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Proporcao aurea faal
 

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    Proporcao aurea faal Proporcao aurea faal Presentation Transcript

    • Desenho geométricoRazão e Proporção: do básico ao Phi
    • Segmentos, Razão e Proporção - Definições
    • Proporções
    • Segmentos Proporcionais: conceito
    • Média Proporcional ou GeométricaUm segmento é a média proporcional a dois outros segmentos,quando ele ocupa os dois meios ou os dois extremos de umamesma proporção. a / x = x / b então x2 = a . bExemplo: Relações métricas no triângulo retângulo.h é a média proporcional entre m e n m/h=h/n h2 = m . ncada um dos outros extremos (m e n)chamam-se terceira proporcional.
    • Vamos àsconstruções???Régua ecompasso namão....
    • 1. Divisão em média e extrema razão
    • Procedimento
    • Curiosidade... Ao dividir o segmento AB em média e extrema proporção determinamos o ponto E. A razão entre os segmentos AB e AE vale aproximadamente 1.61803 e é conhecida como razão áurea, conteúdo que estudaremos mais adiante. O símbolo que representa esta constante é a letra grega phi.
    • 2. Média Proporcional ou GeométricaLembra desta razão?Vejamos como construiresta altura...
    • Procedimento
    • Terceira Proporcional
    • Quarta Proporcional
    • Exercícios para entregar
    • Uma proporção especial para a Arte e para a Matemática
    • Proporção ÁureaMuito frequente é a sua utilização em pinturas renascentistas. Estenúmero está envolvido com a natureza do crescimento. Phi, como échamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção emconchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho dasfalanges, ossos dos dedos, por exemplo), e em inúmeros outrosexemplos que envolvem a ordem do crescimento.
    • Entendendo melhor este número de ouro (a-x) / x = x / aA solução algébrica da expressão [(a-x : x) = (x : a)], considerando a = 1, resulta numaequação de segundo grau (x2 - x - 1= 0) cujas raízes são ±
    • Recordando.... Associando!
    • Retângulo Áureo É o retângulo que tem os seus lados a e b na razão áurea a / b = Phi = 1,618034portanto, o lado menor (b) é o segmento áureo do lado maior (a).
    • Construção do retângulo áureo a partir de um quadrado
    • Passo a passo....
    • Retângulo Áureo e sequência de FibonacciNa Idade Média o matemático Leonardo de Pisa (Fibonnacci) apresentou umasérie de números reais positivos que crescem em proporção contínua, e ondecada número é o resultado da adição de seus dois antencedentes. Esta sérietem como peculiaridade o fato de cada número guardar com o seuantecedente uma razão próxima ao número de ouro. A Série de Fibonnacci, comoficou conhecida, é um recurso para se obter uma proporção próxima a áurea, sem anecessidade de se lidar com números incomensuráveis.São eles: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ..., etc.Assim, se a razão 3 : 2 = 1,5 ainda está longe do número de ouro [Phi = 1,618...],quanto mais esta razão cresce mais vai se aproximar de Phi, ou seja 5 : 3 =1,666...; 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625...; 55 : 34 = 1,617; etc.Assim pode-se facilmente desenhar retângulos ditos estáticos, retângulos cujarazão entre seus lados é inteira ou fracionária, que guardam uma relação deproporção muito próxima àquela do retângulo áureo:
    • Retângulos e compasso até a espiral...Com régua áureos e a espiral...
    • Algumas aplicações das proporções áureasEstudos sobre proporção e composição da forma“ Em toda obra de arte autêntica, (e porautêntica se deve entender a tudo quepode atender a uma finalidade biológica,tudo que tenha geneticamente um valor),deve haver dois elementos: um denatureza matemática que dá causa àcategoria de beleza, outro, de naturezaorgânica, que dá origem à categoria devitalidade. As maiores obras de arte, são,portanto, as que conjugam esses doiselementos em uma forma a qual se podechamar de fundamental, porquepossuem tanto a beleza quanto avitalidade”. Herbert Reed
    • O que uma pinha, um corpo humano e uma truta tem em comum.Todos são providos de sistemasnaturais de proporções quepropiciam os fundamentos para otrabalho de muitos – alguns diriamde todos – artistas e designers.Ao desvendar estes sistemasnaturais, revela-se a misteriosarelação entre a matemática e abeleza. Nos conduz até o reino dageometria – das Seções Ouro e daProporção Divina e a Seqüencia deFibonacci – em linguagemacessível a muitos dos avessos àmatemática.
    • A Anatomia do CompartilharA razão áurea não selimita unicamente às Architectonica nobilispreferências estéticashumanas, mas fazemparte de relaçõesnotáveis entre asproporções dos padrõesde crescimento deentidades vivas, comoanimais e plantas. Penion dilatatus
    • A Anatomia do CompartilharO Nautilus e outras conchas seguem Nautilusexatamente aquele padrão que mostramcomo elas se abrem em espiraislogarítmicas caracterizadas pelasproporções da seção áurea. Uma típicaespiral logarítmica do crescimento deuma concha mostra que cada estágioconsecutivo de expansão é contido porum retângulo áureo que é um quadradomaior que o anterior.A estrela pentagonal e de cinco pontastambém ostentam proporções áureas epodem ser encontradas em muitosorganismos vivos, como o ouriço. Assubdivisões interiores de um pentágonodão origem a uma estrela de cincopontas, e a razão de cada duas linhasnuma estrela de cinco pontas guarda aproporção de 1:1,618.
    • Detalhes...
    • A Anatomia do Compartilhar PinhaOs padrões de crescimento de espirais deuma pinha e do girassol são similares. Assementes de cada um crescem como duasespirais que se interceptam e movem-se emdireções opostas, e cada semente pertenceambos os pares de espirais. No exame dasespirais de sementes de uma pinha, 8 delasmovem-se na direção dos ponteiros de umrelógio, e 13 na direção contrária, numa razãomuito próxima da áurea. No caso do girassol,há 21 espirais num sentido e 34 no sentido Girasoloposto, também em proporções próximas àáurea. Os números 8 e 13, como achados naespiral da pinha, 21 e 34, no girassol, sãomuito conhecidos dos matemáticos. Eles sãopares de adjacentes de uma seqüênciamatemática denominada Seqüência deFibonacci. Cada número da seqüência édeterminado pela soma dos dois númerosprévios: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Arelação de cada dois números adjacentes éprogressivamente mais próxima da razãoáurea de 1:1,618.
    • A Anatomia do Compartilhar Cavala Sardinha PercaMuitos peixes também apresentam proporções Trutaáureas. Três seções de construção emproporção áurea, aplicadas ao corpo de umatruta, mostram as relações entre o olho e abarbatana da cauda, em retângulos equadrados áureos recíprocos. Além disso, asbarbatanas individuais também guardam essasmesmas proporções.A forma do peixe azul tropical cabe de formaperfeita num retângulo áureo. Sua boca eguelras apresentam-se em razões áureasrecíprocas em relação à altura do seu corpo.
    • Proporções do Corpo Humano na Escultura ClássicaDa mesma forma que plantas e animaisapresentam proporções áureas, fenômenosimilar ocorre com os seres humanos. Estatalvez seja uma explicação para a preferênciacognitiva pela razão áurea: a face e o corpo Gladiador Zeushumano guardam as mesmas relaçõesmatemáticas encontráveis em outros seresvivos.De acordo com este esquema, o corpo humanoé dividido na metade da virilha, e pela seçãoárea, no umbigo. As estátuas do Gladiador e deZeus tomam por base a teoria de Vitruvius e aanálise de suas proporções é praticamenteidêntica.
    • Vitruvius /Dürer / Da Vinci Zeus analisado conforme o Canon de Vitruvius.Um dos estudos escritos mais antigosencontrados sobre o assunto foi o do arquitetogrego Marcus Vitruvius Pollio, conhecidosimplesmente como Vitruvius. Ele defendia que aarquitetura dos templos deveria tomar por base aanalogia com um corpo humano perfeitamenteproporcionado, que é harmônico em todas assuas partes. Vitruvius descreveu tal proporção,explicando que num homem bem proporcionado,sua altura deve equivaler ao comprimento deseus braços estendidos (envergadura). A alturado corpo e o comprimento de seus braços O quadrado inscreve a altura do corpo; mãos e pésestendidos criam um quadrado que envolve todo tocam o círculo cujo o centro é no umbigo. A figura éo corpo, enquanto as mãos e os pés tocam um dividida ao meio na virilha pela seção áurea cujo lado superior do quadrado passa também no umbigo.círculo, tendo o umbigo como centro.
    • Proporções da Face Comparação das proporções faciais (desenhos de Da Vinci e Dürer)A teoria de Vitruvius inclui as proporções daface e do corpo. As características faciaisguardam as proporções clássicas usadas nasesculturas gregas e romanas. Embora tantoDa Vinci como Dürer tivessem empregado ospadrões de Vitruvius, no que toca àsproporções do corpo, tal não acontece comrelação às faces, que apresentam diferençasnotáveis: o sistema facial de Da Vinci estáespelhado no de Vitruvius, e fracas linhas deconstrução podem ser vistas no seu desenhooriginal das proporções humanas. A análise da proporção facial está em acordo com a teoria de Vitruvius, e as proporções são praticamente idênticas. O diagrama mostra um retângulo áureo único, como guia para o comprimento e largura da cabeça. Esse retângulo é subdividido por outros, sempre em proporção áurea, para determinar a colocação dos apêndices.
    • Proporções da Face Estudos de Dürer sobre a proporção facial.Dürer, no entretanto, usa proporções bemdiferentes. As proporções por ele usadas em seutrabalho “Homem inscrito num círculo”caracterizam-se por órgãos faciais pequenos euma grande fronte, que constituía,possivelmente, uma preferência estética daépoca. A face é dividida em duas partes por umalinha, uma no topo das sobrancelhas, com osolhos, nariz e boca abaixo dela, e um pescoçocurto. As mesmas proporções faciais sãoempregadas repetidamente em muitos dosdesenhos contidos no livro “Quatro livros sob aproporção humana,” de 1528 Dürer fez tambémalgumas experiências em seu desenho “Quatrocabeças construídas,” no qual ele introduziulinhas oblíquas na grade de construção, para Quatro exemplos da “Quadro Cabeças Construídas”.produzir variações. Estudos de Fisiognomia , cerca de 1526/27
    • Sistema DIN de Classificação de Papéis Normas e Padronizações A0 = 1 m2Retângulos possuem a especial propriedade depoderem ser divididos em número ilimitado deretângulos proporcionais menores. Por estemotivo, eles se tornaram a base da normaeuropéia DIN (Deutsche Industrie Normen), queregula a dimensão dos papéis. Muitos dospôsteres mostrados à seguir guardamproporções análogas. Dobrando-se a folha umavez, produz-se uma metade. Se dobrada quatrovezes, a folha resulta em 8 pedaços de papeletc. Este sistema é não só eficiente, comoconduz a uma economia de papel. Cidadeseuropéias que mantêm uma rica tradição depôsteres e outdoors, normalizaram áreas de Os formatos de papel utilizados no mercado brasileirocolocação, nas ruas, destes produtos, na são padronizados pelo sistema internacional DIN sérieproporção da DIN. Além de significar economia A, aprovado pela ISO e recomendado pela ABNT. Partem do formato original A0, cuja medida éde papel, o método do retângulo aproxima-se 841x1189mm, que corresponde à área de 1 metromuito da razão áurea. quadrado.
    • Capela do I.I.T., Mies van der Rohe – 1949/1952Mies van der Rohe é mais conhecido por seusmonumentais arranha-céus em aço e vidro. Elefoi um mestre em sistemas proporcionais e taisarranha-céus guardam formas e proporções tãosemelhantes que poderiam ser classificadoscomo um arquétipo único.Mies foi diretor da Faculdade de Arquitetura noInstituto de Tecnologia de Illinois (IIT) por vinteanos, e naquele período ele projetou todo ocampus e muitos dos seus prédios. A capela doIIT é um bom exemplo do uso das proporçõesem pequena escala. A fachada do prédio éproporcionada à razão áurea, 1:1,618. O prédioestá perfeitamente subdividido em cincocolunas por retângulos áureos, e quando elessão repetidos, como padrão, o prédio aparececomo um módulo de 5x5 retângulos horizontais. Arquitetura
    • AnáliseA razão áurea pode ser vista de pronto nestesdesenhos (à esquerda, acima). A fachada dafrente da capela pode ser subdividida numasérie de retângulos áureos, que circundam asgrandes janelas superiores e as pequenassuperiores, para ventilação. As grandes janelasinferiores são quadradas. O desenho em cortedo interior, em direção ao altar, mostra que operímetro da fachada frontal pode ser definidopor três retângulos áureos (acima, à direita). Oplano do perímetro da capela cabeperfeitamente num retângulo áureo. O quadradodo retângulo áureo define o altar e as áreas deserviço e dispensa da capela. Estas duas áreasestão separadas por uma pequena elevação doaltar e grades. O plano original da capela nãoprevia assentos, foram, mais tarde,acrescentados.
    • Poster Folies-Bergére, Jules Chéret, 1877É um trabalho dinâmico e atraente, que capturao movimento de um grupo de dançarinos. Àprimeira vista a composição parece espontâneae desprovida de organização geométrica, masum exame mais acurado revela uma estruturavisual extremamente cuidadosa.A posição dos membros dos dançarinosmasculinos correspondem aproximadamente aum pentágono, circunscrito por um círculo.Design Visual
    • AnáliseAs três figuras estão envolvidas, em primeirolugar por um círculo, depois por um pentágono,em seguida por um pentagrama estrelado efinalmente por um pentágono, cujo centro é opivô para os quadris da dançarina. Até mesmoa figura do pequeno duende, ao pé da figura,que dança através de sua estrutura, tem suacabeça que encontra o círculo e o pentágono.A figura criada pelas pernas dos dançarinos éum triângulo áureo.As subdivisões interiores do pentágono criampentagramas estrelados que, por sua vez,originam pentágonos menores, proporcionais.A razão dos lados dos triângulos, no interior dopentagrama, é 1:1,618, a relação áurea. Oexato centro do pôster é o centro dos quadrisda dançarina, e as pernas dos dançarinoscriam um triângulo invertido, com ângulo naparte superior do pentagrama que envolve adançarina feminina. Cada membro e ombroestá cuidadosamente posicionado de acordocom a geometria da estrutura.
    • Poster Mostra Bauhaus - Fritz Schleifer, 1922Fritz Schleifer homenageou os seguidores doconstrutivismo em seu pôster sobre a MostraBauhaus. De acordo com os ideais doconstrutivismo da época, o perfil humano e atipografia podem ser abstraídos em formasgeométricas simples, da época das máquinasmecânicas.Uma face geométrica, desenhadaoriginalmente para fazer parte de um selo para a Bauhaus, por Oskar Schlemmer, foi ainda mais simplificada em cinco formas retangulares simples, eliminando aslinhas finas verticaise horizontais.A tipografia foi adotada de forma a serconsistente com os demais elementosretangulares da face, ecoando suas formasangulares rígidas. O tipo é similar àquele criadopor Theo van Doesburg, em 1920.
    • AnáliseA vista alinha-se ao longo do centro do eixovertical. O tipo alinha-se no topo e na base,com o retângulo do pescoço. O outro lado daface é simétrica em relação ao seu eixo. Atipografia é alinhada junto e abaixo do pescoçoem forma retangular.Projeto do tipo: A estrutura do tipo tomou por base umquadrado de 5 por 5, que permite que oscaracteres mais largos, M e W, ocupem oquadrado inteiro. Os caracteres mais estreitosocupam 5/4 do quadrado. O B e o R desviam-sede meia unidade, para que as formasarredondadas possam distinguir o R do A e o B doalgarismo 8.
    • Poster East Coast by L.N.E.R. - Tom Puvis, 1925O pôster de Tom Purvis, de 1925, East Coastby L.N.E.R., é um convite ao leitor para umaviagem de férias de verão pela LondonNortheast Railway.Mais de 25 anos antes, dois designers, que seauto-denominavam "Os Bergstaffs," já haviamtentado o então método revolucionário, dedesenvolver fortes composições de áreasplanas de cor, definindo silhuetas gráficassimples.O pôster de Purvis usa uma técnica similar desimplificação e joga espaço, cor e padrõesprovendo um balanço perfeito de cor eimagem.
    • AnáliseSeu diagrama é composto por 6 x 6 retângulos.A linha do horizonte divide o céu e o mar nameta- de do pôster. As figuras, assim como, aelipse maior e a menor do guarda-sol seconcentram visualmente no centro do cartaz. Oguarda-sol, de forma elíptica, é o elemento visualmais forte e apelativo pela sua cor vibrante e peladisposição diagonal.A forma elíptica é a que mais atrai a atençãovisual em relação a qualquer outra formageométrica e, posta em diagonal, torna-se maisprovocativa devido a sua instabilidade. A corlaranja está em contraste complementar ao azuldo céu e do mar. Todas as formas seapresentam em silhueta, com grande economiade detalhes, situando o conjunto num mesmoplano visual.
    • Volkswagen Beetle - Jay Mays, Freeman Thomas, Peter Schreyer, 1997O novo Besouro Volkswagen é menos umveículo do que uma peça de escultura cinéticaà medida que se move pelas ruas.Distintamente diferente dos demais carros, eleexibe a idéia visual de coesão de forma. Seucorpo é, ao mesmo tempo, atrasado efuturista, uma fusão de geometria e nostalgia.O corpo adapta-se na metade superior de umaelipse áurea. As janelas laterais repetem aforma da elipse áurea, com as portasrepousando num quadrado de um retânguloáureo. Todos os detalhes de mudanças deáreas são elipses áureas tangentes oucírculos, mesmo a colocação da antena situa-se num ângulo tangente à roda fronteira.
    • AnáliseVista Frontal: A frente do carro é um quadrado com todasas superfícies simétricas. O logotipo daVolkswagen no capô situa-se no centro doquadrado.Carroceria: Um elipse áurea está inscrita no diagrama deconstrução de um retângulo áureo. O corpo cabeclaramente na metade superior desta elipseáurea. O eixo maior da elipse alinha-se com ocorpo, logo abaixo do centro das rodas.Abaixo: Uma segunda elipse áurea engloba asjanelas laterais. Está elipse é também tangente àroda da frente e à roda traseira. O eixo principalda elipse tangencia tanto a roda frontal como atraseira.
    • AnáliseVisão Posterior: A exemplo da visão frontal, a visão traseirapode ser inscrita num quadrado. O logotipo estácolocado próxima ao centro do quadrado, e todasas superfícies e elementos são simétricos. Ageometria do corpo do carro apresenta, ainda,outros detalhes; os faróis dianteiros e traseirossão elípticos, mas como repousam sobre curvas,aparentam ser circulares. O ângulo que rege ocapô da mala está a 45°.Antena: O ângulo da antena é tangente ao círculo dopara-lama da roda da frente e a posição da suabase alinha-se com o para-lama da roda traseira.
    • Evolução... Década de 40 Década de 60
    • Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga - Verschleisser/Visconti, 1972 2/3 1/6