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    areas y volumenes areas y volumenes Document Transcript

    • ÁREAS Y VOLÚMENES. 2ºESO1.- ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cilindro?Solución:a) No es el desarrollo de un cilindro porque la base del rectángulo es menor que la longitud de la circunferencia.b) Si es el desarrollo de un cilindro.c) No es el desarrollo de un cilindro porque el círculo no puede estar en ese lado del rectángulo.d) Si es el desarrollo de un cilindro.e) No es el desarrollo de un cilindro porque el desarrollo lateral no es un rectángulo.2.- ¿Cuáles de las siguientes figuras son desarrollo de un cono?Solución:a) No es el desarrollo de un cono porque el desarrollo lateral no es un sector circular, es un triángulo.b) No es el desarrollo de un cono porque el arco es menor que la longitud de la circunferencia.c) Si es el desarrollo de un cono.d) No es el desarrollo de un cono porque el círculo no puede estar en ese lado del sector.e) No es el desarrollo de un cono porque el arco es menor que la longitud de la circunferencia.3.- Comprobar la relación de Euler en:a) Un prisma pentagonal.b) Una pirámide hexagonal.Solución:Relación de Euler: c + v = a + 2a) En un prisma pentagonal: 7+10=15+2b) En una pirámide hexagonal: 7+7=12+24.- ¿Cuáles de los siguientes cuadriláteros al girar en torno a uno de sus lados engendra un cilindro?Solución:Los cuadriláteros que al girar en torno a uno de sus lados engendran un cilindro son a), b), y e).5.- Dibuja: a) Dos planos paralelos. b) Dos rectas paralelas. c) Una recta contenida en un plano. d) Un recta secante a un plano.Solución:a) b) c) d)
    • 6.- ¿Cuáles de los siguientes triángulos generan un cono al girar en torno a uno de sus lados?Solución:Los triángulos que al girar en torno a uno de sus lados generan un cono son los de las figuras a) y d).7.- Dibuja:a) Dos planos secantes. b) Dos rectas secantes.c) Dos rectas que se crucen. d) Una recta paralela a un plano.Solución:a) b) c) d)8.- ¿Cuáles de las siguientes figuras al girar alrededor de un lado engendran una esfera?Solución: Engendran una esfera las figuras c) y e) porque son los únicos semicírculos9.- Haz el desarrollo en superficie de: a) Un prisma triangular. b) Una pirámide cuadrangular.Solución:10.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura.Solución:SL = 2(SA+SC) = 4 Sr Sr = 5·12 = 60 cm2 SL = 4·60 = 240 cm2
    • 11.- Calcula la superficie lateral de la figura siguiente, sabiendo que la base es un pentágono regular de 20cm de lado y el apotema de la pirámide mide 50 cm. Pb · a 5 ⋅ 20 ⋅ 50Solución: S L = = = 2 500 cm 2 2 212.- Calcula la superficie lateral de un cilindro de radio de la base 3 cm y altura 4 cm. 3cm 4cmSolución: SL = 2 π r h = π·2·3·4 = 75,40 cm213.- En al figura tienes el desarrollo de un prisma de base cuadrada. Calcula su superficie total.Solución: ST = 4(SA)+ 2SB = 4 · 1,5+ 2 · 1 = 8 m2 SA = 1 · 1,5 = 1,5 m2 SD = 1 · 1 = 1 m214.- Calcula la superficie total del sólido cuyo desarrollo plano se presenta a continuación:
    • ST = S B + S L = 6 + 1 = 7 m 2 Pb · a 4 ⋅ 1 ⋅ 3Solución: SL = = = 6m2 2 2 SB = 1 = 1m 2 215.- Calcula la superficie total de un cilindro de diámetro de la base 2 m y altura 5 m. S L = 2 πr⋅ h = 2·π·π·1 = 31,42 m 2Solución: S B = πr 2 = 1·π = 3,14 m 2 S T = S L + 2 S B = 37,70 m 216.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura.Solución: SL = 2(SA+SC) SA = 2 · 7= 14 cm2 SB = 8 · 7 = 56 cm2 SL= 2(14+56) = 140cm217.- Calcula la superficie lateral de la figura siguiente: S = 4 S T = 4 · 250 = 1000 cm 2Solución: B+ b 10 + 15 ST = ⋅h = ⋅ 20 = 250 cm 2 2 218.- Calcula la superficie lateral de un cono de radio 2 m y generatriz 1 m.Solución: S = π r g = π · 2 ·1 = 2 π = 6,28 m 219.- Calcula la superficie lateral de un prisma de base hexagonal regular de 10 cm de lado y 20 cm de altura.Solución: SL = 6·SA SA = 10 · 20 = 200 cm2 SL = 6 · 200 = 1 200 cm220.- enemos un flotador para ir a la playa que tiene esta forma. Calcula la cantidad tejido hinchablenecesario para confeccionarlo, si las medidas están en decímetros:
    • S T = S s + S co + S ci 1 Ss = 4 π r 2 = 2 π⋅ 2,5 2 = 39,27 dm 2 2Solución: Calculemos la superficie: S co = π r g = π⋅ 2,5 ⋅ 16 = 125,66 dm 2 S ci = 2 π r h = 2 π · 2,5 · 8 = 125,66 dm 2 S T = 39,27 + 125,66 + 125,66 = 290,59 dm 2 = 2,9059 m 221.- Una empresa de señales marítimas ha fabricado estas boyas de poliestireno. Calcula la cantidad de filmtransparente necesario para recubrir mil boyas. S T = S s + S co 1 Ss = 4 π r 2 = 2 π⋅ 5 2 = 157,08 cm 2Solución: Calculemos la superficie: 2 S co = π r g = π⋅ 5 ⋅ 12 = 188,50 cm 2 S T = 157,08 + 188,50 = 345,58 cm 2Para cubrir mil boyas necesitaremos: 1000·345,5 8 cm 2 = 345 580 cm 2 = 34,558 m 2 de film transparente.22.- Para las fiestas de mi pueblo han montado una carpa como la de la imagen. Calcula la superficie de telanecesaria para su fabricación si las medidas están en metros.Solución:Calculemos en primer lugar la generatriz del cono superior:g = 2 2 +1,5 2 = 6,25 = 2,5 dm Calculemos ahora su superficie:
    • S T = S co + S ciS co = π r g = π⋅ 1,5 ⋅ 2,5 = 11.78 cm 2S ci = 2 π r h = 2 π ⋅ 1,5 ⋅ 3 = 28,27 cm 2S T = 11,78 + 28,27 = 40,05 cm 223.- En una ciudad se ha construido un obelisco piramidal de base triangular de cristal con el lado de labase de 5 m y una altura de 50 m. Calcula la superficie de cristal necesaria para recubrirlo teniendo encuenta que la base no está recubierta de cristal.Solución:Calculemos en primer lugar la apotema:a = 50 2 + 2,5 2 = 2 506,25 = 50,06 mLa superficie lateral será: PB · a 3 · 5 · 50,06SL = = = 375,47 m 2 2 224.- Calcula la superficie de un huso horario en una esfera terrestre de 10 cm de radio.Solución:La superficie de la esfera seráS= 4πr2 = 4π·102 = 400π =1 256,64 cm2La superficie de un huso horario será la parte correspondiente a 15º:360º : 15º = 24 husos horariosSH = S : 24 = 52,36 cm225.- Calcula lo que costará empapelar las cuatro paredes de una habitación con forma de prisma de baserectangular de 5 m x 6 m y altura 3,5 m, si el metro cuadrado de papel pintado se vende a 0,75 €.Solución: SL = 2(SA + SC)SA = 5 · 3,5= 17,5 m2SC = 6 · 3,5 = 21 m2SL = 2(17,5 + 21) = 77 m2Precio : 77 m2 · 0,75 €/ m2 = 57,75 €26.- Las farolas de una ciudad están culminadas en un fanal con forma de pirámide pentagonal, en el que ellado del pentágono es 25 cm y la apotema de las caras es 30 cm. Calcula la superficie de cristal necesaria
    • para cada farola, si la base es una pieza metálica.Solución: P· a 5 · 25 · 30SL = = = 1875 cm 2 2 227.- Una apisonadora tiene por rueda un rodillo con forma de cilindro de 1 m de radio y 4 m de largo.Calcula la superficie de carretera que pisa en cada vuelta.Solución:S = 2πrh = 2π·1·4 = 8π =25,13 m228.- Calcula la superficie total de una pirámide cuadrangular recta, sabiendo que el lado de la base es 4 m yla altura es 6 m.Solución:Calculemos en primer lugar la apotema:a = 2 2 + 3 3 = 13 = 3,61m P · a 4 ⋅ 4 ⋅ 3,61SL = b = = 28,88 m 2 2 2S B = 4 2 = 16 m 2S T = S B + S L = 28,88 + 16 = 44,88 m 229.- Deseamos construir una caja de madera sin tapa que tenga por base un rectángulo de 12 x 15 cm yaltura 9 cm. Calcula la superficie de madera que necesitas para su construcción.Solución:ST = SL+1SBSL = 2(SA+SC)SA = 12 · 9= 108 cm2SB = 12 · 15 = 180 cm2SC = 15 · 9 = 135 cm2ST = 2(SA+SC)+ SB = 2(108+135)+180 = 666 cm230.- La Pirámide de Keops tiene base cuadrada con un lado de 232,805 m y altura 148,208 m. Quedándotesólo con las unidades en metros, calcula su superficie lateral.
    • Solución:Calculemos en primer lugar la apotema:a = 148 2 +116 2 = 35 360 = 188,04 mLa superficie lateral será: PB · a 4 · 232 ·188,04SL = = = 87 250,56 m 2 2 231.- Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura.Solución: V = a · b · c = 5 · 5 · 12 = 300 cm332.- Calcula la capacidad de un prisma de base rectangular de 2 x 8 cm de base y 7 cm de altura.Solución: V = a ⋅ b⋅ c = 2 ⋅ 8 ⋅ 7 =112 cm 333.- Calcula el volumen de un prisma con altura 30 cm y base triangular de las siguientes dimensiones: 10cm de base y 20 cm de altura.Solución:V = S B ⋅ h = 100 ⋅ 30 = 3 000 cm 3 = 3 dm 3 = 3 l b·a 10·20SB = = = 100 cm 2 2 234.- Calcula el volumen de la figura siguiente sabiendo que la base es un pentágono regular de 20 cm 2 desuperficie y la altura de la pirámide es de 50 cm.
    • Solución: 1 1V = S B ·h = 20 · 50 = 333,333 cm 3 3 335.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular recta sabiendo que el lado de la base es 4 m y laaltura es 6 m. 1 1Solución: V = · S B ·h = 4 2 ·6 = 32 m 3 3 336.- Calcula el volumen de una pirámide que tenga por base un cuadrado de lado 4 dm y una altura de 36cm. 1 1Solución: V = · S B ·h = 40 2 ·36 =19 200 cm 3 3 337.- Calcula el volumen de un cilindro de radio de la base 3 cm y altura 4 cm.Solución: V = π·r 2 h = π·9·4 =113,10 cm 338.- Calcula el volumen de un cono de diámetro de la base 2 m y altura 4 m. π·r 2 h π·1·4Solución: V = = = 4,19 cm 3 3 339.- Calcula el volumen de un cono de radio 4 m y generatriz 5 m. π·r 2 h π·16·3Solución: 5 = h + 4 ⇒ h = 25 −16 = 3 cm 2 2 2 V= = = 50,27 cm 3 3 340.- Calcula el volumen de la siguiente figura:Solución:V = Vp1 + Vp2 = 72 + 6 = 78 m 3Vp1 = 12 · 2 · (4 − 1) = 72 m 3Vp 2 = 3 · 2 ·1 = 6 m 341.- Calcula el volumen del sólido de la figura:
    • Solución:V = Vp1 + Vp 2 = 1,836 + 5,202 = 7,038 m 3Vp1 = 0,3 · 1,8 · 3,4 = 1,836 m 3 1Vp 2 = 1,8 · (2 − 0,3)·3,4 = 5,202 m 3 242.- Calcula el volumen del sólido de la figura: V = Vp1 + Vp 2 = 16 + 4 = 20 m 3 Vp1 = 4 · 4 ·1 = 16 m 3Solución: 1 Vp 2 = · 4 · 4 · 0,75 = 4 m 3 343.- Construimos un florero de cristal uniendo una semiesfera y un cilindro como se ve en la figura. Calculasu volumen.
    • V = VC + VS = 31,42 + 56,55 = 87,97 cm 3 VC = π⋅ 12 ⋅ 10 = 31,42 cm 3Solución: 1 4 VS = · · π⋅ 3 3 = 56,55 cm 3 2 344.- Tenemos un vaso como el de la figura. Calcula cuál será capacidad si el vaso es obtenido después decortar un cono de 25 cm de alto, dejando un vaso de 10 cm de altura. π·r 2 h π·64·25Solución: V1 = = = 1 675,52 cm 3 3 3 π·r 2 h π·9·15V2 = = = 141,37 cm 3 3 3V = V1 − V2 = 1675,52 −141,37 = 1543,13 cm 3 = 1,543 dm 3 = 1,543 litros .45.- Fabricamos un rodillo de apisonadora como el de la imagen. Calcula su peso sabiendo que estáfabricado con acero y cada centímetro cúbico de cemento pesa 30 gramos (unidades en metros):Solución:V = VC + 2·Vc = 37,70 + 2 · 0,785 = 39,27 m 3 = 39 270 dm 3 = 39 270 000 cm 3VC = π·2 2 ·3 = 37,70 m 3Vc = π·0,5 2 ·1 = 0,785 m 3P = 39 270 000 cm 3 ·30 g/cm 3 = 1 178 100 000 g = 1178 Tm46.- A continuación te presentamos una celda de una colmena de abejas. Calcula cuál será la cantidad totalde polen que cabe sabiendo que 1 g de polen ocupa 1 centímetro cúbico.
    • V = S B · h = 10,38 · 2,24 = 23,2512 cm 3 P·a 6·2,00·1,7 3 20,76Solución: SB = = = = 10,38 cm 2 2 2 2 Polen : 23,2512 cm 3 ·1 g/cm 3 = 23,2512 g47.- Calcula cuánto pesa una lápida de granito fabricada con la forma de paralelepípedo de la figura si undecímetro cúbico de granito pesa 2 kg. V =a · b · c =120 · 30 · 50 =180 000 cm 3 =180 dm 3Solución: Peso =180 dm 3 · 2 kg/dm 3 =360 kg48.- Calcula cuánto pesará el aire que cabe en una habitación con forma de prisma de base rectangular de 5m x 6 m y altura 3,5 m, si el metro cúbico de aire pesa 0,75 g. V =a · b · c =5 · 6 · 3,5 =105 m 3Solución: P =105 m 3 · 0,75 g/m 3 =78,75 g49.- En al figura tienes el desarrollo de un prisma de base cuadrada. Calcula su volumen.Solución:V = a⋅ b⋅ c = 1 ⋅ 1 ⋅ 1,5 = 1,5 m350.- Calcula el volumen del prisma pentagonal que tiene el siguiente desarrollo plano.
    • Solución:V = S B ⋅ h = 5,611 ⋅ 2,75 = 15,43025 m 3 P·a 5·1,81·1,2 4 11,222SB = = = = 5,611m 2 2 2 251.- Calcula la capacidad total del sólido de la imagen, si la base es un rectángulo de 7 cm de lado mayor y5 cm de lado menor y la altura que aparece señalada es de 15 cm. 1 1Solución: V = S B ·h = (7 · 5) ·15 = 175 cm 3 3 352.- La Pirámide de Keops tiene base cuadrada con un lado de 232,805 m y altura 148,208 m. Calcula suvolumen. S B = 232,805 2 = 54 198,168 m 2Solución: 1 1 V = S B ·h = 54 198,168·14 8,208 = 2 677 534,029 m 3 3 353.- Calcula el volumen del sólido que aparece a continuación (las medidas están en centímetros):
    • V = VC + Vc = 87,96 + 2,356 = 90,316 cm 3Solución: VC = π·2 2 ·7 = 87,96 cm 3 Vc = π·0,5 2 ·3 = 2,356 m 354.- Calcula el volumen del tronco de cono de la figura si la altura del cono mayor era de 25 cm y la alturadel tronco de cono es 10 cm. π·r 2 h π·64·25Solución: V1 = = = 1 675,52 cm 3 3 3 π·r 2 h π·9·15V2 = = = 141,37 cm 3 3 3V = V1 − V2 = 1 675,52 − 141,37 = 1 534,415 cm 3 = 1,534 dm 3 = 1,534 litros .55.- Calcula el volumen de este sólido:Solución:
    • V = Vcono + Vsemiesfera + Vcilindro = 3141,59 + 2 094,39 + 9 424,78 = 14 660,76 cm 3 1Vcono = π·10 2 ·30 = 3141,59 cm 3 3 14Vsemiesfera = π⋅10 3 = 2 094,39 cm 3 23Vcilindro = π⋅10 2 ⋅ 30 = 9 424,78 cm 356.- Calcula el volumen del sólido que aparece a continuación:Solución:V = Vc + Vs = 8 620,53 + 1436,75 = 10 057,28 cm 3Vc = π·7 2 ·(70 − 2·7) = π·7 2 ·56 = 8 620,53 cm 3 4 4Vs = π·r 3 = π·7 3 = 1436,75 cm 3 3 357.- Calcula el volumen de un prisma de base hexagonal regular de 2 cm de lado; 1,75 cm de apotema y 76mm de altura.Solución:V = S B ⋅ h = 10,5 ⋅ 7,6 = 79,8 cm 3 P·a 6·2·1,75 21SB = = = = 10,5 cm 2 2 2 2