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funciones

  1. 1. Universidad de La FronteraIngenier´ Inform´tica ıa a 12 de diciembre de 2010Gabriel Seguel, Eduardo Calfu˜anco, German Retamal n ´ CALCULO CON LATEX Funciones Profesor: Victor Vargas 1
  2. 2. Funciones En matem´ticas, una funci´n f es una relaci´n entre un conjunto a o odado x (el dominio) y otro conjunto de elementos y (el codominio) de formaque a cada elemento x del dominio le corresponde un unico elemento del ´codominio f (x). Se denota por: f :x→y En este caso y se llama IMAGEN del elemento x. Para definiruna funci´n existen varias formas: o1.- Describiendo caracter´ısticas de la funci´n o enunciando la funci´n. o o2.- Por f´rmulas matem´ticas. o aEjemplo:Si x = {n´meros naturales } = {1,2,3,4} uSi y = {n´meros naturales } = {a,b,c,d} u Podemos definir la funci´n f de manera que cada elemento del odominio le corresponda su cuadrado en el codominio. Graficamente: 2
  3. 3. La gr´fica de la funci´n se escribe como conjunto de puntos. a o f (x) = {(x, y)(y = f (x))} En c´lculo representamos gr´ficamente, en el plano cartesiano los puntos a ade la funci´n. oY un ejemplo de una funci´n gr´fica: o a TIPOS DE FUNCIONES 1.- Funci´n Constante: f(x)= k, donde k es un n´mero. (Paralela o ual eje x, o la altura de y = k) Su Gr´fica: a 3
  4. 4. 2.- Funci´n Identidad: f : R → R tal que f (x) = x, su gr´fica es o auna recta diagonal que bisecta el primer y el tercer cuadrante. Su Gr´fica: a 3.-Funci´n Cuadr´tica: f : R → R tal que f (x) = ax2 + bx + c, o asu gr´fica tiene forma de par´bola. a a Su Gr´fica: a 4
  5. 5. 4.-Funci´n C´bica: f : R → R tal que f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. o u Su Gr´fica: a 5.-Funci´n N-´sima: f : R → R tal que f (x) = xn . o eSu gr´fica tiene forma de par´bola si n es par. Si n es impar se a acomportar´ como Funci´n C´bica. a o u Su Gr´fica: a 5
  6. 6. 6.-Funci´n Lineal: f : R → R tal que f (x) = ax + b. o Su Gr´fica: a 7.-Funci´n Polinomial: f : R → R tal que f (x) = a0 + a1 x + o 2 na2 x ...an x . Su gr´fica tiene forma de par´bola si n es par. Si n es impar se a acomportar´ como Funci´n C´bica. a o u Su Gr´fica: a 6
  7. 7. 8.-Funci´n Exponencial: oa.- f : R → (o, ∞) tal quef (x) = ex .b.- f : R → (o, ∞) tal quef (x) = ax a < 0. Su Gr´fica: a ıtmica: f : (0, ∞) → R tal que f (x) = logb (x) 9.-Funci´n Logar´ odonde b < 0. Su Gr´fica: a 7
  8. 8. Funci´n sobreyectiva: Una funci´n f : x → y es sobreyectiva, si o oest´ aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen Imf = y, o aen palabras m´s sencillas, cuando cada elemento de y es la imagen de como am´ınimo un elemento de x. Graficamente: Funci´n inyectiva: Una funci´n f : x → y es inyectiva si a cada o ovalor del conjunto x (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjuntoy (imagen) de f Es decir, a cada elemento del conjunto x le corresponde unsolo valor de y tal que, en el conjunto x no puede haber dos o m´s elementos aque tengan la misma imagen. Graficamente: 8
  9. 9. Funci´n biyectiva: Una funci´n f : x → y es biyectiva, si es al o omismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Graficamente: 9
  10. 10. ´ PARIDAD DE UNA FUNCION Las funciones se pueden clasificar seg´n su paridad, estas pueden ser upares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridadsatisfacen una serie de relaciones particulares de simetr´ con respecto a in- ıa,versas aditivas. Las funciones pares e impares son importantes en muchasareas del an´lisis matem´tico, especialmente en la teor´ de las series de po-´ a a ıatencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potenciasde las funciones de potencia que satisfacen cada condici´n:o nLa func´on x ı´a.- Es una funci´n par si n es un entero par, ob.- Es una funci´n impar si n es un entero impar. oFunciones pares: Sea f (x) una funci´n de valor real de una variable real. oEntonces f es par si se satisface la siguiente ecuaci´n para todo x en el odominio de f : f (x) = f (−x) Desde un punto de vista geom´trico, una funci´n par es sim´trica con e o erespecto al eje y, lo que quiere decir que su gr´fica no se altera luego de una areflexi´n sobre el eje y. oEjemplos de funciones pares son el valor absoluto,x2 ,x4 ,cos(x).Funciones impares: Sea f (x) una funci´n valor real de una variable real. oEntonces f es impar si se satisface la siguiente ecuaci´n para todo x en el odominio de f : −f (x) = f (−x) Desde un punto de vista geom´trico, una funci´n impar posee una e osimetr´ rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir ıaque su gr´fica no se altera luego de una rotaci´n de 180 grados alrededor del a oorigen.Ejemplos de funciones impares son el valor absoluto,x,x3 ,seno(x). 10
  11. 11. Propiedades:a.- La unica funci´n que es tanto par e impar es la funci´n constante que es ´ o oid´nticamente cero (o sea f (x) = 0 para todo x). eb.- La suma de una funci´n par y una impar no es ni par ni impar, a menos ode que una de las funciones sea el cero.c.- La suma de dos funciones par es una funci´n par, y todo m´ltiplo de una o ufunci´n par es una funci´n par. o od.- La suma de dos funciones impares es una funci´n impar, y todo m´ltiplo o uconstante de una funci´n impar es una funci´n impar. o oe.- El producto de dos funciones pares es una funci´n par. of.- El producto de dos funciones impares es una funci´n par. og.- El producto de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n impar. o o oh.- El cociente de dos funciones pares es una funci´n par. oi.- El cociente de dos funciones impares es una funci´n par. oj.- El cociente de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n impar. o o ok.- La derivada de una funci´n par es una funci´n impar. o ol.- La derivada de una funci´n impar es una funci´n par. o om.- La composici´n de dos funciones pares es una funci´n par, y la composi- o oci´n de dos funciones impares es una funci´n impar. o on.- La composici´n de una funci´n par y una funci´n impar es una funci´n o o o opar.o.- La composici´n de toda funci´n con una funci´n par es par (pero no vice o o oversa).p.- La integral de una funci´n impar entre −A y +A es cero (donde A es ofinito, y la funci´n no posee ninguna as´ o ıntota vertical entre −A y A).q.- La integral de una funci´n par entre −A y +A es el doble de la integral oentre 0 y +A (donde A es finito, y la funci´n no posee ninguna as´ o ıntota ver-tical entre −A y A). 11
  12. 12. ´ ALGEBRA DE FUNCIONES Si dos funciones f y g est´n definidas para todos los n´meros reales, a uentonces es posible hacer operaciones num´ricas reales como la suma, resta, emultiplicaci´n y divisi´n (cociente) con f (x) y g(x). o oSuma de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, la sumade f (x) + g(x), denotada por f (x) + g(x), es otra funci´n definida por o(f + g)(x) = f (x) + g(x). El dominio de f (x) + g(x) es la intersecci´n de sus orespectivos dominios. √Ejemplo 1: Dadas dos funciones definidas en los reales por, f (x) = + 16 + x2y g(x) = 2x2 − 3, determinar f (x) + g(x). √Resp.: (f + g)(x) = + 16 + x2 + 2x2 − 3Resta de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, la difer-encia de f (x) y g(x) denotada por, f (x) − g(x), es otra funci´n definida por o(f − g)(x) = f (x) − g(x). El dominio de f (x) − g(x) es la intersecci´n de sus orespectivos dominios. xEjemplo 2: Dadas dos funciones, f (x) = x−2 , y g(x) = 5x − 1, definidas enlos reales, determinar f (x) − g(x). xResp.: f (x) − g(x) = x−2 − (5x − 1)f (x) − g(x) = x−(x−2)(5x−1 x−2 x−(5x2 −11x+2)f (x) − g(x) = x−2 x−5x2 +11x−2f (x) − g(x) = x−2 −5x2 +12x−2f (x) − g(x) = x−2 12
  13. 13. Producto de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x), deno-tada por f (x) ∗ g(x), es otra funci´n definida por, (f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x), oel dominio de f (x) ∗ g(x) es la intersecci´n de sus respectivos dominios. o 1Ejemplo 3: Dadas dos funciones f (x) = (x2 − 9) y g(x) = x−3 ,definidas enR, determinar f (x) ∗ g(x). 1Resp: f (x) ∗ g(x) = (x2 − 9)( x−3 ) 2 −9f (x) ∗ g(x) = xx−3 (x−3)(x+3)f (x) ∗ g(x) = x−3f (x) ∗ g(x) = x − 3Divisi´n de funciones: Dadas dos funciones f (x) y g(x) cualesquiera, el co- ociente de f (x) y g(x), denotado por f (x) , es otra funci´n definida por, f (x) g(x) o g= f (x) , y g no puede ser igual a 0 por que tendriamos una indeterminaci´n. g(x) o √ 1Ejemplo 4: Dadas las funciones f (x) = ± x − 1 y g(x) = x2 −4 , definidas enR, determinar f (x) e igualmente su dominio: g √ f (x) x−1Resp: g(x) = 1 x2 −4f (x) √g(x) = ( x − 1)(x2 − 4)Luego: √f (x) = x − 1x−1≥0x≥1Dominio f (x) = [1, +∞) 13
  14. 14. Y Dominio de g(x)g(x) = x21 −4x2 − 4 = 0x2 = 4x = ±2Dominio g(x) = x ∈ R ∧x = ±2 ´ FUNCION INVERSA Se define que una funci´n f es una funci´n uno a uno, si y solo si o ocada elemento del rango de f est´ asociado con exactamente a un elemento ade su dominio x. En general, una funci´n f es uno a uno si cada elemento odel recorrido de la funci´n es imagen de un unico elemento del dominio. o ´Es precisamente esta propiedad la que se requiere para que la regla de inver-si´n sea una funci´n. Es recomendable antes de tratar de hallar la inversa de o ouna funci´n, determinar si la funci´n dada es uno a uno. o oGr´ficamente una funci´n es uno a uno si solo si ninguna recta horizon- a otal corta su gr´fica mas de una vez. aDefinici´n: Sea f una funci´n uno a uno, con dominio x y recorrido y. La o oinversa de f es una funci´n g con dominio y y recorrido x; para lo cual: of (g(x)) para cada x en yg(f (x)) para cada y en x 14
  15. 15. TRASLACIONES DE FUNCIONES Sea y = f (x) una funci´n. oLa funci´n y = f (x + h) es la funci´n f (x) trasladada h unidades en hori- o ozontal. Si h > 0 el desplazamiento es hacia la izquierda y si h < 0 es haciala derecha. La funci´n y = f (x) + k es la funci´n f (x) desplazada k unidades en o overtical. Si k > 0 el desplazamiento es hacia arriba y si k < 0 el desplaza-miento es hacia abajo. 15
  16. 16. FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE 1.- Una funci´n f (x) es estrictamente creciente si dados dos pun- otos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) < f (x2)EJEMPLO: 2.- Una funci´n f (x) es estrictamente decreciente si dados dos opuntos, x1 y x2 del dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) > f (x2)EJEMPLO: 3.- Una funci´n f (x) es creciente si dados dos puntos, x1 y x2 del odominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≤ f (x2) 4.- Una funci´n f (x) es decreciente si dados dos puntos, x1 y x2 odel dominio de f , con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≥ f (x2) 16

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