Apresentacao N P Completude Loiane

Teoria da Computação 01/12/2006 Ciência da Computação FAESA – 5B

AGENDA
Importância
Classe de Problemas Algorítmicos
Problemas P
Problemas NP
Redutibilidade – Problemas NP-Completo
Problemas Famosos
Problemas Exponenciais

IMPORTÂNCIA
Falha em achar algoritmo eficiente

IMPORTÂNCIA
Algoritmos eficientes para alguns casos – impossível!!!

IMPORTÂNCIA
Prêmio oferecido pela Clay Mathematics Institute - $ 1 milhão de dólares

IMPORTÂNCIA

IMPORTÂNCIA
Problemas Tratáveis: se apresentar solução polinomial
Problemas Intratáveis: se for tão difícil que nenhum algoritmo polinomial consegue resolvê-lo

Problemas de Decisão
Objetivo consiste sempre em responder sim ou não à determinada indagação.

Problemas de Localização
Objetivo é encontrar, caso exista, determinada estrutura satisfazendo requisitos especificados por uma questão .

Problemas de Otimização
Objetivo será obter determinada estrutura satisfazendo critério de otimização pré-definido

Exemplo:
Problema de Decisão:
Entrada: Grafo G e um inteiro k > 0
Questão: Existe um clique em G do tamanho k?
Se a resposta for sim, resolve-se o segundo problema

Problema de Localização:
Entrada: Grafo G e um inteiro k > 0
Questão: Encontrar um clique em G de tamanho k.
Obter algum clique em G ou mostrar que não existe

Problema de Otimização
Entrada: Grafo G
Questão: Obter um clique de tamanho mínimo.
Resolvidos os problemas da existência e localização de cliques em G, deve-se obter dentre todos os cliques deste grafo aquele de tamanho mínimo. Ou seja, o menor k para o qual a resposta ao Problema de Decisão seja sim

Decisão < Localização < Otimização

Classe de Problemas P
Tempo polinomial no pior caso
Algoritmos com pesquisa binária (O(log n));
Pesquisa seqüencial (O(n));
Ordenação por inserção (O(n2));
Multiplicação de matrizes (O(n3)).

Classe de Problemas NP
problemas "não-determinísticos polinomiais" no tempo
Steve Cook observou um fato simples e ao mesmo tempo surpreendente: se um problema pudesse ser resolvido em tempo polinomial, poderia-se também verificar se uma dada possível solução é correta em tempo polinomial (dize-se que o algoritmo pode ser certificado em tempo polinomial).

Classe de Problemas NP
P  NP

P = NP ou P  NP
Existem muitos problemas práticos em NP que podem ou não pertencer a P
Se conseguirmos provar que um problema não pertence a P, então não precisamos procurar por uma solução eficiente para ele
Como não existe tal prova sempre há esperança de que alguém descubra um algoritmo eficiente
Quase ninguém acredita que NP = P
Existe um esforço considerável para provar o contrário: MAS O PROBLEMA CONTINUA EM ABERTO!

Redutibilidade
Suposição 1: Tem-se um problema de decisão A que se deseja resolver em tempo polinomial. Chama-se de instância a entrada para um determinado problema.
Suposição 2:Existe um problema de decisão diferente B, que já se sabe como resolver em tempo polinomial.
Suposição 3:Tem-se um procedimento que transforma qualquer instância  de A em alguma instância  de B com as seguintes características:
A transformação demora tempo polinomial.
As respostas são as mesmas, isto é, a resposta para  é “sim” se e somente se a resposta para  também é sim.

Redutibilidade
Dada uma instância  do problema A, use o algoritmo de redução de tempo polinomial para transformá-la em uma instância  do problema B.
Execute o algoritmo de decisão de tempo polinomial para B sobre a instância  .
Use a resposta de  como a resposta para  .

Redutibilidade
O caráter NP - Completo consiste em mostrar o quanto um problema é difícil, em vez de mostrar o quanto ele é fácil. Para isso, usam-se reduções de tempo polinomial da maneira oposta.
As reduções de tempo polinomial proporcionam um meio formal de mostrar que um problema é pelo menos tão difícil quanto outro, até dentro de um fator de tempo polinomial isto é, se , então L1 não é mais que um fato polinomial mais difícil que L2, e esse é o motivo pelo qual a notação “menor que ou igual a” para redução é mnemônica.

Problemas NP-Completos
Uma linguagem é NP – Completa se
Se uma linguagem L satisfaz à propriedade 2, mas não necessariamente à propriedade 1, diz-se que L é NP – Difícil (ou NP - Árduo).

Problemas NP-Completos

Problemas NP - Completos

PROBLEMAS FAMOSOS

Caminho em um Grafo
Considere um grafo com peso nas arestas, dois vértices i, j e um inteiro k > 0

Caminho em um Grafo
Fácil: Existe um caminho de i até j com peso <= k?
Existe um algoritmo eficiente com complexidade de tempo O (A log V), sendo A o número de arestas e V o número de vértices (algoritmo de Dijkstra)
Difícil: Existe um caminho de i até j com peso >= k?
Não existe algoritmo eficiente. É equivalente ao problema do caixeiro viajante em termos de complexidade.

Coloração em um Grafo
Em um grafo G = (V, A), mapear C: V <- S, sendo S um conjunto finito de cores tal que se então c(v) c(w), ou seja, vértices adjacentes possuem cores distintas.
O número cromático X(G) de G é o menor número de cores necessário para colorir G, isto é, o menor k para o qual existe uma coloração C para G e |C(V)| = k.
O problema é produzir uma coloração ótima, que é a que usa apenas X(G) cores

Formulação do tipo “sim/não”: dados G e um inteiro positivo k, existe uma coloração de G usando k cores?
Fácil: k = 2
Difícil: k > 2

Aplicações
Otimização de Compiladores;
Exames de um colégio

Ciclo de Hamilton
O ciclo de Hamilton é um ciclo simples, ou seja, passa por todos os vértices uma única vez.
O caminho de Hamilton é um caminho simples, ou seja, passa por todos os vértices uma única vez.

Ciclo de Hamilton
Exemplo de ciclo de Hamilton: 0 1 4 2 3 0.
Exemplo de caminho de Hamilton: 0 1 4 2 3.

Ciclo de Hamilton
Problema: Existe um ciclo de Hamilton no grafo G?
Fácil: grafos com grau máximo = 2, ou seja, vértices com no máximo duas arestas incidentes.
Difícil: grafos com grau > 2.

Problema da Satisfabilidade

Problema da Parada
Consiste em determinar, para um algoritmo determinista qualquer A com entrada de dados E, se o algoritmo A termina ou entra em loop infinito (muito útil para compiladores).

Independente da velocidade do computador, ninguém poderia esperar por um algoritmo que leva 2100 passos para terminar uma tarefa. Um supercomputador poderia resolver um problema de tamanho n = 50 em 1 hora, ou n = 51 em 2 horas, ou n = 59 em 1 ano. Nem um computador paralelo com um milhão de processadores (cada um sendo um milhão de vezes mais rápido que o mais rápido existente) é suficiente para n = 100.

Usar algoritmos exponenciais “eficientes” aplicando técnicas de tentativa e erro;
Usar algoritmos aproximados. Acham uma resposta que pode não ser a solução ótima, mas é garantido ser próxima dela;
Concentrar no caso médio. Buscar algoritmos melhores que outros neste quesito e que funcionem bem para as entradas de dados que ocorrem usualmente na prática. Porém, existem poucos algoritmo exponenciais que mão muito úteis. Um exemplo é o Simplex (Programação Linear): a complexidade de tempo é exponencial no pior, mas é muito rápido na prática. Esses exemplos são muito raros, pois a grande maioria dos algoritmos exponenciais conhecidos não é muito útil.

Referências
Ver referências do trabalho escrito
Loiane Groner
01/12/2006
Teoria da Computação
FAESA - 5B
Prof. Elvira Padua Lovatte

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Apresentacao N P Completude Loiane

by Loiane Groner on Aug 15, 2009

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