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Medidas de dispersion

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  • 1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN4.1 varianza y desviación típica o estándarLa suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media aritmética es un indicadorexcelente de la variabilidad, la cual se representa por la expresión: Xi XSupongamos los siguientes datos: X i = 3, 1, 4, 2, 0 Xi 10Xi = 2 n 5Las desviaciones con respecto a la media serian: 1 3 2 1 2 1 2 1 3 4 2 2 4 2 2 0 5 0 2 2 i 1 1 2 0 2 0Este valor cero era inaceptable porque sugiere ausencia de la variabilidad. Para evitar valoresnegativos los estadísticos elevaron al cuadrado todas las desviaciones y dividieron este resultadoentre N. Surgió entonces la siguiente formula de la variancia o varianza:4.1.1 Para datos no agrupados: 2 2 Xi Variancia poblacional N[Escribir texto]
  • 2. 2 Xi XS2 Variancia muestral n 1En donde: 2 = Varianza poblacionalX i = Cada uno de los datos observados = Media poblacionalN= Tamaño de la poblaciónS 2 = Varianza MuestralX = Media Muestraln= Tamaño MuestralDebido a que no se podía hacer comparaciones entre la media y la varianza por estar al cuadrado 2 ,surgió la formula de la desviación estándar: S S2Ejemplo 1. Calcular la variancia y la desviación estándar de los siguientes datos: 3, 1, 4, 2, 0: X = 2Solución Xi Y - X (Y - X ) 2 i i 3 1 1 1 -1 1 4 2 4 2 0 0 0 -2 4 2 10 Xi X[Escribir texto]
  • 3. 2 2 Xi XS n 1 10S2 2,5 S2 2,5 1,5811 44.1.2 Las formulas para el cálculo de la varianza y la desviación típica para datos agrupadosson los siguientes: 2 Varianza y desviación estándar X X nS2 i i; Muestral. n 1 2 X X nS i i n 1 Varianza y desviación estándar Poblacional 2 2 X n X n 2 i i ; i i N NEn donde:S 2 = Variancia Muestral = Sumatoria desde i = 1 hasta m = Numero de intervalos.Xi = Marcas de clasen = Frecuencias absolutas i 2 = Varianza poblacional = Desviación típica poblacional X = Media Muestral = Media PoblacionalObservación 1. Para datos no agrupados X , Simboliza los valores de la variable. Para datos[Escribir texto]
  • 4. agrupados X indica la marca de clase. iEjemplo 2. Calcular la varianza y la desviación estándar de los siguientes datos agrupados. Calificaciones Estudiantes Li - Ls ni 40 – 49 5 50 – 59 2 60 – 69 12 70 – 79 14 80 – 89 9 90 – 99 6 3476X 72,4167 48Solución 2 Y X nLa fórmula para la varianza es S2 i i y para su cálculo adicionamos, a la tabla n 1anterior, las siguientes columnas: 2 2 Xi , Y X y Y X n i i i Calificaciones Estudiantes 2 2 Li Ls ni Y Y X Y X f i i i i 40 – 49 5 44,5 779.3421 3896,7105 50 – 59 2 54,5 321,0081 642,0162 60 – 69 12 64,5 62,6741 752,0892 70 – 79 14 74,5 4,3401 60,7614 80 – 89 9 84,5 146,0061 1314,0553[Escribir texto]
  • 5. 90 – 99 6 94,5 487.6721 2926,0326 9591,666 2El ultimo valor de la quinta columna es X X n = 9591,6664 que es el numerador de la i ifórmula de la varianza, entonces 2 X X n 9591,6664S2 i i 204,078 n 1 48 1La desviación estándar es:S S2 204 ,078S 14,28564.1.3 Otra fórmula para la varianza y la desviación estándarEs fácil de demostrar que la expresión 2 2 2 Xi Xi X es igual a Xi nPor lo tanto, 2 2 Xi 2 Xi 2 Xi X nS Para datos no agrupados n 1 n 1 2 X n X n 2 i i i iS2 n Para datos agrupados n 1 2 2 XiObservación 2. La expresión Xi se denomina suma de cuadrados. n[Escribir texto]

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