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Apuntes de álgebra

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  • 1. Matemáticas Gerardo Edgar Mata Ortiz 1. Conceptos fundamentales de álgebra Existen muchas formas de iniciar el estudio de una materia, una de ellas consiste en definir las palabras que se usan en dicha ra- ma de la ciencia. Encuentra tres definiciones de cada concepto, anótalas en tu cuaderno y escribe en las líneas siguientes tu con- clusión acerca de las definiciones consultadas. 1. Álgebra ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 2. Teorema fundamental del álgebra ___________________________________________________ ___________________________________________________ PÁGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AL- MUJTASAR FI HISAB AL-JABR WA’L- ___________________________________________________ MUQABALA. FUE TRADUCIDO AL LATÍN POR ROBERTO DE CHESTER EN TOLEDO EN 1145 ___________________________________________________ 3. Expresión algebraica _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 4. Término algebraico, monomio, binomio, trinomio y polinomio _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________Unidad 1. Álgebra.
  • 2. Conceptos fundamentales. Otro punto de vista interesante para conocer el álgebra es su histo- ria. Consulta y elabora un resumen acerca de una parte de la histo- ria del álgebra que te haya llamado la atención, al menos tres cuarti- llas, a un espacio, letra tipo arial tamaño doce. Fecha de entrega: _________________ Empleando el software, “TerAlg” que se encuentra en la página: http://licmata-math.blogspot.mx/ , vamos a repasar las partes de un tér- mino algebraico. Anota la información complementaria que consi- deres importante. _______________________________________________________ _______________________________________________________ABU JAFAR MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI _______________________________________________________ (HACIA 780 - 850) _______________________________________________________Unidad 1. Álgebra. 2
  • 3. Conceptos fundamentales. Clasifica como monomio, binomio trinomio o polinomio y determina el grado de las siguientes expresiones algebraicas.Expresión algebraica Clasificación Grado 7z 4 2 x5  6 x 4  7 x 2  1  8 y 4  5 y3  9 y  3w4 x  4w2 x 2 8xy 4 z  2 x 2 y 3 z  yzEl lenguaje de la ciencia.La matemática en general yel álgebra en particular son Segunda Ley de Newton.importantes porque es la for- La aceleración que adquiere un objeto es directamente proporcio-ma en la que se escribe la nal a la fuerza que se le aplica e inversamente proporcional a su ma-ciencia. Los libros de cual- sa.quier disciplina científica es- En lenguaje algebraico: Ftán llenos de ecuaciones y aotras expresiones algebrai- mcas.Si entendemos la matemática como un lenguaje, entonces una buena parte del trabajo de apren-derla debe estar centrada en las reglas de dicho lenguaje; la sintaxis algebraica. Pero otro aspectoque también es muy importante tiene que ver con la traducción entre el lenguaje natural y el al-gebraico.La mayor parte de los problemas que deberemos resolver contienen expresiones como; “el doble,la mitad, el producto, el cociente, la semisuma” entre otras. Lo que debemos aprender es a escri-bir dichas expresiones en forma de símbolos algebraicos, sin perder de vista su significado y la re-lación que tiene con la situación original.Ejemplo:Dos automóviles salen del mismo punto, el automóvil B se desplaza al doble de velocidad que elautomóvil A…A continuación veremos como se representan esta clase de expresiones en lenguaje algebraico;no olvides que el doble significa multiplicar por dos; el doble de 5 son 10, el doble de 45 son 90,etc.Unidad 1. Álgebra. 3
  • 4. Conceptos fundamentales. Completa la tabla siguiente tomando como base los ejemplos que se encuentran en la misma. Lenguaje Expresión inversa o relaciona- Lenguaje alge- Lenguaje común algebraico da con la original braico El doble de un número cual- La mitad de un número cual- 1 x1 2x x quiera quiera 2 ó 22 3x Un número aumentado en3 tres unidades Jorge es 25 cm más alto que4 Fidel5 y=x+5 La suma de dos números es6 igual a 150 La suma de los ángulos inte-7 riores de un triángulo es igual a 180° La suma de dos ángulos rec-8 tos es igual a 180° La semisuma de dos números9 es igual a 18 El área de un triángulo es10 igual al semi producto de la base por la altura El semi perímetro de un trián-11 gulo es igual a 24 El área de un cuadrado es12 igual a 25 El volumen de un cubo es13 igual a 8Unidad 1. Álgebra. 4
  • 5. Conceptos fundamentales. (Continuación) Lenguaje Expresión inversa o relaciona- Lenguaje alge- Lenguaje común algebraico da con la original braico El 6 % de los alumnos de la14 Universidad tienen automóvil 0.06x propio El libro cuesta un 50% más15 que el juego de escuadras La inflación este año ha sido16 un 12 % menor que el año pasado El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble pro-17 ducto del primero por el se- gundo, más el cuadrado del segundo. El cubo de la suma de dos nú- mero es igual a:18 La diferencia de los cuadrados de dos número es igual al pro-19 ducto de: La diferencia de los cubos de dos números es igual a:20No siempre es posible encontrar una expresión que sea exactamente lo contrario de la que se in-dica, escribe alguna expresión que se relacione con ella de alguna forma, sólo se trata de practicarla traducción entre lenguaje natural y algebraico.En hoja aparte, indica qué representan las incógnitas en cada ejercicio.Unidad 1. Álgebra. 5
  • 6. Conceptos fundamentales.Tal como dijimos antes, el valor del álgebra está en sus aplicaciones,sin embargo, es importante repasar primero las operaciones algebrai-cas básicas.La suma algebraica, que incluye a la suma y la resta; consiste en reducción de términos semejan-tes, cuando hay paréntesis deben eliminarse primero multiplicando el signo que esta fuera delparéntesis por cada uno de los que están dentro. Explica, en los siguientes ejemplos, el procedi-miento de solución:1. (x 2 2x 3)  (x2  6x 5)  x22x 3 x2  6x 5  2x2 4x 22. ( y 2 5 y  7)  (2 y 2  9 y  12)  y 2 5 y  7  2 y 2  9 y  12  3 y 2  14 y  193. ( z 2 5 z )  (5 y 2  9 y )  (6 z 2  8 y)  (9 y 2  10 z)  z 2 5 z  5 y 2  9 y  6 z 2  8 y  9 y 2  10 z  14 y 2  7 z 2  y  15 zNo importa si los coeficientes son fracciones o decimales, simplemente se suman y restan siguien-do las mismas reglas. Si tienes mucho problema con las operaciones utiliza la calculadora.4. (0.5 y 2 2.3 y  8.6)  (2.7 y 2  0.9 y 1.6)  0.5 y 2 2.3 y  8.6  2.7 y 2  0.9 y  1.6  2.2 y 2  1.4 y  21.2Resuelve el siguiente ejercicio sin convertir a decimales. 1 3 1 5 7 25. ( a 2 a)  ( b 2  b)  ( a 2  b)  (b 2  a)  2 5 4 6 8 3Unidad 1. Álgebra. 6
  • 7. Conceptos fundamentales. Elabora un formulario que contenga las leyes de los signos y de los exponentes, asegúrate que sea fácil de llevar, deberás presentarlo en cada clase durante todo el mes.La multiplicación algebraica se realiza término por término los monomios y/o polinomios y redu-ciendo términos semejantes al final. Utiliza el formulario que elaboraste para facilitar el procedi-miento y trata de memorizar las reglas que anotaste, son útiles.Completa las siguientes operaciones cuando haga falta.1. (2 x  1)(3x  4)  6 x 2  8 x  3x  4  6 x2  5x  4Cuando sabemos que van a ser varios términos semejantes se acostumbra acomodarlos para faci-litar el proceso de simplificación.2. (a 2  3a  2)(2a 2  5a  4)  2a 4  5a3  4a 2  6a3  15a 2  12a  4a 2  10a  83. (2a  3b  1)(3a  2b  4) Como vimos antes, también pueden aparecer fracciones comunes y decimales.4. (1.5 p  2.8q  9.2)(0.3 p  q  5.6)  3 2 5 85. ( x y )( x  y )  4 3 6 3Unidad 1. Álgebra. 7
  • 8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Como plantear y resolver problemas Polya nació en Budapest el 13 de diciembre de 1887. En un princi- pio, no se sintió atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de esta última, el profesor Alexander, le su- girió que tomara cursos de física y matemáticas para completar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Su obra es bien conocida por todos los matemáticos, ya sea investiga- dores o profesores, especialmente la que se refiere a la enseñanza a través de problemas. Sus tres libros fundamentales son: George Polya (1887—1985) “Cómo plantear y resolver problemas”Filósofo y matemático originario “Matemáticas y razonamiento plausible” de Budapest. “La découverte des mathématiques”El método de los cuatro pasos de Polya.Este profesor propuso una metodología que simplifica el proceso de solución de problemas. Lospasos de su método son: 1. Entender el problema. Por medio de preguntas: ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficiente información? Naturalmente no es necesario responder a todas las preguntas, son solamente una orienta- ción acerca de cómo podemos entender mejor el problema. 2. Configurar un plan para resolver el problema. Esta parte es la más compleja de todas, requiere de una serie de ensayos y búsquedas heu- rísticas para diseñar dicho plan, en este caso, vamos a seguir un formato para elaborar el plan. 3. Ejecutar el plan. Esta parte del proceso requiere sólo conocimientos de álgebra elemental, de modo que es muy importante que hayas aprendido las operaciones algebraicas y comprendas la solu- ción de ecuaciones de primer grado. 4. Mirar hacia atrás. Revisar si el resultado obtenido responde a la(s) pregunta(s) planteada(s).Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 8
  • 9. Ecuaciones de primer grado con una incógnitaUna fábrica de ropa puede producir 6300 pantalones. Según el estudiode mercado, deben fabricarse el doble de pantalones talla M que detalla G, y 300 piezas más de talla Ch que de talla G. ¿Cuántas piezas decada talla deben fabricarse?Siguiendo el método de 4 pasos de Polya, veamos si entendemos el problema:Paso 1. Entender el problema.¿Qué nos están preguntando?________________________________________________________________________________¿Cuáles cantidades nos piden encontrar?________________________________________________________________________________¿Con cuáles datos contamos?________________________________________________________________________________Otra pregunta de interés: __________________________________________________________Respuesta: ______________________________________________________________________Paso 2. Elaborar un plan para resolver el problema.En este caso el plan que queremos diseñar está basado en las ecuaciones de primer grado conuna incógnita, así que debemos identificar una de las cantidades desconocidas por medio de unaincógnita. Puede ser cualquiera de las cantidades que estamos buscando.Como práctica, vamos a resolver el problema de tres formas distintas, en cada una de ellas, va-mos a tomar como incógnita una de las tres cantidades desconocidas.Paso 3. Ejecutar el plan.La ejecución del plan se llevará a cabo por medio del llenado de un formato preestablecido queiremos llenando con la información disponible.Paso 4. Mirar hacia atrás.Al terminar de resolver la parte algebraica del problema, vamos a analizar el resultado y ver sicumple con las condiciones establecidas por el problema.Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 9
  • 10. Ecuaciones de primer grado con una incógnitaLas tres formas de solución a que nos referimos son:Caso 1. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla GCaso 2. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla MCaso 3. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla ChVamos a resolver el problema de las tres formas posibles, realizando todos los pasos. Comenza-mos con:Caso 1. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla GObserva cómo se organiza la información en las tablas siguientes y completa donde haga falta: Cantidad des- Información que podemos Expresada en lenguaje Argumentos o razones conocida utilizar algebraico Podemos elegir cualquiera de las cantida-P. talla G Incógnita x des desconocidas como incógnita El doble de talla M que de Representamos con x la talla G, y el dobleP. talla M 2x talla G se obtiene multiplicando por dos 300 piezas más de talla CH Representamos con x la talla G, y 300P. talla CH x+300 que de talla G piezas más se expresa como una sumaConocimientos o información complementaria: Obtención de la ecuación:Sabemos que el total de pantalones debe ser igual a _______, P. talla G + P. talla M + P. talla Ch = ____________de modo que:La suma de pantalones talla G, más los de talla M, más los de x + 2x + x + 300 = ____________talla Ch debe ser igual a _________.Resolución de la ecuación obtenida: Solución del problema: x  2 x  x  300  _________ x  Cantidad de pantalones talla G  1500 4 x  300  __________ 2 x  Cantidad de pantalones talla M  3000 4 x  6300  300 x  300  Cantidad de pantalones talla Ch  1800 4 x  6000 Total  6300 6000 x 4 x  1500Señala en las tablas los aspectos importantes del proceso de solución.Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 10
  • 11. Ecuaciones de primer grado con una incógnitaOlvidemos que conocemos la solución del problema, vamos a resolverlo de otra forma:Caso 2. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla MTomando como referencia el caso 1, completa las tablas siguientes: Cantidad des- Información que podemos Expresada en lenguaje Argumentos o razones conocida utilizar algebraico Podemos elegir cualquiera de las cantidadesP. talla M Incógnita x desconocidas como incógnita El doble de talla M que deP. talla G talla G 300 piezas más de talla CH 1P. talla CH x  300 que de talla G 2Conocimientos o información complementaria: Obtención de la ecuación:Sabemos que el total de pantalones debe ser igual a _______, P. talla M + P. talla G + P. talla Ch = ____________de modo que:La suma de pantalones talla M, más los de talla G, más los de x + ________ + _______ = ____________talla Ch debe ser igual a _________.Resolución de la ecuación obtenida: Solución del problema: x  Cantidad de pantalones talla M  ________ ______  Cantidad de pantalones talla G  ________ ______  Cantidad de pantalones talla Ch  ________ Total  63 0 0 Competencias básicas. ¿El resultado del problema es distinto? Análisis del procedimiento Compara los dos procedimientos y los resultados obtenidos. ¿Cuál de los dos procedimientos te pareció más difícil? ¿Por qué? Contrasta el nivel de dificultad de la resolución de la ecuación. Observa el valor de la incógnita ¿El valor de equis es el mismo? ¿Por qué? en ambos casos y el resultado del problema.Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 11
  • 12. Ecuaciones de primer grado con una incógnitaYa vimos dos formas de resolver el problema, veamos el:Caso 3. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla ChTomando como referencia los casos 1 y 2, completa las tablas siguientes: Cantidad des- Información que podemos Expresada en lenguaje Argumentos o razones conocida utilizar algebraico Podemos elegir cualquiera de las cantidadesP. talla Ch Incógnita x desconocidas como incógnitaP. talla GP. talla MConocimientos o información complementaria: Obtención de la ecuación:Sabemos que el total de pantalones debe ser igual a _______, P. talla Ch + P. talla G + P. talla M = ____________de modo que:La suma de pantalones talla Ch, más los de talla G, más los de x + ________ + _______ = ____________talla M debe ser igual a _________.Resolución de la ecuación obtenida: Solución del problema: Competencias básicas. ¿El resultado del problema es distinto? Análisis del procedimiento Presta atención al orden en que se acomodaron las variables en cada caso. ¿Cuál de los tres procedimientos te pareció más fácil? ¿Por qué? Contrasta el nivel de dificultad de la resolución de la ecuación. Observa el valor de la incógnita ¿Notaste que el orden de las incógnitas fue diferente en cada caso? ¿Por qué? en los tres casos y el resultado del problema.Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 12
  • 13. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Aplicando el mismo procedimiento, resuelve los siguientes proble- mas. Utiliza el Formato 1.1. Un estudiante obtiene una calificación de 48 en el primer examen parcial y 78 en el segundo, ¿Qué calificación debe obtener en el tercer parcial para que su promedio sea de 70?2. La fórmula para convertir grados Fahrenheit a Centígrados es: º C  5 (º F  32) ¿A qué tem- 9 peratura ambas escalas indican el mismo valor numérico?3. Una fábrica de televisores produce unidades de 27’’, 21’’ y 19’’. Sabemos que el modelo de 21’’ se vende el triple que el de 27’’, mientras que de 19’’ se venden 100 unidades más que de 27’’. Si se van a producir 1000 unidades en total, ¿cuántos televisores de ca- da modelo deben producirse?4. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Si sabemos que el ángulo A mide lo doble que el ángulo B y el ángulo C excede en 20° al ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo?5. La fórmula para calcular la resistencia eléctrica en una conexión como la mostrada es: R1  R2 RT  R 1  R2 RT = Resistencia total Si se desea que la Resistencia total sea igual a 120 K y la resistencia uno sea R1 = Resistencia uno igual al doble de la resistencia dos. ¿Cuál debe ser el valor de cada resistencia? R2 = Resistencia dos6. En un viaje de 1200 kilómetros Juan Carlos empleó 4.5 horas manejando bajo la lluvia y 8 horas 45 minutos en tiempo despejado. La velocidad en el tramo lluvioso fue 16 km/h menor que la velocidad en el tramo seco. Deter- mina la velocidad con que viajó en el tramo lluvioso, la velocidad en el tramo seco, y las distancias recorridas en ambas circunstancias.7. ¿Cuántos kilogramos de chocolates que cuestan $15.00 / kg deben mezclarse con 16 kilogramos de cho- colates que cuestan $25.00 / kg para poder vender la mezcla a un precio de $18.00 / kg.?8. En el concierto de Metallica, los boletos costaron $300 en general, $700 en numerado y $1300 en VIP. El in- greso total fue de $7’390,000. Se vendieron 200 bole- tos más de general que de VIP, mientras que los nu- merados se vendieron el doble que los de general. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada clase? ¿Cuántos boletos se vendieron en total?Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 13
  • 14. Ecuaciones de primer grado con una incógnitaLas reglas empíricas.Las ecuaciones de primer grado se Resolución de ecuaciones de primer grado.resuelven empleando sus propieda- En el proceso de solución de los problemas anteriores hemos es-des: tado encontrando el valor de la incógnita “despejando”. Este es leSi a cantidades iguales se suman (o se procedimiento para resolver ecuaciones de primer grado con unarestan) cantidades iguales, la igualdad incógnita.no se altera. En este procedimiento debemos recordar las reglas con precisión:Si cantidades iguales se multiplican odividen por cantidades iguales, la Si está sumando, pasa restandoigualdad persiste. Si está restando, pasa sumandoPero ya en la práctica se prefieredecir “está sumando pasa restando”, Si está multiplicando, pasa dividiendo y conserva su signo.está multiplicando pasa dividiendo”, Si está dividiendo, pasa multiplicando y conserva su signo.etc. En ocasiones debemos despejar ecuaciones literales, que son sim-Esta forma de resolver ecuaciones es plemente fórmulas que expresan alguna ley física o de cualquiercorrecta y recibe el nombre de reglasempíricas para la solución de ecuacio- otra rama de la ciencia. El proceso y las reglas empíricas son lasnes de primer grado. mismas. Resuelve las siguientes ecuaciones despejando el valor de la incógnita o de la lite- ral especificada. Desarrolla el procedimiento a la vuelta o en hojas adicionales y anota en la tabla sólo el resultado. 5x  6 3 x  4 5 x  81 2x  3  x 2  x 4 5 6 2 x  7 3 x  5 2 x  5 3x  73  x 4  1 x 4 3 3 6 1 x  5 2 x  5 x 1 x 2 x 1 x  4 x 35   6      x 2 3 3 3 5 4 2 6 8 P q1  q2 q1 7 PV  nRT 8 F k n r2 r P  V1 P2 V2 P2  y2 9 1  10 d  x2  x1    y2  y1  2 2 T1 T2 T1  x1  y2  y1 y2   Bb h11 m 12 A h x2  x1 x1   2  b 4 r i F  P 1  i  n13 V   r3 14 3  nUnidad 2. Ecuaciones algebraicas. 14