Relaciones de recta y segmento en el círculo

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  • 1. 6.3 Relaciones de recta y segmento en el círculoTeorema 1: si se traza una línea a través del centro de un círculo perpendicular auna cuerda, entonces bisecta la cuerda y su arco. El círculo O tiene un radio de longitud 5 OE intersecta CD en B y OB = 3. Encuentre CD Trace el radio OC. Por el teorema de Pitágoras. (OC)2 = (OB)2 + (BC)2 52 = 32 + (BC)2 25 = 9 + (BC)2 (BC)2 = 16 BC = 4 De acuerdo con el teorema, se sabe que CD = 2 • BC; entonces se tiene que CD= 2 • 4 = 8Teorema 2: si una recta que pasa a través del centro de un círculo bisecta unacuerda distinta al diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.Teorema 3: el bisector perpendicular de una cuerda contiene el centro del círculo.
  • 2. Círculos Tangentes: es cuando dos círculos se tocan en un punto. Sontangentes exteriormente (círculos O y R) o tangentes interiormente(círculos P y Q).Recta de centros: es la recta que contiene los centros de dos círculos.Tangente externa común: si la tangente común no intersecta la recta decentros.Tangente interna común: si la tangente común si intersecta la línea decentros para dos círculos.
  • 3. Teorema 4: Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto externo soncongruentes. El círculo está inscrito en ∆ABC; AB= 9, BC = 8 y AC = 7. Encuentre las longitudes de AM, MB y NC. AM = AP = x BM = BN = y NC = CP = z Ahora: x + y = 9 y+z=8 x+z=7 x+y =9 x- z=1 y+z=8 x+z=7 x - z=1 2x = 8 → x = 4 → AM = 4 Debido a que x = 4 y x + y = 9, y = 5. Entonces BM = 5. Debido a que x= 4 y x + z = 7, z = 3. Resumiendo, AM = 4, BM = 5 y NC = 3.
  • 4. Teorema 5: si dos cuerdas se intersectan dentro de un círculo, entonces elproducto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto delas longitudes de los segmentos de la otra cuerda. En la figura, HP = 4, PJ = 5 y LP = 8. Encuentre PM Aplicando el teorema HP • PJ = LP • PM. Entonces 4 • 5 = 8 • PM 8 • PM =20 PM = 2.5Teorema 6: si dos segmentos secantes son trazados hasta un círculo desde unpunto externo, entonces los productos de las longitudes de cada secante y susegmento externo son iguales. AB = 14, BR = 5 y TC = 5. Encuentre AC y TA. Sea AC = x. Debido a que AT + TC = AC, se tiene que AT + 5 = x, de manera que TA = x – 5. Si AB = 14 y BR = 5, entonces AR = 9. El enunciado AB • RA = AC • TA se vuele 14 • 9 = x(x – 5) 125 = x2 – 5x X2 – 5x – 126 = 0 (x – 14)(X+ 9) = 0, por lo que x – 14 = 0 o x + 9 = 0 X = 14 o x = -9 x = -9 se descarta porque no puede Ser negativa Por lo tanto AC = 14, de manera que TA = 9