Método de las Fuerzas para la resolución de estructuras hiperestáticas.

1. Método de las FuerzasMétodo de las Fuerzas
Aplicación del PFV a estructuras
hiperestáticas

2. Análisis de estructuras hiperestáticas con PFVAnálisis de estructuras hiperestáticas con PFV
 Método de las Fuerzas
◦ Principio de las Fuerzas Virtuales:
◦ Resuelve hiperestaticidad=obtiene la/s incógnita/s hiperestática/s
◦ Trabajos virtuales:
 Fuerzas y esfuerzos virtuales realizan trabajo sobre desplazamientos reales.
◦ Se plantea la COMPATIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS para
resolver la hiperestaticidad (calcular la/s incógnita/s hiperestáticas).
Ejemplo:
GHext=R-3=4-3=1
GHint=0
Podemos considerar cualquiera de las reacciones
verticales como INCÓGNITA HIPERESTÁTICA X.
Una vez conocida esa incógnita se pueden calcular
reacciones y esfuerzos.
VB=X
X
F

3. Procedimiento. Paso 1: cálculo del G.H.Procedimiento. Paso 1: cálculo del G.H.
 Ejemplo:Ejemplo: viga continua con un empotramiento y n apoyos móviles.
 Varios tipos de cargas:
◦ Distribuida p
◦ Puntual P
◦ Momento M
◦ Asiento de un apoyo ∆
 Grado de hiperestaticidad según Capítulo 1:
◦ GHext=R-3=(3+n)-3=n (empotramiento = 3reacciones)
◦ GHint=3CC-Σ(BA-1)=0 (ni contornos cerrados ni articulaciones entre barras)
◦ GH=n
 Significa que “nos sobran” n reacciones.
◦ Una barra en voladizo (3 Reacc.) es isostática
◦ Cada apoyo adicional supone una reacción que no se puede calcular planteando sólo
el equilibrio estático (∑FV=0; ∑FH=0; ∑M=0)
Asiento= desplazamiento impuesto a un apoyo
(porque cede la cimentación o por cualquier otro motivo)
Los asientos generan esfuerzos en las estructuras hiperestáticas

4. Procedimiento. Paso 2: elección del sistema baseProcedimiento. Paso 2: elección del sistema base
 Elegir un sistema base estáticamente determinado.
◦ Eliminamos los elementos que dan lugar a la hiperestaticidad.
 En el ejemplo eliminamos los n apoyos que hay en exceso
◦ Sustituimos esos elementos por las incógnitas hiperestáticas
correspondientes (X).
 En el ejemplo son las correspondientes reacciones verticales de los apoyos.
SISTEMA BASE= sistema isostático equivalente al sistema inicial
pero en el que desconocemos algunas fuerzas (incógnitas
hiperestáticas X)

5. Procedimiento. Paso 3: compatibilidad de despl.Procedimiento. Paso 3: compatibilidad de despl.
 Aplicando el principio de superposición
◦ El efecto de varias cargas simultáneas es igual a la suma de los efectos de las mismas por separado.
 Planteamos qué condiciones deben cumplir los desplazamientos de los
puntos donde tenemos las X.
Desplazamiento del punto i = desplazamiento que se produce en i en el sistema base sin las incógnitas
hiperestáticas + los desplazamientos que se produce en i debido a cada una de las incógnitas hiperestáticas X.
0
1
·
m
i i ik k
k
Xδ δ δ
=
= + = −∆∑
δi0 = desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático sin las
X
δik =desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático cuando
sólo aplicamos una carga 1 en el punto de la incógnita hiperestática k.
Xk= incógnita hiperestática k
-∆ = desplazamiento impuesto al nudo i (asentamiento ∆ en este caso)
Ej: Ecuación de compatibilidad de
desplazamientos del punto i
ECUACIONES:

6. Procedimiento. Paso 4: Sistema 0, Sistema 1…Procedimiento. Paso 4: Sistema 0, Sistema 1…
 Para el cálculo de los
desplazamientos δi0, δi1,… δin se
utiliza el PFV (método de la carga
unitaria). Para ello es necesario
crear diferentes sistemas:
◦ SISTEMA 0: Sistema base sin la
incógnita hiperestática.
◦ SISTEMA 1: Sistema sólo con carga
unidad en la incógnita hiperestática 1.
◦ SISTEMA 2: Sistema sólo con carga
unidad en la incógnita hiperestática 2.
…
◦ SISTEMA n: Sistema sólo con carga
unidad en la incógnita hiperestática n.
Por superposición vemos que se cumple:
STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn
S0
Si
STOTAL

7. Procedimiento. Paso 5: cálculo deProcedimiento. Paso 5: cálculo de δδi0i0
 Se calcula δi0 aplicando el método de la carga unitaria.
◦ 1·δi0=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los
desplazamientos en el sistema “real” 0.
Trabajo de
momentos del Si
sobre las
deformaciones
debidas a
momento del S0
Trabajo de
normales del Si
sobre las
deformaciones
debidas a
normales del S0
Los trabajos de
los cortantes
suelen ser
despreciables
Trabajos de los
esfuerzos en
muelles del Si
sobre las
deformaciones
de muelles del S0
Desplazamiento en el
punto i en el S0.
1 2 i k n
...... ...
1
S0
Si
1º: obtener diagramas de los sistemas 0 e i
2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

8. Procedimiento. Paso 6: cálculo de losProcedimiento. Paso 6: cálculo de los δδikik
 Se calcula δik aplicando el método de la carga unitaria.
◦ 1·δik=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre los
desplazamientos en el sistema “real” k.
Trabajo de
momentos del Si
sobre las
deformaciones
debidas a
momento del Sk
Trabajo de
normales del Si
sobre las
deformaciones
debidas a
normales del Sk
Los trabajos de
los cortantes
suelen ser
despreciables
Trabajos de los
esfuerzos en
muelles del Si
sobre las
deformaciones
de muelles del Sk
Desplazamiento en el
punto i en el Sk.
Sk
Si
1º: obtener diagramas de los sistemas k e i
2º: obtener las integrales de Mohr correspondientes (tabla)

9. Procedimiento. Paso 7: resolver hiperestaticidadProcedimiento. Paso 7: resolver hiperestaticidad
 Una vez conocidos los desplazamientos δi0, …, δik, … se
resuelve el sistema de ecuaciones de compatibilidad.
1 1 1
1
1
1
0
. . .
. . .
0
n
o k k
k
n
i io ik k
k
n
n no nk k
k
X
X
X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
=
=
=

= + = 




= + = −∆ 



= + =

∑
∑
∑
n ecuaciones con n
incógnitas (X1, X2, …, Xn) X1, X2, …, Xn

10. Procedimiento. Paso 8: esfuerzos totalesProcedimiento. Paso 8: esfuerzos totales
 Por superposición:
◦ STOTAL=S0+SI·X1+S2·X2+…+Sn·Xn
 Consideramos los sistemas 0, 1, 2, …, n
 Los diagramas totales se obtienen de la superposición de los n+1 diagramas
 También pueden obtenerse simplemente a partir del sistema
total, ya que ahora conocemos las incógnitas hiperestáticas.

11. Método de las Fuerzas: ejemploMétodo de las Fuerzas: ejemplo
En la estructura de la figura con una carga P,
determinar los diagramas de esfuerzos
internos en las barras por el método de las
fuerzas.
DATOS:
Sm = 6EI/√5
AEAB = EI/6√5
EI = cte
AE = GAα=∞ en las barras de nudos rígidos.
P
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
Figura 3.1
x
y
z
F
B
EI
4m
2m
2m 1m
2m3m
 Los datos se dan en función de la rigidez EI
 La barra AB sólo sufrirá tracciones y compresiones, por
eso sólo hace falta su rigidez a axil AEAB.
 Cuando nos dice que consideremos AE=∞ es que los
desplazamientos que se producirán debido a los axiles en
esas barras son despreciables, por tanto no los
consideraremos en el producto de diagramas.
 Comunmente se considera GAα=∞, así no se consideran
los cortantes al calcular desplazamientos.

12. Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación)Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación)
 Grado de Hiperestaticidad:
◦ El apoyo articulado fijo F: 2 R (vert. y htal.)
◦ Muelle torsional: 1R (momento)
◦ Apoyo articulado fijo A: 2 R
 GHext=R-3=5-3=2
◦ No hay contornos cerrados
◦ Articulación entre 1 barra y un conjunto rígido
 GHint=3CC-Σ(BA-1)= -(2-1) =-1
◦ GH=1
 Otro modo de verlo:
◦ Al no haber CC, pensamos sólo en clave de hiperestaticidad externa.
◦ La barra AB sólo puede tener axiles, por tanto la única reacción posible
en A es la horizontal.
◦ GH=R-3=4-3=1

13. Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación II)Método de las Fuerzas: ejemplo (continuación II)
 Elección de un sistema base:
◦ Convertir la estructura en isostática
eliminando “aquello que tenemos en
exceso” y sustituyéndolo por incógnitas
X.
◦ Las incógnitas hiperestáticas pueden ser:
 Reacciones
 Esfuerzos
 En este caso en A la reacción sólo
puede tener una dirección htal., ya
que la barra biarticulada sólo puede
transmitir axiles.
 Incógnita hiperestática X1:
◦ Reacción en A=Axil en AB
P
X1
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
F
C
B
EI
X1 X1
A B

14. Método de las Fuerzas: ejemplo (continuaciónMétodo de las Fuerzas: ejemplo (continuación
III)III)
 Plantear ecuaciones de compatibilidad de
desplazamientos:
 Para que el sistema base se comporte igual que el
sistema original (con apoyo fijo en A):
◦ Desplazamiento horizontal en A=0
Desplazamiento horizontal en A = desplazamiento horizontal
en A que se produce en el sistema base isostático sin X1+ el
desplazamiento horizontal en A debido a la incógnita
hiperestática X1.
 δHA = δ1= δ10 + δ11·X1 = 0
◦ δ1=desplazamiento que se produce en según la incógnita 1
(desplazamiento horizontal en A). Ese desplazamiento debe ser
0 al tener un apoyo fijo A.
◦ δ10 = desplazamiento que se produce en según la incógnita 1 en
el sistema base isostático sin X1 (Sistema 0).
◦ δ11 =desplazamiento que se produce según la incógnita 1 en el
sistema base isostático cuando sólo aplicamos una carga unidad
en el punto de la incógnita hiperestática 1 (Sistema 1).
P
X1
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
F
C
B
EI Sistema
Base

15. Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. IV)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. IV)
 Sistemas 0 y 1 para el cálculo de δ10 y δ11.
Sistema 0: sistema base sin X
Sistema 1: sistema base sólo con X1=1

16. Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. V)
 Cálculo de δ10: producto de diagramas de S0*S1.
◦ No tendremos en cuenta los cortantes ya que GAα=∞ y sólo tendremos
en cuenta los axiles en AB debido a que EA=∞ en el resto.
2P 2tm
6tm
*
√20m
=
0
0

17. Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VI)
 Cálculo de δ11: producto de diagramas de S1*S1.
◦ No tendremos en cuenta los cortantes ya que GAα=∞ y sólo tendremos
en cuenta los axiles en AB debido a que EA=∞ en el resto.
=
6 tm
*6tm
√45m
=
*
+1t +1t
3m3m
=
=

18. Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VII)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VII)
 Cálculo de la incógnita hiperestática:
δHA = δ10 + δ11·X1 = 0
 Esto significa que la reacción horizontal en A es P/9 hacia la dcha. (sentido
opuesto al que planteamos inicialmente).
 Considerando la incógnita podeos calcular los diagramas totales:

19. Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VIII)Método de las Fuerzas: ejemplo (cont. VIII)
 Obtención de diagramas totales por superposición:
 Vemos que el Sistema base (equivalente al original) es igual al
sistema 0 mas el Sistema 1 multiplicado por X1.
 Por tanto los diagramas pueden obtenerse:
◦ Momento flector, M = M0 + M1 X1
◦ Esfuerzo cortante, V = V0 + V1 X1
◦ Esfuerzo normal, N = N0 + N1 X1
+= ·X1

20. Cargas térmicasCargas térmicas
 Incremento de temperatura=dilatación
◦ Depende del coeficiente de dilatación térmica del material α [0
C-1
]
◦ Causa esfuerzos en estructuras hiperestáticas
 Incremento de temperatura uniforme en toda la sección

 Carga térmica general (incremento uniforme + gradiente)
Diferencial de deformación longitudinal en la
barra
du= ·dx= · T·dxε α Δ
Deformación longitudinal + Giro
du= ·dx= · Tε α Δ m·dx + .

21. Cargas térmicas en sistemas hiperestáticosCargas térmicas en sistemas hiperestáticos
 Sistemas isostáticos
Sistemas hiperestáticos: c. térmicas provocan esfuerzos
Hay que considerar las cargas térmicas en el Sistema 0.
Sistema hiperestático Sistema base sin incógnitas=S0
du0=ε0·dx=α·ΔT·dx
ε0 =α·ΔT
Sistema base sin incógnitas=S0
du0=ε0·dx=α·ΔT·dx
ε0 =α·ΔT
Sistema hiperestático
Sistema base sin incógnitas=S0
d0=ε0·dx=α·ΔTm·dx
ε0 =α·Tm
Carga térmica cte. + Gradiente térmico
Carga térmica cte.

22. Trabajos internos de las cargas térmicasTrabajos internos de las cargas térmicas
 ε0T debido al incremento uniforme de Tª:
◦ en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una
deformación ε0T = · Tα Δ m como si fuese un diagrama de normales
constante.
◦ El “diagrama” es + si es un aumento de temperatura
◦ No habrá que dividir por ninguna rigidez (EA) al ser ya ε0 deformación.
 κ0T debida al gradiente térmico:
◦ en el sistema base y el sistema 0 debe tenerse en cuenta una curvatura
κ0T = ( Tα Δ i- TΔ s)/h como si fuese un diagrama de momentos
constante.
◦ El “diagrama” se dibuja por el lado del incremento térmico +
◦ No habrá que dividir por rigideces (EI) al ser ya κ0 curvatura.
· Tα Δ m
ε0T
( Tα Δ i- TΔ s)/hκ0T

23. Simetría y antisimetríaSimetría y antisimetría
 En una estructura simétrica:
Cargas Mf V N Mt
Simétricas Simétrico Antisimétrico Simétrico Antisimétrico
Antisimétricas Antisimétrico Simétrico Antisimétrico Simétrico
L/3 L/3 L/3
P P
PL/3P
P
L/3 L/3 L/3
P
P
PL/9
PL/9
P/3 P/3
2P/3
Carga simétrica Carga antisimétrica

24. Estructura simétrica con carga simétricaEstructura simétrica con carga simétrica
 Deformada simétrica
 En el punto de corte con el eje de simetría:
◦ No debe girar
◦ Desplazamiento perpendicular al eje de simetría nulo
◦ Los esfuerzos antisimétricos como el cortante V son nulos.
 Todo esto se simula con apoyo empotrado móvil que pueda desplazarse a lo
largo del eje de simetría.
 Diagramas de M y N simétricos y V antisimétricos.
 La deformada debe ser simétrica y los puntos del eje de simetría no deben girar.

25. Estructura simétrica con carga antisimétricaEstructura simétrica con carga antisimétrica
 Deformada antisimétrica:
 En el punto de corte con el eje de simetría:
◦ Desplazamiento del punto en la dirección del eje de simetría nulo.
◦ Los esfuerzos simétricos como el momento flector M y el esfuerzo normal N son nulos.
 Todo esto se simula con apoyo articulado móvil que pueda desplazarse en
perpendicular al eje de simetría.
 Los diagramas de M y N serán antisimétricos y los de V serán simétricos.
 La deformada debe ser antisimétrica y los puntos del eje de simetría no deben
desplazarse a lo largo del mismo.

26. Simplificaciones por simetría y antisimetríaSimplificaciones por simetría y antisimetría
P
M
P/2
M/2
P/2
M/2
P/2
M/2 M/2
P/2
= +
Sim. Antisim.
 Un sistema de cargas sobre estructura simétrica puede dividirse en
simétrico + antisimétrico

27. Calcular desplazamientos: Carga unitariaCalcular desplazamientos: Carga unitaria
Ejemplo:
Caso de estructura plana de barras articuladas con rigidez
AE. Se pide el desplazamiento vertical de la esquina
inferior derecha.
Sistema hiperestático (sobra una
barra para ser isostático)
Sistema base (sistema isostático
con incógnita hiperestática X1)
P1
P2
P1
P2
X1 X1
1
1
A
B
A
B
P1
P2
P1
P2
X1 X1
1
1
A
B
A
B?
GH=B+R-2N=6+3-2·4=1
GHext=R-3=3-3=0
GHint=GH-GHext=1
• “Sobra” una barra.
• Se corta o se separa una barra diagonal
• Incógnita hiperestática=el axil X1.

28. Calcular desplazamientos: Carga unitaria (II)Calcular desplazamientos: Carga unitaria (II)
 Plantear compatibilidad de desplazamientos en el S.B.:
◦ Que δ1=0 significa que los desplazamientos según X1 deben ser iguales y
opuestos (como si la barra estuviese aún unida)
 Sistemas S0 y S1
 Se calcularían todos los esfuerzos en barras para ambos sistemas
 Se obtienen los desplazamientos δ10 y δ11.
1 1 11 1
0o Xδ δ δ= + =
Sistema 0 (sistema base sin X1) Sistema 1 (con carga unidad en la incógnita X1)
P1
P2
1
1
1
1
X1=1 X1
=1
A
B
A
B
P1
P2
1
1
1
1
X1=1 X1
=1
A
B
A
B
i
barrasn
1i
1i
i
barrasn
1i
io
o L
AE
N
NyL
AE
N
N 1i111i1 ∑∑
=
=
=
=
=δ=δ
1 1 11 1
0o Xδ δ δ= + =

29. Calcular desplazamientos: Carga unitaria (III)Calcular desplazamientos: Carga unitaria (III)
Sistema real de deformaciones (sistema total) Sistema virtual de fuerzas (carga unidad)
P1
P2
B
VD
δ
D
CA
1
B
A
D
C
P1
P2
B
VD
δ
D
CA
1
B
A
D
C
 Se plantea el método de la carga unitaria.
 Sist. Virtual = la estructura del sistema base con una carga unidad
acorde con el despl. a calcular.
 Desplazamiento = trabajo virtual interno (producto de diagramas)
1
1
1.
n barras
in barras
i ii
i ii
i
VD
VD
TVE TVI
N
N LN
N L AE
AE
δ
δ
=
=
=
=
=
=
=
∑∑

30. Cálculo de desplazamientos: EjemploCálculo de desplazamientos: Ejemplo
En la estructura de la figura, determinar por
el método de la carga unitaria el
desplazamiento vertical de D y dibujar la
elástica a estima de la estructura.
DATOS:
Sm = 6EI/√5
AEAB = EI/6√5
EI = cte
AE = GAα=∞ en las barras de nudos rígidos.
P
Sm
AE EI
EI
EI
A
D
E
Figura 3.1
x
y
z
F
B
EI
4m
2m
2m 1m
2m3m
 Para este ejemplo ya se ha resuelto la hiperestaticidad de la
estructura en un ejercicio anterior
 Se tomó como incógnita hiperestática la reacción en A, que
es igual al axil en AB.
 Para la obtención del desplazamiento pedido partiremos de
los diagramas de esfuerzos totales del sistema hiperestático
completo.

31. Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (II)Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (II)
 Diagramas de esfuerzos del Sistema Base resuelto (S. total)
Deformaciones en el S. real
(Sistema total)
Esfuerzos en el S. virtual
(Sistema con carga 1 en D)
2P/EI
2P/9EI
16P/9EI
6P/9EI
P/9AE P/9AE
1t
2tm
2tm
AB es la única barra
que puede sufrir
deformaciones por
esfuerzos normales
Los cortantes no se
tienen en cuenta
porque GAα=∞.
θm=6P/9Sm
AB no tiene
normales
Los cortantes no se
tienen en cuenta
porque GAα=∞.
Mm=0

32. Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (III)Cálculo de desplazamientos: Ejemplo (III)
1t
2tm
2tm
2P/EI
2P/9EI
16P/9EI
6P/9EI
P/9AE P/9AE
*
 Se aplica el PFV. (TVE=TVI)
 El desplazamiento buscado es igual a
los trabajos virtuales internos
(producto de diagramas)
( )
1 muelleVD m
L L AB
TVE TVI
M N
M dx M N dx
EI AE
δ θ
=
× = + +∫ ∫
6P/9
* = 16·2·(2·16P/9-6P/9)√20·1/EI=4,30·P/EI
2tm
√20m
16P/9
2P
* = 1/3·2·2P·2/EI=2,67P/EI
2tm
2m
Al ser positivo, su sentido es el mismo al
supuesto con la carga unidad (hacia abajo).

33. Cálculo de la deformada (elástica) a estimaCálculo de la deformada (elástica) a estima
 Forma estimada de la estructura deformada:
◦ Convexa por el lado en el que está el diagrama de momentos.
◦ Donde el momento cambia de signo ⇒ punto de inflexión
◦ Tener en cuenta la deformación calculada
◦ Alargamiento-acortamiento de barras biarticuladas ∆L=(N/AE) L
Deformaciones Deformada