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Control PID de un levitador magnético

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  1. 1. http://lonely113.blogspot.com CONTROL PID DISCRETO DE UN LEVITADOR MAGNÉTICOI. INTRODUCCIÓN La levitación magnética consiste en mantener objetos suspendidos sin existir contacto mecánico gracias a la fuerza magnética. Este proceso es por naturaleza inestable y no lineal, esto hace que el control de estos sistemas sea altamente desafiante. Además, se hace obligatoria la utilización del control en lazo cerrado para mantener la levitación. Para el diseño y simulación de los sistemas de control propuestos, se ha utilizado LabVIEW y Matlab, herramientas poderosa tanto para el cálculo matemático, así como para la simulación de la respuesta de los sistemas de control usados en esta investigación y validar su desempeño. Cuando el sistema se encuentra en equilibrio estático, una fuerza fm actúa sobre la esfera, además del peso de la misma. Es aquí donde se aplica la segunda ley de Newton.II. ANÁLISIS El sistema en estudio es un Levitador Magnético de naturaleza inestable, que se muestra en su forma básica en la imagen: La corriente que circula por el electroimán, resultado de la aplicación de un voltaje DC, genera un campo magnético concentrado en el eje “y”. Como consecuencia la esfera metálica está sometida a las fuerzas Gravitacional y Magnética. Cuando
  2. 2. http://lonely113.blogspot.com estas fuerzas se equilibran la esfera llega a levitar en la posición de equilibrio, manteniéndose en esta posición gracias al sistema de control que se aplique. Es posible aumentar o disminuir la fuerza magnética aumentando o disminuyendo la corriente a través del electroimán dependiendo de la posición de la esfera, que se determina mediante un sensor. Variables de entrada Voltaje a través del electroimán: u(t) Corriente a través del electroimán: i(t) Variables de salida Posición de la esfera: y(t) 2.1. Modelado del sistema El siguiente esquema representa el sistema a controlar en su forma básica. Para el análisis no se tomará en cuenta el transductor (sensor) que se utiliza para determinar la posición de la esfera. A continuación se determinará la función de transferencia del sistema considerando: Entrada u(t): Tensión en voltios. Salida y(t): Posición de la esfera tomando como referencia el electroimán La obtención del modelo parte de la formulación de las ecuaciones físicas y eléctricas que gobiernan el sistema, estas son:
  3. 3. http://lonely113.blogspot.com  Ecuación eléctrica Se determina a partir de la malla que forman la fuente de tensión u(t), la resistencia R del electroimán, y la inductancia L del mismo. ………………….. (1) ………..……….. (2)  Ecuación física La segunda Ley de Newton: Aplicado al sistema: ……………..…… (3) Dónde: m: Masa de la esfera a: Aceleración g: Constante gravitacional fm: Fuerza magnética del electroimán. La fuerza magnética se expresa mediante: Siendo K la constante del electroimán que viene dado por: Dónde: N: Número de espiras de la bobina. μ: Permeabilidad del núcleo. μ0: Permeabilidad del vacío.
  4. 4. http://lonely113.blogspot.com Reemplazando fm en la ecuación (3): ………………………….. (4)  Definición de las variables de estado: Siendo: y(t): Posición de la esfera tomando como referencia al electroimán. y’(t): Velocidad de la esfera. i(t): Corriente a través del electroimán.  Ecuaciones de estado en tiempo continuo Reemplazando en las ecuaciones (2) y (4). Como se observa en las ecuaciones obtenidas, el modelo matemático del sistema es no lineal, siendo necesario linealizarlo en torno a la posición de equilibrio.
  5. 5. http://lonely113.blogspot.com Para esto se utiliza la serie de Taylor, dando como resultado la matriz de estado siguiente: Resolviendo se obtiene: Es necesario hallar la corriente de equilibrio x30 para la posición de equilibrio x10 = cte. De la segunda ecuación de estado:
  6. 6. http://lonely113.blogspot.com Reemplazando en las matrices de estado: Reemplazando datos del sistema; para este caso particular: Finalmente se obtienen la matriz de ecuaciones de estado en tiempo continuo:
  7. 7. http://lonely113.blogspot.com  Ecuaciones de estado en tiempo discreto La discretización se realiza en Matlab mediante el comando “c2dm”, considerando: Ts=0.001 s Retenedor de órden 0: “zoh” Dando como resultado la matriz de ecuaciones de estado en tiempo discreto: 2.2. Simulación 2.2.1. En tiempo continuo Se obtiene la función de transferencia en Lazo Abierto a partir de las ecuaciones de estado. Se obtienen los polos del sistema: La existencia de un polo en el semiplano derecho nos indica que el sistema es inestable. A continuación se observan los gráficos de respuesta al escalón del sistema en lazo abierto y el gráfico del lugar geométrico de raíces en Matlab (El código se adjunta en el Anexo B)
  8. 8. http://lonely113.blogspot.com 25 x 10 Respuesta al escalón unitario del sistema en Lazo Abierto 0 -0.5 -1 Amplitude -1.5 -2 -2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Time (seconds) Respuesta al Escalón Gráfico de lugar geométrico de raíces 800 600 400 Imaginary Axis (seconds-1) 200 0 -200 -400 -600 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 Real Axis (seconds -1) Lugar Geométrico de Raíces 2.2.2. En tiempo discreto Se obtiene la función de transferencia en lazo abierto a partir de las ecuaciones de estado en tiempo discreto:
  9. 9. http://lonely113.blogspot.com Se obtienen los polos del sistema: La presencia de un polo fuera del círculo unitario nos indica la inestabilidad del sistema. A continuación se observan los gráficos de respuesta al escalón del sistema en lazo abierto y el gráfico de polos y ceros en Matlab (El código se adjunta en el Anexo B). 25 x 10 Respuesta al escalón unitario del sistema 0 -0.5 -1 Amplitude -1.5 -2 -2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Time (seconds) Respuesta al Escalón Gráfico de Polos y Ceros 1.5 1 0.5 Imaginary Part 0 -0.5 -1 -1.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part Gráfico de Polos y Ceros
  10. 10. http://lonely113.blogspot.com 2.3. Requerimientos de diseño del control PID Se requiere diseñar un controlador PID tal que el sistema cumpla los siguientes requisitos: Tiempo de establecimiento: 1 s Sobreimpulso máximo: 50 % Error en estado estacionario: 0. El controlador PID discreto se realiza mediante el método del rediseño, es decir, diseñando primero un controlador PID para el sistema en tiempo continuo y posteriormente discretizándolo con las consideraciones de Frecuencia de muestreo y aproximación trapezoidal de la parte integral. Como el sistema que representa a la “planta” es de Tercer Órden no es posible diseñar el controlador para que cumplan los requisitos (como se realiza con sistemas de segundo órden). En este caso se utilizará el método de Routh-Hurwitz para determinar los rangos de las ganancias Kp, Ki, Kd que estabilizan al sistema, posteriormente se sintonizará el controlador PID utilizando LabVIEW, pues éste a diferencia de Matlab permite variar los valores de las ganancias en forma interactiva y muestra la respuesta en tiempo real. Función de transferencia en lazo abierto: Función de transferencia del controlador:
  11. 11. http://lonely113.blogspot.com  Implementación de un control PD mediante el método de Routh- Hurtwiz. Función de transferencia del controlador PD: Ecuación característica del sistema en lazo cerrado s3 s2 s1 0 s0 0 Para que el sistema sea estable se obtiene:
  12. 12. http://lonely113.blogspot.com Simulando con estos valores en LabVIEW. Efectivamente, el sistema se estabiliza, pero existe el problema del error en estado estacionario, que en este caso es muy grande, además del tiempo de establecimiento. Es necesario implementar también un controlador PI.
  13. 13. http://lonely113.blogspot.com  Implementación de un controlador PI mediante el método de Routh- Hurwitz. Función de transferencia del controlador PI: Ecuación característica del sistema en lazo cerrado: s4 1 -1304 -1142.6·Ki s3 268.2011 -349700-1142.6·Kp 0 s2 -0.128+4.26·Kp -1142.6·Ki 0 s1 … 0 0 s0 -1142.6·Ki 0 0 Se obtiene: ………….…..tercera línea ……………...cuarta línea El valor de Ki que hace estable al sistema es incongruente, por lo que se deduce que un controlador PI no puede estabilizar el sistema.
  14. 14. http://lonely113.blogspot.com  Implementación del controlador PID Se realiza la sintonización en LabVIEW tratando de lograr los requisitos, partiendo de las restricciones de Kp y Kd obtenidas en el paso anterior.
  15. 15. http://lonely113.blogspot.com Se procede a simular en Matlab con estos valores. El código se adjunta en el Anexo C. Respuesta al escalón unitario del sistema con controlador 1.5 Amplitude 1 0.5 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Time (seconds) Respuesta al Escalón Gráfico del lugar geométrico de raíces 250 200 150 100 Imaginary Axis (seconds-1) 50 0 -50 -100 -150 -200 -250 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Real Axis (seconds -1) Lugar Geométrico de Raíces
  16. 16. http://lonely113.blogspot.com Se observa que los polos están en el semiplano izquierdo. Se obtienen los siguientes parámetros:  Se calculan las ganancias del controlador PID en tiempo discreto. Se utiliza aproximación trapezoidal para la componente integral. De dónde: Se procede a simular en LabVIEW para obtener los parámetros de la respuesta al escalón unitario.
  17. 17. http://lonely113.blogspot.com Simulación en Matlab. El código se adjunta en el Anexo C. Respuesta al escalón unitario del sistema con controlador 1.5 1 Amplitude 0.5 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Time (seconds) Respuesta al Escalón Gráfico de polos y ceros 1.5 1 0.5 Imaginary Part 0 -0.5 -1 -1.5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part Gráfico de Polos y Ceros Se observa que los polos están dentro del círculo unitario. Se obtienen los siguientes parámetros:
  18. 18. http://lonely113.blogspot.comIII. SIMULACIÓN EN TIEMPO REAL DEL SISTEMA CON CONTROL PID Se realiza en LabVIEW. La programación es en lenguaje G. Se diseñan los controladores P, PD y PI independientemente para unirlos posteriormente en un bloque PID paralelo. Los tres controladores (P, PI y PD) se guardan como “VIs” (Instrumentos virtuales) con sus ícono respectivos para que puedan ser llamados por otro VI: el controlador PID. Los diagramas se adjuntan en el Anexo D. Sistema de control en lazo cerrado: Este es el esquema del sistema de control en Lazo Cerrado. Permite seleccionar Kp, Ki, Kd, Referencia, Periodo de muestreo y límites de salida del controlador desde el panel frontal. La simulación se muestra a continuación:
  19. 19. http://lonely113.blogspot.com Se observa la respuesta del sistema al escalón, si se varía la señal de referencia se observa que la salida sigue a la referencia, dando como resultado error en estado estacionario nulo.IV. RESULTADOS Estrategia ts (s) Sobrepico (%) Error estacionario (%) Control PID 0.425 51.63 0V. ANEXOS Anexo A. Programa en Matlab para la obtención del modelo del sistema. m=36; %Masa de esfera R=9; %Resistencia de bobina N=1595; %Número de vueltas de la bobina l=0.04; %Longitud de bobina r=0.035/2; %Radio de bobina h0=0.015; %Posición de equilibrio u0=4*pi*10^-7; %Permeabilidad del medio ur=0.4364; %Permeabilidad relativa del acero A=r^2*pi; %Área de bobina L=u0*ur*N^2*A/l; %Inductancia de la bobina K=N^2*(u0*ur)^2/(2*u0); %Constante del electroimán I0=sqrt(m*9.78*h0^2/K); %Corriente en punto de equilibrio Ts=0.001; %Periodo de muestreo A=[0 1 0 ; 2*K*I0^2/(m*h0^3) 0 -2*K*I0/(m*h0^2) ; 0 0 -R/L];%Matriz de estado en tiempo continuo
  20. 20. http://lonely113.blogspot.com Anexo B. Programa en Matlab de la respuesta del modelo del proceso en Lazo Abierto en tiempo continuo y en tiempo discreto. En Tiempo Continuo: num=[-1.1426e+003]; den=[1 268.2011 -1304 -349730]; FTLA=tf(num,den); Polos=pole(Gp); figure(1),step(FTLA) En tiempo discreto: num=[-1.1426e+003]; den=[1 268.2011 -1304 -349730]; FTLA=tf(num,den); Ts=0.001; Tf=Ts; FTLAd=c2d(FTLA,Ts); numd=FTLAd.num{:};
  21. 21. http://lonely113.blogspot.com Anexo C. Programa en Matlab del Sistema de Control PID en tiempo continuo y en tiempo discreto. En tiempo continuo: num=[-1.1426e+003]; den=[1 268.2011 -1304 -349730]; FTLA=tf(num,den); Kp=-1000; Ki=-7500; Kd=-30; PID=pid(Kp,Ki,Kd,0); FTLC=feedback(series(PID,FTLA),1); figure(1), step(FTLC) title(Respuesta al escalón unitario del sistema con controlador) figure(2), rlocus(FTLC) title(Gráfico del lugar geométrico de raíces) En tiempo discreto: num=[-1.1426e+003]; den=[1 268.2011 -1304 -349730]; FTLA=tf(num,den); Ts=0.001; Tf=Ts; FTLAd=c2d(FTLA,Ts); Kp=-1000; Ki=-7500; Kd=-30; PIDd=pid(Kp,Ki,Kd,0,Ts,IFormula,Trapezoidal);
  22. 22. http://lonely113.blogspot.com Anexo D. Diseño del controlador PID en tiempo discreto en LabVIEW a) Controlador Proporcional b) Controlador Proporcional – Derivativo c) Controlador Proporcional-Integral
  23. 23. http://lonely113.blogspot.com d) Controlador PID paralelo

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