ou seja x(0) c ; dt dt  0 possui infinitas soluções, a saber, x(t ) ax b . Note que x(0) b e iv) x  x(0) a ; v) ct c2 é t2 é 4 solução de mesma equação. As soluções afins no parâmetro c são chamadas t2 de genéricas (solução geral) enquanto x(t ) é dita solução singular; 4 d n ( x(t )) not ( n ) possui infinitas soluções, a saber x (t ) 0 dt n a0 a1t a2 t 2 ... an 1t n 1 .  solução da equação ( x) 2 vi) (t ) Para qualquer valor real da constante c , a função afim Observe que x(0)  a0 , x(0)  tx x 0. Note, também, que x(t ) a1 ,..., x ( n 1) (0) an 1 , x ( n) (0) 0; O uso da computação no estudo das equações diferenciais é feito, principalmente nas técnicas de buscar soluções aproximadas através de séries numéricas e funcionais truncadas, bem como usando-se pacotes de resultados clássicos já estabelecidos ao longo quatrocentos e cinqüenta anos. Atualmente, o mais usado programa é o MATHEMATICA. 2
  3. 3. EXERCÍCIOS. 1. Usando o cálculo de primitivas, encontre pelo menos uma solução para as equações seguintes (sugestão: pode usar o programa integrator, disponível online em http://integrals.wolfram.com/index.jsp):  a) x (at b) n , n N * ; 1  b) x ; t (at b)  c) x ln t .  d) x sen(lnt ) ; 1  e) x t ln(sen(ln( 2 ))) . t 2. Dê exemplos de uma equação diferencial ordinária (EDO), uma equação diferencial parcial (EDP) e um sistema de equações diferenciais ordinárias encontrando suas respectivas soluções, as quais queremos que sejam não vazias. 3. Classifique os entes abaixo em conformidade com os conceitos apresentados em 1.1 a 1.7.  dx  d (m dt ) a) F (equação da segunda lei de Newton); dt b) m x kx(t ) (equação da Lei de Hooke); c)  sen 0 (equação do pêndulo simples);  ; d) (sistema desmembrado da equação do  sen pêndulo simples);  e) m x kx (equação do “movimento livre” em meio resistente);  f) x kx (modelo de Malthus do crescimento populacional - k 0 , ou decaimento radioativo - k 0 );  d 2x g) 0 (equação do princípio da inércia, de Galileu); dt 2 2 2 u u h) ( x, t ) k 2 ( x, t ) , k 0 (equação que dá a amplitude u( x, t ) da corda 2 t x esticada de um violão como função do tempo t e do comprimento x da corda).  4. Use a fórmula de Baskara para encontrar as soluções de ( x) 2 5. Prove que x(t ) 1  é solução da equação x(t )  tx x 0. ( x(t )) 2 . Ache os intervalos 1 t maximais. Poderia tal equação modelar algum fenômeno físico? 3
  4. 4. 2. Equações e sistemas clássicos que originaram a teoria das EDOs e a Física Com pouco exagero, podemos dizer que a Física, como estudo dos movimentos dos corpos, é a ciência que trata da montagem, resolução e interpretação das equações diferenciais que modelam os movimentos. A essência do que afirmamos é razoavelmente simples: os movimentos dos corpos ocorrem no tempo e no espaço, e as respectivas posições dos corpos mudam enquanto o tempo passa. Se conhecermos os campos vetoriais  dx d (m )   dt correspondentes às forças, a segunda lei de Newton F ( x, t ) (aqui, dt  x ( x1 , x 2 , x3 ) é a posição de uma partícula do corpo ou dos corpos cujos movimentos pretende-se encontrar) ou uma de suas numerosas equações alternativas2, nos fornecerá uma equação diferencial ou um sistema cuja resolução nos dará as posições e as velocidades em função do tempo. A seguir, apresentamos alguns exemplos históricos. 2.1. Movimento de partícula livre de massa constante. . Considere uma partícula no espaço sob a ação de um campo de força resultante nulo. A  dx d (m ) dt , e daí resulta, devido à constância da massa, segunda lei de Newton nos dá 0 dt 2 d x x 0 . Esta nos fornece o sistema de equações desacopladas i (t ) 0 , i 1,2,3 cuja dt  solução é xi (t ) ai bi t , ( i 1,2,3 ). Notemos que ai xi (0) e bi xi (0) . Vetorialmente    dx  a solução é escrita sob a forma x (t ) x (0) t (0) sendo x(0) o vetor-posição inicial da dt  dx partícula e (0) a sua velocidade inicial. O intervalo maximal é R e a solução do sistema dt é a curva x:R t R3  cujo hodógrafo é uma reta.  dx x (0) t (0) dt 2.2. Arremesso em queda livre. Consideremos uma partícula arremessada nas proximidades da superfície terrestre. Seja Ox1 x 2 x3 um sistema cartesiano de coordenadas, com vetores unitários ortonormais 2 Dentre as mais famosas estão as formulações lagrangeana e hamiltoniana da mecânica, as quais fazem uso de algumas funções tais como energia, cujas curvas de nível são órbitas de soluções das equações diferenciais associadas aos movimentos estudados. Estes conceitos surgiram no século XIX com uma distância de quase um século de Newton. 4
  5. 5.     e1 , e2 , e3 . Seja e3 apontando para cima e na direção do fio de prumo. A força é constante e    gme3 . Pela segunda lei de Newton, igual a um múltiplo de e3 , ou seja F     d 2x d 2x mge3 m 2 (t ) de onde resulta ge3 (t ) a qual eqüivale ao sistema desacoplado dt dt 2 1 (t ) 0 , x 2 (t ) 0 , x 3 x g   Este, por seu turno, possui solução x1 (t ) x1 (0) tx1 (0) , x2 (t ) x2 (0) x2 (0)t , 1 2  x3 (t ) x3 (0) tx(0) gt . Em forma vetorial, a solução é dada por 2   dx 1 2  x (t ) x (0) t (0) gt e3 . dt 2 2.3. Lei de Malthus do crescimento populacional. Durante qualquer intervalo de tempo, se multiplicarmos por uma constante o número de pessoas em uma comunidade, espera-se que também seja multiplicada pela mesma constante o número de pessoas que nascem durante este mesmo intervalo de tempo. De igual modo, se multiplicarmos o intervalo temporal por um número constante, ao número de nascimentos deverá ser também multiplicado pelo mesmo número. Assim, o acréscimo populacional é simultaneamente diretamente proporcional à população e ao intervalo temporal considerado. Então, pela teoria da proporcionalidade, temos x(t t ) x(t ) kx(t ) t , onde x(t ) é a quantidade da população no instante de tempo t .  Dividindo ambos os membros por t e tomando-se o limite temos a equação x kx , a qual é a famosa lei de Malthus. Esta equação pode ser resolvida usando-se séries de potência, usando-se a mais famosa técnica da teoria das equações (aliás, da ciência como um todo!), que é a do supor ai t i a candidata a ser que é para ver como é que fica (guarde bem isto!). Seja x(t ) i 0 ikai t i  solução. Derivando-a, temos k x 1 e igualando-se estes dois somatórios temos i 1 a1 ka0 e ai k ai i 1 para i 2,3,4,... . Disto resulta que ai k i a0 , i! i N . Logo, (kt ) i . Do cálculo usamos a notação x(t ) a0 e kt . Notemos que x(0) a 0 e que i! i 0 tal fato indica que este movimento do aumento populacional, pelo modelo de Malthus, só depende da população inicial. Um cálculo semelhante pode ser feito para o decrescimento radioativo, bem como para a vazão em uma caixa d’água, onde temos é constante que depende da área do orifício e das V (t t ) V (t ) V (t ) t , onde propriedades do fluido. x(t ) a0 5
  6. 6.  A solução da equação x kx pode ser encontrada de forma alternativa do seguinte 1 dx modo: supondo que a solução x(t ) não se anule, no domínio, então (t ) k . Por x(t ) dt d d outro lado, a regra da cadeia nos dá (ln x(t ) ) k (kt) , e daí resulta ln x(t ) kt c , dt dt onde c é uma constante qualquer. Assim, x (t ) x(t ) e kt c e c e kt not Ce kt . Em síntese, Ce kt , sendo C positivo ou negativo. 2.4. O Centro de massa. A coleção das forças internas não pode alterar o movimento do centro de massa, tão somente, pode fazer com que o corpo possa girar. É o que ocorre com o gato em queda livre, ao girar para cair com as patas no chão. O centro de massa de um corpo de massa m , e submetido a um certo campo de forças, se move como se fosse uma partícula de massa m situada naquele mesmo campo. A explicação da afirmação acima é fruto da própria definição do centro de massa, conforme segue: PROPOSIÇÃO FUNDAMENTAL : Sejam n partículas 1,2,..., n com posições dadas pelos  raios vetores ri (t ) em função do tempo (as partículas estão em movimento, talvez!), cada uma com massa constante mi . Denotemos Fik (t ) a força que a partícula i exerce sobre a  n   dri (t ) d n partícula k no instante t . Então ( mi ) Ri (t ) , onde Ri (t ) é a força dt i 1 dt i 1 resultante externa que atua sobre a partícula i. DEMONSTRAÇÃO: leia o parágrafo “Dinámica de un sistema de partículas”, do sítio mencionado na nota de rodapé 2, onde é feito para duas partículas (para várias partículas, o raciocínio é idêntico)3.  dri (t ) mi dt 1 n DEFINIÇÃO: (momento linear): denomina-se o somatório i  linear total das n partículas, e pi  P de momento  dri (t ) mi , momento linear da partícula i . dt A partir do resultado acima podemos, facilmente, colher o seguinte resultado, o qual é talvez o mais importante resultado que se refere a movimento de corpos quaisquer, sejam rígidos ou deformáveis. 3 No sítio http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm leia também os parágrafos seguintes: Momento lineal e impulso; Dinámica de un sistema de partículas; Conservación del momento lineal de un sistema de partículas; El centro de masa. Este é um sítio muito bom e tem uma tradução do mesmo em português. 6
  7. 7. TEOREMA 2.4.1. (conexão entre forças externas e centro de massa). n  ri (t )mi i 1 n n  rcm (t ) mi  vcm  drcm (t ) dt  mi vi (t ) i 1 M  P M  dP dt  Macm  Fext  Macm . i 1 OSERVAÇÕES: a) Em conformidade com a equação acima, o centro de massa do corpo (seja ele rígido ou deformável) se move como se fosse uma partícula4 com massa igual à do corpo, localizada no centro de massa do corpo. b) Tal equação, de fato é o que torna possível a existência da física, tal como a conhecemos. c) Ela também significa que não importa as energias e possibilidades de movimentação do corpo humano, e vontade de se flexibilizar, é impossível um mudar a posição de seu centro de massa, um milímetro sequer, caso esteja em queda livre5. 2.5. Velocidade de escape sem atrito. Considere um corpo celeste de formato esférico de massa m1 e raio R e, na superfície do mesmo, sendo lançado para cima, na direção do fio de prumo, um corpo de massa m 2 , o qual fica sujeito, exclusivamente à ação da força gravitacional, a qual é expressa pela Gm1 m2 fórmula F12 (como o movimento ocorre apenas ao longo da reta suporte do ( R r (t )) 2 fio de prumo, não há necessidade de usarmos três coordenadas cartesianas, contentando-nos apenas com uma, a qual será orientada positivamente para cima, com origem no centro de massa do corpo celeste). Gm1 m2 Gm1 r r Pela segunda lei de Newton, m2 (t ) de onde sai (t ) . Não dá 2 (r (t )) (r (t )) 2 para resolvermos esta equação através do cálculo de primitivas, tal como fizemos até o momento. Adiaremos o cálculo de sua solução. 2.6. O problema dos dois corpos. Considere dois corpos de massas m1 e m 2 livres no espaço R 3 , onde fixamos um sistema de referência, não sujeitos a nenhuma outra força externa que não sejam as 4 Partícula seria um corpúsculo diminuto com região espacial ocupável convergindo para zero. 5 Devemos respeitar muito a expressão Fext   Macm , onde M é a massa total do corpo, Fext é a soma das  forças externas atuantes em cada partícula e a cm é a aceleração do centro de massa. Como dizia Hertz, as  equações matemáticas da física sempre dizem muito mais do que o que tudo o que possamos extrair delas. 7
  8. 8.   gravitacionais mútuas entre eles. Sendo r1 (t ) e r2 (t ) os respectivos vetores-posição das massas m1 e m 2 , o uso direto da segunda lei de Newton nos fornece o par de equações acopladas  d 2 r1 (t ) dt 2    Gm2 (r2 (t ) r1 (t )) d 2 r2 ; (t ) 3   dt 2 r2 (t ) r1 (t )   Gm1 (r1 (t ) r2 (t )) . 3   r1 (t ) r2 (t )  Notemos que como ri (t ) ( x1 (t ), y1 (t ), z1 (t )), i 1,2 , cada uma destas duas equações vetoriais acima corresponde a três equações escritas nas três coordenadas, de modo que ao todo o sistema vetorial acoplado de ordem 2 corresponde a um sistema acoplado de ordem 2 com seis variáveis. A resolução deste sistema, feita por Johann Bernoulli, é a maior obra da física teórica até agora realizada 6. É feita a partir da busca de aplicações que permanecem constantes ao longo das soluções, isto é, aplicações tais que se   dH  dr r1 (t ) for vetor-solução, então (r1 (t ), (t ), t ) 0, t [ , ] , onde [ , ] é o intervalo dt dt de definição da solução. Estas aplicações deram origem aos conceitos usuais da física tais como massa, energias potencial e cinética, momento linear, momento angular e seus respectivos princípios de conservação, os quais posteriormente foram “exportados” para os demais ramos da física. 2.7. O Problema dos n-corpos. Considere n partículas de massas mi , i 1,2,..., n ocupando as posições dadas pelos  raios vetores ri , i 1,2,..., n , respectivamente. A força resultante que as demais partículas n mi mk   exercem sobre a partícula de massa m j é G (r (t ) k ri (t )) , e a aplicação   3 k i r (t ) ri (t ) k da segunda lei de Newton para o caso nos dá o sistema acoplado de n equações diferenciais vetoriais ordinárias de Segunda ordem 2 n mk  d r  (t ) G (r (t ) k ri (t )) , i 1,2,..., n , o qual corresponde a um sistema 2   3 dt k i r (t ) ri (t ) k 3n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Este sistema jamais foi resolvido, nem mesmo para 3 partículas. A análise do problema restrito dos três corpos7 levou Henri Poincaré a antever a teoria do caos. 6 É a maior não no sentido da dificuldade da demonstração, a qual é até relativamente simples, mas na abrangência e importância de suas conseqüências. 7 O problema restrito é quando a terceira partícula tem uma massa desprezível em comparação com as massas das outras duas (Terra, Lua e um grão de poeira, por exemplo). O problema restrito consiste em estudar o movimento da partícula de massa desprezível. 8
  9. 9. 3. Alguns métodos analíticos e genéricos de resolução de EDOs de primeira ordem e afins 3.1. Método das variáveis separáveis. Importantes equações da física podem ser postas sob a forma g ( y( x)) y' ( x) b Neste caso, f ( x) . b f ( x)dx , de onde resulta, aplicando-se a fórmula de mudança g ( y) y' ( x)dx a a y (b ) de variáveis na integral8, b f ( x)dx , para quaisquer a e b dentro dos domínios g ( y )dy y(a) a de definição de f e g . O desenvolvimento de tais integrais, em muitos casos pode explicitar y(x) . A seguir, vejamos como aplicar este método no problema da velocidade de escape. Gm1 dv k r Conforme já vimos, a equação é (t ) , isto é, . Aqui, v é a (t ) 2 (r (t )) dt r2 velocidade, t é o tempo e k , uma constante negativa. Quando r R , o raio da terra, então dv (t ) g , onde g é o valor absoluto da aceleração gravitacional na superfície da Terra. dt dv gR 2 k gR 2 . Portanto, Assim, g , de onde se conclui que k . Notemos (t ) dt R2 r2 que durante a subida do corpo, t , r e v são difeomorfismos9 mútuos quando consideradas como função das outras variáveis. t v r Figura 01. Esquema ilustrativo da regra da cadeia. 8 TEOREMA (mudança de variáveis na integral). Sejam f :J R uma função contínua sendo J um g (b ) b intervalo e g : [ A, B] f ( g ( x)) g ' ( x)dx J uma função com derivada contínua. Então, a DEMONSTRAÇÃO: se f (t )dt . g (a) F (t ) é uma primitiva de f (t ) , pelo teorema fundamental do cálculo (TFC) temos g (b ) f (t )dt F ( g (b)) F ( g (a)) . Por outro lado, pela regra da cadeia temos g (a) ( F ( g ( x)))'( x) F ' ( g ( x))g ' ( x) f ( g ( x)) g ' ( x)dx a e novamente pelo TFC, g (b ) b F ( g (b)) F ( g (a)) f (t )dt . g (a) 9 Uma função y=y(x) é difeomorfismo quando é inversível derivável e a inversa x=x(y) também é derivável. No caso em tela, ao todo são 6 difeomorfismos, a saber, t=t(r), r=r(t), v=v(t), t=t(v), r=r(v) e v=v(r). 9
  10. 10. dv regrada / cadeia dv dr dv gR2 . Notemos (t ) (r ) (t ) v(t ) (r ) dt dr dt dr r2 que esta última igualdade obedece às hipóteses para a aplicação do método de separação das variáveis, com as seguintes notações: y v , x r e a função g é a função identidade. Assim, temos: v(r ) r gR2 mét . / sep .de var iáveis gR2 1 1 1 1 vv' (r ) vdv dr v(r ) 2 v( R ) 2 gR2 ( ) e 2 2 r r 2 2 r R v( R) R Pela regra da cadeia, temos 2 gR2 2 gR) v( R)2 . r 2 gR 2 gR Notemos que 0 2 gR 2 gR e daí segue que 2 gR 2 gR 0 . r r Portanto, se tomarmos v( R) 2 2 gR , então v(r ) jamais se anulará. Por outro lado, se daí segue v(r )2 tomarmos v( R) 2 v( R) 2 ( 2 gR , então haverá algum r para o qual v(r ) 0 . Ao valor 2 gR damos o nome de velocidade de escape. EXERCÍCIOS 1. Escreva a forma mais geral possível de uma equação diferencial de primeira ordem, e esboce uma tentativa genérica de encontrar sua solução. 2. Mostre que qualquer hipérbole da forma padrão y ( x) c x é solução de xy' ( x) y( x) 0 , e reciprocamente, qualquer solução desta equação é uma hipérbole padrão, possivelmente degenerada, como uma reta, por exemplo!).10 dy f ( x) 3. Equações de variáveis separáveis têm a forma , e nós já sabemos ( x) dx g ( y( x)) como resolvê-las (note que elas podem ser postas na forma acima usada g ( y) y' f ( x) ). dy g ( y( x)) é de variáveis separáveis? ( x) dx f ( x) b) Encontre os erros na “demonstração heurística” abaixo: a) A equação 10 A sugestão é a seguinte: d ( y ( x) x) dx y ' ( x) x y( x)1 y' x y. 10
  11. 11. dy ( x) dx g ( y( x)) f ( x) y( x) a x , temos dy g ( y( x)) dy g ( y) y ( x0 ) x x0 dx . Integrando ambos os membros de x 0 f ( x) dx , de onde resulta f ( x) dy g ( y) k1 dx f ( x) k2 . Visto que o primeiro membro desta última equação não depende de x e o segundo membro da mesma não depende de y , então ambos os membros dy dx devem ser iguais a uma constante. Portanto, e são g ( y) f (x) constantes, o que não pode acontecer visto que uma integral indefinida só é constante se for a função nula. No entanto, só funções nulas podem Ter 1 1 integrais indefinidas nulas. Porém, funções dos tipos e não g ( y) f ( x) dy g ( y( x)) podem ser nulas. Assim, as equações do tipo sempre terão ( x) dx f ( x) soluções vazias. dy y c) Mostre que a função y : R* R , y( x) x é solução de . ( x) dx x 4. Em uma caixa d’água em forma de cilindro equilátero de altura R metros, plenamente cheia de água, é feito no centro de sua base inferior um buraco circular R de raio r . Quanto tempo irá demorar para que a caixa se esvazie? 10 2 5. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE diz que em média cada brasileiro tem dois filhos. Esta informação é suficiente para tirarmos o valor da constante da equação do crescimento populacional? 6. Que idéia intuitiva você faz de um difeomorfismo? difeomorfismo 7. Se A, B R 3 , e f : A B , então dizemos que A e B são conjuntos difeomorfos. Em face desta definição, diga quais dos pares de conjuntos abaixo são difeomorfos: a) Dois quaisquer intervalos fechados. b) Dois quaisquer intervalos abertos. c) Um quadrado e um círculo quaisquer d) Um cubo e uma esfera e) Um círculo e um intervalo aberto f) Uma superfície esférica e uma superfície de toro, quaisquer. g) Uma poligonal fechada e o círculo. 11
  12. 12. 8. No problema dos dois corpos, considere a origem do sistema cartesiano no centro de massa dos corpos. O sistema de equações fica mais simples? Justifique sua resposta. 9. Se um buraco negro11 tivesse um metro de raio e densidade constante, quais deveriam ser sua densidade e massa mínimas? 10. Considere uma pessoa memorizando informações. Digamos que até o instante t ela tenha memorizado uma fração L(t ) do assunto total a ser aprendido. Em t segundos após o instante t , o aumento no assunto aprendido é o seguinte: L(t t ) L(t ) k t (1 L(t )) . Dividindo tudo por t e tomando o limite temos 1 dL (t ) k . 1 L(t ) dt a) A equação acima é de variáveis separáveis? Justifique sua resposta. b) Resolva a equação acima. c) Baseado na resolução da equação acima você diria que este modelo descreve bem a realidade do aprendizado humano? d) Façam a seguinte experiência: distribuam listas com 30 centenas aleatórias para cinco diferentes pessoas e inspecionem o número de acertos em 10 s, 20 s, 30 s, 40 s, 50 s, 60 s, ... 100 s. Em seguida, para cada pessoa, construa o gráfico da fração de acertos em relação ao tempo. Os resultados da experiência são compatíveis com o modelo 3.2. Equações exatas. DEFINIÇÃO (equação exata). A equação dy ( x) dx é chamada exata se existir uma função u u ( x, y) N ( x, y) . ( x, y) M ( x, y) , x y M ( x, y( x)) (3.2.1) N ( x, y( x)) , ( x, y) u( x, y) tal que ˆ TEOREMA 3.2.1. (soluções de equações exatas). y(t ) é solução da equação exata dy M ( x, y( x)) ˆ ( x) se e somente se existe constante c tal que u( x, y( x)) c . dx N ( x, y( x)) DEMONSTRAÇÃO: ( ): ˆ du u dx dy ˆ ˆ ˆ ( x, y( x)) ( x, y( x)) ( x) u y ( x, y( x)) ( x) dx x dx dx M N ˆ dy dx 0. 11 Laplace definiu buraco negro como sendo qualquer corpo celeste (um planeta, uma estrela ou algum asteróide) cuja velocidade de escape seja superior à velocidade da luz no vácuo. O nome “negro” vem da conclusão lógica de que se tais corpos existirem, então não poderão emitir ou refletir luminosidade alguma. 12
  13. 13. ( ): 0 ˆ dy ( x) dx ˆ du dy ˆ ˆ ˆ ( x, y( x)) u x ( x, y( x)) u y ( x, y( x) ( x) dx dx ˆ M ( x, y( x)) . ˆ N ( x, y( x)) M N ˆ dy ( x) , de onde segue dx COMENTÁRIO i) Equações exatas na física: Os problemas da física quase sempre lidam com funções que possuem derivadas parciais de todas as ordens, para as quais dá-se o nome R é de classe C k se a mesma de funções de classe C . Dizemos que f : R n possuem derivadas parciais contínuas até a ordem k . Um importante teorema do cálculo chamado teorema de Schwarz 12 afirma que se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então ocorre simetria nas derivadas de segunda dy M ( x, y( x)) ordem, e reciprocamente. Portanto, na física, é exata se e ( x) dx N ( x, y( x)) somente se M y ( x, y) N x ( x, y) . Isto ajuda bastante na identificação da “exatitude” de uma equação. Usando a técnica de supor que é para ver como é que fica podemos encontrar a função potencial u( x, y) de uma equação exata. De fato, de u M ( x, y )dx ( y ) . Derivando esta ( x, y) M ( x, y) segue por integração u ( x, y ) x em relação a e igualando o resultado a temos y N ( x, y) d de onde segue u y ( x, y) [ M ( x, y)dx] ( y) N ( x, y) , y dy ( y) N ( x, y)dy síntese, u ( x, y) de dy ( x) dx N ( x, y( x))dy { y [ M ( x, y)dx]}dy k , onde k é uma constante real. Em N ( x, y)dy M ( x, y)dx M ( x, y( x)) N ( x, y( x)) são as { [ M ( x, y)dx]}dy k , e as soluções y funções { [ M ( x, y( x))dx]}dy y y(x) tais c para algum c que M ( x, y ( x))dx R. ii) Fator integrante (método que reduz uma equação não-exata especial para exata): dy P( x, y( x)) Considere uma equação não-exata . Se multiplicarmos ambos os ( x) dx Q( x, y( x)) membros desta equação por uma função ( x, y( x)) , a mesma terá as mesmas soluções dy P( x, y( x)) da equação original . Se a equação que resultou da multiplicação ( x) dx Q( x, y( x)) for exata poderemos encontrar as soluções dela, e portanto da original, pelo método das equações exatas. Se este for o caso, deveremos ter y 12 [ ( x, y) P( x, y)] x [ ( x, y)Q( x, y)] , a qual é uma EDP cuja solução é mais difícil Este teorema geralmente é mostrado nos cursos de cálculo vetorial. 13
  14. 14. de encontrar que a solução da EDO. Entretanto, em situações especiais isto é possível. À função ( x, y) damos o nome de fator integrante. De caráter genérico e analíticos, basicamente são, os acima apresentados, os métodos atualmente disponíveis. Tais métodos foram desenvolvidos inicialmente por Euler e Lagrange. Os outros métodos são os numéricos, usando séries, os quais na grande maioria dos casos só dão aproximações. 4. Métodos de resolução de equações lineares de primeira ordem EDOs lineares são as que podem ser postas na forma y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) , sendo f e r funções quaisquer. Quando r (x) 0 dizemos que a equação é homogênea, e em caso contrário, não-homogênea. Os dois métodos analíticos básicos são a redução ao método das equações exatas via fator integrante e o método da variação dos parâmetros. TEOREMA 4.1. (solução geral da equação linear homogênea de 1ª ordem). Todas as soluções de y' ( x) f ( x) y( x) DEMONSTRAÇÃO. ( 0 são do tipo y ( x) f ( x ) dx ce ): seja y(x) uma solução. Então, f ( x)dx k 2 de onde resulta y ( ) :se y ( x) ce f ( x ) dx e 1 dy ( x) y( x) dx 1 dy y método da separação das variáveis temos que ln y , e reciprocamente. f ( x ) dx k 2 , então y ' ( x) c[e f ( x)dx k1 f ( x ) dx ce f ( x ) dx f ( x) e pelo e daí, . ( f ( x))] f ( x) y ( x) . TEOREMA 4.2. (solução geral da equação linear de 1ª ordem). Todas as soluções de y' ( x) f ( x) y( x) são da forma r ( x) y ( x) e f ( x ) dx [ e f ( x ) dx r ( x)dx ] ( constante real) e, reciprocamente, todas as funções com esta forma são soluções da citada equação13. DEMONSTRAÇÃO. ( ): Supondo-se que é para ver como é que fica, suponhamos que exista um fator integrante F (x) , o qual depende apenas de x . Multiplicando-se dy F ( x)[ f ( x) y( x) r ( x)] ( x) por . y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) F (x) , temos dx F ( x) not not Denotemos M ( x, y) F ( x)[ f ( x) y r ( x)] e N ( x, y) F ( x) . Para que F (x) de fato M ( x, y) F ( x) f ( x) idêntica à função seja um fator integrante devemos ter y N dF ( x, y) ( x) , ou seja, F ' ( x) ( f ( x))F ( x) 0 . Pelo teorema 4.1 temos que x dx 13 Neste y ( x) e caso f ( x ) dx [ e dizemos f ( x ) dx que as soluções estão na forma r ( x)dx c] é a forma geral das soluções de y' ( x) geral, ou f ( x) y( x) que r ( x) . 14
  15. 15. F ( x) k1 e f ( x ) dx . Assim, sendo f (x) e r (x) deriváveis com derivadas contínuas até a f ( x ) dx F ( x ) k1 e segunda ordem, será fator integrante de dy F ( x)[ f ( x) y( x) r ( x)] . Portanto, pelo método das equações exatas, as ( x) dx F ( x) soluções de y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) são as funções y(x) tais que [ F ( x) f ( x) y( x) F ( x)r ( x)]dx F ( x)dy { [ ( F ( x) f ( x) y F ( x)r ( x))dx]}dy c y para constantes reais c . A derivação relativamente a y passando para dentro do sinal de integração reduz esta identidade a yF ( x) F ( x)r ( x)dx y ( F ( x)) 1[ F ( x)r ( x)dx c] . Substituindo F ( x ) y e f ( x ) dx [ r ( x )e f ( x ) dx ( y e f ( x ) dx [ r ( x)e dx ): f ( x ) dx dx c ]. k1 Uma inspeção k1 e direta ] é solução de y' ( x) f ( x ) dx c , a qual nos fornece , nesta última temos mostra claramente que r ( x) . f ( x) y( x) TEOREMA 4.3. (método da variação dos parâmetros). Todas as soluções de y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) são da forma y ( x) f ( x ) dx e [ e f ( x ) dx r ( x)dx ] ( constante real) e, reciprocamente, todas as funções com esta forma são soluções da citada equação14 DEMONSTRAÇÃO. ( ): usando o método de supor que é para ver como é que fica, busquemos achar uma função u(x) de modo que y ( x) not f ( x ) dx u ( x )e seja solução. f ( x ) dx Denotemos v( x) e . Temos y' ( x) u' ( x)v( x) u( x)v' ( x) . A substituição de y( x) u( x)v( x) e y' ( x) em y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) nos dá u' v uv' fuv r , a qual eqüivale a u' v u(v' fv) r . Como v' fv 0 (lembre-se que v(x) é solução de f ( x ) dx du . A integração desta ( x) (v( x)) 1 r ( x) r ( x)e y' ( x) f ( x) y( x) 0 ), temos dx nos dá, pelo método da primitiva, u( x) dentro das condições impostas é y( x) ( y e f ( x ) dx [ r ( x)e f ( x ) dx r ( x)e u( x)v( x) f ( x ) dx e . Logo, a solução procurada f ( x ) dx [ r ( x)e f ( x ) dx ]. ): Uma inspeção direta mostra claramente que dx ] é solução de y' ( x) f ( x) y( x) r ( x) . 14 Notemos que o enunciado deste teorema é igual ao anterior 4.2. Mas o teorema é diferente, pois o método de demonstração é diferente. Este teorema, descoberto por Lagrange, pode ser generalizado para sistemas de equações. 15
  16. 16. 5. Existência e Unicidade TEOREMA DE PICARD-LINDELÖF. Este teorema diz o seguinte: “Seja contínua e tal que . Então existe uma, e única, solução do problema de valor inicial em qualquer intervalo , sendo ”. Note que quando nos referimos a , estamos, implicitamente usando que toda função contínua definida em um conjunto limitado e fechado possui um máximo. A estratégia de demonstração e entendimento será, obedecendo à metodologia científica de Descartes, a seguinte: 1) Saber o que é espaço métrico completo com métrica e explorar suas propriedades básicas; 2) Provar que o conjunto das funções contínuas de em com a métrica do máximo é um espaço métrico completo; 3) Provar o lema da contração, onde por contração entendemos uma aplicação tal que , onde : “Sejam espaço métrico completo e tal que , com . Então existe, e é único, um elemento e, além disso, , para qualquer ”. tal que 4) Provar que se uma aplicação contínua de um espaço métrico completo possui uma iteração que é contração, então existe tal que e, além disso, , para qualquer . 5) Provar que , dada por , além de estar bem definida e ser contínua possui uma iteração que é contração, caso: i) seja lipschitziana na segunda coordenada, isto é, exista tal que para qualquer e quaisquer pares ; ii) seja contínua em seu domínio. 6) Efetuar conexão entre (4) e (5) para, a partir disto, extrair a existência e unicidade de alguma função tal que , e portanto, por derivação e teorema fundamental do cálculo, concluir que – fazer a síntese! 16
  17. 17. DEFINIÇÃO (Espaço métrico): um conjunto não vazio aplicação , chamada métrica, tal que: i) ii) ; iii) . é espaço métrico existir uma EXEMPLOS a) b) , , com as métricas usuais dadas por sendo ; ; c) , ; d) Qualquer subconjunto não vazio de um espaço métrico métrico, tomando-se a mesma métrica . onde é espaço OBSERVAÇÕES: usaremos a seguinte notação, mais econômica: . EXERCÍCIO: Prove que o conjunto das funções contínuas com a norma do máximo, estabelecido no exemplo “c” acima é um espaço métrico. DEFINIÇÃO (Limite e convergência em espaços métricos): diz-se que se e somente se . Em tal caso, diz-se que converge para . DEFINIÇÃO (função contínua em espaços métricos): é contínua em somente se para todo existe tal que toda vez que . DEFINIÇÃO (Seqüência de Cauchy em espaços métricos): uma seqüência de cauchy se e somente se para todo existe tal que para qualquer quando . se e , então é , DEFINIÇÃO (Espaço métrico completo): chamamos completo o espaço métrico no qual todas as seqüências de Cauchy são convergentes para algum elemento do espaço métrico. EXEMPLOS. a) R é completo com sua métrica usual. Este fato, apesar de intuitivo, é de complicada demonstração lógico-formal; b) Todo subconjunto fechado de ou de é completo. Em caso contrário, não será completo. c) Q, com sua métrica usual, não é completo, visto que existem seqüências de Cauchy de números exclusivamente racionais que não convergem para números racionais. 17
  18. 18. TEOREMA. , com a métrica do máximo é completo. DEMONSTRAÇÃO. É uma herança natural da completude do espaço métrico R. No entanto, usa-se fortemente o fato de o domínio das funções envolvidas ser fechado e limitado. LEMA (Da contração). Sejam espaço métrico completo e tal que , com . Então existe, e é único, um elemento tal que e, além disso, , para qualquer . EMONSTRAÇÃO. Existência. Seja um elemento qualquer de . Mostremos que é seqüência de Cauchy, portanto convergente, e que seu limite é o elemento que buscamos. . Por outro lado, usando-se iterativamente a desigualdade triangular temos que . Notando-se que , desigualdade anterior tem-se para qualquer sempre existirá < , sempre que portanto, convergente para um ponto e substituindo na . Deste modo, , grande o suficiente, tal que . Logo, a seqüência é de Cauchy e, Além disso, da continuidade de temos . Unicidade. Seja , tal que . Então, Como , obrigatoriamente devemos ter . , ou seja, . COROLÁRIO. Seja um elemento qualquer de e um número natural qualquer. Escrevamo-lo sob o aspecto , onde 0 . Temos . Como é contração tendo como ponto atrator, então , para qualquer e qualquer . Portanto, . Intuitivamente, a explicação é a seguinte: a seqüência pode ser decomposta em subseqüências, a saber, , ... , porém todas elas convergindo para um mesmo elemento, a saber, . Além disso, . PROPOSIÇÃO. , dada por , além de estar bem definida é contínua e possui uma iteração que é contração, caso: iii) seja lipschitziana na segunda coordenada, isto é, exista tal que para qualquer e quaisquer pares ; iv) seja contínua em seu domínio. 18
  19. 19. DEMONSTRAÇÃO. Seja . , ou seja, bem definida. Por outro . Logo, que Temos . Portanto, lado, se , que está então é contínua. Agora, mostremos, por indução, que , o que provará suficientemente grande, possui alguma iteração que é contração, visto que para . a) Hipótese para : . b) Hipótese para qualquer: Suponhamos que a desigualdade seja verdadeira para . Mostremos que também será verdadeira para . Temos = = . Agora, segue a síntese. TEOREMA (Picard-Lindelöf). Seja contínua e tal que . Então existe uma, e única, solução do problema de valor inicial em qualquer intervalo , sendo . 19
  20. 20. DEMONSTRAÇÃO. Visto que , dada por é contração, possuirá ponto fixo, e único, . Logo, se em relação a nos dá , temos , a qual, derivando. Além disso, de . COMENTÁRIO (Generalização para ). No lugar de poderíamos, em toda a construção acima, ter considerado uma bola de , substituindo o módulo de números e funções reais pela norma de vetores e funções vetoriais. Bibliografia Fonte: Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Jorge Sotomaior, IMPA. QUESTIONÁRIO PROBLEMA 1. Defina e exemplifique os seguintes entes: a. Problema de valor inicial. b. Espaço métrico c. Seqüência de Cauchy d. Espaço métrico completo. e. Métrica do máximo. PROBLEMA 2. Prove que o conjunto contínuas de em espaço métrico completo. PROBLEMA 3. Explique das funções com a métrica do máximo é um porque , dada por , está bem definida e é contínua. PROBLEMA 4. Dê exemplo de uma contração fixo. Escolha o valor de à vontade. e diga qual é o seu ponto PROBLEMA 5. Uma função Lipschitziana (satisfaz à condição para algum ) é sempre contínua? Justifique sua resposta. PROBLEMA 6. Enuncie o teorema de Picard-Lindelöf no caso de um sistema autônomo (o campo vetorial que define o sistema de EDOs não é aplicação dependente do tempo) dado por um campo . PROBLEMA 7. Considere, no sistema MKS, o problema de valor inicial . Inspecione se este problema satisfaz a todas as exigências estabelecidas pelo teorema de Picard-Lindelöf (no caso genérico estabelecido em “6” acima, é óbvio!). Faça um liame entre o que diz o teorema de Picard-Lindelöf e a realidade física do movimento pendular. 20
  21. 21. 6. Equações e sistemas lineares Usando-se as notações e se que a equação , vê equivale ao sistema Veremos agora que, para o caso de sistemas de EDOs lineares de coeficientes constantes, podemos achar fórmulas que expressam a solução do mesmo em termos dos coeficientes. Este é o mais celebrado resultado do estudo das EDOs e seus sistemas. 6.1. Sistemas de EDOs Lineares Chamamos sistema de EDOs lineares a qualquer sistema do tipo: o qual denotaremos por satisfazem escrever àquele (1) na com . Uma -upla ordenada - a qual corresponde a uma curva -, de funções é solução de (1) se estas funções sistema em um intervalo comum , ou seja, . Note que em notação matricial podemos forma , onde e . Notemos que é contínua caso seja contínua em um intervalo fechado . Além disso, é lipschitziana em relação . De fato, , onde é a constante de Lipschitz. PROBLEMA 8. Seja o espaço vetorial das curvas contínuas de um intervalo em , com a soma usual de aplicações e produto usual de números reais por aplicações, isto é, e . Prove que o conjunto de curvas 21
  22. 22. subespaço vetorial de basta provar que se quaisquer ]. e , é um [Sugestão: Pela teoria dos espaços vetoriais, estiverem em , então também estará, para PROPOSIÇÃO. Seja uma solução de (1). Então, se existir tal que , então . DEMONSTRAÇÃO. A curva é, obviamente, solução de (1). Pelo teorema de existência e unicidade, só existe uma única solução de (1) em com a condição inicial . Portanto, ela inevitavelmente deverá ser . TEOREMA (O conjunto das curvas-solução de um sistema de EDOs lineares é um espaço vetorial de dimensão ). , com as operações usuais é espaço vetorial -dimensional. Além disso, para cada fixado, a aplicação dada por é aplicação linear bijetora de espaços vetoriais. DEMONSTRAÇÃO. i) é aplicação linear: . ii) é injetora: Seja . Então, . Ora, a curva nula avaliada em também é igual a . Logo, pelo teorema de existência e unicidade, , o que indica que possui núcleo igual ao subespaço nulo de e, portanto, é aplicação linear injetora. iii) é sobrejetora: Seja . Pelo teorema de existência e unicidade, tomando-se um elemento qualquer , o problema de valor inicial Portanto, possui solução única tal que . , indicando a sobrejetividade. Como aplicações lineares bijetoras levam bases em bases, vê-se, pelo resultado acima, que a dimensão de é igual à dimensão de , isto é, COMENTÁRIO. Consideremos o sistema de EDOs dado por . A multiplicação de matrizes mostra, por uma inspeção imediata, que se for solução de acima, então . Se for base do espaço de soluções de (1), então quaisquer matrizes cujas colunas forem tais vetores serão soluções de . Além disso, tais matrizes, as quais chamamos matrizes solução fundamental, são inversíveis para todo . 22
  23. 23. PROPOSIÇÃO. i) Para todo e toda matriz inversível existe uma única matriz solução fundamental tal que )= ; ii) Se , então para qualquer matriz . DEMONSTRAÇÃO. i) Para cada vetor coluna da matriz inversível , o teorema de existência e unicidade garante a existência de uma solução , tal que e matriz , . Portanto, a é tal que e )= . Agora mostremos que os vetores colunas de ) são linearmente independentes. Seja em . Então, , e daí, . Visto que os vetores colunas são linearmente independentes, já que é inversível, então . ii) demonstra-se por inspeção direta, usando-se a fórmula da derivada do produto, da qual é uma generalização: . PROPOSIÇÃO. Seja uma matriz solução fundamental de (1). i) Então para cada solução (t) de (Note que as colunas de são soluções de (1)!) existe uma matriz constante tal que . ii) (t) é matriz solução fundamental de (1) se e somente se é inversível. DEMONSTRAÇÃO. i) o objetivo da demonstração consiste em mostrar que a derivada da matriz é a matriz nula de mesma ordem. Pela regra do produto, temos . derivando Por outro lado, em ambos os membros temos , que substituída na igualdade anterior dá obviamente, . Portanto, o é. é inversível se e somente se . ii) TEOREMA (Resolução do problema de valor inicial a partir da matriz solução fundamental). Se é matriz solução fundamental, então o problema de valor inicial possui solução dada por . DEMONSTRAÇÃO. Seja a solução do problema de valor inicial garantida pelo teorema de existência e unicidade em um intervalo . Temos que é solução de é solução de (1). Então existe matriz , visto que cada coluna da mesma , tal que . Multiplicando ambos os membros por as primeiras colunas tem-se e comparando . 23
  24. 24. 6.2. Sistemas de EDOs com coeficientes constantes. De modo análogo à demonstração do teorema de existência e unicidade, demonstra-se o seguinte teorema: TEOREMA. Seja , onde é uma matriz fundamental com (2) com entradas reais e é sua matriz solução . Então: i) Todas as soluções de (2) podem ser estendidas para todo o conjunto dos números reais; ii) . iii) . iv) . PROBLEMA 9. Um método muito poderoso no estudo dos sistemas de EDOs não lineares (em princípio, intratáveis!) é a linearização, o qual consiste em desenvolver o campo , definidor do sistema, em série de Taylor e tomar tão somente a parte linear deste campo e em seguida, resolvê-lo. Faça isto para o sistema pendular onde é a aceleração da gravidade e o comprimento da haste do pêndulo. [Sugestão: o sistema linearizado é: ]. EXERCÍCIOS. Justifique os resultados em termos da teoria das EDOs uma simulação ou uma experiência. A seguir, apresentamos algumas sugestões que julgamos boas: Oscilações. Simulação: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/oscilaciones/m_a_s/mas/mas.xhtml file:///C:/DOCUME~1/Users/CONFIG~1/Temp/phet-mass-spring-lab/massspring-lab_en.html Experiência: pequenas oscilações do pêndulo simples. Circuitos. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/elecmagnet/induccion/oscilaciones/oscilacio nes.xhtml Foguetes http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/cohetes/cohete1/cohete1.xhtml 24
  25. 25. Bibliografia 1. KREYSZIG, E. Matemática superior. LTC Editora, 2a. edição, Volumes 1, 2 e 3, 1979. 2. DIACU, Florin. Introdução a Equações Diferenciais: teoria e aplicações. Tradução de Sueli Cunha, LTC Editora, 2004. 3. BOYCE, W.; DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem. Wiley , 5a. edition, 1992. 4. SODRÉ, Ulysses. Equações Diferenciais Ordinárias. Notas de aula, 2003 Disponível em http://pessoal.utfpr.edu.br/adrianaborssoi/pdf/edo.pdf]. 5. LAPLACE. Mécanique Céleste [disponível em http://books.google.com.br/books?id=kcRAAAAYAAJ&pg=PA37&dq=%22exact+diferential+equations%22&lr=&as_ brr=1&cd=13#v=onepage&q=&f=false]. 6. http://ads.harvard.edu/books/1989fcm..book/ 7. http://www.astro.uvic.ca/~tatum/celmechs.html 8. http://en.wikipedia.org/wiki/N-body_problem 25

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