Presentación teorema de lagrange

1,894 views
1,648 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,894
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
24
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Presentación teorema de lagrange

  1. 1. Estructuras Algebraicas Teorema de Lagrange
  2. 2. Un Poco de Historia • JOSEPH-LOUIS LAGRANGE: Nació el 25 de Enero de 1736 en Turín, Sardinia-Piedmont (Ahora Italia) y falleció el 10 de Abril de 1813 en París, Francia.
  3. 3. Un poco de Historia • El teorema de Lagrange recibe este nombre debido a un resultado que J.-L. Lagrange publicó en un artículo de 1770/71 sobre el cálculo de raíces de polinomios. • En aquella época no se había introducido aún el concepto de grupo (todavía no habían nacido ni Abel ni Galois y la definición moderna de grupo como la conocemos es de Cayley en 1854). • Lagrange estudió un caso particular del teorema, cuando G es el grupo de las permutaciones.
  4. 4. DEFINICIÓN 1 • Una relación ~ en un conjunto S se llama relación de equivalencia si satisface: • a) a ~ a (reflexividad). • b) a ~ b implica que b ~ a (simetría). • c) a ~ b, b ~ c implica que a ~ c (transitividad). ∀ a, b, c ∊ S.
  5. 5. Profundizando… EJEMPLO: Sea S el conjunto de los enteros y n > 1 un entero fijo. Se define a ~ b para a, b ∊ S si n | (a— b). Se verifica que esta es una relación de equivalencia. Puesto que n|0 = a – a, se tiene que a ~ a. Debido a que n|(a—b) implica que n| (b—a)= - (a—b) se tiene que a ~ b implica que b ~ a . Finalmente, si a ~ b, b ~ c , entonces n| (a –b) y n| (b –c) ; por consiguiente n| ((a—b) + (b—c)), esto es n|(a—c). Por lo tanto a ~ c. Esta relación se llama congruencia modulo n.
  6. 6. Definición 1 • Ejemplo: • Sea S el conjunto de todos los artículos de una tienda de abarrotes; se declara a ~ b, para a, b, Є S, si el precio de a es igual al de b. Evidentemente las reglas que definen una relación de equivalencia son válidas para ésta ~. • Nótese que al ponderar esta “igualdad generalizada” en S se ignoran todas las propiedades de los elementos de S que no sean su precio. • Así que a~b son iguales en lo que al atributo de precio se refiere.
  7. 7. Definición 2 • Si ~ es una relación de equivalencia en S, entonces se define [a], la clase de a mediante [a] = { b ∊ S| b ~ a). • EJEMPLO: • En el ejemplo 4 se definió a ~ b si b= x-1 ax para algún x∊G. Así [a] = {x-1 ax |x∊G}. En este caso [a] se denotara como cl(a) y se llama clase de conjugados de a en G. Si G es abeliano, entonces cl(a) consiste solamente de a. En realidad, si a ∊ Z(G), el centro de G, entonces cl(a) consta simplemente de a.
  8. 8. Teorema 2.4.1 • Si ~ es una relación de equivalencia en S, entonces S= ⋃[a], donde esta unión pasa sobre un elemento de cada clase y donde [a] ≠ [b] .
  9. 9. Demostración • Puesto que a∊[a], se tiene que ⋃a∊S [a] =S. la demostración de la segunda afirmación es muy fácil . Se demuestra que si *a+≠*b+ , entonces [a]∩[b]= {} o, de manera equivalente, si [a] ∩ [b] ≠ {} entonces [a]=[b]. • Supóngase, pues, que [a] ∩[b] ≠ {} ; sea c ∊[a] ∩[b]. Por la definición de clase c~a ya que c ∊ [a] y c ~ b ya que c ∊ [b]. Por lo tanto, a ~c por la propiedad 2 de ~, y entonces puesto que a~c y c~b, se tiene que a~b. de esta manera a∊ [b]; si x ~a y a~b dan lugar a que x~b por consiguiente x ∊ [b]. • Así que [a]⊂[b]. El argumento es obviamente simétrico en a y b, de modo que [b]⊂[a], de donde [a]=[b] y se prueba la afirmación hecha anteriormente.
  10. 10. Teorema 2.4.2 (Teorema de Lagrange) • Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden de H divide al orden de G.
  11. 11. Demostración • Volvamos al ejemplo 3, donde se estableció que la relación a~b si ab-1 ∊ H es una relación de equivalencia y que [a] = Ha= {ha|h∊H}. • Sea k el numero de clases distintas y llámese Ha1 , … , Hak . Por el teorema 2.4.1, G= Ha1 ⋃ Ha2 ⋃...⋃ Hak y se sabe que Haj ∩ Hai = {} si i≠ j. Se afirma que cualquier Hai tiene un numero de elementos igual a |H| = orden de H. • Aplíquese H —> Hai . Se asegura que esta aplicación es inyectiva, ya que hai = h´ai , entonces por la cancelación en G se tendría h=h´; por consiguiente la aplicación es inyectiva. Por la misma definición de Hai , la aplicación es definitivamente suprayectiva. • Por lo tanto Hai , tiene el mismo numero de elementos de |H|. • Puesto que G= Ha1 ⋃ Ha2 ⋃...⋃ Hak y los Hai tiene |H| elementos, se tiene que |G|= k|H|. Por consiguiente |H| divide a |G|.
  12. 12. Otras definiciones • Si G es finito, el numero de clases laterales izquierdas de H en G, a saber |G|/ |H|, se llama índice de H en G y se escribe como iG (H). • Clases Laterales • Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relación de equivalencia. Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces, [a] = Ha := {xa | x ∊H}. En particular, [1] = H. • Demostración. Sea z ∊[a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una relación simétrica tenemos que z ≡ a, y por eso, za−1 = x, con x ∊H, luego z = xa ∊Ha. Hemos probado que [a] ∊Ha. Sea z = xa un elemento de Ha, con x ∊H, entonces za−1 = x H, o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z ∊ [a].
  13. 13. Otras definiciones • Definición : Sean G un grupo, H ≤ G y a ∊ G. El conjunto Ha se llama la clase lateral derecha del elemento a módulo H . • La proposición anterior muestra que la clase del elemento identidad 1 del grupo G coincide con el subgrupo H. Luego [1] y H tienen la misma cantidad de elementos. •
  14. 14. Ejemplo:
  15. 15. Teorema 2.4.3 • SI G es un grupo de orden primo p, entonces G es cíclico. • Demostración: • Sea a ∊ G, a ≠ e. Entonces H =< a > el subgrupo cíclico generado por a tiene orden un divisor de p. Luego hay dos • posibilidades: • i) ○(H) = p, lo cual implica H = G y G es cíclico generado por a. • ii) ○(H) = 1, y por lo tanto se tendría a = e, lo cual es imposible. • Luego G es un grupo cíclico. LQQD.
  16. 16. Grupos Cíclicos • Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a.
  17. 17. Definición 3 • Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces el orden de a, escrito ○(a), es el menor entero positivo m tal que am = e • Demostración • Como a ∊ G supongamos que tiene orden m. Considérese el conjunto A={ e, a, a2 , … , a m-1 }; se afirma que A es un subgrupo de G ( puesto que am =e} y que los m elementos listados en A son distintos. Así que |A|=m = ○(a).
  18. 18. Teorema 2.4.4 • Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces ○(a) es un divisor de ○(G). • Demostración •Sea a ∊ G y consideremos el subgrupo cíclico generado por a, H =< a > el cual consiste en los elementos a0 = e, a, a2, … , a n- 1 donde an = e. •Es claro entonces que n = ○(H) y además n = ○(a). De acuerdo al teorema de Lagrange, tendremos que ○(H)|○(G), luego ○(a)| ○(G).
  19. 19. Teorema 2.4.5 • Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces a○(G) = e. • Demostración • Sabemos que a○(a) = e, y por el teorema 2.4.4 • ○(G) = k ○(a) para algún k. • Luego • a○(G) = a○(a)*k • =(a○(a) )k • =(e)k • =e
  20. 20. Teorema 2.4.6 • Zn forma un grupo cíclico respecto a la adición : • [a] + [b]= [a+b].
  21. 21. Definición: La Función ϕ de Euler Dado n ∊ N, se define ϕ (n) como la cantidad de números naturales menores o iguales que n que son primos relativos con el propio n. La función ϕ de Euler cumple las siguientes propiedades: 1. Si (m, n) = 1, entonces ϕ(mn)= ϕ(m)ϕ(n). 2. ϕ(pk) = (p - 1)pk – 1
  22. 22. Demostración •Consideremos los numeros1,2,3,…, mn , y formemos la tabla •Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) = 1. En cada fila hay ϕ(n) números primos con n. Observando que los números de una misma columna son congruentes entre si modulo n, deducimos que, si (k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima columna son primos con n. •Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1: n, n + k, 2n + k, . . . (m 1)n + k 0, 1, 2,… k… (n-1) n n+1, n+2,… n+k… 2n-1 (m-1)n (m-1)1, (m-1)2,… (m-1)k… mn-1
  23. 23. •Estos números pueden considerarse como los valores de la función lineal nx + k : (n; m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restos modulo: m,x = 0, 1, 2,. . ., m 1 •Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completo de restos modulo m, y, por tanto, contiene ϕ (m) números que son primos con m. •Es claro que ϕ(p) = p - 1 con p primo. Sea ahora n = pk, > 1. El sistema completo de restos módulo pk consta de pk-1 sistemas completos de restos modulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) números primos con p. ¡Recordar! Dos números enteros a, b son primos relativos si mcd (a, b)=1.Por ejemplo, 3 y 16 son primos relativos, pero 7 y 28 no.
  24. 24. Teorema 2.4.7 • Un forma un grupo abeliano, respecto al producto [a] [b]= [ab], de orden φ(n), donde φ(n) es la función φ de Euler. • Recordar: Grupo es abeliano con respecto a la operación ○ si: 1. (A, ○) tiene una estructura algebraica de Grupo. 2. (A, ○) tiene la Propiedad conmutativa
  25. 25. Teorema 2.4.8 (de Euler) • Si a es un entero primo en relación con n, entonces aφ(n) ≡ 1mod n. • Demostración • Un forma un grupo de orden φ(n), así que por el Teorema 2.4.5, g φ(n) = e ∀ g∊ Un . • Esto se traduce en [aφ(n) ] = [a]φ(n) = [1], que a su vez se traduce en n| (aφ(n) - 1). • Esto dice precisamente que aφ(n) ≡ 1mod n
  26. 26. Corolario de Fermat • Si p es primo y p ∤ a entonces a p-1 ≡ 1 mod p ∀ entero a, a p ≡ a mod p . • Demostración • Sea a un número coprimo con n, entonces: aφ(n) ≡ 1mod n • donde φ(n) es la función φ de Euler. Dado que para cada primo p, φ(p) = p - 1, entonces obtenemos que: • ap-1 ≡ 1mod p Para obtener la forma original, utilizamos una sencilla propiedad en aritmética modular que dice que si A, B son dos números enteros cualesquiera tales que A ≡ B (mod n), entonces para cualquier número natural C tenemos que AC ≡ BC (mod n). Multiplicando a en ambos lados de la relación de equivalencia obtenemos la forma original: ap ≡ amod p
  27. 27. Problemas 2.4 • 8. Toda clase lateral izquierda de H en G es una clase lateral derecha en G. Demostración: Notemos que si a ∊G entonces, Ha es una clase lateral derecha de H en G, entonces Ha = bH para b ∊G de esto a ∊Ha y a ∊ bH. Como esto es una relación de equivalencia bH=Ha. De esto: Há = aH Ha·a-1 = a H a-1 Cancelativa H · e = a H a-1 Propiedad de Inverso H = a H a-1 Elemento neutro
  28. 28. 9. En Z16, escríbanse cada una de las clases laterales del subgrupo H = {[0], [4], [8], [12],}. (Puesto que la operación en Zn es + , exprésense las clases laterales como [a] + H)( No es necesario distinguir entre clases laterales derechas e izquierdas, ya que Zn es abeliano respecto a +.) • Demostración: Sea H = { [0], [4], [8], [12],} Z16 +H [0] + H = [0] , [4] , [8] , [12] [1] + H = [1] , [5] , [9] , [13] [2] + H = [2] , [6] , [10] , [14] [3] + H = [3] , [7] , [11] , [15] G = H ⋃ ([1] + H) ⋃ ([2] + H) ⋃ ([3] + H)
  29. 29. 13. Hallar los órdenes de todos los elementos de U18 ¿Es cíclico U18? • Demostración : Los elementos de U18 son todos los primos relativos entonces U18 = {[1], [5], [7], [11], [13], [17]} El orden de estos son: • [1]1 = [1] entonces ○ ([1]) = 1 • [5]1 = [5]; [5]2 = [25] = [7]; [5]3 = [125] = [17]; [5]4 = [625] = [13]; [5]5 = [3125] = [11]; [5]6 = [15625] = [1] entonces ○([5]) = 6 • [7]1 = [7]; [7]2 = [49] = [13]; [7]3 = [343] = [1] entonces ○([7]) = 3 • [11]1 = [11]; [11]2 = [121] = [13]; [11]3 = [1331] = [17]; [11]4 = [14641] = [7]; [11]5 = [161,051] = [5]; [11]6 = [1,771,561] = [1] entonces ○([11]) = 6 • [13]1 = [13]; [13]2 = [169] = [7]; [13]3 = [2,197] = [1] entonces 0([13]) = 3 [17]1 = [17]; [17]2 = [289] = [1]; entonces ○([17]) = 2 • ¨ Este grupo es cíclico ya que 0([5]) = 6 y 0([11]) = 6 entonces las potencias de [5] y [11] generan todos los elementos U18
  30. 30. 15. Si p es primo, demuéstrese que las únicas soluciones de x² ≡ 1(p) son x ≡ 1(p) o bien x ≡ -1(p) • Demostración • Sea x² ≡ 1 mod p Hipótesis • P | x² - 1 por Definición de congruencia • P | (x+1)(x-1) por Diferencia de cuadrados • P | (x+1) o P | (x-1) por Propiedad de divide • x ≡ -1 mod p ó x ≡ 1 mod p esto por Definición de congruencia.
  31. 31. 22. Verifique el teorema de Euler para n=14 y a=3 , a= 5 • Demostración: • 3ϕ(14) ≡ 1 mod 14 Por el teorema de Euler • [1], [3], [5], [9], [11], [13] Primos relativos con n=14 • ϕ (14) = 6 Paso 2, y definición de ϕ • 36 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler • 14| 36 -1 Definición de congruencia • 14| 728 Potencias • 56 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler • 14| 56 -1 Definición de congruencia • 14| 15624 Potencias
  32. 32. 30. Si en G a5 = e y aba-1 = b², hallar 0(b) si b≠ e Demostración: 1. aba-1 = b² hipótesis 2. aba-1 * aba-1 = b² * cancelativa 3. ab *b a -1 = b4 inverso 4. ab2 a-1 = b4 potencia 5. a *aba-1 *a-1 = b4 hipótesis 6. a²b( a-1)² = b4 potencia 7. a²b( a-1)² *a² b ( a-1)² = b4* b4 cancelativa 8. a² b² ( a-1)² = b8 inversos y potencias 9. a² * aba-1 * ( a-1)² = b8 hipótesis 10. a³ b( a-1)3 = b8 potencia 11. a³ b( a-1)3 *a³ b( a-1)3 = b8 *b8 cancelativa 12. a³ b²( a-1)3 = b16 inverso y potencia 13. a³ *aba-1 *( a-1)3 = b16 hipótesis
  33. 33. Continuación… 14. a4b ( a-1)4 = b16 potencia 15. a4b ( a-1)4 * a4 b ( a-1)4 = b16 * b16 cancelativa 16. a4b²( a-1)4 = b32 inverso y potencia 17. a4 *aba-1 *( a-1)4 = b32 hipótesis 18. a5 b(a-1)5 = b32 potencia 19. eb(a5) -1 = b32 hipótesis 20. eb(e) -1 = b32 hipótesis 21. b = b32 neutro 22. b · b-1 = b32 · b-1 Cancelativa 23. e = b31 inverso ·o(b) = 31 definición de orden.
  34. 34. Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador, pensador y ensayista inglés. ¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!

×