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El cuento de los Teselados
 

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    El cuento de los Teselados El cuento de los Teselados Document Transcript

    • EL CUENTO DE LOS TESELADOS1. Orientaciones GeneralesPara teselar un plano debemos tener muy en cuenta que el ángulo formado por las piezasque concurren a un mismo vértice suma 360 grados. Por esta razón las figurasgeométricas con las cuales es más sencillo teselar un plano son: triángulos equiláteros,cuadrados y hexágonos regulares. Además debes considerar lo siguiente:La diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita, los matemáticos y enparticular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales;incluso las más sencillas de estas plantean problemas grandiosos.Las propiedades de las figuras con que se pueden trabajar las teselaciones, sonprimordiales para llevarlos a cabo, además permiten desarrollar la visión espacial.Los teselados por su gran número de características, se hacen fascinantes, aparentandoser una invención de la mente, cuando en realidad las figuras con que están construidosen su mayoría los teselados, ya existían tiempo atrás antes de ser objetos de estudio.2. El Mundo de los teselados Introducción: Vamos a explorar un mundo encantador: EL DE LOS TESELADOS. Como invitado tendremos a Maurits Cornelis Escher, un artista como muy pocos, con su interesantísima obra. Él se destacó por crear juegos visuales a partir de la observación y el estudio de las formas en la realidad, trasladándolas al papel de una manera sorprendente. Escher nació el 17 de junio de 1898 en Leeuwarden (Países Bajos) y dejó ver su talento desde muy joven, cuando apenas era un estudiante. El trabajocon la simetría y la repetición lo obsesionó constantemente yprecisamente esto hizo que algunas de sus obras seanclasificadas en algo que él nombró “partición regular delplano”. Al parecer, sus viajes a la Alambra (en España)lograron inspirarlo y marcaron una fuerte influencia en él, loque se observa en el hecho de usar patrones que rellenan el
    • espacio sin dejar ningún hueco. Esto precisamente se conoce como Teselar el Plano.Algunas de sus pinturas más conocidas presentan motivos en las que hace encajarperfectamente reptiles, peces, ranas, hormigas, etc. Puedes encontrar su fantástica obraen muchos sitios de Internet. Te invitamos a que la conozcas. Puedes visitarhttp://www.mcescher.com y encontrar diseños como los siguientes:Uno de los retos es lograr reproducir algunas de sus creaciones como la que se muestra acontinuación con ayuda del software de Geometría Dinámica Cabri II plus.
    • 3. Conceptos básicosTESELADO: Esta palabra proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a lasconstrucciones y pavimentos de su ciudad.Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y temploscerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones conmosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida quecoloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipode trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.Se denomina Isometría o transformación isométrica de una figura en el plano aquellatransformación que no cambia ni la forma ni el tamaño de la misma y que solo implica unaalteración de su posición (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicialy la final son geométricamente congruentes. “Iso” significa "igual" y “metría” significa"medida.Las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con el arte, por esta razónlas isometrías se pueden desarrollar en el aula de clase en torno a dos aspectos temáticos:1.- Actividades en las que se plantea embaldosar superficies planas con figurasgeométricas (teselaciones).2.- Actividades asociadas al diseño, descripción y reconocimiento de transformacionesisométricasSe pueden describir tres tipos de transformaciones: por traslación, por rotación y porsimetría (o reflexión).Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia susimágenes a lo largo de trayectorias paralelas.Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a unpunto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denominaángulo de rotación.
    • La simetría central, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto,que debe cumplir las siguientes condiciones:El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con unarotación de 180 grados.Simetría axial es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cadapunto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientescondiciones:La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.Simetría con deslizamiento. Se trata de una reflexión seguida de una traslación en ladirección del eje de reflexión.Estas transformaciones se combinan entre ellas dando lugar a estructuras algebraicas quese denominan grupos de simetrías, en este caso Grupos cristalográficos planos. Pues bien,Fedorov demostró en 1891 que no hay más de 17 estructuras básicas para las infinitasdecoraciones posibles del plano formado mosaicos periódicos. Son los 17 gruposcristalográficos planos. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de lacristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros.Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en los cinco apartados, según elorden máximo de los giros:Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetríasGrupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetríasGrupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías
    • Los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Dado que sureligión les impedía dibujar personas o animales; su creatividad se decantó hacia lacaligrafía y los dibujos geométricos, en los que alcanzaron cotas de belleza y complejidaddifícilmente superables. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no podían conocerel teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos desimetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas (teselación del plano), por esoresulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.Efectivamente, todos ellos están representados en los variados y bellísimos mosaicos de laAlhambra. Abundan los que tienen giros de 90º mientras que algunos grupos aparecenescasamente, pero absolutamente todos están representados.4. Los primeros pasosLas actividades que realizaremos a continuación tienen como propósito que aprendas ateselar el plano a partir de triángulos equiláteros, por tanto empezaremos con unaactividad muy sencilla. Sigue paso a paso las indicaciones dadas y da rienda suelta a tucreatividad. Los resultados pueden superar lo que te imaginas. 1º Con la herramienta Rectas - Polígono regular dibuja un triángulo equilátero, enseguida con la herramienta Ver – edición numérica (o número) escribe el número 60, que representa los grados que rotarás el triángulo. Luego, con la opción Transformar – rotación, rota el triángulo las veces que sean necesarias hasta cubrir el plano y obtendrás una malla de triángulos equiláteros o teselado regular.Puedes obtener el mismo resultado con la opción Transformar – simetría axialencontrando triángulos simétricos al primero con respecto a uno de sus lados.2º Usando estas mallas puedes dejar volar tu imaginación creando formas geométricasmuy interesantes que en combinación también cubren el plano. Con la opcion Dibujo –rellenar puedes obtener diferentes diseños con figuras geometricas diversas.
    • ACTIVIDAD: Realiza y describe las características de los polígonos observados en lossiguientes dibujos. Realiza nuevos modelos y explica en cuales de ellos se aplicantraslaciones, rotaciones y simetrías.5. Construcción de teselas usando rotación 1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta Rectas – polígono regular. 2º Traza el punto medio de uno de los lados del triángulo con la opción Construir – punto medio y luego, conla opción rectas – polígono construye un polígono como el de la imagen en el lado donde has puesto el punto medio. 3º Con la opción ver - edición numérica escribe el numero 300 y con la opción transformar – rotación procede a rotar el polígono construido por cada vértice del triángulo y asíobtendrás la siguiente tesela. También puedes utilizar el número60, dependiendo del sentido en que vayas a realizar la rotación. 60 4º Une todos los puntos con la opcion rectas – poligono y oculta los tres polígonos y los puntos con Dibujo: Ocultar / Mostrar. Solamente debe quedar la loseta creada y un punto. Luego, para obtener el teselado final se rota 60 grados la tesela alrededor del punto que dejaste.Con la herramienta Dibujo: rellenar puedes utilizar colores para darle vida a tu mosaico.
    • 6. Teselados inspirados en la Alhambra de Granada (España) 60 En este caso el propósito es recrear el teselado “La Nazarita” formada por la loseta “Pajarita” que se obtiene a partir de un triángulo. 180 1º Construye un triángulo equilátero utilizando la herramienta Rectas – polígono regular. 2º Traza el punto medio de uno de los lados del triángulo con la opción Construir – punto medio y luego, con la opción Curvas - arco realiza un diseño como el que se ilustra en el dibujo. 3º Construye un polígono ubicando muchos puntos sobre los arcos como en la imagen en el lado donde has puesto el punto medio y luego une los puntos con la herramienta rectas – polígono. 4º Con la opción ver - edición numérica escribe el número 300 y con la opción transformar – rotación procede a rotar el polígono construido por cada vértice del triángulo y así obtendrás la tesela. 5º Para obtener la loza de la tesela se deben rotar los polígonos elaborados 180 grados, y luego trasladar la loza para así, obtener el teselado deseado. Este mosaico fue recreado por Escher a partir de los que observó en la Alambra60 de Granada.
    • Concluyamos: ¿Qué es rotación?Escribe las palabras que hacen falta para completar el concepto de Rotación.En geometría una rotación es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo;de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distanciaconstante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:Un punto denominado centro de rotación, un ángulo . y un sentido de rotación.Las transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo delsentido de giro. Para el primer caso debe haber un giro en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, y será negativo, cuando el giro se haga en sentido de las manecillas.Palabras claves: negativo, ángulo, sentido, positivo, orientación, constante.7. Los pétalos Vamos a construir un pentágono convexo ABCDE en el que se verifique las restricciones siguientes: el ángulo en A es A=60°, el ángulo en C es C =120°, AB=AE, CB=CD. Estas restricciones no determinan un pentágono único sino una familia de PentágonosCon este pentágono irregular podemos formar una flor, rotando esta figura 600 seis vecesy luego por medio de vectores podemos trasladar cada una de las flores para así formarun teselado y por último le damos color con la opción rellenar.
    • 8. los fantasmas: Primero realizamos un hexágono regular como se muestra en la figura, luego hacemos un arco en la parte superior del hexágono que vaya hacia afuera y otros dos arcos en la parte inferior del hexágono los cuales deben ir en el interior, como se muestra en la figura.Luego por medio de vectores trasladamos los arcos a loslados opuestos del hexágono, así le damos forma alfantasma.Cuando ya tenemos la silueta del fantasma, con la opción Rectas – polígono volvemos adarle contorno a la figura, para que al momento de reubicarla solo trasladamos un solopolígono y ocultamos elhexágono.Por último con la opcióncircunferencia se realizan losojos y con polígono la boca, yaque estos detalles le dan másrealismo a la figura.
    • 9. Piezas de un rompecabezas Se realiza un hexágono regular con la opción rectas – polígono, luego localizamos los puntos medios de cada uno de los lados del hexágono, con estos puntos como centro realizamos las seis circunferencias, teniendolas circunferencias como base, ubicamos arcos de media circunferencia intercalados entresí como se muestra en la figura.Con la opción rectas – polígono le damos el contorno a la figura, es decir unimos todos losarcos en un solo polígono teniendo como resultado la figura que observamos, luego pormedio de vectores empezamos a trasladar la figura obteniendo el siguiente teselado:
    • 10. Teselado con impacto 3D Partimos de un hexágono regular, luego con la opción rectas – polígono unimos los puntos formando triángulos equiláteros intercalados entre sí, de esta manera se forman tres triángulos exactamente iguales como se muestran en la figura. Por medio de vectores trasladamos estos triángulos, de tal manera que estos vectores queden desde el centro de la base de cada uno de los triángulos y se dirijan hasta el otro extremo de tal manera que quede en línea recta y este vector debe tocar el punto centro del hexágono. Teniendo la figura formada con la opción recta – polígono unimos todos los triángulos de tal manera que quede la figura que se muestra en la gráfica. Por medio de vectores trasladamos la figura para así tener el teselado conformado y con el color damos la apariencia en tercera dimensión.11. Migración de pájaros Lo primero que hacemos es construir un rombo con la ayuda de una recta y un segmento: con centro en los puntos extremos del segmento construimos dos circunferencias con radio igual a la longitud del segmento. Luego unimos los puntos de intersección entre las circunferencias y finalmente con la opción recta -polígono trazamos el rombo.
    • Para darle la forma al pájaro se requiere construir dos triángulos en la parte superior, para poder trasladar estos dos triángulos colocamos sobre dos de los lados superiores del rombo los vectores que nos permitirán realizar esta función. Ya con los triángulos trasladados, que son los que nos dan la forma del ave, utilizamos la herramienta Polígono para así unir lo que es el contorno del pájaro.Colocamos dos nuevos vectores los cuales a su vez pasan por los dos ejes de simetría queposee el rombo. Con estos vectores trasladaremos nuestra ave al resto del plano. Con nuestro contorno definido sobre la ave, nos queda darle una apariencia a todo la que conforma el plano de la misma, esto lo logramos con la ayuda de una circunferencia, y segmentos.Todo esto para ser trasladado a su vez con la estructura del ave, para obtener comoresultado una migración de aves.
    • 12. Vilma Picapiedra Lo primero que requiere este teselado es un cuadrado, al cual le realizaremos dos construcciones básicas: un polígono y un triángulo. El polígono lo rotamos 90º en el vértice inferior izquierdo y a su vez el polígono base, lo rotamos 270º sobre el vértice inferior derecho, con estos tres polígonos rotados conformamos la cara.Para el cabello recortamos un triángulo sobre la parte superior del cuadrado y lo rotamos90º sobre el vértice superior derecho.Con la cara de Vilma constituida por los polígonos y triángulos tanto recortados ytrasladados, nuevamente usamos polígonos para unir lo que es la cara y aparte lo que es el cabello, y todo lo que va dentro de la cabeza, lo construimos con segmentos cónicas, y polígonos. Para rotar los dos polígonos que forman la cara de Vilma y sus accesorios rotamos todo 90º en sentido del vértice inferior izquierdo del cuadrado, así sucesivamente hasta formar cuatro caras en total sobre dicho vértice.Las demás caras rotadas utilizan 180º en sus rotaciones para salir del primer conjunto y asípoder formar más caras basándose en el vértice inferior izquierdo con rotaciones de 90º.
    • 13. La dama eleganteEste teselado se basa en un hexágono al cual le componemos tres partes con la ayuda depolígono, las cuales van una desde la punta del sombrero hasta la punta de la nariz, lasegunda va desde la punta de la nariz hasta el final del labio y la otra parte va conformadalo que la parte del maxilar y parte del cabello.Estos tres polígonos los rotamos en sentido de tres vectores (ilustrados en la imagen) loque es el sombrero lo construimos con ayuda de arcos, el cabello con polígono y el ojo concónica.14. Delfín ballena o ballena blancaPara que puedas obtener una familia de ballenas blancasdebes seguir las instrucciones a continuación:
    • Construimos un cuadrado y lo dividimos internamente de la siguiente forma:Esta construcción la hacemos teniendo en cuenta mediatrices, perpendiculares y puntosmedios entre puntos.A continuación, con la ayuda de puntos de intersección, de puntos medios, de arcos ysegmentos construimos sobre la anterior cuadrícula la siguiente figura: Con la ayuda de puntos medios, arcos y rotación según un ángulo de 90 grados, rotamos tres arcos alrededor del punto m (arcos color negro en la figura) y obtenemos la siguiente figura
    • Se ha resaltado de color rojo algunos arcos y segmentos que forman la cola de la ballena,ya que son estos los que se rotan 90 grados alrededor del punto a, de forman queconstruyen la cola de color azul. En la opción edición numérica o número creamos el número 270, con este ángulo rotamos la parte de color rojo en la figura alrededor del punto “a” obteniendo así la figura ilustrada. Por otra parte también se puede empezar a construir un polígono y empezar a rotar y trasladar, el polígono queda tal como se ilustra:
    • De esta forma con la ayuda de la rotación alrededor del punto “a” y del punto “m” y conlos ángulos ya propuestos, construimos unos vectores a lo largo de los lados del polígonoregular (cuadrado) y trasladamos la figura hasta obtener una imagen más o menos así:15. La pecera Construimos un cuadrado regular y por medio de mediatrices, puntos medios, perpendiculares realizamos la siguiente cuadrícula en el cuadrado, luego aplicamos simetría axial al punto “a” con respecto a la recta t y obtenemos el punto a*:
    • A continuación con la ayuda de arcos y aplicando simetría axial sobre la recta t al arco ya construido obtenemos al siguiente figuraCon los puntos ya hallados y con la opción curvas y segmento, construimos la figura talcomo se ilustra: Aplicamos simetría a la construcción anterior con respecto a la recta t y tenemos:Construimos un vector en la base del cuadrilátero ytrasladamos la figura resaltada de forma que se obtengala traslación vista; luego con la opción puntos medioslocalizamos los puntos mostrados de forma que se puedaconstruir el ojo del pez Con la opción polígono, construir el pez y luego trasladamos la circunferencia (ojo del pez) con el vector ya hecho.
    • Construimos otros dos vectores sobre los lados del polígono, de forma que todos apuntenen diferentes direcciones tal como se ilustraNuevamente volvemos a trasladar el polígono del pez según el vector que apunta hacia lacola del pez Con la opción Polígono y los puntos de los polígonos anteriores construimos otro pez tal como se ilustra y luego hacemos el ojo de este pez tal como se muestra en la figura, esto se debe hacer con la ayuda de puntos medios y puntos de intersección y, desde luego, con circunferencia.
    • Por último ocultamos los puntos y las rectas de forma que solo queden los polígonos y losvectores, luego empezamos a trasladar estas figuras con los vectores tal como se observa.Luego de repetir este procedimiento y con los colores que desee se debe obtener unresultado más o menos como el siguiente:
    • 16. Alhambra de comoresPara realizar la tesela debes comenzar con la opción [Polígono regular] realizas unhexágono ABCDEF luego en la opción [Vector] trazas uno desde el punto A hasta elcentro del polígono, enseguida en la opción [Traslación] trasladas el polígono de acuerdoal vector, quedándote una figura de la siguiente forma: Con la opción [Círculo] trazas una circunferencia desde el centro de cada uno de los hexágonos y otras desde el punto F del primer hexágono y desde el punto E´ del otro.Después de esto deberás hacer 4 arcos hasta obtener “una figura curva” que será la basede la tesela.Finalmente, con la herramienta [Polígono] trazas el polígono sobre los arcosanteriormente dibujados de tal forma que podamos colorear la figura resultante. Luegocon la opción [Ocultar-mostrar] ocultamos los hexágonos el vector los textos y los puntosde la figura de tal manera que nos quede como la siguiente:
    • Luego trazamos un vector desde cada uno de los extremos y vamos a la opción[TRASLACION] y trasladamos el polígono de acuerdo a la dirección del vector por últimoen la opción [RELLENAR] rellenamos las figuras de la tesela del color deseado. Quedandoun teselado como este: