Vaihtosähköpiirien perusteet

16,706 views
16,316 views

Published on

Metropolia amk:n kevään 2011 kalvot kurssilta "Vaihtosähköpiirien perusteet".

Published in: Education
1 Comment
6 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
16,706
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
40
Actions
Shares
0
Downloads
174
Comments
1
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Vaihtosähköpiirien perusteet

  1. 1. TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) AS10 & AS07 Vesa Linja-aho 22. elokuuta 2014 AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 1 / 155
  2. 2. 1 1. tunti 2 2. tunti 3 3. tunti 4 4. tunti 5 5. tunti 6 6. tunti 7 7. tunti 8 8. tunti 9 9. tunti 10 10. tunti 11 11. tunti 12 12. tunti AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 2 / 155
  3. 3. 1. tunti Kurssin perustiedot Opettaja: DI Vesa Linja-aho, etunimi.sukunimi@metropolia.fi Tunnit ma klo 8.00-10.45 (3 h) ja to 12.00-13.45 (2 h), luokka P113. Suorittaminen: Kotitehtävät ja tentti. Tentti on ma 7.3.2011 klo 8.00-11.00. Oppikirja: Kimmo Silvonen: Sähkötekniikka ja piiriteoria (uudempi) tai Sähkötekniikka ja elektroniikka (vanhempi). Kaikista muutoksista tiedotetaan Tuubi-portaalissa! AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 3 / 155
  4. 4. 1. tunti Kurssi on jatkoa Tasasähköpiirit-kurssille Tämä kurssi jatkaa siitä, mihin Tasasähköpiirit-kurssi jäi. Tärkeää! Käytännön maailmassa puhdas tasajännite on hyvin harvinainen — siksi pitää opiskella myös vaihtosähkötekniikka ja muutosilmiöiden käsittely. Tasasähköpiirikurssin kokemusten perusteella tällä kurssilla otetaan käyttöön kotitehtävät, joista saa lisäpisteitä tenttiin. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 4 / 155
  5. 5. 1. tunti Kotitehtävät Kurssilla on ainakin 20 kotitehtävää (10 kertaa 2 tehtävää – joskus yksi tehtävä voi olla kahden pisteen arvoinen). Jokaisesta kotitehtävästä saa 0, 0,5 tai 1 pistettä. Jotta kurssista pääsee läpi, on saatava vähintään 7 pistettä. Seitsemän yli menevät pisteet hyvitetään tenttipisteiksi kertoimella 0,5. Tentissä on viisi tehtävää á 6 pistettä. Tentti on läpi, jos saa 15 pistettä. Muut arvosanarajat ovat liukuvia. Esimerkki Opiskelijalla on kotitehtävistä 15 pistettä. Hän saa tentistä 11 pistettä. Tentti menee kuitenkin läpi, koska kotitehtäväpisteet huomioon ottaen (15 − 7) · 0,5 + 11 = 15 pistettä. Tosin on melko harvinaista, että henkilö, joka on saanut 15/20 kotitehtävistä, saa tentistä vain 11 pistettä. . . AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 5 / 155
  6. 6. 1. tunti Kurssin oppimistavoitteet Opinto-oppaasta: Tavoitteet Vaihtosähköpiirien peruslaskutavat ja siirtofunktioitten määräämisen tavat. Kyky lukea piirikaavioita ja kyky analysoida niitä myös vaihtosähkön vaikuttaessa. Sisältö Sinimuotoinen jännite ja virta. Yksinkertaisten jatkuvuustilassa toimivien lineaaristen vaihtosähköpiirien analysointi sekä muutosilmiöitten että siirtofunktion laskeminen virtapiireissä. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 6 / 155
  7. 7. 1. tunti Kurssin aikataulu Tunneilla käsitellään seuraavat asiat 1 Kertaus (tasasähköpiirien analysoinnin mieleenpalautus). 2 Sinimuotoinen vaihtojännite. Kondensaattori ja reaktanssi. Tehollisarvo. 3 Kela. Johdatus kompleksilukuihin ja osoitinlaskentaan. 4 Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla. 5 Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla. 6 Vaihtosähköteho. 7 Loistehokompensointi ja tehosovitus. 8 Usean taajuuden käsittely virtapiirissä. 9 Siirtofunktiot. Taajuusvaste. 10 Muutosilmiöiden käsittely differentiaaliyhtälöillä. 11 Laplace-muunnos ja differentiaaliyhtälöt. 12 Osoitinlaskennan ja Laplace-muunnoksen yhteys. Fourier’n teoreema. 13 Kertaus. 14 Kertaus. 15 Tentti. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 7 / 155
  8. 8. 1. tunti Kirjan kappaleet Tunti Sähkö&ele1 Sähkö&piiriteoria2 1. Kertaus 1. luku 1. luku 2. Vaihtojännite, kondensaattori 4.1, 4.2.4 4.1, 4.2.6 3. Kela. Kompleksiluvut. 4.2.1–4.2.4 4.2.1–4.2.6 4. Osoitinlaskenta. 4.2 4.2 5. Osoitinlaskenta jatkuu. 4.2 4.2 6. Vaihtosähköteho. 4.4.1–4.4.2 4.3.1–4.3.2 7. Tehokomp. ja -sovitus. 4.4.3–4.4.4 4.3.3–4.3.5 8. Useat taajuudet. 4.2.7 4.2.9 9. Siirtofunktiot. 1.4.5,13.1.1–13.1.3 1.4.5, —3 10. Muutosilmiöt. 2.2.1, 2.3.1, 3.1.1–3.1.8 2.6.1, 2.9.3, 3.1.1–3.1.8 11. Laplace-muunnos. 3.2 3.2 12. Fourier’n teoreema. 3.3 3.3 1 Silvonen: Sähkötekniikka ja elektroniikka (4. tai 5. painos) 2 Silvonen: Sähkötekniikka ja piiriteoria (1. painos) 3 Suodattimia koskeva osuus on siirretty kirjaan "elektroniikka ja puolijohdekomponentit." AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 8 / 155
  9. 9. 1. tunti Tämä kurssi ei ole matematiikan kurssi! Kurssilla opiskellaan kompleksilukuja, differentiaaliyhtälöitä ja Laplace-muunnosta vain sen verran, että yksinkertaisten virtapiirien laskeminen on mahdollista. Syvälliset matemaattiset perustelut sivuutetaan. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 9 / 155
  10. 10. 1. tunti Opiskelusta 1 op ≈ 26,7 tuntia työtä. 3 op = 80 tuntia työtä. Tästä lähiopetusta on 39 tuntia. Eli opiskelua oletetaan tapahtuvan myös omalla ajalla! Luentokalvoja ei ole suunniteltu itseopiskelumateriaaliksi. Oppikirja on sitä varten. Jos tunneilla edetään liian nopeasti tai liian hitaasti, sanokaa siitä (joko tunnilla tai kahden kesken [esim. sähköpostitse])! Kyselkää paljon, myös tyhmiä kysymyksiä. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 10 / 155
  11. 11. 1. tunti Kohta mennään itse asiaan Kysymyksiä? Nyt ensimmäisellä tunnilla kerrataan vähän tasasähköpiirikurssin asioita. AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 11 / 155
  12. 12. 1. tunti Sähkövirta Sähkövirta on varauksenkuljettajien liikettä. Yksikkö on ampeeri (A). Suureen lyhenne on I. Sähkövirtaa voidaan verrata letkussa kulkevaan veteen. Virta kiertää aina jossain silmukassa (se ei puristu kasaan eikä häviä olemattomiin). Virtapiirissä virta merkitään nuolella johtimeen: I = 2 mA - AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 12 / 155
  13. 13. 1. tunti Kirchhoffin virtalaki Kuten edellä todettiin, sähkövirta ei häviä mihinkään. Kirchhoffin virtalaki (myös: Kirchhoffin ensimmäinen laki) Virtapiirin jollekin alueelle tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin sieltä lähtevien virtojen summa. I1 = 3 mA - I2 = 2 mA - I3 = 1 mA 6 Piirsitpä ympyrän mihin tahansa kohtaan piiriä, ympyrän sisään menee yhtä paljon virtaa kuin mitä tulee sieltä ulos! AS10 & AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 13 / 155
  14. 14. 1. tunti Jännite Jännite on kahden pisteen välinen potentiaaliero. Suureen lyhenne on U. Virtapiirianalyysissä ei oteta kantaa siihen, miten potentiaaliero on luotu. Jännitteen yksikkö on voltti (V). Jännitettä voi verrata paine-eroon putkessa tai korkeuseroon. Jännitettä merkitään pisteiden välille piirretyllä nuolella. + − 12 V U = 12 V c AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 14 / 155
  15. 15. 1. tunti Kirchhoffin jännitelaki Kahden pisteen välillä vaikuttaa sama jännite tarkastelureitistä riippumatta. Tämä on helpoin hahmottaa rinnastamalla jännite korkeuseroihin. Kirchhoffin jännitelaki (myös: Kirchhoffin toinen laki) Silmukan jännitteiden summa on etumerkit huomioon ottaen nolla. − + 1,5 V − + 1,5 V − + 1,5 V 4,5 V'r r AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 15 / 155
  16. 16. 1. tunti Ohmin laki Mitä suurempi virta, sitä suurempi jännite – ja päinvastoin. Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirran kulkua. Resistanssi on jännitteen ja virran suhde. Resistanssin tunnus on R ja yksikkö ohmi ( Ω). U = RI R U E I - AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 16 / 155
  17. 17. 1. tunti Kerrostamismenetelmä Vastuksista ja vakioarvoisista virta- ja jännitelähteistä koostuva piiri on lineaarinen. Jos piiri on lineaarinen, voidaan vastusten jännitteet ja virrat selvittää laskemalla kunkin lähteen vaikutus erikseen. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan kerrostamismenetelmäksi. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 17 / 155
  18. 18. 1. tunti Kerrostamismenetelmä Kerrostamismenetelmää sovelletaan seuraavasti Lasketaan kunkin lähteen aiheuttama(t) virta/virrat ja/tai jännite/jännitteet erikseen siten, että muut lähteet ovat sammutettuina. Sammutettu jännitelähde = oikosulku (suora johdin), sammutettu virtalähde = avoin piiri (katkaistu johdin). Lopuksi lasketaan osatulokset yhteen. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 18 / 155
  19. 19. 1. tunti Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisesta Ratkaise virta I3 kerrostamismenetelmällä. + − E1 + − E2R3 I3 ? R1 R2 Sammutetaan oikeanpuoleinen jännitelähde: + − E1 R3 I31 ? R1 R2 I31 = E1 R1+ 1 G2+G3 1 G2+G3 G3 Sammutetaan vasemmanpuoleinen jännitelähde: + − E2R3 I32 ? R1 R2 I32 = E2 R2+ 1 G1+G3 1 G1+G3 G3 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 19 / 155
  20. 20. 1. tunti Esimerkki kerrostamismenetelmän soveltamisesta Virta I3 saadaan laskemalla osavirrat I31 ja I32. I3 = I31 + I32 = E1 R1 + 1 G2+G3 1 G2 + G3 G3 + E2 R2 + 1 G1+G3 1 G1 + G3 G3 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 20 / 155
  21. 21. 1. tunti Milloin kerrostamismenetelmä on kätevä? Kun laskija pitää enemmän piirin sormeilemisesta kuin yhtälöryhmien pyörittelemisestä. Jos piirissä on paljon lähteitä ja vähän vastuksia, kerrostamismenetelmä on usein nopea. Jos piirissä on useita eritaajuisia lähteitä (näihin tutustutaan kurssilla Vaihtosähköpiirit), piirin analysointi perustuu kerrostamismenetelmään. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 21 / 155
  22. 22. 1. tunti Lineaarisuus ja kerrostamismenetelmän teoriatausta Kerrostamismenetelmä perustuu piirin lineaarisuuteen, eli siihen, että jokainen lähde vaikuttaa jokaiseen jännitteeseen vakiokertoimella. Sama kaavana: jos piirissä on lähteet E1, E2, E3, J1, J2, niin jokainen piirin jännite ja virta on muotoa k1E1 + k2E2 + k3E3 + k4J1 + k5J2, missä vakiot kn ovat reaalilukuja. Jos kaikkien lähteiden arvo on nolla, ovat piirin vastusten virrat ja jännitteet nolla; eli nollaamalla kaikki lähteet paitsi yksi, voidaan laskea kyseisen lähteen vaikutuskerroin. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 22 / 155
  23. 23. 1. tunti Kirchhoffin lakien systemaattinen soveltaminen Virtapiiriyhtälöt kannattaa kirjoittaa systemaattisesti, ettei sekoa omaan näppäryyteensä. Yksi tapa on solmujännitemenetelmä: 1 Nimeä jokaisen virtapiirin haaran virta. 2 Valitse joku solmuista maasolmuksi ja nimeä jännitteet maasolmua vasten. 3 Kirjoita virtayhtälö jokaiselle solmulle, jossa on kiinni enemmän kuin kaksi komponenttia. 4 Lausu vastusten jännitteet nimettyjen jännitteiden avulla (piirrä vastusten jännitenuolet samoin päin kuin niiden virtanuolet [=selvempää]). 5 Lausu virrat jännitteiden avulla ja sijoita ne kohdan 2 virtayhtälöihin. 6 Ratkaise jännitteet. 7 Ilmoita kysytty jännite/jännitteet ja/tai virta/virrat. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 23 / 155
  24. 24. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  25. 25. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  26. 26. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  27. 27. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c I = I1 + I2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  28. 28. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c I = I1 + I2 E1 − U3E E2 − U3' AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  29. 29. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c I = I1 + I2 E1 − U3E E2 − U3' U3 R3 = E1 − U3 R1 + E2 − U3 R2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  30. 30. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c I = I1 + I2 E1 − U3E E2 − U3' U3 R3 = E1 − U3 R1 + E2 − U3 R2 =⇒ U3 = R3 R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  31. 31. 1. tunti Esimerkki Ratkaise virta I. + − E1 + − E2R3 R1 R2 I? I1 - I2 U3 c I = I1 + I2 E1 − U3E E2 − U3' U3 R3 = E1 − U3 R1 + E2 − U3 R2 =⇒ U3 = R3 R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 I = U3 R3 = R2E1 + R1E2 R1R2 + R2R3 + R1R3 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 24 / 155
  32. 32. 1. tunti Huomautuksia Yhtälöt voi kirjoittaa monella eri logiikalla, ei ole yhtä oikeaa menetelmää. Vaatimuksena ainoastaan a) Kirchhoffin lakien noudattaminen ja b) Ohmin lain4 noudattaminen sekä se, että yhtälöitä on yhtä monta kuin tuntemattomia. Jos piirissä on virtalähde, se säästää (yleensä) laskentatyötä, koska silloin tuntemattomia virtoja on yksi vähemmän. Käyttämällä konduktansseja yhtälöt näyttävät siistimmiltä. 4 Ohmin lakia voi käyttää vain vastuksille. Jos piirissä on muita komponentteja, tulee tietää niiden virta-jänniteyhtälö eli tietää, miten komponentin virta riippuu jännitteestä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 25 / 155
  33. 33. 1. tunti Toinen esimerkki + − E1 + − E2R3 R1 R2 R4 R5 I1 - I2 - I3 ? I5 - I4 ? I1 = I2 + I3 I2 = I4 + I5 U3 c U4 c E1 − U3 R1 = U3 − U4 R2 + U3 R3 ja U3 − U4 R2 = U4 R4 + U4 − E2 R5 G1(E1 − U3) = G2(U3 − U4) + G3U3 ja G2(U3 − U4) = G4U4 + G5(U4 − E2) Kaksi yhtälöä, kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista. Käytä konduktansseja! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 26 / 155
  34. 34. 1. tunti Huomattavaa Virtapiirin ratkaisemiseksi on useita muitakin menetelmiä kuin solmujännitemenetelmä: haaravirtamenetelmä, silmukkamenetelmä, solmumenetelmä, modifioitu solmupistemenetelmä. . . Mikäli piirissä on ideaalisia jännitelähteitä (=jännitelähteitä, jotka liittyvät suoraan solmuun ilman, että välissä on vastus), yhtälöihin tulee yksi tuntematon arvo lisää (=jännitelähteen virta) sekä yksi yhtälö lisää (jännitelähde määrää solmujen jännite-eron). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 27 / 155
  35. 35. 1. tunti Kotitehtävä 1a Kotitehtävät palautetaan seuraavan tunnin alussa. Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi. Kotitehtävä 1a Ratkaise virta I ja jännite U. Tarkista tuloksesi esimerkiksi merkitsemällä kuvaan jokaiseen johtimeen virta ja jokaisen komponentin yli jännite, ja varmista, että tulokset eivät ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa! + − E R1 R2 R3 I? U ‡ E = 10 V R1 = 7,5 kΩ R2 = R3 = 5 kΩ AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 28 / 155
  36. 36. 1. tunti Kotitehtävä 1b Kotitehtävä 1b Ratkaise kerrostamismenetelmällä (muut menetelmät → 0 pistettä) virta I ja jännite U. Tarkista tuloksesi esimerkiksi merkitsemällä kuvaan jokaiseen johtimeen virta ja jokaisen komponentin yli jännite, ja varmista, että tulokset eivät ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa! R1 J 6 + − E R2 I? U ‡ E = 3 V R1 = R2 = 1 Ω J = 1 A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 29 / 155
  37. 37. 2. tunti Kotitehtävä 1a - Ratkaisu Ratkaise virta I ja jännite U. + − E R1 R2 R3 I? U ‡ E = 10 V R1 = 7,5 kΩ R2 = R3 = 5 kΩ Jännitteenjakosäännön mukaan U = E R1 R1 + R2||R3 = 7,5 V. Ratkaistaan vastuksen R3 jännite Kirchhoffin jännitelailla, ja sitten virta Ohmin lailla: I = E − U R3 = 0,5 mA AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 30 / 155
  38. 38. 2. tunti Kotitehtävä 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmällä (muut menetelmät → 0 pistettä) virta I ja jännite U. Ratkaistaan ensin virtalähteen vaikutus. R1 J 6 R2 I1 ? U1 ‡ E = 3 V R1 = R2 = 1 Ω J = 1 A U1 = J R1R2 R1 + R2 = 0,5 V I1 = J G1 G1 + G2 = 0,5 A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 31 / 155
  39. 39. 2. tunti Kotitehtävä 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmällä (muut menetelmät → 0 pistettä) virta I ja jännite U. Ratkaistaan seuraavaksi jännitelähteen vaikutus. R1 + − E R2 I2 ? U2 ‡ E = 3 V R1 = R2 = 1 Ω J = 1 A U2 = −E R2 R1 + R2 = −1,5 V I2 = E R1 + R2 = 1,5 A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 32 / 155
  40. 40. 2. tunti Kotitehtävä 1b - Ratkaisu Ratkaise kerrostamismenetelmällä (muut menetelmät → 0 pistettä) virta I ja jännite U. Yhdistetään tulokset: U = U1 + U2 = 0,5 V − 1,5 V = −1 V I = I1 + I2 = 0,5 A + 1,5 A = 2 A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 33 / 155
  41. 41. 2. tunti Sinimuotoinen vaihtojännite Pistorasiasta saatava jännite on sinimuotoista. Kaikki jaksolliset vaihtojännitteet voidaan esittää siniaaltojen summana (Fourier’n teoreema). Lineaarisessa piirissä sinimuotoinen heräte tuottaa sinimuotoisen vasteen. Sinimuotoisilla signaaleilla laskeminen on helppoa. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 34 / 155
  42. 42. 2. tunti Sinimuotoinen jännite (tai virta) Sinimuotoinen jännite (tai virta) määritellään u(t) = ˆu sin(2πft + φ) Usein merkitään ω = 2πf , jolloin kaava lyhenee: u(t) = ˆu sin(ωt + φ) Suuretta ω kutsutaan kulmataajuudeksi ja sen yksikkö on rad s . Kulma φ on vaihekulma. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 35 / 155
  43. 43. 2. tunti Kondensaattori ja sinimuotoinen jännite Yhtälöstä i = C du dt + − u(t) = ˆu sin(ωt + φ) C i? Virta on siis i = C du dt = Cωˆu cos(ωt + φ) = Cωˆu sin(ωt + φ + π 2 ) Eli jännitteen ja virran suhde on 1 Cω , ja niiden välillä on 90 asteen (π 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jännitettä edellä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 36 / 155
  44. 44. 2. tunti Reaktanssin käsite Kondensaattorille i = C du dt + − u(t) = ˆu sin(ωt + φ) C i? i(t) = C du dt = Cωˆu cos(ωt + φ) = Cωˆu sin(ωt + φ + π 2 ) Jännitteen ja virran amplitudien suhde on: X = ˆu Cωˆu = 1 ωC Tätä jännitteen ja virran suhdetta X kutsutaan reaktanssiksi, aivan kuten jännitteen ja virran suhdetta vastuksessa kutsutaan resistanssiksi. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 37 / 155
  45. 45. 2. tunti Tehollisarvon käsite Tehollisarvolla tarkoitetaan sitä, kuinka suurta tasajännitettä vaihtojännite vastaa lämmitysteholtaan, jos siihen kytketään resistiivinen kuorma. Esimerkiksi hehkulamppu loistaa yhtä kirkkaasti, kytkipä sen 230 voltin akustoon (tasajännite) tai 230 voltin verkkosähköön (vaihtojännite). Verkkojännitteen huippuarvo on 230 · √ 2 ≈ 325 volttia. Sinimuotoisen vaihtovirran ja -jännitteen huippuarvon ja tehollisarvon suhde on √ 2. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 38 / 155
  46. 46. 2. tunti Kotitehtävä 2 (a ja b) Kotitehtävä palautetaan seuraavan tunnin alussa. Muista kirjoittaa paperille oma nimesi ja opiskelijanumerosi. Kotitehtävä 2 Kuinka suuri on virran I a) tehollisarvo b) huippuarvo (ˆi). Onko virta jännitettä edellä vai jäljessä, ja kuinka paljon? Jännitelähteen taajuus on 50 Hz ja tehollisarvo 230 volttia. + − E C I? C = 1 µF AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 39 / 155
  47. 47. 3. tunti Kela ja sinimuotoinen jännite Yhtälöstä u = L di dt i(t) = ˆi sin(ωt + φ) 6 ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L i? u c Jännite on u = L di dt = Lωˆi cos(ωt + φ) = Lωˆi sin(ωt + φ + π 2 ) Eli jännitteen ja virran suhde on Lω, ja niiden välillä on 90 asteen (π 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jännitettä jäljessä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 40 / 155
  48. 48. 3. tunti Kelan reaktanssi Yhtälöstä u = L di dt i(t) = ˆi sin(ωt + φ) 6 ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L i? u c Jännite on u = L di dt = Lωˆi cos(ωt + φ) = Lωˆi sin(ωt + φ + π 2 ) Jännitteen ja virran suhde eli kelan reaktanssi on: X = Lωˆi ˆi = ωL AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 41 / 155
  49. 49. 3. tunti Kompleksiluvut Vaihtosähköpiirilaskuja on helppo laskea osoittimilla. Osoittimia on puolestaan helppo käsitellä kompleksilukujen avulla. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 42 / 155
  50. 50. 3. tunti Kompleksiluvut Kompleksilukuaritmetiikka perustuu imaginaariyksikköön i, joka määritellään seuraavasti: i2 = −1 Perinteisessä reaalilukuaritmetiikassa mikään luku korotettuna toiseen ei ole -1, mutta mikään ei estä määrittelemästä sellaista. Ettei pikku-i mene sekaisin virran kanssa, sähkötekniikassa imaginaariyksikölle käytetään symbolia j: j2 = −1 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 43 / 155
  51. 51. 3. tunti Kompleksiluvut Kompleksiluku jakaantuu reaaliosaan ja imaginaariosaan. Esimerkiksi jos lasketaan yhteen reaaliluku 3 ja imaginaariyksikkö j, saadaan luku 3 + j AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 44 / 155
  52. 52. 3. tunti Laskeminen kompleksiluvuilla Peruslaskutoimitusten laskeminen kompleksiluvuilla ei käytännössä eroa reaaliluvuilla laskemisesta: 3(j + 2) = 3j + 6 (1 + 2j)(1 + j) = 1 + j + 2j + 2j2 = 1 + 3j − 2 = −1 + 3j AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 45 / 155
  53. 53. 3. tunti Eulerin kaava Kompleksiluvuille pätee Eulerin kaava. Sen todistaminen on mahdollista sarjakehitelmien avulla ja kuuluu (yliopisto)matematiikan tunnille. Otamme kaavan käyttöön perustelematta: ejφ = cos φ + j sin φ Eulerin kaava on tärkeä, kun kompleksilukuja muunnetaan summamuodosta kulmamuotoon. Kompleksitason piste 2 + 2j voidaan esittää joko summamuodossa: z = 2 + 2j tai kulmamuodossa (Eulerin kaavan avulla) 2 √ 2 · ejπ 4 = 2 √ 2 cos π 4 + j sin π 4 Kompleksiluvun 2 + 2j kulma eli argumentti on π 4 radiaania eli 45 astetta ja itseisarvo on 2 √ 2. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 46 / 155
  54. 54. 3. tunti Eulerin kaavan geometrinen tulkinta Kompleksiluvun itseisarvo tarkoittaa kompleksitason pisteen etäisyyttä origosta. Kompleksiluvun kulma tarkoittaa pisteen suuntaa x-akselilta katsottuna. Eulerin kaavan käyttö ei ole itsetarkoitus sähkötekniikassa. Sen takia kulmamuodossa olevaa kompleksilukua ei kirjoiteta näkyviin muodossa reφj, vaan käytetään muotoa r∠φ. Kyseessä on vain lyhennysmerkintä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 47 / 155
  55. 55. 3. tunti Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla (johdanto) Jos piirissä on yksi lähde ja yksi kela tai kondensaattori, lasku on helppo. Jos niitä on useampi, laskeminen on mielettömän työlästä. Onneksi voidaan käyttää kompleksilukuihin perustuvaa osoitinlaskentaa. Osoitinlaskennassa jännitteet ja virrat ovat kompleksilukuja, jotka sisältävät sekä jännitteen tehollisarvon että vaihekulman. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 48 / 155
  56. 56. 3. tunti Tehollisarvon käsite Osoitinlaskennassa käytetään tehollisarvon osoittimia, koska tällöin tehon kaava on siistimmän muotoinen kuin huippuarvon osoittimia käytettäessä. Vaihtosähköteho käsitellään seuraavalla tunnilla: nyt riittää, että tiedämme, että: Sinimuotoisen vaihtovirran ja -jännitteen huippuarvon ja tehollisarvon suhde on √ 2. Tehollisarvolla tarkoitetaan sitä, kuinka suurta tasajännitettä vaihtojännite vastaa lämmitysteholtaan, jos siihen kytketään resistiivinen kuorma. Esimerkiksi hehkulamppu loistaa yhtä kirkkaasti, kytkipä sen 230 voltin akustoon (tasajännite) tai 230 voltin verkkosähköön (vaihtojännite). Verkkojännitteen huippuarvo on 230 · √ 2 ≈ 325 volttia. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 49 / 155
  57. 57. 3. tunti Osoitinlaskenta kompleksiluvuilla Uusi käsite: impedanssi (Z). Vastuksen impedanssi on R. Kelan impedanssi ZL = jωL ja kondensaattorin impedanssi ZC = 1 jωC . j on matematiikan tunnilta tuttu imaginaariyksikkö: j2 = −1. Sähkötekniikassa ei käytetä lyhennettä i, koska se tarkoittaa virtaa. Jännite ja virta ilmaistaan kompleksilukuna siten, että kompleksiluvun itseisarvona on jännitteen/virran tehollisarvo ja kulmana (argumenttina) jännitteen/virran vaihekulma. u = ˆu sin(ωt + φ) ⇔ U = ˆu√ 2 ∠φ Merkintä r∠φ tarkoittaa kompleksilukua, jonka itseisarvo on r ja argumentti φ. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 50 / 155
  58. 58. 3. tunti Kondensaattori ja sinimuotoinen jännite osoitinlaskennalla Aiempi esimerkki osoitinlaskennalla (ei tarvitse ymmärtää vielä). + − u(t) = ˆu sin(ωt + φ) C i? Muunnetaan jännitelähteen arvo kompleksiluvuksi: u(t) = ˆu sin(ωt + φ) ⇒ U = ˆu√ 2 ∠φ. Virta on Ohmin lain mukaan I = U Z = ˆu√ 2 ∠φ 1 jωC = jωC · ˆu √ 2 ∠φ = ωC∠90◦ · ˆu √ 2 ∠φ = ˆuωC √ 2 ∠φ + 90◦ Muunnetaan takaisin ajan funktioksi: i = Cωˆu sin(ωt + φ + π 2 ) Eli jännitteen ja virran suhde on 1 Cω ja niiden välillä on 90 asteen (π 2 radiaanin) vaihe-ero. Virta on 90 astetta jännitettä edellä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 51 / 155
  59. 59. 3. tunti Kotitehtävä 3 a) Muunna summamuotoon (pyöristä tulos tarvittaessa): 3∠30◦ 5∠90◦ Muunna kulmamuotoon (pyöristä tulos tarvittaessa): 1 − j −3 + 4j b) Laske, ja ilmoita lopputulos sekä kulma- että summamuodossa: (1 + j)(2 − j) 1 1−j AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 52 / 155
  60. 60. 4. tunti Kotitehtävä 3 - ratkaisu Muunna summamuotoon (pyöristä tulos tarvittaessa): 3∠30◦ = 3(cos 30◦ + j sin 30◦) ≈ 2,6 + 1,5j 5∠90◦ = 5j (90 asteen kulma = puhdas imaginaariluku) Muunna kulmamuotoon (pyöristä tulos tarvittaessa): 1 − j = 12 + (−1)2∠ arctan −1 1 = √ 2∠ − 45◦ −3 + 4j = (−3)2 + 42∠ arctan −4 3 = 5∠127◦5 Laske, ja ilmoita lopputulos sekä kulma- että summamuodossa: (1+j)(2−j) = 2−j+2j−j2 = 3+j = √ 32 + 12∠ arctan 1 3 ≈ 3,16∠18,4◦ 1 1−j = 1·(1+j) (1−j)(1+j) = 1+j 2 = 0,5 + 0,5j ≈ 0,7∠45◦ 5 Varo! Laskin sanoo −53◦ – sinun pitää itse siirtää kulma oikeaan neljännekseen! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 53 / 155
  61. 61. 4. tunti Kotitehtävä 4 + − U = 12∠0◦ C I - R Ratkaise virta I (kompleksilukuna – jännite on ilmoitettu tehollisarvona, ilmoita myös virta tehollisarvona). C = 1 µF R = 10 kΩ ω = 1000 rad s AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 54 / 155
  62. 62. 5. tunti Kotitehtävä 4 - ratkaisu + − U = 12∠0◦ C I - R Ratkaise virta I (kompleksilukuna – jännite on ilmoitettu tehollisarvona, ilmoita myös virta tehollisarvona). C = 1 µF R = 10 kΩ ω = 1000 rad s Lasketaan rinnankytkennän impedanssi Z = 1 1 ZC + 1 R = ZC R ZC + R = 1 jωC R 1 jωC + R = R 1 + jωRC Virta I saadaan yleistetystä Ohmin laista I = U Z = U 1 + jωRC R = 12 10000 (1 + j1000 · 10−6 · 10000) = 0,0012(1 + 10j) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 55 / 155
  63. 63. 5. tunti 0,0012(1 + 10j) ≈ 0,012∠84,3◦ Eli virta on 12 milliampeeria kulmassa 84,3◦. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 56 / 155
  64. 64. 5. tunti Yleistetty Ohmin laki Tasasähkölle meillä oli U = RI. Sama pätee myös vaihtosähkölle ja vastuksille. Vaihtosähkölle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyssä Ohmin laissa vaihtojännitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = ˆu sin(ωt + φ) ⇒ U = ˆu√ 2 ∠φ. Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin käänteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille pätee YU = I, missä Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 57 / 155
  65. 65. 5. tunti Sitten lasketaan esimerkkejä! Tällä tunnilla käydään vain läpi laskuesimerkkejä, ts. ei mennä uuteen asiaan. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 58 / 155
  66. 66. 5. tunti Esimerkki 1 Ratkaise virta I ja jännite U. + − E R1 R2 C I? U ‡ E = 10∠0◦ V R1 = 7,5 kΩ R2 = 5 kΩ C = 1 µF ω = 1000 1 s Vastaus: U ≈ 9,67∠7,13◦ V I ≈ 1,26∠18◦ mA AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 59 / 155
  67. 67. 5. tunti Esimerkki 2 Ratkaise kerrostamismenetelmällä virta I ja jännite U. R J 6 + − E C I? U ‡ E = 3∠30◦ V R = 1 Ω C = 1 F J = 1∠0◦ A ω = 1 1 s Vastaus: U ≈ 1,55∠178◦ V I ≈ 1,87∠56◦ A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 60 / 155
  68. 68. 5. tunti Esimerkki 3 Ratkaise virrat I1, I2 ja I3. + − E ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L C I3 ?I2 ? I1 - E = 10∠0◦ V L = 1 H C = 1 F ω = 1 1 s Vastaus: I1 = 0 A I2 = −10j A I3 = 10j A AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 61 / 155
  69. 69. 5. tunti Kotitehtävä 5 + − E∠0◦ § ¤§ ¤§ ¤ L U W R a) Millä kulmataajuudella ω tapahtuu niin, että |U| = |E| 1√ 2 ?6 b) Paljonko silloin on U:n vaihekulma? c) Entä paljonko on U, jos ω = 0? d) Paljonko on U jos ω → ∞? L = 1H R = 100 Ω 6 Eli jännitteen U amplitudi on noin 0,707-kertainen verrattuna jännitteen E amplitudiin. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 62 / 155
  70. 70. 6. tunti Kotitehtävä 5 - ratkaisu + − E∠0◦ § ¤§ ¤§ ¤ L U W R a) Millä kulmataajuudella ω tapahtuu niin, että |U| = |E| 1√ 2 ?7 b) Paljonko silloin on U:n vaihekulma? c) Entä paljonko on U jos ω = 0? d) Paljonko on U jos ω → ∞? L = 1H R = 100 Ω Jännitteenjakosäännön mukaan: U = E R R + ZL = E R R + jωL = E 1 1 + jω L R 7 Eli jännitteen U amplitudi on noin 0,707-kertainen verrattuna jännitteen E amplitudiin. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 63 / 155
  71. 71. 6. tunti Selvitetään, milloin |U| = |E| 1√ 2 eli |U| |E| = 1√ 2 . Koska U = E 1 1+jω L R , niin |U| |E| = 1 1 + jω L R = |1| |1 + jω L R | = 1 1+(ω L R )2 Milloin suhde on 1√ 2 : 1 √ 2 = 1 1+(ω L R )2 =⇒ 2 = ω L R 2 + 1 ⇒ ω = R L Eli kuvan lukuarvoilla a)-kohdan vastaus on ω = R L = 100 Ω 1H = 1001 s . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 64 / 155
  72. 72. 6. tunti b) -kohtaa varten selvitetään vaihekulma: U E = 1 1 + jω L R Osoittajan vaihekulma on 0◦, nimittäjän vaihekulma on arctan ω L R 1 . Koska kompleksi(murto)luvun vaihekulma on osoittajan vaihekulma miinus nimittäjän vaihekulma, on kysytty vaihekulma 0◦ − arctan ω L R 1 = − arctan ω L R . Ja b)-kohdan lopullinen vastaus: kun ω = R L (a-kohta), niin kulma on − arctan R L L R = − arctan 1 = −45◦ . c) -kohta on helppo: jos omega on nolla, lausekkeen imaginaariosa häviää: U = E 1 1 + j · 0 L R = E AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 65 / 155
  73. 73. 6. tunti d) -kohdassa ω → ∞. Tarkastellaan lauseketta U = E 1 1 + jω L R Jos nimittäjä lähestyy ääretöntä ja osoittajassa on vakio, murtolausekkeen arvo lähestyy nollaa. Eli kun ω → ∞, niin U → 0. Jos ollaan tarkkoja, niin U → 0∠ − 90◦, koska − arctan ω L R lähestyy arvoa −90◦, kun ω → ∞. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 66 / 155
  74. 74. 6. tunti Kertaus: Yleistetty Ohmin laki Tasasähkölle meillä oli U = RI. Sama pätee myös vaihtosähkölle ja vastuksille. Vaihtosähkölle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyssä Ohmin laissa vaihtojännitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = ˆu sin(ωt + φ) ⇒ U = ˆu√ 2 ∠φ. Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin käänteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille pätee YU = I, missä Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 67 / 155
  75. 75. 6. tunti Vaihtovirtateho vastuksessa Hetkelliselle teholle pätee p = ui. Vastuksessa u = Ri, joten p = ui = Ri · i = Ri2. Sinimuotoinen vaihtovirta, jonka huippuarvo on esimerkiksi 10 A, lämmittää 2 Ω vastusta välillä p = 2 Ω · (10 A)2 = 200 W teholla, ja välillä 0 W teholla. Mikä sitten on keskimääräinen teho, jolla kyseinen vaihtovirta lämmittää vastusta? Jatkuva keskiarvo saadaan laskettua integraalin avulla Pav = 1 T T 0 p(t)dt. Sijoitetaan sinimuotoinen virta, jonka huippuarvo on ˆi ja kulmataajuus ω, tehon kaavaan, ja lasketaan integroimalla keskimääräinen teho. Pav = 1 T T 0 p(t)dt = 1 T T 0 R(ˆi sin ωt)2 dt = Rˆi2 T T 0 1 2 (1 − cos 2ωt)dt AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 68 / 155
  76. 76. 6. tunti Integraali jatkuu Pav = 1 T T 0 p(t)dt = 1 T T 0 R(ˆi sin ωt)2 dt = Rˆi2 T T 0 1 2 (1 − cos 2ωt)dt Koska kulmataajuus ω = 2πf ja jaksonaika T = 1 f , niin Pav = Rˆi2 T T 0 1 2 (1 − cos 2 2π T t)dt = Rˆi2 T T 0 1 2 − 1 2 cos 4π T tdt Pav = Rˆi2 T ( 1 2 T − 1 2 T 4π (sin 4π T T − sin 4π T 0)) = Rˆi2 ( 1 2 − 1 8π (0 − 0)) = Rˆi2 2 Eli minkä suuruista tasavirtaa tällainen vaihtovirta vastaa tehon kaavassa? Ieff = ˆi √ 2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 69 / 155
  77. 77. 6. tunti Kompleksinen teho Aivan kuten Ohmin laki voidaan yleistää vaihtosähkölle U = RI ⇒ U = ZI, voidaan tehokin laskea kompleksilukujen avulla: S = UI∗ , missä S = P + jQ Kompleksisen tehon reaaliosaa P kutsutaan pätötehoksi (yksikkö: watti, W) ja imaginaariosaa Q loistehoksi (yksikkö vari, var). Pätöteho kuluu piirissä (esim. muuttuu vastuksessa lämmöksi), loisteholla tarkoitetaan tehoa, joka heilahtelee edestakaisin piirissä, mutta ei varsinaisesti kulu mihinkään. S on nimeltään näennäisteho. Sen yksikkö on volttiampeeri (lyhenne: VA). Huomaa kompleksisen tehon kaavassa merkintä I∗, joka tarkoittaa virran liittolukua eli konjugaattia (= vaihda kulman etumerkki eli vaihda imaginaariosan etumerkki)! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 70 / 155
  78. 78. 6. tunti Perusteluja S = UI∗ , missä S = P + jQ Hetkelliselle teholle voidaan laskea kaava p(t) = u(t)i(t) = ˆuˆi sin(ωt + φu) sin(ωt + φi ) = ˆuˆi 1 2 [cos(φu − φi ) − cos(2ωt + φu + φi )]. Ensimmäinen kosinitermi on vakio, toinen vaihtelee taajuudella, joka on kaksinkertainen verrattuna piirin kulmataajuuteen. Kompleksisen tehon kaavassa on konjugaattimerkki, jotta jännitteen ja virran tuloon saadaan kulmaksi φu − φi . (Jos konjugointia ei tehtäisi, tehon kulmaksi tulisi φu + φi , joka ei merkitse yhtään mitään.) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 71 / 155
  79. 79. 6. tunti Esimerkki (jatkuu seuraavalla kalvolla) Tarkastellaan vaihtosähkögeneraattoria, jota saa kuormittaa enintään 10 ampeerin virralla eli jonka maksimikuormitus on 2,3 kVA (230 V · 10A = 2,3 kVA). Kytkemällä generaattoriin puhtaasti resistiivisen kuorman, esimerkiksi lämpöpatterin, saadaan kaikki teho käyttöön: + − 230 V 50 Hz R = 23 Ω I = 230 V 23 Ω = 10 A P = 230 V · 10 A = 2,3 kW Koska vastus ei aiheuta vaihesiirtoa, tehon laskenta tapahtuu kuten tasasähköpiirissä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 72 / 155
  80. 80. 6. tunti Esimerkki (jatkuu seuraavalla kalvolla) Nyt kytketään samaan generaattoriin induktiivinen kuorma, esimerkiksi sähkömoottori. Mallinnetaan kuormaa vastuksen ja kelan sarjaankytkennällä. + − 230 V 50 Hz R = 15 Ω § ¤§ ¤§ ¤ L = 50 mH Nyt virta ja teho ovat I = U Z = U jωL + R = 230 V j · 100π · 50 · 10−3 + 15 ≈ 10,6∠ − 46◦ A S = UI∗ = 230 V · 10,6∠46◦ A ≈ 2440∠46◦ VA ≈ 1690 + 1750j P = 1690 W Q = 1750 var AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 73 / 155
  81. 81. 6. tunti Esimerkki: johtopäätökset Kuorma (moottori) ottaa generaattorilta pätötehoa vain 1690 wattia, mutta sen ottama virta on jo hieman yli sallitun. Käytännön haittana on se, että generaattoriin ei voida kytkeä muita kuormia ilman, että generaattori ylikuormittuu. Toisin sanoen käyttämättä jää 2300 W - 1690 W = 610 W. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 74 / 155
  82. 82. 6. tunti Loisteho sähkönjakelussa Loisteho on ei-toivottu ilmiö sähkönjakelussa, koska se kuormittaa verkkoa. Loistehon kulutus on pois verkon siirtokapasiteetista. Esimerkiksi Fortum laskuttaa8 suurasiakkaita sähkön siirrosta seuraavasti (hinnat euroina, ei sis. alv.): Perusmaksu €/kk 31,50 Tehomaksu €/kW, kk 1,55 Loistehomaksu €/kVAr, kk 3,12 Päiväsiirto, talvi c/kWh 2,30 Muun ajan siirto c/kWh 1,12 Loistehomaksun perusteena on kuukausittainen loistehohuippu, josta on vähennetty 20 % saman kuukauden pätötehohuipun määrästä. 8 Fortum Espoo Distribution Oy:n verkkopalveluhinnasto 1.1.2011, http://www.fortum.fi/ AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 75 / 155
  83. 83. 6. tunti Kotitehtävä 6 L = 2 H C = 1 F R = 5 Ω E = 10∠0◦ ω = 1 C + − E R § ¤§ ¤§ ¤ L Laske jokaisen neljän elementin (E, L, R, C) kompleksinen teho (jokainen erikseen!). Vihje: jos laskit oikein, jännitelähteen teho on yhtä suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin muiden komponenttien tehojen summa. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 76 / 155
  84. 84. 7. tunti Kotitehtävä 6 - ratkaisu L = 2 H C = 1 F R = 5 Ω E = 10∠0◦ ω = 1 C + − E R § ¤§ ¤§ ¤ L Laske jokaisen neljän elementin (E, L, R, C) kompleksinen teho (jokainen erikseen!). Vihje: jos laskit oikein, jännitelähteen teho on yhtä suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin muiden komponenttien tehojen summa. Ratkaisu Lasketaan ensin kondensaattorin, kelan ja vastuksen impedanssit (yksikkö: Ω): ZC = 1 jωC = 1 j = −j ZL = jωL = 2j ZR = 5 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 77 / 155
  85. 85. 7. tunti Komponentit ovat sarjassa, joten piirissä kiertävä virta on I = U Z = E ZC + ZR + ZL = 10 −j + 5 + 2j = 10 5 + j Komponenttien jännitteet saadaan yleistetystä Ohmin laista U = ZI: UC = IZC = 10 5j − 1 UR = IZR = 50 5 + j UL = IZL = 20j 5 + j Tehon laskemista varten selvitetään virran konjugaatti (liittoluku): I∗ = 10 5 + j ∗ = 10 5 − j Lasketaan tehot S = U · I∗: SC = UC I∗ = 10 5j − 1 10 5 − j = − 100 26 j SR = URi∗ = 50 5 + j 10 5 − j = 500 26 SL = 20j 5 + j 10 5 − j = 200 26 j SE = −10 10 5 − j = −100 5 − j = −500 − 100j 26 SE :n kaavassa on jännitteen etumerkki vaihdettu, koska virta I on erisuuntainen kuin jännite E. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 78 / 155
  86. 86. 7. tunti Jännitelähde luovuttaa tehoa yhtä paljon kuin siihen kytketyt komponentit kuluttavat tehoa, eli summan SC + SR + SL tulee olla yhtä suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin SE . Lasketaan SC + SR + SL = − 100 26 j + 500 26 + 200 26 j = 500 + 100j 26 mikä on yhtä suuri mutta vastakkaismerkkinen kuin edellisellä kalvolla laskettu SE = −500 − 100j 26 . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 79 / 155
  87. 87. 7. tunti Kertaus: Yleistetty Ohmin laki Tasasähkölle meillä oli U = RI. Sama pätee myös vaihtosähkölle ja vastuksille. Vaihtosähkölle voidaan kirjoittaa yleistetty Ohmin laki U = ZI. Yleistetyssä Ohmin laissa vaihtojännitteet ovat osoittimia = kompleksilukuja. Muunnoskaava u(t) = ˆu sin(ωt + φ) ⇒ U = ˆu√ 2 ∠φ. Z on kompleksinen impedanssi. Z koostuu resistanssista R ja reaktanssista X. Z = R + Xj. Aivan kuten resistanssin käänteisluku on konduktanssi ja GU = I, yleistetylle Ohmin laille pätee YU = I, missä Y on admittanssi. Y koostuu konduktanssista G ja suskeptanssista B. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 80 / 155
  88. 88. 7. tunti Kertaus: Kompleksinen teho Aivan kuten Ohmin laki voidaan yleistää vaihtosähkölle U = RI ⇒ U = ZI, voidaan tehokin laskea kompleksilukujen avulla: S = UI∗ , missä S = P + jQ Kompleksisen tehon reaaliosaa P kutsutaan pätötehoksi (yksikkö: watti, W) ja imaginaariosaa Q loistehoksi (yksikkö vari, var). Pätöteho kuluu piirissä (esim. muuttuu vastuksessa lämmöksi), loisteholla tarkoitetaan tehoa, joka heilahtelee edestakaisin piirissä mutta ei varsinaisesti kulu mihinkään. S on nimeltään näennäisteho. Sen yksikkö on volttiampeeri (lyhenne: VA). Huomaa kompleksisen tehon kaavassa merkintä I∗, joka tarkoittaa virran liittolukua eli konjugaattia (= vaihda kulman etumerkki eli vaihda imaginaariosan etumerkki)! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 81 / 155
  89. 89. 7. tunti Loistehokompensointi Loisteho on ei-toivottu ilmiö. Esimerkiksi sähkömoottori ottaa sähköverkosta loistehoa, koska siinä on käämejä (=induktanssia). Tehdas, jossa on satoja tai tuhansia sähkömoottoreita, kuormittaa sähköverkkoa tarpeettomasti. Loisteho sykkii moottorien ja voimalaitoksen välillä kuormittaen johtimia turhaan. Teollisuuslaitoksilta peritään loistehosta maksua, joka on usein suurempi kuin pätötehomaksu! Tämän takia loisteho pyritään kompensoimaan pois. Kompensointi tapahtuu yleensä rinnakkaiskondensaattorilla. Perustapa: laitetaan induktiivisen kuorman rinnalle kondensaattori, joka kumoaa loistehon niin, että kuorma näyttää sähköverkkoon päin (lähes) pelkältä vastukselta. Kompensoinnin voisi tehdä myös sarjakondensaattorilla, mutta se ei ole käytännössä järkevää. Miksi? AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 82 / 155
  90. 90. 7. tunti Induktiivisen loistehon kompensointi rinnakkaiskondensaattorilla Sarjakompensoinnin haittana on, että koko kuorman ottama virta kulkee silloin kondensaattorin läpi (kuormittaa kondensaattoria). Rinnakkaiskondensaattorin läpi kulkee vain loistehon kompensointiin vaadittava virta. Kondensaattorin koko valitaan siten, että kuorman (kela ja vastus) sekä kondensaattorin muodostaman kokonaisuuden loisteho on nolla, eli impedanssin imaginaariosa on nolla! ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − E R C AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 83 / 155
  91. 91. 7. tunti Esimerkki Loistehokompensointi rinnakkaiskondensaattorilla perustuu siihen, että kondensaattori ottaa sähköverkosta (jännitelähteestä) yhtä suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon kuin induktiivinen kuorma. Kondensaattorin mitoituksen voi laskea kahdella tavalla: Tapa 1 Lasketaan kuorman (kuvassa vastus + kela) ottama loisteho. Sitten lasketaan, kuinka suuri kondensaattorin täytyy olla, jotta se ottaa yhtä suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon. Tapa 2 Lasketaan kondensaattorin, kelan ja vastuksen muodostaman kokonaisuuden impedanssi, ja sitten valitaan kondensaattori niin, että tämän impedanssin imaginaariosa on nolla. Tapa 2 on usein helpompi. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 84 / 155
  92. 92. 7. tunti Esimerkki - Tapa 1 U = 230 V L = 0,5 H ω = 100π R = 100 Ω ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − U R C Kela ja vastuksen sarjaankytkennän näennäisteho on S = UI∗ = U U ZR + ZL ∗ = U U∗ (R + jωL)∗ = |U|2 R − jωL = |U|2 (R + jωL) R2 + (ωL)2 Näennäistehon reaaliosa on pätöteho (P, watteja) ja imaginaariosa on loisteho (Q, vareja). Loistehon suuruus on Q = |U|2ωL R2 + (ωL)2 ≈ 239,647 . . . (var) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 85 / 155
  93. 93. 7. tunti Esimerkki - Tapa 1 jatkuu Seuraavaksi mitoitetaan kondensaattori siten, että se kuluttaa yhtä suuren mutta vastakkaismerkkisen loistehon kuin äsken laskettu loisteho. Kondensaattorin näennäisteho on SC = UI∗ = U U ZC ∗ = U U∗ 1 jωC ∗ = |U|2 −j 1 ωC ∗ = |U|2 j 1 ωC = −j|U|2 ωC eli sen loisteho on −|U|2ωC (kondensaattori ei koskaan kuluta pätötehoa!). Tämän pitää olla yhtä suuri (mutta vastakkaismerkkinen) kuin edellisellä kalvolla laskettu Q: |U|2 ωC = |U|2ωL R2 + (ωL)2 ⇒ C = L R2 + (ωL)2 ≈ 14,4 · 10−6 eli tarvitaan 14,4 mikrofaradin kondensaattori. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 86 / 155
  94. 94. 7. tunti Esimerkki - Tapa 2 U = 230 V L = 0,5 H ω = 100π R = 100 Ω ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − U R C Kela ja vastus ovat keskenään sarjassa, ja niiden muodostama sarjaankytkentä on rinnan kondensaattorin kanssa: Z = 1 1 ZC + 1 R+ZL = 1 jωC + 1 R+jωL Jotta piiri ei kuluttaisi loistehoa, tulee impedanssin olla reaalinen (=reaaliluku). Osoittajassa on reaaliluku (ykkönen), joten impedanssi on reaalinen, jos ja vain jos nimittäjä on reaalinen. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 87 / 155
  95. 95. 7. tunti Esimerkki - Tapa 2 jatkuu Tutkitaan nimittäjää: jωC + 1 R + jωL = jωC + R − jωL R2 + (ωL)2 = jωC imaginaarinen + R R2 + (ωL)2 reaalinen + −jωL R2 + (ωL)2 imaginaarinen Jotta luku olisi reaalinen, täytyy imaginaariosan olla nolla. Ratkaistaan, millä kapasitanssin arvolla imaginaariosa saadaan nollaksi: jωC + −jωL R2 + (ωL)2 = 0 ⇒ C = L R2 + (ωL)2 ≈ 14,4 · 10−6 Vastaus on sama kuin mitä saatiin edellisellä tavalla laskemalla. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 88 / 155
  96. 96. 7. tunti Tehosovitus Eri asia kuin loistehokompensointi! Tehosovituksessa pyritään valitsemaan kuorman impedanssi siten, että kuormaan kulkeva pätöteho on suurimmillaan. Esimerkiksi jos vahvistimen lähtöimpedanssi tiedetään, valitaan kaiuttimen impedanssi siten, että teho on mahdollisimman suuri. Toisin sanoen: jos ZS tiedetään, kuinka ZL tulee valita, jotta ZL:ään siirtyvä teho maksimoituu. Toinen esimerkki: radioantennin kytkeminen lähetinvahvistimeen. ZL + − E ZS AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 89 / 155
  97. 97. 7. tunti Tehosovitus vaihtosähköllä Vaihtosähköpiirissä tulee ZL valita siten, että ZL:n imaginaariosa kumoaa ZS:n imaginaariosan. Tällöin virta on suurin ja pätöteho kuormassa on suurin. Lähteestä, jonka ZS tunnetaan, suurinta mahdollista ulos tulevaa tehoa kutsutaan yltötehoksi. Perustelu on samanlainen kuin kotitehtävässä suoritettava perustelu; lasketaan vain kompleksiluvuilla. Voidaan perustella myös maalaisjärjellä: resistansseille suoritetun tehosovituksen lisäksi pitää hankkiutua impedanssin imaginaariosasta eroon, jolloin kuormaan kulkee niin suuri virta kuin mahdollista. RL = RS ja vaihtosähköllä ZL = Z∗ S AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 90 / 155
  98. 98. 7. tunti Kotitehtävä 7 RL + − E RS Osoita, että9 kuormavastuksen RL teho on suurimmillaan silloin, kun RL on arvoltaan yhtä suuri kuin RS. Ohje: Muodosta lauseke RL teholle. Arvot E ja RS ovat vakioita. Sitten derivoi lauseke RL:n suhteen ja etsi tehon maksimi derivaatan avulla. 9 P.S. Tämä on ihan puhdas tasasähköpiiritehtävä, eli nyt et tarvitse kompleksilukuja. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 91 / 155
  99. 99. 8. tunti Kotitehtävä 7 - ratkaisu RL + − E RS Osoita, että10 kuormavastuksen RL teho on suurimmillaan silloin, kun RL on arvoltaan yhtä suuri kuin RS. Ohje: Muodosta lauseke RL teholle. Arvot E ja RS ovat vakioita. Sitten derivoi lauseke RL:n suhteen ja etsi tehon maksimi derivaatan avulla. Ratkaisu: teho vastuksessa RL on PL = ULI = RLI2 = RL E RS + RL 2 = E2RL R2 S + 2RSRL + R2 L . 10 P.S. Tämä on ihan puhdas tasasähköpiiritehtävä, eli nyt et tarvitse kompleksilukuja. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 92 / 155
  100. 100. 8. tunti Osamäärän derivaatta on f g = f g − fg g2 Derivoidaan äsken saatu lauseke RL:n suhteen. Muut muuttujat ovat vakioita: PL = E2RL R2 S + 2RSRL + R2 L PL = E2 R2 S + 2RSRL + R2 L − RL(2RS + 2RL) (R2 S + 2RSRL + R2 L)2 Derivaatan nollakohta R2 S + 2RSRL + R2 L − RL(2RS + 2RL) = 0 RL = ±RS AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 93 / 155
  101. 101. 8. tunti Hylätään negatiivinen vastaus, koska negatiivinen vastus ei kuluta vaan luovuttaa tehoa. Varmistetaan vielä, että löydetty derivaatan nollakohta todella on maksimi. Jatkuvan ja derivoituvan funktion maksimi voi sijaita vain välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. Päätepisteissä (nolla, ääretön) tehon raja-arvo on nolla. Löydetty derivaatan nollakohta on maksimi, koska jos RL on suurempi kuin RS, derivaatta on negatiivinen ja jos pienempi kuin RS, derivaatta on positiivinen. Siis kyseessä on maksimi. Kuormavastuksen teho on siis suurimmillaan, kun se valitaan yhtä suureksi kuin RS. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 94 / 155
  102. 102. 8. tunti Useita taajuuksia samanaikaisesti (monitaajuusanalyysi, harmoninen analyysi) Jos piirissä on useita eri taajuuksia, kukin taajuus pitää analysoida erikseen. Periaate on sama kuin kerrostamismenetelmässä. Eritaajuisia kompleksilukuna olevia jännitteitä ei voi laskea yhteen! Lasketaan yksi taajuus kerrallaan niin, että muuntaajuiset jännitteet ja virrat on asetettu nollaan. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 95 / 155
  103. 103. 8. tunti Esimerkki + − e1 + − e2 i(t) - § ¤§ ¤§ ¤ LR e1(t) = 10 + √ 2 · 20 sin ω1t e2(t) = √ 2 · 10 sin ω1t + √ 2 · 30 sin ω2t ω1 = 10 ω2 = 20 R = 10 Ω L = 1H AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 96 / 155
  104. 104. 8. tunti Useita taajuuksia samanaikaisesti - lopputulos Eritaajuisia osoittimia ei voi laskea suoraan yhteen. Laskun lopputulos (jännite tai virta) pitää ilmoittaa joko Ajan funktiona. Hetkellisarvona. Tämä tapahtuu laskemalla ensin jännite ajan funktiona ja sitten sijoittamalla jokin ajan arvo lausekkeeseen. Tehollisarvona. Tehollisarvo saadaan korottamalla jokaisen eritaajuisen sinijännitteen tehollisarvo toiseen, laskemalla ne yhteen ja ottamalla tästä summasta neliöjuuri. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 97 / 155
  105. 105. 8. tunti Kotitehtävä 8 RL + − e § ¤§ ¤§ ¤ L j 6 U W Jännitelähteen tehollisarvo on 10 V kulmataajuudella ω1 = 10 ja virtalähteen tehollisarvo on 1 A kulmataajuudella ω2 = 20. Laske jännitteen U tehollisarvo. L = 1 H R = 10 Ω AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 98 / 155
  106. 106. 9. tunti Kotitehtävä 8 - ratkaisu RL + − e § ¤§ ¤§ ¤ L j 6 U W Jännitelähteen tehollisarvo on 10 V kulmataajuudella ω1 = 10 ja virtalähteen tehollisarvo on 1 A kulmataajuudella ω2 = 20. Laske jännitteen U tehollisarvo. L = 1 H R = 10 Ω Ratkaisu: lasketaan taajuus kerrallaan. Ensin ω1 ja sitten ω2. Lopuksi lasketaan jännitteiden yhteinen tehollisarvo. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 99 / 155
  107. 107. 9. tunti Piiri taajuudella ω1 Virtalähde ei sisällä ollenkaan ω2-taajuista siniaaltoa, joten päällä on ainoastaan e. RL + − e § ¤§ ¤§ ¤ L U1 W Jännitteenjakosäännön mukaan: U1 = E RL RL + ZL = 10 10 10 + j10 · 1 = 10 1 1 + j = 10 1 √ 2∠45◦ = 10 √ 2 ∠ − 45◦ AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 100 / 155
  108. 108. 9. tunti Piiri taajuudella ω2 Jännitelähde ei sisällä ollenkaan ω2-taajuista siniaaltoa, joten päällä on ainoastaan j. RL § ¤§ ¤§ ¤ L j 6 U2 W Vastus ja kela ovat rinnakkain11. Jännite on siis U2 = ZI = (R||ZL)j = Rjω2L R + jω2L j = 200j 10 + 20j ·1 = 20 j 1 + 2j = 20 1∠90◦ √ 5∠63◦ Koko jännitteen U tehollisarvo on |U| = |U1|2 + |U2|2 = 10 √ 2 2 + 20 √ 5 2 = √ 130 ≈ 11,4 (volttia) 11 Merkintä || tarkoittaa rinnankytkennän impedanssia. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 101 / 155
  109. 109. 9. tunti Napa ja portti Piirissä olevaa johdon liitäntäkohtaa nimitetään navaksi tai nastaksi. Kaksi napaa muodostavat portin eli napaparin. Helpoin esimerkki on auton akku, jolla sisäistä resistanssia. + − E RS ˜ ˜ AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 102 / 155
  110. 110. 9. tunti Nelinapa eli kaksiportti Todella moni elektroniikkapiiri toimii niin, että sinne syötetään jokin signaali, ja sieltä saadaan ulos jokin signaali. Syötettyä signaalia kutsutaan herätteeksi ja ulos saatavaa signaalia vasteeksi. Vasteen ja herätteen suhdetta kutsutaan syöttöpistefunktioksi (vaste ja heräte samassa portissa) tai siirtofunktioksi (vaste ja heräte eri portissa). ˜ ˜ ˜ ˜ Uin c Uout c Iin - AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 103 / 155
  111. 111. 9. tunti Syöttöpiste- ja siirtofunktiot ˜ ˜ ˜ ˜ Uin c Uout c Iin - Iout Syöttöpistefunktioita ovat muun muassa tuloimpedanssi Zin = Uin Iin ja lähtöimpedanssi Zout = Uout Iout . Siirtofunktioita ovat jännitevahvistus A = Uout Uin sekä virtavahvistus B = Iout Iin AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 104 / 155
  112. 112. 9. tunti Sarja- ja rinnakkaisresonanssi Sarjaresonanssissa kelan ja kondensaattorin sarjaankytkennän impedanssi on nolla. Rinnakkaisresonanssissa kelan ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssi on ääretön. Yleisemmin: resonanssitaajuudella piirin impedanssin imaginaariosa on nolla (sarjaresonanssi) tai admittanssin imaginaariosa on nolla (rinnakkaisresonanssi). Jos piirissä on kela ja kondensaattori sarjassa tai rinnan, resonanssikulmataajuus ω0 = 1√ LC . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 105 / 155
  113. 113. 9. tunti Suodatin Suodatin on elektroninen piiri, jonka avulla signaalia muokataan halutunlaiseksi. Alipäästösuodatin: vaimentaa korkeita taajuuksia, päästää läpi matalat taajuudet. Ylipäästösuodatin: vaimentaa matalia taajuuksia, päästää läpi korkeat taajuudet. Kaistanestosuodatin: päästää läpi korkeat ja matalat taajuudet, mutta vaimentaa tietyllä välillä olevia taajuuksia. Kaistanpäästösuodatin: vaimentaa liian matalia ja liian korkeita taajuuksia, mutta päästää läpi tietyllä välillä olevat taajuudet. Suodattimen asteluku kertoo suodattimen siirtofunktion (yleensä: jännitevahvistus) nimittäjäpolynomin asteluvun. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 106 / 155
  114. 114. 9. tunti Alipäästösuodatin Alipäästösuodatin voidaan toteuttaa yksinkertaisesti vastuksen ja kondensaattorin sarjaankytkennällä. Ensimmäisen asteen siirtofunktion perusmuoto on alipäästösuodattimella Uout Uin = 1 jω ω0 + 1 ja ylipäästösuodattimella Uout Uin = jω ω0 jω ω0 + 1 Ensimmäisen asteen ali- tai ylipäästösuodattimen jännitevahvistus on ominaiskulmataajuudella 1√ 2 eli tehovahvistus on 0,5. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 107 / 155
  115. 115. 9. tunti Kotitehtävä 9 ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − Uin R C Uout W Laske piirin jännitevahvistus Uout Uin . Hahmottele jännitevahvistuksen amplitudivaste (vaaka-akselille ω, pystyakselille |Uout Uin |). Onko piiri alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- vai kaistanestosuodatin? L = 1 H C = 1 F R = 1 Ω Oikeita lopputuloksia: Uout Uin = 1 j(ω− 1 ω )+1 Uout Uin = 1 1+(ω− 1 ω )2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 108 / 155
  116. 116. 10. tunti Kotitehtävä 9 - ratkaisu ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − Uin R C Uout W Laske piirin jännitevahvistus Uout Uin . Hahmottele jännitevahvistuksen amplitudivaste (vaaka-akselille ω, pystyakselille |Uout Uin |). Onko piiri alipäästö-, ylipäästö-, kaistanpäästö- vai kaistanestosuodatin? L = 1 H C = 1 F R = 1 Ω Lasketaan kelan ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssi (tulo jaettuna summalla -kaavalla) ja sijoitetaan lukuarvot: ZLC = jωL 1 jωC jωL + 1 jωC = L C jωL − j 1 ωC = 1 jω − j 1 ω AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 109 / 155
  117. 117. 10. tunti Nyt Uout ratkeaa jännitteenjakosäännöllä: Uout = Uin ZLC R + ZLC ⇒ Uout Uin = 1 R ZLC + 1 Sijoitetaan R = 1 sekä edellisellä kalvolla laskettu ZLC: Uout Uin = 1 j(ω − 1 ω ) + 1 Lasketaan itseisarvo (amplitudivaste): Uout Uin = 1 1 + (ω − 1 ω )2 Amplitudivasteen kulkua voi tarkastella matemaattisesti, mutta sitä ei vaadita tehtävässä. Käyrällä on maksimi kohdassa ω = 1. Raja-arvot nollassa sekä äärettömyydessä ovat nollia. Kyseessä on siis kaistanpäästösuodatin. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 110 / 155
  118. 118. 10. tunti Muutosilmiöt Tasajännitteen ja sinimuotoisen vaihtojännitteen lisäksi tärkeitä tarkasteltavia ovat muutosilmiöt. Muutosilmiö tapahtuu esimerkiksi laitteita päälle kytkettäessä. Esimerkiksi jos kondensaattorin ja vastuksen sarjaankytkentä kytketään jännitelähteeseen, kondensaattori varautuu. Tällöin jännite muuttuu ajan funktiona. Miten se muuttuu? Edellyttää differentiaaliyhtälön ratkaisemista! Monimutkaisemmat differentiaaliyhtälöt kannattaa ratkaista Laplace-muunnoksella. Piirit, joissa on yksi kondensaattori tai kela, on helppo ratkaista yritteen avulla. Monimutkaisemmankin piirin voi ratkaista yritteen avulla, mutta yritteen keksiminen voi olla vaikeaa. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 111 / 155
  119. 119. 10. tunti Kondensaattori Kondensaattori on komponentti, jonka jännitteelle ja virralle pätee yhtälö: i = C du dt C i? u c Aivan kuten aiemmin on opittu, että vastukselle pätee yhtälö u = Ri. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 112 / 155
  120. 120. 10. tunti Kondensaattori Yhtälö i = C du dt tarkoittaa, että mitä suurempi virta kondensaattorin läpi kulkee, sitä nopeammin sen jännite muuttuu. Tai sama toisinpäin: mitä nopeammin kondensaattorin jännite muuttuu, sitä suurempi virta sen läpi kulkee. C i? u c Symboli C tarkoittaa kondensaattorin kapasitanssia, jonka yksikkö on faradi (F). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 113 / 155
  121. 121. 10. tunti Kondensaattori Integroimalla yhtälö i = C du dt puolittain saadaan: u = 1 C idt + integrointivakio tai määrättynä integraalina (valitsemalla alkuhetkeksi t = 0 ja loppuhetkeksi joku ajanhetki t) u = 1 C t 0 idt + u(0). Termi u(0) tarkoittaa kondensaattorin jännitettä ajanhetkellä nolla, ja sitä merkitään usein myös UC0 tai U0: u = 1 C t 0 idt + U0. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 114 / 155
  122. 122. 10. tunti Yksinkertainen esimerkki Ladataan virtalähteellä kondensaattoria. Lukuarvot ovat: J = 6 A C = 2 F U0 = 0 V C J 6 u c i - u = 1 C t 0 idt + U0 = 1 2 t 0 6dt + 0 = 1 2 t 0 6dt = 1 2 6t = 3t Kondensaattorin jännite on alussa 0 volttia, sekunnin kuluttua 3 volttia, kahden sekunnin kuluttua 6 volttia. . . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 115 / 155
  123. 123. 10. tunti Kondensaattori ja differentiaaliyhtälö Muutetaan hieman piiriä. Kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0: E = 12 V C = 2 F R = 3 Ω U0 = 5 V C + − E ¨¨˜ ˜ t = 0 R u c i - Kirchhoffin lakien ja kondensaattorin yhtälön mukaan i = E − u R ja i = C du dt =⇒ E − u R = C du dt =⇒ RC du dt + u = E Ratkeaa yritteellä u = B + Ae− t τ . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 116 / 155
  124. 124. 10. tunti Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Lasketaan yritteen derivaatta u = B + Ae− t τ =⇒ du dt = − A τ e− t τ Ja sijoitetaan yrite derivaattoineen yhtälöön: RC du dt + u = E =⇒ − RCA τ e− t τ + B + Ae− t τ = E Jotta yhtälö olisi tosi kaikilla t:n arvoilla, tulee päteä τ = RC ja B = E. Tällöin: −Ae− t τ + Ae− t τ = 0 Mistä saadaan A? Kondensaattorin alkujännitteestä. Ajanhetkellä t = 0 tulee kaavan antaa jännitteeksi 5 volttia: u = B + Ae− t τ =⇒ u = E + Ae− t RC =⇒ 5 = 12 + Ae− 0 2·3 ⇒ A = −7. Lopullinen vastaus jännitteelle: u = 12 − 7e− t 6 . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 117 / 155
  125. 125. 10. tunti Kela Tavallaan kondensaattorin vastakohta – yhtälöissä on jännitteet ja virrat vaihtaneet paikkaa verrattuna kondensaattorin yhtälöihin: u = L di dt ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L i? u c Sama integraalimuodossa i = 1 L t 0 udt + I0. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 118 / 155
  126. 126. 10. tunti Kotitehtävä 10 Ratkaise kondensaattorin jännite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0. R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C + − E ¨¨˜ ˜ t = 0 R2 R1 u c i - Lopputulos: u = 5 − 5e−2·t = 5(1 − e−2·t ) (volttia) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 119 / 155
  127. 127. 11. tunti Kotitehtävä 10 - ratkaisu Ratkaise kondensaattorin jännite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0. R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C + − E ¨¨˜ ˜ t = 0 R2 R1 u c i - i = C du dt i = E − u R1 − u R2 ⇒ R1R2C R1 + R2 du dt + u = R2 R1 + R2 E AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 120 / 155
  128. 128. 11. tunti R1R2C R1 + R2 du dt + u = R2 R1 + R2 E Sijoitetaan yhtälöön tunnilta tuttu yrite derivaattoineen: u = B + Ae− t τ ⇒ du dt = − A τ e− t τ jolloin saadaan R1R2C R1 + R2 (− A τ e− t τ ) + B + Ae− t τ = R2 R1 + R2 E Jotta vakiotermit olisivat samat, täytyy päteä: B = R2 R1+R2 E. Eksponenttitermissä täytyy olla τ = R1R2C R1+R2 . Nyt yhtälö on ratkaistu: −Ae− t τ + Ae− t τ = 0 u = R2 R1 + R2 E + Ae − t R1R2C R1+R2 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 121 / 155
  129. 129. 11. tunti Sijoitetaan vastaukseen lukuarvot: u = 5 + Ae−2t Vakio A ratkeaa alkuehdosta. Ajanhetkellä t = 0 kondensaattorin jännitteen tulee olla nolla: 0 = 5 + Ae−2·0 ⇒ A = −5 Lopullinen vastaus on siis: u = 5 − 5e−2·t = 5(1 − e−2·t ) (volttia). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 122 / 155
  130. 130. 11. tunti Muutosilmiöt Muutosilmiöiden käsittely on helppoa, jos piirissä on vain yksi kela tai kondensaattori. Jos niitä on useampi, muodostuva differentiaaliyhtälö on erittäin hankala ratkaista (ilman syvällisempää differentiaaliyhtälöiden osaamista). Monimutkaisempi differentiaaliyhtälö on helppo ratkaista Laplace-muunnoksen avulla. Laplace-muunnoksen avulla voidaan differentiaaliyhtälö muuntaa tavalliseksi yhtälöksi, josta selviää tavallisella kaavanpyörittelyllä. Avuksi tarvitaan Laplace-muunnostaulukko (löytyy Tuubissa olevasta kaavakokoelmasta). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 123 / 155
  131. 131. 11. tunti Laplace-muunnoksen idea Laplace-muunnos on niin kutsuttu integraalimuunnos. Se määritellään seuraavasti: L(f (t)) = ∞ 0 f (t)e−st dt Laplace-muunnosten laskeminen on työlästä. Siksi käytännön sovelluksissa käytetään valmista Laplace-muunnostaulukkoa. Muuttuja s on nimeltään Laplace-muuttuja. Laplace-muunnettua ajan funktiota f (t) merkitään usein isolla kirjaimella F(s). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 124 / 155
  132. 132. 11. tunti Mitä hyötyä Laplace-muunnoksesta on? Laplace-muunnoksen avulla voidaan differentiaaliyhtälö muuntaa tavalliseksi (=algebralliseksi) yhtälöksi. Sitten algebrallinen yhtälö ratkaistaan. Ja lopuksi se Laplace-käänteismuunnetaan takaisin ajan funktioksi. VERTAUS: Aivan kuten osoitinlaskennassa ensin sinimuotoinen jännitelähde muutetaan kompleksiluvuksi, sitten lasketaan kompleksiluvuilla ja lopuksi tulos muunnetaan sinimuotoiseksi. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 125 / 155
  133. 133. 11. tunti Askelfunktio ja impulssifunktio Määritellään pari uutta funktiota: Askelfunktiolla tarkoitetaan sellaista (ajan t) funktiota (t), joka saa arvon 1, jos t ≥ 0 ja 0, jos t 0. Tällä funktiolla voidaan esimerkiksi mallintaa kytkintä, joka suljetaan ajanhetkellä t = 0. Impulssifunktiolla tarkoitetaan funktiota12 δ(t), jonka arvo on ∞, kun t = 0, ja 0, kun t = 0. Impulssifunktiolla voidaan mallintaa äkillistä virta- tai jännitepiikkiä. Esimerkiksi jos kelan virta katkaistaan yhtäkkiä, niin kelan jännite hyppää (teoriassa) äärettömäksi. 12 Pilkunviilaus: impulssifunktio ei tarkalleen ottaen ole funktio, koska siltä puuttuu joitain funktiolle tyypillisiä ominaisuuksia. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 126 / 155
  134. 134. 11. tunti Muutama tavallinen Laplace-muunnos Laplace-muunnos on lineaarinen, joten vakiokerroin voidaan siirtää Laplace-muunnoksen läpi(aivan kuten derivoinnissakin), ja summalausekkeessa termit voidaan Laplace-muuntaa yksi kerrallaan (aivan kuten summalauseke voidaan derivoida termi kerrallaan). Alla pari tärkeää muunnosta: L{A (t)} = A s L{δ(t)} = 1 L{t} = 1 s2 L{e−at} = 1 s+a Laplace-muunnos on määritelty vain ajanhetkillä t ≥ 0. Tämä tarkoittaa, että jokainen muunnettava funktio voidaan ajatella kerrotuksi askelfunktiolla. Siis: L{ (t)} = L{1} = 1 s ja vakiolle L{A} = L{A (t)} = A s . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 127 / 155
  135. 135. 11. tunti Komponenttien Laplace-muunnokset Virtapiirejä laskettaessa ei tarvitse ensin kirjoittaa differentiaaliyhtälöä ja sitten muuntaa sitä, vaan komponentit voidaan muuntaa suoraan. Kela ja kondensaattori Laplace-muunnettuna ovat: § ¤§ ¤§ ¤ sL 1 sC Kaavat on helppo muistaa, ne muistuttavat impedanssin kaavoja, nyt vain jω:n tilalla on Laplace-muuttuja s. Tämä ei ole sattumaa — aiheesta lisää ensi tunnilla! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 128 / 155
  136. 136. 11. tunti Komponenttien Laplace-muunnokset Mikäli kelassa kulkee alkuvirta (virta hetkellä t = 0) tai kondensaattorissa on alkujännite (jännite hetkellä t = 0), muunnos tapahtuu seuraavasti: § ¤§ ¤§ ¤ L IL0 - C UC0 E § ¤§ ¤§ ¤ sL − + LIL0 1 sC + − UC0 s AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 129 / 155
  137. 137. 11. tunti Lähteiden Laplace-muunnokset Tasajännitelähde ja tasavirtalähde muunnetaan yksinkertaisesti jakamalla tasavirta tai tasajännite Laplace-muuttujalla s. − + E J - − + E s J s - Mikäli lähde on ajasta riippuva, esimerkiksi sinimuotoinen, niin lähteen ajan funktio vain muunnetaan Laplace-muunnostaulukon avulla. Tärkeää (ja kätevää) Laplace-muunnetulle piirille pätevät kaikki tutut laskusäännöt (Kirchhoff, Ohm, jännitteenjako . . . )! AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 130 / 155
  138. 138. 11. tunti Yksinkertainen esimerkki Ratkaistaan kelan jännite u Laplace-muunnoksen avulla. E = 12 V L = 2 H R = 6 Ω ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L + − E ¨ ¨ ˜ ˜ t = 0 R u c i - Laplace-muunnetaan piiri (ks. seuraava kalvo). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 131 / 155
  139. 139. 11. tunti Yksinkertainen esimerkki - jatkuu Ratkaistaan kelan jännite u Laplace-muunnoksen avulla. E = 12 V L = 2 H R = 6 Ω ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ sL + − E s R U c I - Nyt kelan jännite ratkeaa jännitteenjakosäännöllä: U = E s sL R + sL = E 1 R L + s Muunnetaan vastaus takaisin ajan funktioksi: L−1 E 1 R L + s = Ee− R L t AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 132 / 155
  140. 140. 11. tunti Osamurtokehitelmä Edellinen esimerkki oli helppo, koska Laplace-muodossa oleva ratkaisu oli helppo pyöräyttää muotoon, johon löytyi suora muunnoskaava Laplace-taulukosta. Jos lauseke on hankalampi, se tulee pilkkoa murtolausekkeiden summaksi (=osamurtokehitelmä). Osamurtokehitelmän laskeminen on helppoa, mutta siinä on myös helppo tehdä virheitä (monta välivaihetta). Osamurtokehitelmän idea on, että siinä ikään kuin tehdään takaperin kahden tai useamman murtolausekkeen yhteenlasku. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 133 / 155
  141. 141. 11. tunti Osamurtokehitelmä Esimerkiksi lauseke 1 s2+sa eli 1 s(s+a) voidaan lausua muodossa A s + B s + a , missä A ja B ovat vakioita, joita emme vielä tiedä. Ne selvitetään seuraavasti: A s + B s + a = 1 s(s + a) A(s + a) s(s + a) + Bs s(s + a) = 1 s(s + a) As + Aa + Bs s(s + a) = 1 s(s + a) Jatkuu seuraavalla kalvolla. . . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 134 / 155
  142. 142. 11. tunti Osamurtokehitelmä Jotta osoittajat olisivat samat, tulee olla A = −B (jotta s-termi häviää) ja A = 1 a (jotta osoittajaan jää ykkönen). Eli: 1 a s + −1 a s + a = 1 s(s + a) Nyt vasemmanpuoleiset termit voidaan muuntaa taulukkoa käyttämällä. Lisää esimerkkejä löytyy googlaamalla Partial Fraction Decomposition tai vaikkapa Wikipediasta http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction. Vinkki: jotkut laskimet (esim. TI-89) osaavat laskea osamurtokehitelmän. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 135 / 155
  143. 143. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtävä Laplace-muunnoksella Ratkaise kondensaattorin jännite u ajan funktiona. Kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0. R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V C + − E ¨¨˜ ˜ t = 0 R2 R1 u c i - AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 136 / 155
  144. 144. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtävä Laplace-muunnoksella Laplace-muunnetaan piiri R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10 V U0 = 0 V 1 sC + − E s R2 R1 U c R2 ja C ovat rinnakkain, ja niiden rinnankytkennän impedanssi on ZR2C = R2 sC R2+ 1 sC = R2 R2sC+1. Jännitteenjakosäännön mukaan jännite U on U = E s ZR2C R1 + ZR2C = E s 1 R1 ZR2C + 1 = E s 1 R1 R2sC+1 R2 + 1 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 137 / 155
  145. 145. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtävä Laplace-muunnoksella jatkuu U = E s 1 R1 R2sC+1 R2 + 1 = E R1C 1 s(s + R1+R2 R1R2C ) Tehdään lyhennysmerkintä (tilan säästämiseksi): a = R1+R2 R1R2C . Nyt: U = E R1C 1 s(s + a) Nyt pitää tehdä osamurtokehitelmä, mutta onneksi se on tehty tällaiselle kaavalle jo kolme kalvoa sitten: U = E R1C 1 s(s + a) = E R1C 1 a s + −1 a s + a AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 138 / 155
  146. 146. 11. tunti Esimerkki: edellinen kotitehtävä Laplace-muunnoksella jatkuu Suoritetaan Laplace-käänteismuunnos: u(t) = L−1 {U(s)} = L−1 E R1C 1 a s + −1 a s + a = E R1C 1 a L−1 1 s − 1 s + a = E R1C 1 a (1 − e−at ) = E R1C 1 R1+R2 R1R2C (1 − e − R1+R2 R1R2C t ) = E R2 R1 + R2 (1 − e − R1+R2 R1R2C t ) Huomautus! Tässä kyseisessä tapauksessa Laplace-muunnos oli työläämpi kuin yritteen käyttö. Jos piirissä on useampi kuin yksi kela tai kondensaattori, Laplace-muunnoksen käyttö on käytännössä välttämätöntä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 139 / 155
  147. 147. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Kondensaattorin alkujännite UC0 on 5 volttia. Millainen virta piirissä lähtee kulkemaan, kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0. C = 1 F ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L = 1 H i -¨ ¨ ˜ ˜ t = 0 UC0 = 5 V W Laplace-muunnetaan piiri. Koska kondensaattorilla on alkujännite, muunnokseen tulee mukaan jännitelähde (ks. seuraava kalvo). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 140 / 155
  148. 148. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Kondensaattorin alkujännite UC0 on 5 volttia. Millainen virta piirissä lähtee kulkemaan, kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0. 1 sC ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ sL I - + − UC0 s Seuraavaksi ratkaistaan Ohmin lain avulla munnetusta piiristä virta I: I = UC0 s 1 sC + sL = UC0 1 C + s2L = UC0 1 C + s2L Jatkuu. . . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 141 / 155
  149. 149. 11. tunti Esimerkki: kela ja kondensaattori Nyt lauseke pitää vääntää sellaiseen muotoon, että siihen voidaan soveltaa jotain kaavakokoelman muunnoskaavaa. Virran lausekkeen nimittäjässä on toinen s:n potenssi plus vakio. Sopivalta kaavalta näyttää L{sin ωt} = ω s2 + ω2 Järjestetään virran lauseke niin, että se näyttää samalta I = UC0 1 C + s2L = UC0 1 1 C + s2L = UC0 L 1 1 LC + s2 = UC0 L √ LC 1√ LC 1 LC + s2 Ja käänteismuunnetaan ja sijoitetaan lukuarvot i(t) = L−1 UC0 L √ LC 1√ LC 1 LC + s2 = UC0 L √ LCL−1 1√ LC 1 LC + s2 = UC0 L √ LC sin 1 √ LC t = 5 sin(t) Eli piirissä jää kiertämään 5 ampeerin sinimuotoinen virta, kulmataajuudella ω = 1√ LC = 1. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 142 / 155
  150. 150. 11. tunti Motivointia Kurssin asiat on nyt käsitelty! Ensi tunnilla katsellaan vähän, miksi s = jω, ja harjoitellaan lisää laskuesimerkkejä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 143 / 155
  151. 151. 11. tunti Kotitehtävä 11 Ajanhetkellä t = 0 kondensaattorin jännite on 0 V ja kelan virta on 1 A. Miten piirin virta i käyttäytyy ajanhetken t = 0 jälkeen? Selvitä se Laplace-muunnoksen avulla. C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A C ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L i - IL0 ? UC0 W Oikea lopputulos: i(t) = sin(t + π 2 ) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 144 / 155
  152. 152. 12. tunti Kotitehtävä 11 Ajanhetkellä t = 0 kondensaattorin jännite on 0 V ja kelan virta on 1 A. Miten piirin virta i käyttäytyy ajanhetken t = 0 jälkeen? Selvitä se Laplace-muunnoksen avulla. C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A C ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ L i - IL0 ? UC0 W Ratkaisu: muunnetaan piiri (seuraava kalvo). AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 145 / 155
  153. 153. 12. tunti Kotitehtävä 11 C = 1 F L = 1 H UC0 = 0 V IL0 = 1 A 1 sC ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ sL I - + − LIL0Virta Laplace-tasossa on I = LIL0 1 sC + sL = 1 1 s + s = s s2 + 1 Käänteismuunnetaan: i(t) = L−1 s s2 + 1 = cos(1 · t) = cos(t) = sin(t + π 2 ) AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 146 / 155
  154. 154. 12. tunti Laplace-muunnos ja Fourier-muunnos Laplace muunnos: L(f (t)) = ∞ 0 f (t)e−st dt Fourier-muunnos: F(f (t)) = ∞ −∞ f (t)e−jωt dt Kaavoissa ainoa ero on alempi integrointiraja, sekä muuttuja s = jω. Osoitinlaskenta perustuu teoreettisesti differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun Fourier-muunnoksen avulla. Tämän takia Laplace-muunnettujen ja Fourier-muunnettujen komponenttien ainoa ero impedanssin kaavoissa on s = jω. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 147 / 155
  155. 155. 12. tunti Fourier-sarja jaksolliselle funktiolle Jos halutaan laskea, miten piiri käyttäytyy esimerkiksi jos sinne syötetään kolmioaaltoa, voidaan käyttää Fourier-sarjaa. Fourierin teoreeman mukaan mikä tahansa jaksollinen signaali voidaan hajottaa siniaaltojen summaksi. Tällöin muodostuvan jokaisen siniaallon taajuus on alkuperäisen signaalin monikerta. Fourier-sarjan laskeminen ei ole varsinaisesti vaikeaa, mutta jätämme sen rajoitetun ajan vuoksi pois kurssilta. Laskeminen vaatii hieman integrointia. Kiinnostuneet voivat tutustua aiheeseen kirjan kappaleesta 3.3.1 Fourier-sarjan laskeminen. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 148 / 155
  156. 156. 12. tunti Kertaustehtävä - ratkaisu seuraavalla kalvolla! Ratkaise kondensaattorin jännite U kompleksilukulaskennalla. R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10∠20◦ ω = 100π C + − E R2 R1 U c I - E on siis sinimuotoinen jännitelähde, jonka tehollisarvo on 10 volttia, vaihekulma 20 astetta ja taajuus 50 Hz eli kulmataajuus on 100π. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 149 / 155
  157. 157. 12. tunti Ratkaisu R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10∠20◦ ω = 100π C + − E R2 R1 U c I - E on siis sinimuotoinen jännitelähde, jonka tehollisarvo on 10 volttia, vaihekulma 20 astetta ja taajuus 50 Hz eli kulmataajuus on 100π. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 150 / 155
  158. 158. 12. tunti R1 = R2 = 1 Ω C = 1 F E = 10∠20◦ ω = 100π C + − E R2 R1 U c I - Merkitään R2:n ja C:n rinnankytkennän impedanssia ZR2C . Tällöin jännite U on jännitteenjakosäännön mukaan U = E ZR2C ZR2C + R1 Lasketaan rinnankytkennän resistanssi ZR2C = 1 1 R2 + 1 1 jωC = R2 1 + jωCR2 ja sijoitetaan se ylempään kaavaan U = E R2 1+jωCR2 R2 1+jωCR2 + R1 = E R2 R2 + R1(1 + jωCR2) = 10∠20◦ 2 + j100π . AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 151 / 155
  159. 159. 12. tunti Lasketaan lopullinen arvo: U = 10∠20◦ 2 + j100π = 10∠20◦ 22 + (100π)2∠ arctan 100π 2 ≈ 10∠20◦ 314∠89,6◦ ≈ 0,032∠ − 69,6◦ . Eli kondensaattorin (ja vastuksen R2) yli on 32 millivoltin jännite, jonka vaihekulma on -69,6 eli se on 89,6 astetta jäljessä jännitelähdettä E. Jos ei halua pyöritellä välivaiheita, voi käyttää sopivaa laskinta tai Wolfram Alphaa13. 13 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810e^%28i*pi%2F9%29%29%2F% 282%2B100*pi*i%29 AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 152 / 155
  160. 160. 12. tunti Kotitehtävä 12 Tässä kalvosatsissa on oli14 kaksi tahallista virhettä. Virheet on tehty niin, että ne eivät sotke asioiden oppimista (niistä näkee heti, että kyseessä on virhe). Kummankin virheen löytämisestä tulee 1 piste. Jos löydät muita virheitä15 (niitä saattaa olla tai sitten ei), annan niistä hyvitystä tenttiin jollain kertoimella (jonka päätän, kun näen virheiden määrän :-). Virheiden lisäksi otan mielelläni vastaan myös parannusehdotuksia (esim. jos joku asia on selitetty puutteellisesti tai jostain tärkeästä asiasta puuttuu esimerkki). 14 Otin virheet pois, nyt kun tehtävä on jo ohi. 15 Ensimmäisen tunnin kalvoilla lukee, että tehtäviä on 10x2. Tätä ei lasketa virheeksi, vaan yksinkertaisesti muutin mieltäni (jotkut tehtävät olivat sen verran vaikeita/laajoja, että lasketaan ne kahdeksi tehtäväksi). Lisäksi viimeisellä opetusviikolla on myös kotitehtäviä, vaikka puhuttiin 10:stä tehtävästä. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 153 / 155
  161. 161. 12. tunti Loppukurssin aikataulu Talviloman jälkeen lasketaan kertaustehtäviä (jaan ne tunnilla ja tulevat myös Tuubiin). Koe on ma 7.3. ja kokeen palautus seuraavan viikon torstaina. Jos haluat harjoitella laskutehtäviä talvilomalla, niin täältä niitä löytyy reilusti: http://users.tkk.fi/ksilvone/Lisamateriaali/ lisamateriaali.htm AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 154 / 155
  162. 162. 12. tunti Lopuksi Jos löydät kalvoista virheitä tai epäjohdonmukaisuuksia tai sinulla on kehitysideoita, ota rohkeasti yhteyttä. Parantelen kalvoja mielelläni. AS10 AS07 Vesa Linja-aho TA00AB72 Vaihtosähköpiirien perusteet (3 op) 22. elokuuta 2014 155 / 155

×