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Cours rep etat
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Cours rep etat

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  • 1. Cours de syst`mes asservis. e ´ ´ REPRESENTATION D’ETAT J.P. CHEMLA Abstract Ce chapitre pr´sente un autre aspect des asservissements. Ici, la e description du syst`me a asservir est bas´e sur un syst`me d’´quations e ` e e e diff´rentielles lin´aires du premier ordre. L’int´rˆt de ce type de reprsene e e e tations vient, d’une part, que tout syst`me lin´aire d’ordre quelconque e e peut se ramener a un tel syst`me d’´quations diff´rentielles et, d’autre ` e e e part, que l’on sait r´soudre directement ces syst`mes (sans passer par e e la transform´e de Laplace). De plus, les r´sultats pr´sent´s ici sont e e e e directement appliquables aux syst`mes multivariables. e 1 INTRODUCTION 1.1 Exemple On consid`re le syst`me pr´sent´ en figure 1 : Les variables d’entr´es (cad e e e e e de commande) sont e1 et e2. La sortie est la tension S aux bornes de L 1 . Soit U le vecteur contenant ces deux variables. e1 e2 U= . Les ´quations de ce syst`me sont : e e e1 = R1 .i1 + L1 . e2 = L 2 . di2 +V dt 1 di1 +V dt
  • 2. S i1 L1 R1 e1 L2 i2 C V e2 Figure 1: Circuit ´lectrique e dV dt 1 .(i1 + i2 ) C di1 S = L1 . dt = A un instant donn´ t, on peut consid´rer que le syst`me se trouve dans e e e un certain ”´tat” d´fini par les valeurs prises par i 1 , i2 et V . Soit X le e e vecteur T T . X = x1 x2 x3 = i1 i2 V On appelle ce vecteur l’´tat du syst`me. Toutes les ´quations d’´volution e e e e de ce syst`me peuvent s’´crire en fonction des entr´es et de x 1 , x2 et x3 et e e e de leurs d´riv´es : e e R 1 1 .x1 − .x3 + .e1 L1 L1 L1 1 1 = − .x3 + .e2 L2 L2 1 1 = .x1 + .x2 C C x1 = − ˙ x2 ˙ x3 ˙ Ce qui peut s’´crire : e  −R  L1 ˙ X = 0 1 C 0 0 1 C   1 1 − L1   L1 1 − L2  .X +  0 0 0 0 1 L2 0    .U Autrement dit, en appelant A la premi`re matrice et B la deuxi`me : e e ˙ X = A.X + B.U 2
  • 3. D U B X + X 1 p + C + Y + A Figure 2: sh´ma bloc g´n´ral e e e On peut exprimer la sortie Y par une ´quation du type : e Y = C.X + D.U o` Y est le vecteur des sorties (ici de dimension 1 car on a une seule sortie). u Ici, Y = [S] avec S = e1 − R.i1 − V . D’o` : u S= 1.2 −R 0 −1 .X + 1 0 .U G´n´ralisation e e Un syst`me lin´aire continu est d´crit par des ´quations d’´tat de type : e e e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X + D.U o` : u U est le vecteur des commandes ou des entr´es. e X est le vecteur d’´tat. e Y est le vecteur des sorties. A est la matrice d’´volution du syst`me. e e B est la matrice d’application de la commande. C est la matrice d’observation. D est la matrice de transmission directe. Dim(U ) = m, Dim(X) = n, Dim(Y ) = p, Dim(A) = (n × n), Dim(B) = (n × m), Dim(C) = (p × n), Dim(D) = (p × m), Ces ´quations peuvent se repr´senter par le sh´ma bloc g´n´ral de la e e e e e figure 2, 1/p ´tant l’op´rateur d’int´gration dans le domaine de Laplace. e e e En g´n´ral, D est nulle. L’´tat est la sortie des int´grateurs. A, B, C et e e e e D sont des matrices constantes 3
  • 4. Definition 1.1 L’´tat d’un syst`me est l’ensemble minimum de variables e e qui contient l’information suffisante sur l’histoire du syst`me pour permee ttre de calculer tous les ´tats futurs. On suppose connu le mod`le et les e e entr´es. Pour un syst`me m´canique, l’´tat peut ˆtre l’ensemble des posie e e e e tions et vitesses relatives a chaque degr´ de libert´ (ou toute combinaison ` e e ´quivalente). Pour un r´seau ´lectrique, l’´tat peut ˆtre d´fini par le courant e e e e e e dans chaque inductance et la tension aux bornes de chaque capacit´ (ou toute e combinaison ´quivalente). e 2 DIVERSES REPRESENTATIONS D’ETAT Pour un syst`me donn´, il existe plusieurs repr´sentations d’´tat possibles. e e e e Nous verrons au paragraphe 2.1 que l’on peut passer d’une repr´sentation a e ` une autre par l’´quivalent d’un changement de base. Nous verrons ensuite e plusieurs formes de repr´sentation particuli`res. e e 2.1 Multiplicit´ de la repr´sentation e e Si x est l’´tat d’un syst`me, toute bijection X < − > ζ d´finit des ´quations e e e e d’´tat ´quivalentes. e e Soit T une matrice inversible, et soit ζ(t) = T.X(t). On a : ˙ ζ = T.A.T −1 .ζ + [T.B] .U y = C.T −1 .ζ + [D] .U ce qui d´finit bien une nouvelle repr´sentation d’´tat. e e e 2.2 Repr´sentation par des variables physiques e L’´tat du syst`me peut ˆtre compos´ de variables physiques. Prenons l’exemple e e e e du syst`me ´lectro-m´canique de la figure 3 e e e La variable d’entr´e est u, la variable de sortie est θ. Les ´quations du e e syst`me sont : e dθ di + k. dt dt 2θ d dθ k.i = J. 2 + φ. dt dt K.u = R.i + L. 4
  • 5. K i   φ J k θ ¡ V     u   L R ¡ £ £ ¢ ¢ Figure 3: Un moteur et son alimentation En suivant ce qui est dit dans la d´finition de l’´tat au chapitre pr´c´dent, e e e e nous choisissons, pour repr´senter l’´tat du syst`me, les variables : e e e • position : x1 = θ • vitesse : x2 = dθ dt • courant : x3 = i. Ce qui donne les ´quations d’´tat suivantes : e e x1 = x2 ˙ k φ x2 = − .x2 + .x3 ˙ J J k R K x3 = − .x2 − .x3 + .u ˙ L L L y = θ Ces ´quations peuvent se mettre sous la forme : e  0 1  φ ˙ X =  0 −J k 0 −L Y 2.3 = 1 0 0 0 k J −R L .X    0     .X +  0  .U K L Variables de phase 1er cas : les d´riv´es de l’entr´e n’interviennent pas e e e On consid`re le syst`me d´crit par e e e dn−1 y dn y + an . n−1 + · · · + a1 .y = K.e(t) dtn dt 5
  • 6. o` y est la sortie et e l’entr´e. On choisit de repr´senter l’´tat du syt`me u e e e e par des variables de phase :    X =    y dy dt . . . dn−1 y dtn−1      =     x1 x2 . . . xn       Les ´quations d’´tat s’´crivent alors : e e e x1 = x2 ˙ x2 = x3 ˙ ··· = ··· xn−1 = xn ˙ xn = −a1 .x1 − a2 .x2 − · · · − an .xn + K.e ˙ y = x1 Ce qui donne, sous forme matricielle :     ˙ X =   et Y = 0 1 ··· 0 0 1 ··· ··· ··· 0 0 0 −a1 −a2 −a3 1 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 · · · −an   0 0 . . .       .X +        0 K      .U    .X. Les matrices A, B et C ont des structures remarquables. La matrice A est appel´e matrice compagne (ou bloc compagnon). Le calcul de la fonction e de transfert donne : K Y (p) = n n−1 + · · · + a .p + a E(p) p + an .p 2 1 2eme cas : les d´riv´es de l’entr´e interviennent e e e Le syst`me est alors d´crit par (m < n) : e e dn y dn−1 y de dm e + an . n−1 + · · · + a1 .y = K e + b1 . + · · · + bm . m dtn dt dt dt 6
  • 7. La fonction de transfert de ce syst`me est : e Y (p) K. (1 + b1 p + · · · + bm pm ) = n E(p) p + an .pn−1 + · · · + a2 .p + a1 Pour se ramener a des probl`mes connus, on consid`re une variable interne ` e e X(p) telle que : Y (p) X(p) Y (p) = . E(p) X(p) E(p) avec X(p) E(p) Y (p) X(p) = pn + an .pn−1 K + · · · + a2 .p + a1 = 1 + b 1 p + · · · + b m pm (1) (2) L’´quation (1) nous ram`ne au probl`me pr´c´dent. L’´quation (2) est e e e e e e ´quivalente a : e ` Y (t) = X(t) + b1 . dm X dX + · · · + bm . m dt dt Par rapport au premier, ce deuxi`me cas diff`re par l’ ´quation suivante : e e e Y = 2.4 1 b 1 b2 · · · b m 0 · · · 0 .X Variables canoniques On utilise ce type de repr´sentation lorsque le syst`me a une entr´e e(t) e e e et une sortie y(t) et qu’il peut ˆtre d´crit par une fonction de transfert e e rationnelle strictement propre et a pˆles distincts. ` o (b0 + b1 p + · · · + bm pm ) Y (p) = K. E(p) (p − λ1 ).(p − λ2 ) · · · (p − λn ) avec comme hypoth`se : ∀i = j, on a λi = λj . e On peut alors d´composer en ´l´ments simples la fonction rationnelle e ee pr´c´dente : e e c2 cn Y (p) c1 + + ··· + (3) = E(p) p − λ1 p − λ2 p − λn o` les ci sont les coefficients de la d´composition. u e On pose : 1 Xi = p − λi E 7 (4)
  • 8. 1 p - λ1 e x1 c 1 + 1 p - λ2 x2 c 2 + y + xn 1 p - λn + c n Figure 4: sh´ma bloc de la forme modale e Si Xi = T L(xi ) et E = T L(e), l’´quation (4) peut s’´crire : e e xi = λi .xi + e ˙ L’´quation (3) devient : e n y= ci .xi i=1 Ceci nous ram`ne a une repr´sentation d’´tat de la forme : e ` e e  λ1   0  ˙ X = .  .  . 0 Y = 0 ··· 0 . . λ2 . . . . . .. .. . . . . · · · · · · λn          .X +      c1 c2 · · · c n 1 . . . . . . 1      .U   .X On dit que ces repr´sentations ont une forme modale. Le sh´ma bloc e e ´quivalent est en figure 4 e 3 ´ ` REPONSE D’UN SYTEME Dans ce chapitre, nous cherchons a connaˆ la ou les sorties y i (t) (vecteur ` ıtre Y ), connaissant les entr´es ei (t) (vecteur U ) et l’´tat du syst`me a l’instant e e e ` 8
  • 9. initial (X(0)). Il est clair que nous aurons ´galement a calculer X(t). Les e ` deux premi`res parties de ce chapitre permettent de poser le probl`me de la e e r´solution des ´quations diff´rentielles. La troisi`me partie montre quelques e e e e propri´t´s de la matrice de transition, ce qui nous permettra, dans la quaee tri`me partie d’aborder le calcul proprement dit. e 3.1 Cas scalaire Soit un syst`me d´crit par : e e x = a.x + b.u ˙ y = c.x o` , a, b, c, x et y sont des scalaires. Dans un premier temps, on consid`re ce u e syst`me autonome (u(t) = 0). L’´quation d’´volution de x devient : x = a.x. e e e ˙ La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : e e p.X(p) − x(0) = a.X(p) x(0) (p − a) X(p) = En prenant la transform´e inverse : e x(t) = eat .x(0) Dans le cas, plus g´n´ral, du r´gime forc´ (u = 0), l’´quation d’´volution de e e e e e e x est : x = a.x + b.u. La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : ˙ e e p.X(p) − x(0) = a.X(p) + b.U (p) X(p) = 1 x(0) + .b.U (p) (p − a) (p − a) En prenant la transform´e inverse : e t x(t) = eat .x(0) + ea(t−τ ) .b.u(τ ).dτ 0 Le premier membre de cette ´quation correspond au r´gime libre, le deuxi`me, e e e au r´gime forc´. e e 9
  • 10. 3.2 Cas g´n´ral e e Notre syst`me est d´crit par les ´quations : e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X Dans un premier temps, on consid`re le syst`me autonome (U = 0). L’´quation e e e ˙ = A.X. La transform´e de Laplace de d’´volution de l’´tat X devient : X e e e cette ´quation donne : e p.X(p) − X(0) = A.X(p) remarque : Ici X(p) repr´sente le vecteur des TL. des x i . e X(p) = (pI − A)−1 .X(0) Par d´finition, on appelle la matrice e eAt = T L−1 (pI − A)−1 la matrice de transition du syst`me. La notation e At rappelle le cas scalaire (eat ). e La transform´e de Laplace inverse de l’´quation pr´c´dente est : e e e e X(t) = eAt .X(0) Dans le cas du r´gime forc´, l’´quation d’´volution de X est : e e e e ˙ X = A.X + B.U . La transform´e de Laplace de cette ´quation donne : e e p.X(p) − X(0) = A.X(p) + B.U (p) X(p) = (pI − A)−1 .X(0) + (pI − A)−1 .B.U (p) En prenant la transform´e inverse : e t X(t) = eAt .X(0) + eA(t−τ ) .B.U (τ ).dτ 0 Le premier membre de cette ´qution correspond au r´gime libre, le deuxi`me, e e e au r´gime forc´. e e Cette ´quation montre que si l’on sait calculer e At , on aura X(t) donc e Y (t). Avant de passer au calcul proprement dit de e At , on va en voir quelques unes de ses propri´t´s. ee 10
  • 11. 3.3 Propri´t´s de la matrice de transition e e La matrice de transition φ(t) = eAt est solution du syst`me autonome : e ˙ X = A.X (5) On peut d´finir, comme dans la partie pr´c´dente, que : φ(t) = T L −1 (pI − A)−1 . e e e Cependant, une seconde d´finition, qui nous aidera a calculer φ(t), est pose ` sible. Pour cela, on recherche une solution de l’´quation (5) sous la forme e suivante : X(t) = A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · · o` les A0 , A1 , · · · sont inconnus. L’´quation (5) devient : u e ˙ X = A1 +2.A2 .t+3.A3 .t2 +· · ·+n.An .tn−1 +· · · = A. A0 + A1 .t + A2 .t2 + · · · + An .tn + · · · Ce qui implique, en notant que A0 = X(0), que : φ(t) = I + A.t + An n A2 2 .t + · · · + .t + · · · 2! n! Voici quelques propri´t´s ´l´mentaires de cette matrice : e e ee • eAt • • deAt dt t=0 =I = A.eAt t Aτ 0 e dτ = A−1 . eAt − I • eAt1 .eAt2 = eA(t1 +t2 ) • eAt • eAt −1 n = e−At = enAt Toutes ces propri´t´s justifient la notation e At . ee 3.4 Quelques m´thodes de calcul e Il nous reste, pour connaˆ Y (t) donc X(t), le calcul de e At . Nous voyons ıtre ici deux m´thodes pour ce calcul. e 11
  • 12. 3.4.1 Par transformation de Laplace inverse On peut utiliser la premi`re d´finition de la matrice de transition : e e φ(t) = T L−1 (pI − A)−1 Exemple 3.1. Soit : ˙ X= −5 −1 6 0 .X On va chercher a calculer φ(t). ` (pI − A) (pI − A)−1 = −1 −1 p+5 1 −6 p = 1 . (p + 3)(p + 2) p −1 6 p+5 En formant la transform´e inverse, on trouve : e φ(t) = 3.4.2 −2e−2t + 3e−3t −e−2t + e−3t 6e−2t − 6e−3t 3e−2t − 2e−3t Par l’utilisation du th´or`me de Caley-Hamilton e e RAPPELS On consid`re une matrice A carr´e et λ une valeur propre de A. λ est e e solution de l’´quation caract´ristique : e e P (λ) = det[λ.I − A] = 0 Th´or`me 3.1 A v´rifie son ´quation caract´ristique : P (A) = 0. e e e e e Exemple 3.2. Soit : A= 2 1 −1 3 On forme l’´quation caract´ristique det[λ.I − A] = 0 c’est a dire : e e ` λ − 2 −1 1 λ−3 12 =0
  • 13. λ2 − 5λ + 7 = 0 Le th´or`me de C.H. permet d’´crire : e e e A2 = 5A − 7I Ceci se g´n´ralise en : ∀k > 2, Ak = f (A). e e Et comme φ(t) = I + A.t + An n A2 2 .t + · · · + .t + · · · 2! n! avec le th´or`me de C.H., on peut r´´crire φ(t) ainsi : e e ee φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A + α2 (t).A2 + · · · + αn−1 (t).An−1 . (6) o` n est la dimension de la matrice carr´e A. u e Proposition 3.1 Si A a n valeurs propres non nulles distinctes : λ 1 , λ2 , · · · , λn , les coefficients α0 (t), α1 (t), · · · , αn−1 (t) de l’´quation (6) sont solution du e syst`me form´ par les ´quations : e e e n−1 eλi t = α0 (t) + α1 (t).λi + α2 (t).λ2 + · · · + αn−1 (t).λi i Exemple 3.3. ∀i ∈ {1, · · · , n} On reprend l’exemple 3.1. A= −5 −1 6 0 Les valeurs propres de cette matrice sont : λ 1 = −2 et λ2 = −3. D’apr`s la e proposition pr´c´dente, on sait que : e e φ(t) = α0 (t).I + α1 (t).A o` α0 (t) et α1 (t) sont solution de : u e−2t = α0 (t) + α1 (t).(−2) e−3t = α0 (t) + α1 (t).(−3) Ce qui donne : α0 (t) = 3e−2t − 2e−3t α1 (t) = e−2t − e−3t Le calcul de φ(t) donne le mˆme r´sultat que dans l’exemple 3.1. e e 13
  • 14. Remarque. Si A est diagonalisable, on peut trouver une matrice T inversible telle que : T −1 .A.T = ∆ = diag(λi ). Or e∆t est facile a calculer. Il ne reste plus alors qu’` former : ` a eAt = T.e∆t .T −1 . Remarque a propos de la stabilit´ : ` e ˙ Definition 3.1 Un syst`me lin´aire X = A.X + B.U est stable si et seulee e At = 0. ment si limt−>inf e Une condition n´cessaire et suffisante pour qu’un syst`me soit stable e e est : Toutes les valeurs propres de A (qui sont les racines du polynˆme o caract´ristique a(p) = det[pi − A]) sont a partie r´elle strictement n´gative. e ` e e 4 ´ ´ RELATION ENTRE EQUATION D’ETAT ET MATRICE DE TRANSFERT Soit un syst`me d´crit par les ´quations d’´tat : e e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X + D.U (7) On veut calculer la matrice de transfert (une matrice contenant les fonctions de transfert entre les variables d’entr´es et celles de sortie), qui est, e par d´finition : e Y (p) M (p) = U (p) On suppose que X(0) = 0. On prend la TL des ´quations d’´tats (7) : e e (pI − A).X(p) = B.U (p) Y (p) = C.X(p) + D.U (p) d’o` : u M (p) = C.(pI − A)−1 .B + D 14
  • 15. Exemple 4.1. Soit le syst`me d´crit par : e e ˙ X= −2 1 0 −3 Y = 1 0 1 2 .X + .U .X Dans ce cas, l’entr´e et la sortie du syst`me sont des scalaires. Le calcul de e e la matrice de transfert va en fait donner la fonction de transfert : M (p) = Y (p)/U (p) pI − A = (pI − A)−1 = p + 2 −1 0 p+3 1 . (p + 2)(p + 3) D’o` : u M (p) = p+3 1 0 p+2 p+5 (p + 2)(p + 3) Remarque. La matrice de transfert est invariante pour tout changement de la description d’´tat (en particulier, dans le cas d’un changement de base). e 5 NOTION SUR LA COMMANDE PAR RETOUR ´ D’ETAT 5.1 Notions g´n´rales e e On consid`re un syst`me d´crit par : e e e ˙ X = A.X + B.U Y = C.X On peut appliquer une commande par retour d’´tat : e U Commande = R Consigne 15 − G Correcteur .X
  • 16. G R - U X B + + X 1 p Y C + A procédé Figure 5: sh´ma bloc d’une commande par retour d’´tat e e En boucle ferm´e, l’entr´e est remplac´e par une commande calcul´e en e e e e fonction de la consigne et de l’´tat courant (voir figure 5). on obtient : e ˙ X = (A − B.G).X + B.R Y = C.X On note AF = A − B.G la matrice d’´volution du syst`me en boucle ferm´e. e e e Si le syst`me est de dimention n, alors e G= . g1 g2 · · · g n Avec la matrice G, on peut r´gler les valeurs propres de A F . Le sch´ma-bloc e e repr´sentant le principe de cette commande est en figure 5. e 5.2 Notion sur la commande par placement de pˆles o Soit le syst`me d´crit en B.O. par variables de phase (autrement appel´e e e e forme commandable) suivante :    ˙ = X    0 1 0 0 0 1 ··· ··· ··· 0 0 0 −a1 −a2 −a3 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 · · · −an et Y = b1 b2 · · · bn .X La fonction de transfert en B.O. est : T (p) =          .X +       0 b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1 a1 + a2 .p + · · · + an .pn−1 + pn 16 0 0 . . . 1      .U   
  • 17. En boucle ferm´e, le calcul de la matrice d’´volution du syst`me donne : e e e  AF     =    0 1 0 0 0 1 ··· .. . .. . 0 ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· 1 −a1 − g1 −a2 − g2 −a3 − g3 · · · −an − gn La fonction de tranfert en B.F. est : H(p) =  0         b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bn pn−1 (a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn Cette m´thode de commande permet de modifier toutes les valeurs proe pres en B.F., par contre, le num´rateur reste inchang´. On ne peut donc e e pas modifier les z´ros du proc´d´. e e e M´thode de placement des pˆles : On commence par former l’´quation e o e caract´ristique en B.F., puis on l’´gale au d´nominateur voulu : e e e n (a1 + g1 ) + (a2 + g2 ).p + · · · + (an + gn ).pn−1 + pn = (p − λi ) i=1 On se donne les λi (pˆles souhait´s), les ai sont donn´s par le syst`me, il o e e e faut calculer les gi . Exemple 5.1. B.O. est : On consid`re le syst`me dont la fonction de transfert en e e T (p) = 1 p3 + 4p2 + 3p + 2 1. Donner la repr´sentation d’´tat par variables de phase e e 2. D´terminer la matrice de retour d’´tat pour obtenir les valeurs propres e e suivantes : λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3. ´ REPONSES 1.     0 1 0 0    ˙ = 0 X  0 1  .X +  0  .U −2 −3 −4 1 Y = 1 0 0 .X 17
  • 18. 2. 3 (p − λi ) = p3 + 6p2 + 11p + 6 i=1 En identifiant, on trouve : g1 = 4, g2 = 8, g3 = 2. FIN A Ce document a ´t´ r´alis´ avec LTEXsur Macintosh. e e e e 18