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clase del dia 17 de noviembre del 2010
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  • 1. Clase del día 17 de Noviembre del 2010 Matriz de transformación x y - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 Se aplico la matriz identidad y sucede que es la reflexión del ventor V con coordenadas (x, y) 1 0 x x 0 1 y = y Matriz de transformación se aplica sobre el vector 1 0 x x 0 0 y = 0 Proyecta al vector V en x 0 0 x 0 0 1 y = y Proyecta al vector V en y -1 0 x -x 0 -1 y = -y V
  • 2. Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=-1 1 0 x x 0 -1 y = -y Reflejo sobre el eje x -1 0 x -x 0 1 y = y Reflejo sobre el eje y 0 1 x y 1 0 y = x Reflejo del vector sobre la recta con pendiente m=1 0 -1 x -y 1 0 y = x Rotación de 90º en dirección a las manecillas del reloj 0 1 x y -1 0 y = -x Rotación de 90º en dirección contraria a las manecillas del reloj α 0 x α y 0 α y = α x Extensión de α (hace grande o chico al vector) α 0 x αx 0 1 y = y Extensión en x 1 0 x x 0 α y = αy
  • 3. Extensión en y Nota: Si se da una matriz de 3x3 y un vector de 3 coordenadas entonces el vector se encuentra en un plano de R3 Cálculo de los valores característicos por medio de la descomposición QR 2 3 7 A= 6 4 -1 Obtener Q R Matriz A1= RQ Descomponer -2 -1 5 A1 en QR A1 = Q1 R1 Obtener Descomponer A2 en QR Obtener ... A2 = R1 Q1 A2 = Q2 R2 A3 = R2 Q2 Llega un momento en que va a aparecer la matriz triangular superior; es decir Aj= U λ1 - - = 0 λ2 - Valores Característicos 0 0 λ3 Ejemplo: 2 3 7 A= 6 4 -1 -2 -1 5 0.3015 0.9358 -0,1826 Q= 0.9045 -0.2202 0.3651 -0.3015 0.2751 0.9129
  • 4. 6.6332 4.8242 -0.3015 R= 0.0000 1.6514 8.1471 0.0000 0.0000 2.9212 6.4543 5.0621 0.2749 A1= -0.9627 1.8784 8.040 -0.8807 0.8039 2.6668 0.9802 0.1930 -0.0450 Q1= -0.1462 0.8576 0.4931 -0.1337 0.4767 -0.8688 6.5849 4.5796 -1.2627 R1= 0.0000 2.9710 8.2199 0.0000 0.0000 1.6354 5.9538 4.5964 3.0589 A2= -1.5334 6.4664 -5.6764 -0.2187 0.7796 -1.4208 0.9678 0.2517 -0.0048 Q2= -0.2493 0.9606 0.1230 -0.0355 0.1179 -0.9924 6.1520 2.8088 4.4257 R2= 0.0000 7.4605 -4.8502 0.0000 0.0000 0.6970 5.0966 4.7684 -4.0761 A3= -1.6877 6.5947 5.7310 -0.0247 0.0822 -0.6917 0.9493 0.3144 -0.0006 Q3= -0.3144 0.9492 0.0129 -0.0046 0.0120 -0.9999 5.3688 2.4532 -5.6678 R3= 0.0000 7.7599 4.1502 0.0000 0.0000 0.7678
  • 5. 4.3514 3.9485 5.6957 A4= -2.4588 7.4155 -4.0497 -0.0035 0.0092 -0.7677 0.8706 0.4920 -0.0001 Q4= -0.4920 0.8706 0.0013 -0.0007 0.0011 -1.0000 4.9980 -0.2104 6.9516 R4= 0.0000 8.3986 -0.7246 0.0000 0.0000 0.7621 4.4499 2.2835 -6.9524 A5= -4.1316 7.3110 0.7355 -0.0005 0.0008 -0.7621 0.7328 0.6804 0.0000 Q5= -0.6804 0.7328 0.0001 -0.0001 0.0001 -1.0000 6.0722 -3.3011 -5.5953 R5= 0.0000 6.9114 -4.1916 0.0000 0.0000 0.7622 6.6963 1.7119 5.5950 A6= -4.7021 5.0643 4.1923 -0.0001 0.0001 -0.7622 0.8184 0.5747 0.0000 Q6= -0.5747 0.8184 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 8.1823 -1.5093 2.1697 R6= 0.0000 5.1283 6.6462 0.0000 0.0000 0.7623
  • 6. 7.5638 3.4672 -2.1697 A7= -2.9472 4.1970 -6.6462 0.0000 0.0000 -0.7623 0.9318 0.3631 0.0000 Q7= -0.3631 0.9318 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 8.1177 1.7069 0.3913 R7= 0.0000 5.1694 -6.9804 0.0000 0.0000 0.7623 6.9443 4.5380 -0.3913 A8= -1.8770 4.8168 6.9804 0.0000 0.0000 -0.7623 0.9654 0.2609 0.0000 Q8= -0.2609 0.9654 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 7.1935 3.1239 -2.1991 R8= 0.0000 5.8340 6.6365 0.0000 0.0000 0.7623 Se puede notar que los valores de la matriz A se empiezan a repetir por lo que nos lleva a concluir que están apareciendo los valores característicos. También se puede simplificar todas estas operaciones sacando el polinomio y los valores característicos de la matriz original. 2 3 7 A= 6 4 -1 -2 -1 5 2-λ 3 7 A= 6 4- λ -1 -2 -1 5- λ
  • 7. = 2-λ [ (4- λ) (5- λ) – (-1) (-1) ] -3 [ (6) (5- λ) – (-1) (-2) ] + 7 [ (6) (-1) – (4- λ) (-2) ] = 2-λ [ (20 -9λ+ λ2 ) – (1) ] -3 [ (30- 6 λ) – (2) ] + 7 [ (-6) – (-8+ 2 λ) ] = 2-λ [ -9λ+ λ2 + 19 ] -3 [ - 6 λ + 28 ] + 7 [ 2- 2 λ) ] = -18λ+ 2λ2 + 38 +9λ2 –λ3 - 19 λ +18 λ -84 + 14 -14 λ = –λ3 + 11λ2 -33λ -32 Valores: λ1 = -0.7625 λ2 = 5.8812 λ3 = 5.8812 PROBLEMAS A= 2 6 1 3 Q= 0.8944 -0.4472 0.4472 0.8944 R= 2.2361 6.2610 0.0000 3.5777 A1= 4.7999 4.5999 1.5999 3.1999 Q1= 0.9487 -0.3162 0.3162 0.9487 R1= 5.0595 5.3757 0.0000 1.5811 A2= 6.4997 3.5001 0.4999 1.5000 Q2= 0.9971 -0.0767 0.0767 0.9971 R2= 6.5189 3.6048 0.0000 1.2272 A3= 6.7765 3.0943 0.0941 1.2236
  • 8. Q3= 0.9999 -0.0139 0.0139 0.9999 R3= 6.7772 3.1110 0.0000 1.1805 A4= 6.8198 3.0165 0.0164 1.1804 Q4= 1.0000 -0.0024 0.0024 1.0000 R4= 6.8198 3.0193 0.0000 1.1731 A5= 6.8270 3.0029 0.0028 1.1731 Q5= 1.0000 -0.0004 0.0004 1.0000 R5= 6.8270 3.0034 0.0000 1.1719 A6= 6.8282 3.0007 0.0005 1.1719 Q6= 1.0000 -0.0001 0.0001 1.0000 R6= 6.8282 3.0008 0.0000 1.1717 A7= 6.8285 3.0001 0.0001 1.1717 Q7= 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 R7= 6.8285 3.0001 0.0000 1.1717 A8= 6.8285 3.0001 0.0000 1.1717 Q8= 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000
  • 9. R8= 6.8285 3.0001 0.0000 1.1717 Rotación α en z
  • 10. R8= 6.8285 3.0001 0.0000 1.1717 Rotación α en z

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