Calendario perpetuo

Calendario perpetuo mentaleD a t e e g i o r n i d e l l a s e t t i m a n a Scritto da Mauro Bellati – www.bellati.it

Calendario perpetuo mentaleCon questo documento vorrei esporre un metodo che avevo imparato qualche anno fa per calcolare, apartire da una qualunque data, il suo corrispondente giorno della settimana.Vorrei precisare che il metodo non è stato né inventato né rielaborato da me. Non riuscendo più a trovarela fonte originale da cui ho appreso il procedimento, ho deciso di mettere tutto per iscritto sia comepromemoria per me e sia nel caso qualcuno fosse interessato.Cercherò di mantenere la spiegazione il più semplice possibile, senza però tralasciare nulla, in modo daconsentire a chi vuole capire a fondo il procedimento di farlo senza trovarsi nessun punto oscuro. Le parti scritte in questo stile saranno delle parti aggiuntive, di contorno, che non saranno necessarie per l’apprendimento del procedimento vero e proprio.Il principio su cui si basa il procedimento è quello di calcolare lo scostamento rispetto ad una data base, il 1°gennaio 1900, che sappiamo essere stato lunedì. A mente è molto facile dire che il 5 gennaio 1900 è statovenerdì, o che il 1° febbraio 1900 era giovedì, perché siamo abituati a farlo e perché lo scostamento è dipochi giorni; bisogna solamente capire come fare a contare un po’ più avanti, nei mesi o negli anni.Gli ingredienti che contribuiscono a determinare il risultato del nostro calcolo sono, ovviamente, giorno,mese e anno. La cosa interessante è che possiamo calcolare i tre contributi in maniera separata e fare unasemplice addizione finale.Per poter eseguire il procedimento e semplificare i conti durante i passaggi è necessario capire e utilizzarel’aritmetica modulare. Si tratta di quella particolare aritmetica nella quale esistono solo un insieme finito divalori oltre i quali si torna a contare da capo, come quando si contano i minuti, le ore, o giorni dellasettimana.Ad esempio i minuti dell’orologio si contano modulo 60, ossia arrivati a 60 si riparte da zero.45 minuti + 30 minuti = 15 minuti e si scrive (45 + 30) = 15 mod 60Per il calendario perpetuo a noi interessa una aritmetica mod 7, poichè ogni 7 giorni la sequenza si ripeteidentica a se stessa.Il procedimento si articola nel calcolare tre differenti scostamenti, uno causato dal giorno, uno dal mese euno dall’anno. Al termine del procedimento si troverà un valore compreso tra 0 e 6. Per ricavare il giornodella settimana corrispondente basterà applicare la seguente conversione: Risultato ottenuto Giorno corrispondente 0 domenica 1 lunedì 2 martedì 3 mercoledì 4 giovedì 5 venerdì 6 sabato Tabella 1 Conversione tra numero e giorno della settimanaDurante tutti i passaggi, e non solo alla fine, sarà sempre possibile, e caldamente consigliato, semplificareper 7, ossia calcolare il valore mod 7, in quanto in vista del calcolo finale ciò è ininfluente, e consenteinoltre di mantenere piccoli i numeri facilitando così il calcolo mentale.Mauro Bellati – www.bellati.it Pagina 2

Calendario perpetuo mentaleGiornoLo scostamento determinato dal giorno è il più semplice di tutti. Basta semplificare il giorno per 7, ossiacalcolare il valore scostamento giornaliero = giorno mod 7 Data Calcolo Traduzione 24 gennaio 1900 24 mod 7 = (24 – 21) = 3 3  mercoledì 14 gennaio 1900 14 mod 7 = (14 – 14) = 0 0  domenica Tabella 2 Esempi relativi allo scostamento giornalieroMesePer quanto riguarda il mese, e necessario memorizzare una speciale conversione che a seconda del mese cidirà il suo scostamento rispetto al 1° gennaio dello stesso anno.La tabella da memorizzare è Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 Tabella 3 Scostamenti mensili Il significato di questi numeri è lo scostamento del 1° giorno di ciascun mese rispetto al 1° gennaio dello stesso anno. Ciò è piuttosto semplice da capire osservando la seguente tabella. La prima riga contiene il numero di giorni per ciascun mese, mentre la seconda contiene lo stesso valore ma semplificato per 7. Se consideriamo il mese di gennaio ad esempio, il fatto di avere 31 giorni, ossia 7x4 + 3, significa che ci sono 4 settimane intere più 3 giorni che avanzano. Proprio questi 3 giorni determinamo uno slittamento in avanti del 1° giorno di febbraio rispetto al 1° di gennaio. Considerando invece i 28 giorni di febbraio, ci si accorge che, a parte gli anni bisestili che verranno trattati in un caso a parte, il calendario di marzo è sempre coincidente con quello di febbraio. E così via per gli altri mesi. La terza riga rappresenta appunto la somma di questi scarti, mese per mese, mentre l’ultima è lo stesso valore ma mod 7, che corrisponde proprio ai valori presenti nella Tabella 3. Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic Giorni 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Giorni mod 7 3 0 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 Σ scarti - 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 Σ scarti mod 7 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 Tabella 4 Scostamenti mensili calcolati come somma degli scarti dei mesi precedenti Grazie a questa tabella si può dedurre che, ad esempio, il calendario del mese di maggio è sempre 1 giorno avanti rispetto a quello di gennaio, oppure che aprile e luglio hanno sempre lo stesso calendario (essendo entrami 6 giorni avanti a gennaio).Per calcolare lo scostamento mensile non bisogna far altro che prendere il numero corrispondente nellaTabella 3. Mese Calcolo Significato marzo marzo  3 1° marzo è 3 giorni avanti al 1° gennaio dello stesso anno ottobre ottobre  0 1° ottobre corrisponde al 1° gennaio dello stesso annoMauro Bellati – www.bellati.it Pagina 3

Calendario perpetuo mentale agosto agosto  2 1° agosto è 2 giorni avanti al 1° gennaio dello stesso anno Tabella 5 Esempi relativi al meseAnnoIl calcolo dello scostamento relativo all’anno è leggermente più lungo ma non necessita di memorizzare alcuna tabella di conversione, com’è stato invece necessario per il caso del mese.Alcuni calcoli di semplificazione, che apparentemente sembrano complicare il procedimento, sononecessari per mantenere i numeri piccoli in modo da facilitarne il calcolo mentale.Questo procedimento sottointende che la data cada nel 20° secolo, ossia sia compresa tra 1900 e 1999.Successivamente si vedrà come poter spostare il secolo con un ulteriore scarto che però non influenzarà ilprocedimento qui descritto. 1. Per prima cosa si dovrebbe prendere le ultime due cifre dell’anno e semplificarle per 28, ossia calcolare anno = anno mod 28 in modo da ricondurci sempre ad un numero compreso tra 0 e 28. Questa semplificazione è resa possibile dal fatto che ogni 28 anni il ciclo dei calendari si ripete in maniera identica, ed è determinato dal minimo comune multiplo tra 4 e 7. 4 sono il numero di anni compresi tra due anni bisestili, che introducono un ulteriore scostamento di un giorno ciascuno. 7 sono gli anni entro cui il calendario tornerebbe identico se non ci fossero gli anni bisestili, in quanto ogni anno introduce un scostamento di un giorno. Questa proprietà ci assicura che possiamo sempre ricondurci ad affettuare il calcolo su un anno compreso tra il 1900 e il 1928. 2. Successivamente bisogna calcolare quanti anni bisestili sono compresi prima dell’anno che stiamo considerando, in quanto ciascun anno bisestile introduce uno scostamento di un giorno che dobbiamo considerare. numero di anni bisestili = parte_intera_di( anno / 4 ) Anno Divisione Parte intera 24 24 : 4 = 6 6 7 7 : 4 = 1,… 1 19 19 : 4 = 4,… 4 Tabella 6 Esempi di calcolo del numero di anni bisestili 3. A questo punto basta sommare l’anno di partenza e il numero di anni bisestili (ovviamente semplificando poi per 7) scostamento annuale = ( anno + bisestili ) mod 7 Data Mod 28 Anni bisestili Subtotale Mod 7 1915 15 mod 28 = 15 15 / 4 = 3 15 + 3 = 18 18 mod 7 = 4 1929 29 mod 28 = 1 1/4=0 1+0=1 1 mod 7 = 1 1982 82 mod 28 = 26 26 / 4 = 6 26 + 6 = 32 32 mod 7 = 4 Tabella 7 Esempi di calcolo scostamento relativo allannoMauro Bellati – www.bellati.it Pagina 4

Calendario perpetuo mentale Mi sembra necessario dire che la semplificazione iniziale mod 28, è solamente consigliata e non necessaria a fini della correttezza del calcolo. Vediamo un esempio. Data Mod 28 Anni bisestili Subtotale Mod per 7 1995 95 mod 28 = 11 11 / 4 = 2 11 + 2 = 13 13 mod 7 = 6 -------------------- 95 / 4 = 23 95 + 23 = 118 118 mod 7 = 6 Tabella 8 Esempio senza semplificazione dellanno Come si vede il risultato è lo stesso, però è indubbia la facilità di semplficare il prima possibile per velocizzare e semplificare i calcoli.Integrazione dei tre valoriA questo punto abbiamo tutti e tre gli ingredienti per calcolare il giorno corrisponente ad una data qualsiasiall’interno del 20° secolo.Il numero finale, che verrà convertito in giorno della settimana tramite la Tabella 1, sarà calcolato come lasomma dei tre scostamenti calcolati separatamente. Totale = (scostamento giornaliero + scostamento mensile + scostamento annuale) mod 7Facciamo qualche esempio. 28 giugno 1914 Totale Giorno Mese Anno 0+ 4+3=7 28 mod 7 = 0 giugno  4 ( 14 + 3 ) mod 7 = 3 7 mod 7 = 0  domenica 14 mod 28 = 14 bisestili = 3Mauro Bellati – www.bellati.it Pagina 5

Calendario perpetuo mentale 22 maggio 1963 Totale Giorno Mese Anno 1+1+1=3 22 mod 7 = 1 maggio  1 (7 + 1) mod 7 = 1 3  mercoledì 63 mod 28 = 7 bisestili = 1 Data Giorno Mese Anno Totale Risultato 25 apr 1945 25  4 6 45  17 4+6+03 mercoledì 17 + 4  0 22 nov 1963 22  1 3 63  7 1+3+15 venerdì 7+11 20 lug 1969 20  6 6 69  13 6+6+20 domenica 13 + 3  2 9 nov 1989 92 3 89  5 2+3+64 giovedì 5+16 Tabella 9 Esempi completi di date appartenenti al 20° secoloVariante per gli anni bisestiliSe si sta calcolando un giorno del mese di gennaio o febbraio di un anno bisestile è necessario un piccoloaccorgimento. Bisognerà semplicemente sottrarre uno dal totale, in quanto il 29 febbraio non è ancoraarrivato e non ha ancora aggiunto il suo contributo. totale = totale - 1Data Giorno Mese Anno Bisestile Totale Risultato 60  4 3+3+54 03 feb 1960 3 3 Sì mercoledì 4+15 3–13 2+0+13 9 gen 1912 92 0 12 + 3  1 Sì martedì 3–12 Si, ma non è 7 ott 1908 0 0 8+23 3 mercoledì gen o feb Tabella 10 Esempi con anni bisestiliMauro Bellati – www.bellati.it Pagina 6

Calendario perpetuo mentaleCambio di secoloIl procedimento visto finora è in grado di calcolare il giorno della settimana corrisposndente ad unaqualunque data appartentente al ventesimo secolo. Con un calcolo aggiuntivo, è possibile estendere ilprocedimento affinchè siano supportate tutte le date a partire dal 15 ottobre 1582. Il 15 ottobre 1852 è la data di introduzione del calendario gregoriano, che è il modello utilizzato ancora oggi. Le date antecedenti al 5 ottobre 1582 non possono essere calolate con questo metodo. Come detto in precedenza, l’intero procedimento si basa sul calcolo di uno scostamento relativo al primo giorno del secolo. Il ventesimo secolo è iniziato di lunedì, per cui non è necessario alcun accorgimento (il 1° gennaio 1900 si calcola come 1 + 0 + 0 = lunedì) Per estendere il procedimento anche agli altri secoli, è sufficiente trovare un modo per calcolare il primo giorno di un secolo a piacere. In questo modo lo scostamento all’interno del secolo verrà applicato a quel giorno base. Secolo Esempi Numero Bisestile? 4k 1600, 2000, 2400 6 SI 4k + 1 1700, 2100, 2500 4 NO 4k + 2 1400, 1800, 2200 2 NO 4k + 3 1500, 1900, 2300 0 NO Tabella 11 Calcolo sfasamento determinato dal secoloCon questa tabella è semplice calcolare quale valore utilizzare come scostamento dovuto al secolo. Si noticome il 1900 ha uno scostamemto pari a zero, ed è il motivo per cui non è stato considerato fino a questomomento.L’ultima colonna è la più importante, in quanto è sempre fonte di errori. Gli anni bisestili non sono solo quelli il cui anno è multiplo di 4, ma per gli anni secolari deve essere anche divisibile per 400. Data Giorno Mese Anno Secolo Bisestile? Totale Risultato 01 gen 2000 1 0 0 6 -1 1 + 6 + -1  6 sabato Si, ma non è 01 ott 2000 1 0 0 6 1+6 0 domenica gen o feb 01 gen 2100 1 0 0 4 No 1+45 venerdì Tabella 12 Esempi al di fuori del ventesimo secoloMauro Bellati – www.bellati.it Pagina 7

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by Davide Ciambelli on Sep 25, 2011

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