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Triadas ternas pitagóricas

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  • 1. TRIADAS (TERNAS) PITAGÓRICAS
  • 2.
    • Triadas o Ternas Pitagóricas:
    • Una triada pitagórica (también conocida
    • como terna pitagórica) es una terna de
    • números enteros ( a , b , c ) tales que
    • a ² + b ² = c ² ; es decir, cumplen con el
    • Teorema de Pitágoras, donde “c” es
    • considerada la hipotenusa.
  • 3. “ En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.” c 2 = a 2 + b 2 5 2 = 3 2 + 4 2 25 = 9 + 16 25 = 25 5 3 4 5 4 3 5 5 3 3 4 4 25 16 9 CATETO CATETO HIPOTENUSA
  • 4.
    • BUENO LES PRESENTO DOS MANERAS DE OBTENER TRIADAS PITAG Ó RICAS:
    1. SI PENSAMOS EN UN UNICO NUMERO NATURAL(IN) Y CON É L GENERAMOS LA TRIADA ASÍ: A dicho número natural le asignamos una letra minúscula como por ejemplo la “n”, entonces a la triada la generamos así: a , b , c ; donde a la Triada se la ordena en forma ascendente; además: a = 2n b = n 2 – 1 c = n 2 + 1
  • 5. COMO PRIMER EJEMPLO APLIQUEMOS LOS PASOS DADOS: Pienso en un numero natural cualquiera, por ejemplo el 5, entonces a la letra “n” le asigno ese valor: n=5 , Luego, genero la triada pitagórica así: a , b , c ; a= 2n = 2(5) = 10 b= n 2 – 1 = (5) 2 – 1 = 25 – 1 = 24 c= n 2 + 1 = (5) 2 + 1 = 25 + 1 = 26, Entonces la triada pitagórica es: 10 , 24 , 26
  • 6. Finalmente comprobemos que estos 3 números satisfacen el Teorema de Pitágoras: a=10 , b=24 , c=26 a ² + b ² = c ² (10) ² + (24) ² = (26) ² 100 + 576 = 676 676 = 676 SI CUMPLE CON LA IGUALDAD COMPROBADO!!
  • 7. 2. SI PENSAMOS EN DOS NUMEROS NATURALES(IN) , DEBEN CUMPLIR LOS SIGUIENTES REQUISITOS: A dichos números naturales les asignamos letras minúsculas como por ejemplo la “m” y la “n”, dichas letras deben cumplir : a. m>n (“m” debe ser mayor que “n” ), b. Ambos deben ser números naturales pares o ambos deben ser números naturales impares, es decir deben tener la misma paridad. entonces a la triada la generamos así: a , b , c ; donde a la Triada se la ordena en forma ascendente; además: a = (m 2 – n 2 )/2 b = mn c = (m 2 + n 2 )/2
  • 8. COMO SEGUNDO EJEMPLO APLIQUEMOS LOS PASOS DADOS PARA NUMEROS NATURALES IMPARES: Pienso en dos numero natural cualquiera, por ejemplo el 3 y el 7, entonces a la letra “n” le asignamos el numero 3 y a la “m” su respectivo 7: m=7 ; n=3 , Recuerda que estos dos números naturales deben cumplir determinados requisitos: a. m>n (“7” debe ser mayor que “3” ), SI CUMPLE b. Ambos deben ser números naturales pares o ambos deben ser números naturales impares, es decir deben tener la misma paridad. ( 7 y 3 ambos son impares) SI CUMPLE entonces a la triada la generamos así: a , b , c ;
  • 9. Donde a la Triada se la ordena en forma ascendente; además: a = (m 2 – n 2 )/2 = (7 2 – 3 2 )/2 = (49 – 9)/2 a = (40)/2 = 20 b = mn = (7)(3) = 21 c = (m 2 + n 2 )/2 = (7 2 + 3 2 )/2 = (49 + 9)/2 c = (58)/2 = 29 Así que la triada pitagórica queda de la siguiente manera: 20 , 21 , 29
  • 10. Finalmente comprobemos que estos 3 números satisfacen el Teorema de Pitágoras: a=20 , b=21 , c=29 a ² + b ² = c ² (20) ² + (21) ² = (29) ² 400 + 441 = 841 841 = 841 SI CUMPLE CON LA IGUALDAD COMPROBADO!!
  • 11. COMO PARTE DEL SEGUNDO EJEMPLO APLIQUEMOS LOS PASOS DADOS PARA NUMEROS PARES: Pienso en dos numero natural cualquiera, por ejemplo el 2 y el 6 , entonces a la letra “n” le asignamos el numero 2 y a la “m” su respectivo 6: m=6 ; n=2 , Recuerda que estos dos números naturales deben cumplir determinados requisitos: a. m>n (“6” debe ser mayor que “2” ), SI CUMPLE b. Ambos deben ser números naturales pares o ambos deben ser números naturales impares, es decir deben tener la misma paridad. (6 y 2 ambos son pares) SI CUMPLE entonces a la triada la generamos así: a , b , c ;
  • 12. Donde a la Triada se la ordena en forma ascendente; además: a = (m 2 – n 2 )/2 = (6 2 – 2 2 )/2 = (36 – 4)/2 a = (32)/2 = 16 b = mn = (6)(2) = 12 c = (m 2 + n 2 )/2 = (6 2 + 2 2 )/2 = (36 + 4)/2 c = (40)/2 = 20 Así que la triada pitagórica queda de la siguiente manera: 12 , 16 , 20
  • 13. Finalmente comprobemos que estos 3 números satisfacen el Teorema de Pitágoras: a=12 , b=16 , c=20 a ² + b ² = c ² (12) ² + (16) ² = (20) ² 144 + 256 = 400 400 = 400 SI CUMPLE CON LA IGUALDAD COMPROBADO!! EN ESTE ULTIMO EJEMPLO “a” Y “b” NO GUARDAN UN ORDEN, AQUÍ LO IMPORTANTE ES GENERAR LOS DOS VALORES DE LOS CATETOS.