Máximos y Mínimos de una función de varias variables

  • 2,132 views
Uploaded on

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar …

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables.

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
2,132
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
43
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. UNIVERSIDAD PERUANA UNION FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA EAP Ingeniería de Sistemas TEMA: Máximos y Mínimos de una función de varias variables ALUMNOS: Edwin Roi Casas Huamanta Henry Percy Cabrera Cubas James Padilla Guevara PROFESORA: Lic. Jessica Pérez Rivera CURSO: Cálculo III Tarapoto, Noviembre de 2013 1
  • 2. INDICE INTRODUCION .......................................................................................................................... 3 MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. .. 4 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: ......................................................... 6 MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES ...... 7 SUB-MATRIZ ANGULAR: ............................................................................................ 7 CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS. ................................................................................................ 8 MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES……………….9 METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE………….9 CONDICIONES DE KUHN – TUCKER…………………10 2
  • 3. INTRODUCION Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables. 3
  • 4. I. MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. 1.1. Definición: a. La función f: D⊂R2R definida en un conjunto abierto D ⊂R2, tiene un valor máximo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P(x0 , y0) ε D tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el valor máximo absoluto de f en D. b. La función f: D ⊂R2R definida en un conjunto abierto D ⊂ R2, tiene un valor mínimo absoluto sobre el conjunto D⊂R2, si existe un punto P(x0 , y0) ε D tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0), para todo (x, y) ε D, en este caso f(x0, y0),es el valor mínimo absoluto de f en D. Si la función f: D⊂R2R es continua en un conjunto cerrado D⊂R2 entonces existe al menos un punto P que pertenece a D donde f tiene un valor mínimo absoluto. c. La función f: D ⊂R2R, definida en un conjunto abierto D ⊂Rn tiene un valor mínimo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 ,ε) ⊂ D tal que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 ,ε) ⊂ D. d. La función f:D⊂RnR, definida en un conjunto abierto D⊂Rn, tiene un valor máximo relativo en el punto x0 ε D, si existe una bola abierta B(x0 ,ε) ⊂ D tal que f(x0)≤ que f (x), para todo x que pertenece a B(x0 ,ε) ⊂ D. A los valores máximos y mínimos relativos de la función f:D⊂RnR le llamaremos extremos de la función f. 1.2. Teorema 4
  • 5. Si la función f:D⊂RnR, definida en un conjunto abierto de D⊂Rn tiene un valor extremo en x0ε D y Dk f(x0), existe entoncesDk f(x0) = 0 para todo k=1,2,3,4….n. Si la función f tiene un valor máximo relativo en x0ε D entonces existe un B(x0 ,ε) ⊂ D Tal que f(x0) ≤ que f (x0), para todo xε B(x0 ,ε), luego Donde µk = (0,0,…..,1, o,….) esto es debido a que , para cada x0+ hµk ε B(x0 ,ε) Se tiene esto nos implica que si h > 0 se tiene: ahora si h<0, entonces Como Dk f(x0), existe se tiene que: Dk f(x0), = = = donde Dk f(x0) = 0 Por lo tanto los valores extremos de una función f:D⊂RnR definida en el conjunto D puede ocurrir en puntos donde las primeras derivadas parciales de f son ceros. Definición: Sea la función f:D⊂RnR, definida en un conjunto de abierto D⊂Rn. Los puntos x0 ,ε D, donde todas las derivadas parciales del primer orden de f son ceros o no existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f. Para el caso de las funciones f:D⊂R2R, diremos que los puntos P (a,b) para los cuales , = 0 se dice que son puntos críticos de f. Los puntos críticos juegan un papel muy importante para los máximos y mínimos relativos. 5
  • 6. II. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sea f:D⊂R2R una función definida en el conjunto abierto D de tal manera que las derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la relación abierta. Contienes un punto (a,b) tal que = 0, para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad. ∆= –( )2 i) si ∆>0 y entonces f(a,b)es un valor mínimo relativo. ii) si ∆>0 y , entonces f(a,b)es un valor máximo relativo. iii) si ∆<0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla. iv) si ∆=0, este criterio no da información. En forma práctica se puede recordar la formula ∆ en el criterio de la segunda derivada y que viene lado por el determinante. ∆=| | siendo = 6
  • 7. III. MATRIZ ENECIMA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES 3.1. Forma cuadrática: Si A es una matriz simétrica de orden n, una función cuadrática en Rn,es una función p:RnR, definida por: p(x)=xA.x , donde x=(x1.x2………..xn) ε Rn Observación:se observa que le desarrollo de una forma cuadrática en términos de las variables x, y, z corresponde a un polinomio homogéneo de grado 2, en donde los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos de la diagonal principal de la matriz simétrica. IV. SUB-MATRIZ ANGULAR: Sea A=[aij]nxn una matriz cuadrada de orden n.a11 kjn A= ] A la sub – matriz A1 =[a11], A2 = ………An= A, se denomina sub – matrices angulares de A. 7
  • 8. V. CRITERIOS DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS. Si f:D⊂RnR es una función donde sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en un conjunto abierto D⊂Rny sea x0εRnun punto crítico, es decir D1 f(x0) = 0, D2 f(x0) = 0,………, Dn f(x0) = 0, denotaremos por ∆n el determinante dela matriz hessiana H (f(x0)), es decir. ∆=|H (f(x0))| = | Entonces: i) a x0 corresponde a un mínimo relativo si: ∆1> 0, ∆2> 0,….., ∆n> 0 y cuyo valor mínimo es f(x0). ii) a x0corresponde a un mínimo relativo si: ∆1> 0, ∆2> 0, ∆3> 0, ∆4> 0,…..y cuyo valor máximo es f(x0). VI. MAXIMOS Y MINIMOS SUJETO A RESTRICCIONES (Extremos Condicionados): En los problemas prácticos de máximos y de minimizar una función f donde f(x,y) está sujeta a condiciones específicas o restricciones en las variables, tales restricciones pueden expresarse como igualdades o como desigualdades. Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de igualdad se emplea el método de multiplicadores de Lagrange. 8
  • 9. Para maximizar o minimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción de desigualdades se emplean las condiciones de KUHN – TUCKER, para esto daremos las definiciones siguientes: a) Consideremos una función f:D⊂RnR definida en el conjunto D y sea P(x1,x2,…..xn) ε D, se dice que las variables x1,x2,…..xnsatisfacen n condiciones de enlace, si existen funciones ⱷ ⱷ 1, 2,……ⱷ : R R tal que: m b) Consideremos una función f:D⊂RnR definida en el conjunto abierto D. Diremos que el punto P0 ε D corresponde a un máximo condiciones de f (mínimo condicionado de f) si: f(P) ≤ f(PO) , f(PO) ≤ f(P) para todo P y P0 que cumplen las condiciones de enlace (*). VII. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE: Suponiendo que se desee maximizar o minimizar la función f(x,y) sujeto a la restricción g(x,y)=0, para esto formamos la función objetivo. F(x,y,λ)=f(x,y) -,λ g(x,y) Donde la calidad λ llamado multiplicador de Lagrange es independiente de x e y. Luego se calcula las derivadas parciales para hallar los puntos críticos: 9
  • 10. La resolución de las 3 ecuaciones nos dan loa puntos críticos restringidos los cuales satisfacen a la restricción, los máximos y mínimos se obtienen en forma similar que los máximos y mínimos no restringidos. Si x=a, y=b es un punto crítico y si ∆*= . )2 Si ∆*>0 entonces Si ∆*≤ 0, no se tiene información en (a,b). VIII. CONDICIONES DE KUHN – TUCKER. Las condiciones de KUHN – TUCKER, establece que: un punto (x;y) es un máximo local de f(a,b) cuando g(x,y) ≤ 0, solamente si existe un valor no negativo de que tal y (x,y) satisface las condiciones de KUHN – TUCKER. Estos últimos es suficiente si f(x,y) es cóncava hacia arriba y g(x,y) es cóncava arriba , debido a que un punto máximo de f(x,y)es un punto mínimo de resultados 10
  • 11. también se puede aplicar para minimizar una función cóncava según una restricción también cóncava hacia arriba, para el caso en la que la restricción de la forma g(x,y) entonces g(x,y) debe ser cóncava hacia abajo. EJERCICIOS: 01. Obtener los máximos y mínimos de la función f(x,y)= 3x2+4y2-xy, sujeta a la restricción 2x+ y=21 Solución: Sea F(x,y, ) = f(x,y) – F(x,y, )= 3x2+4y2-xy - , calculando las derivadas Entonces entonces y= Como 2x + y – 21 = 0 entonces 2x + = 21 de donde P(8.5, 4) 11 entonces
  • 12. = (6) (8) – (-1)2 = 47 > 0 y como ∆*= = 6>0 y Entonces (8.5, 4) es un mínimo restringido de f(x,y). 02. El costo de producción C, es una función de las cantidades producidas x e y de dos tipos de artículos, esta dado por C=6x2 + 3y2 para minimizar tal costo ¿Qué cantidad de cada uno de los dos artículos debe producirse si: x + y Solución: Aplicando KUHN – TUCKER, con g(x,y) = x + y – 18 Entonces – – I =0 entonces x=y=0 donde el punto P(0,0) no satisface la condición de KUHN – TUCKER, 0 + 0 – 18 ≠0 por lo tanto el punto P (0,0) no es óptimo. – Entonces – Entonces x= 6 , y= 12 Como el punto P(6,12) satisface la condición KUHN – TUCKER 6 +12 – 18 = 0 entonces el punto P(6,12) es optimo . 12
  • 13. Como f(x,y)=6x2 + 3y2 es cóncava hacia arriba, luego el punto P(6,12) se tiene un mínimo en la producción que se encuentra bajo la retención X +Y – 18 . 13
  • 14. CONCLUSIONES Con este material hemos pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos variables reales y que tienen que ver con la determinación de puntos de extremo local se pueden extender a mayor número de variables. Por otro lado mediante los valores máximos y mínimos logramos saber la altura, medida, valores al momento de trazar la curva de una función; se ha aprendido a aplicar matriz hessiana, lo cual es de gran provecho porque así se determina una parte muy importante del comportamiento de una función, tal como lo es el punto de los máximos y mínimos. Se ha visto que estos procesos son sencillos y solamente se necesita plantear correctamente la matriz hessiana y luego simplemente se resuelve la matriz que se tiene por el método que ya se conoce de la determinante de una matriz cuadrada. 14
  • 15. BIBLIOGRAFIA Espinoza Ramos, Eduardo, Análisis Matemático IV. http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/apuntes/antigu/varias.pdf http://www.damasorojas.com.ve/OPTIMD.pdf 15