MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
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MéTodo De IteracióN De Punto Fijo MéTodo De IteracióN De Punto Fijo Document Transcript

  • MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x). Definición: Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo? Teorema de punto fijo: Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración: El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia. La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de la iteración de punto fijo es considerar la derivada de g en la solución x*. Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir, existe un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo es convergente si comienza dentro del intervalo. Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p
  • de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p. El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión <Xn> converge siempre y cuando |g’(x) <1|. Ejemplo Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación X3+4X2-10=0 dentro del intervalo[1,2]. Lo primero es buscar una función g(x) adecuada x3+4X2-10=0 x2(x+4)=10 ( ) x=± Y claramente elegimos como función iteradora a g(x)= ± ( ) además observe que √10 ( ) = ≤ (2) < 1 2( + 4) / ′ Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente. La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos. 1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2. 2. En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: =raiz(10/(A5+4)) 3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones. En la figura 10 se muestran los resultados generados por este método.
  • Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil. Algoritmo Punto Fijo: View slide
  • Implementación en matlab function p=pfijo(fun,p0,tol,maxiter) % Aproxima por el método del punto fijo una raiz de la ecuacion fun(x)=x %cercana p0, tomando como criterio de parada abs(fun(x)-x)<tol o la cota sobre % el numero de iteraciones dada por maxiter. % % Variables de entrada: % fun(x): funcion a iterar, se debe introducir con notación simbolica (eg. 'g') % x0: estimación inicial para el proceso de iteración % tol: tolerancia en error absoluto para la raiz % maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas % % Variables de salida: % p: valor aproximado de la raiz p(1)=p0; for n=2:maxiter; p(n)=feval(fun,p(n-1)); err=abs(p(n)-p(n-1)); if err<tol break; end disp(['n=',num2str(n)]); disp(['f(x)=',num2str(p(n))]); disp(['abs(f(x)-x)=',num2str(err)]); end if n==maxiter disp('se ha excedido el número de iteraciones') end p' Ejemplo 1 ( ) = cos − Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%. Solución Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz. = ( ) = cos 0 = 1 Aplicando la fórmula iterativa tenemos, View slide
  • Con un error aproximado de 100% = ( ) = cos 1 = 0.540302305 Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos, Y un error aproximado de 85.08%. Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es: = 0.7414250866 Con un error aproximado igual al 0.78%. Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, ( ) = Ejemplo 2 −5 − comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%. Solución Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a = de donde ( )= En este caso, tenemos que ′( ) = . Un vistazo a la gráfica Nos convence que |g’(x)|<1, para, ∈ [−1,1] lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada. x∈[-1,1] = ( ) = −0.2 Aplicando la fórmula iterativa, tenemos: Con un error aproximado del 100%.
  • = ( ) = 0.1557461506 Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos: Con un error aproximado igual al 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: De donde vemos que la aproximación buscada es: = −0,164410064