Fórmulas de integración de funciones trigonométricas Integration Formulae for trigonometric Functions

1. Integration Formulae
G. Edgar Mata Ortiz
9…

3. Fórmulas de
Integración
9…
න 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪, …

4. Continuando con el estudio de las fórmulas básicas de
integración, vamos a revisar las fórmulas 9 a la 18, que
tienen un gran parecido entre sí.
Fórmulas de Integración
න 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪, …

5. Al igual que con
la fórmula 5,
debemos
“completar el
diferencial”
Fórmulas de Integración
La fórmula se lee:
La integral del seno de 𝒗 diferencial de 𝒗, es igual a:
menos coseno de 𝒗, más la constante de integración C
න 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪

6. Ejemplo 1
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
Estas fórmulas se aplican directamente, solamente debemos
completar el diferencial.
න 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪

7. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
Se acostumbra escribir el procedimiento
mediante el que se obtiene el diferencial,
debajo de la integral.
Y el procedimiento de integración se
anotará a la derecha del signo de igual.
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

8. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
Observamos que el diferencial que debería
estar en la fórmula es 𝟒𝒅𝒙, y el que
realmente tenemos es solamente 𝒅𝒙.

9. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
En vista de que solamente
le falta el cuatro, se lo
vamos a agregar, este
paso se anota a la derecha
del signo de igual…

10. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
No parece un procedimiento
aceptable en matemáticas, eso
de que “si le falta un cuatro se
lo ponemos” parece ir en
contra de lo que sabemos de
matemáticas.

11. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
Para poder agregar el cuatro que necesitamos
para completar el diferencial, debemos
multiplicar la integral por su inverso
multiplicativo, y así no afectará al valor total de
la expresión.

12. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
Así está mejor, agregamos arbitrariamente un
cuatro que necesitábamos, pero lo
compensamos con un cuarto, y el valor total
sigue siendo el mismo.
Pero conseguimos algo importante…

13. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
Ahora que está completo el diferencial, podemos
aplicar la fórmula de integración sin problema.
Este paso se coloca debajo del anterior, como se
muestra en la siguiente diapositiva.

14. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
=
𝟏
𝟒
−𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 + 𝑪
Se recomienda colocar una línea vertical separando el
procedimiento empleado para obtener el diferencial, del
resultado de la integración.

15. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
=
𝟏
𝟒
−𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 + 𝑪
Se recomienda colocar una línea vertical separando el
procedimiento empleado para obtener el diferencial, del
resultado de la integración.

16. Ejemplo 1
𝒗 = 𝟒𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
𝒅𝒗 = 𝟒 𝒅𝒙
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟒
න 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒𝒅𝒙
=
𝟏
𝟒
−𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 + 𝑪
= −
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 + 𝑪
න 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪

17. Ejemplo 2
න 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
න 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝟓𝒅𝒙
න 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
𝒗 = 𝟓𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟓
𝒅𝒗 = 𝟓 𝒅𝒙
=
𝟏
𝟓
𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 + 𝑪
=
𝟏
𝟓
𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 + 𝑪

18. Ejemplo 3
න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒙𝒅𝒙
න 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
𝒗 = 𝟐𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐𝒅𝒙
Esperábamos que se pudiera
completar el diferencial si le faltaba
solamente el dos…
Pero ahora además de que le falta el
dos, le sobra una equis…

19. Ejemplo 3
න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒙𝒅𝒙
න 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
𝒗 = 𝟐𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐𝒅𝒙
Esperábamos que se
pudiera completar el
diferencial si le faltaba
solamente el dos…
Pero ahora además de
que le falta el dos, le
sobra una equis…
Nos está
indicando que no
es posible aplicar
la fórmula que
pensábamos…

20. Ejemplo 3
න 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =
න 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 ∙ 𝒗 − න 𝒗 𝒅𝒖
No es posible aplicar la
fórmula que pensábamos…
න 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪
Será necesario emplear la técnica de integración por partes, es una fórmula
que hace referencia a dos funciones 𝒖 y 𝒗.

21. Gracias Por su atención