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Logica de Primer Orden.
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Logica de Primer Orden.

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Transcript

  • 1. Lógica de Primer Orden (FOL o LPO) Cuantificadores
  • 2. Listado de tópicos
    • Proposición abierta / Proposición cerrada.
    • Variables en una proposición
    • Predicado
    • Cuantificadores: Universal y existencial
    • Variables libres y atadas.
    • Cuándo son ciertas?
    • Algunas equivalencias
  • 3. Proposiciones abiertas
    • Una oración declarativa es una proposición abierta si:
      • Contiene una o más variables.
      • No es una proposición, pero
      • Se puede convertir en una proposición cuando las variables se sustituyen por ciertos valores permisibles especificados en un Universo de Discurso .
  • 4. Ejemplos
    • El universo de discurso es el conjunto de todos los numeros enteros.
    • q(x): El número x+2 es un entero impar
    • r(y): 2y es un entero par
    • s(x, y): (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
    • t(x, y): x 2 + y 2 = 25
  • 5. Proposiciones cuantificadas
    • Cuantificador Universal:
      •  x ... Para toda x ... Para cada x ... Para cualquier x ...
      •  x  y ...  x,y ... Para toda x y toda y ...
      • Ejemplo:  y r(y)
  • 6. Proposiciones cuantificadas
    • Cuantificador Existencial:
      •  x ... Para alguna x ... Para al menos un valor de x ... Existe una x tal que ...
      •  x  y ...  x,y ... Para alguna x y alguna y ...
      • Ejemplo:  x,y t(x,y)
  • 7. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Toda x tal que x es un número real.
    • Sea p(x): x  0
    • Sea q(x): x 2  0
    •  x [ p(x)  q(x)]
    •  x [ p(x)  q(x)]
  • 8. Equivalencias e implicaciones
    • Se dice que q(x) y q(x) son lógicamente equivalentes (  x [ p(x)  q(x)] ) para un universo dado, cuando p(a)  q(a) es verdadera para toda “a” en ese universo.
    • Se dice que p(x) implica lógicamente a q(x) (  x [ p(x)  q(x)] ) para un universo dado, cuando p(a)  q(a) es verdadera para toda “a” en ese universo.
  • 9. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los triángulos del plano.
    • p(x): x es un equilatero.
    • q(x): x es equiangular.
  • 10. Implicaciones, contrapositivas, recíprocas e inversas
    •  x [ p(x)  q(x)]
    •  x [ ~q(x)  ~p(x)]
    •  x [ q(x)  p(x)]
    •  x [ ~p(x)  ~q(x)]
  • 11. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los cuadriláteros del plano.
    • r(x): x es un cuadrado.
    • s(x): x es equilatero.
  • 12. Valores de verdad
    • Cuándo es verdad? ... ...Cuándo es metira?
      •  x p(x)
      •  x p(x)
      •  x ~ p(x)
      •  x ~ p(x)
  • 13. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los números enteros.
    • t(x): 2x + 1 = 5.
    • u(x): x 2 = 9.
    •  x [ t(x)  u(x)] ... ?
  • 14. Distribución de cuantificadores
    • Para cualesquiera proposiciones abiertas de una sola variable p(x) y q(x) y un universo dado:
    •  x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x)
    •  x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x)
    •  x [ p(x)  q(x)]   x p(x)   x q(x)
    •  x p(x)   x q(x)   x [ p(x)  q(x)]
  • 15. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los números reales.
    • p(x): x es un número racional.
    • q(x): x es un número irracional.
    •  x [ p(x)  q(x)]
  • 16. Ejemplos
    • Sean p y q proposiciones abiertas para algún Universo dado.
    •  x ~ ~ p(x)   x p(x)
    •  x ~ [ p(x)  q(x)]   x [ ~ p(x)  ~ q(x)]
  • 17. Negación de cuantificadores
    • Para cualesquiera proposicion abierta con un quatificador y un universo dado:
    • ~ [  x p(x)]   x ~ p(x)
    • ~ [  x p(x)]   x ~ p(x)
    • ~ [  x ~ p(x)]   x p(x)
    • ~ [  x ~ p(x)]   x p(x)
  • 18. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los números enteros.
    • p(x): x es impar.
    • q(x): x 2 - 1 es par.
    • Si x es impar, entonces x 2 - 1 es par.
  • 19. Ejemplo re-visitado
    • Universo de discurso:
      • Todos los números enteros.
    • t(x): 2x + 1 = 5.
    • u(x): x 2 = 9.
    •  x [ r(t)  u(x)] ... ?
  • 20. Más de un cuantificador!
    • Una proposición abierta puede contener más de un cuantificador !
  • 21. Ejemplos
    • Universo de discurso:
      • Todos los números reales.
    •  x  y [x + y = y + x]
    •  x  y [x + y = 6]
  • 22. Conmutación de cuantificadores
    • Cuando tenemos proposiciones con únicamente cuantificadores del mismo tipo:
    •  x  y p(x,y)   y  x p(x,y)
    •  x  y p(x,y)   y  x p(x,y)
  • 23. Mezclando cuantificadores!
    • Cuando la proposiciones lleva ambos cuantificadores al mismo tiempo ...
    • ¡¡¡ CUIDADO !!!
  • 24. Ejemplo
    • Universo de discurso:
      • Todos los números enteros.
    • Sea p(x, y): x + y = 17
            •  x  y p(x,y)
            •  y  x p(x,y)
  • 25. ... Bailamos?
    • Universo de discurso:
      • Todos los seres humanos.
    • p(x): x es hombre.
    • q(y): y es mujer.
    • R(x, y): x baila con y.
    •  x  y {[ p(x)  q(y)]  r(x,y)}
    •  y  x {[ p(x)  q(y)]  r(x,y)}
  • 26. Simplificando
    • Universo de discurso: todos los números reales.
    • Refute y simplifique la siguiente proposición:
    •  x  y [(x > y)  (x - y  0)]