Factoring 2020

Es la operación inversa de
los productos notables,
consiste en tomar un
polinomio y determinar los
factores que se
multiplicaron para
obtenerlo.
Todo el proceso se realiza
con base en los productos
notables
FACTORIZACIÓN

Con base en los productos notables, se determina
cuáles factores se multiplicaron para obtener el
polinomio que se indica.

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 =
Factoriza el siguiente polinomio
El primer consiste en determinar si existe factor común:
Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de dos, por lo
tanto, el dos es factor común.
También encontramos que la equis se encuentra en todos los
términos, aunque con diferente exponente, de modo que también
la equis, con el exponente menor que encontremos, será
factor común.

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙( )
El primer consiste en determinar si existe factor común:
Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de dos, por lo
tanto, el dos es factor común.
También encontramos que la equis se encuentra en todos los
términos, aunque con diferente exponente, de modo que también
la equis, con el exponente menor que encontremos, será
factor común.

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙( + + )
Ahora vamos a anotar los términos que van dentro del paréntesis,
serán tres, la misma cantidad de términos que el polinomio
original, y serán positivos, los mismos signos que el polinomio que
teníamos al principio.

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + + )
El primer término se obtiene respondiendo a la pregunta:
¿Por cuánto debemos multiplicar el factor común (𝟐𝒙), para
obtener el primer término (𝟐𝒙 𝟐
) del polinomio inicial?
La respuesta es, por equis: 𝒙

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
+ )
El segundo término se obtiene respondiendo a la pregunta:
obtener el segundo término (𝟒𝒙𝒚 𝟐
) del polinomio inicial?
La respuesta no tan evidente es, por dos ye cuadrada: 𝟐𝒚 𝟐

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
+ 𝟑)
El tercer término se obtiene respondiendo a la pregunta:
obtener el tercer término (𝟔𝒙) del polinomio inicial?
La respuesta es evidente, por tres: 𝟑

EJEMPLO 1
𝟐𝒙2 + 𝟒𝒙𝑦2 + 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐 + 𝟑)
La factorización está terminada porque el polinomio que quedó
dentro del paréntesis tiene tres términos, pero no es trinomio
cuadrado perfecto (TCP), ni puede factorizarse como dos binomios
con término común (BTC).

Factorización
Productos
notables
EJEMPLO 1: RESPUESTA
𝟐𝒙2
+ 𝟒𝒙𝑦2
+ 𝟔𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
+ 𝟑)
Este procedimiento recibe el nombre
de factorización total del polinomio,
haciendo referencia a que ya no es
posible obtener más factores en el
resultado final.

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
=
El primer consiste en determinar si existe factor común, es
decir, si los términos del polinomio contienen coeficientes
que son múltiplos de un número, o tienen alguna variable en
común.

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
=
Observamos que no existe factor común y que se trata de un
trinomio, por lo tanto, debemos verificar si es un trinomio
cuadrado perfecto (TCP).

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
=
Para identificar un trinomio cuadrado perfecto obtenemos la
raíz cuadrada de los dos términos cuadráticos:
𝒙 𝟐 = 𝒙, 𝑦2 = 𝑦

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
=
Ahora vamos a determinar si
multiplicando estos dos resultados
entre sí, y luego por dos,
obtenemos el segundo término:
𝑥2 = 𝒙, 𝑦2 = 𝒚
𝒙 𝒚 𝟐 = 2𝑥𝑦

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝑦2
=
Dado que son iguales, entonces
se trata de un trinomio
cuadrado perfecto (TCP).
𝑥2 = 𝑥, 𝑦2 = 𝑦
𝑥 𝑦 2 = 𝟐𝒙𝒚

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
=
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto utilizamos las
raíces que obtuvimos previamente, serán los términos del
binomio al cuadrado.
𝑥2 = 𝒙, 𝑦2 = 𝒚

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 𝒙 2
Se anotan las dos raíces formando un binomio que tendrá el
signo del segundo término del trinomio.
𝑥2 = 𝒙, 𝑦2 = 𝒚

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 𝒙 𝒚 2
𝑥2 = 𝒙, 𝑦2 = 𝒚

EJEMPLO 2
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= 𝒙 + 𝒚 2
𝑥2 = 𝒙, 𝑦2 = 𝒚

Factorización
Productos
notables
Al factorizar un trinomio cuadrado
perfecto (TCP) obtenemos un binomio
al cuadrado.
Es importante prestar atención al
signo que va entre los dos términos
del binomio, es el mismo que tiene el
segundo término del TCP.
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝒙 + 𝒚 2

EJEMPLO 3
4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
=
Una vez verificado que no tiene factor común y que se trata
de un trinomio, vamos a verificar si es un cuadrado perfecto.

EJEMPLO 3
4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
=
4𝑥2 = 2𝑥, 9𝑦2 = 3𝑦
Se extraen las raíces cuadradas de los dos términos cuadráticos

EJEMPLO 3
4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
= 2𝑥 + 3𝑦 2
4𝑥2 = 2𝑥, 9𝑦2 = 3𝑦
2𝑥 3𝑦 2 = 12𝑥𝑦
Comprobamos que, al
multiplicar las dos
raíces entre sí, y por
dos se obtiene el
término no cuadrático

EJEMPLO 3
4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 2
Al comprobar que es un trinomio cuadrado perfecto se factoriza
como se indica
4𝑥2 = 𝟐𝒙, 9𝑦2 = 𝟑𝒚

Factorización
Productos
notables
Al factorizar un trinomio cuadrado
perfecto (TCP) obtenemos un binomio
al cuadrado.
En ocasiones los términos del binomio
pueden tener coeficientes e incluso
más de una variable.
4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 2

EJEMPLO 4
𝑥2
− 2𝑥 − 15 =
𝑥2 = 𝑥, −15 = 𝐸𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
Después de asegurarnos que no existe factor común y
observar que es un trinomio, revisamos si es un TCP.

EJEMPLO 4
𝑥2
− 2𝑥 − 15 =
𝑥2 = 𝑥, −15 = 𝐸𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
Al obtener una raíz cuadrada imaginaria concluimos que no
se trata de un trinomio cuadrado perfecto.

EJEMPLO 4
𝑥2
− 2𝑥 − 15 = 𝒙 𝒙
El probable término común es la raíz cuadrada del término
cuadrático
𝑥2 = 𝒙

EJEMPLO 4
𝑥2
− 2𝑥 − 15 = 𝑥 𝑥
Decimos que es un “probable” término común porque
debemos encontrar los dos números que acompañan a dicho
término común.

EJEMPLO 4
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 𝑥
Los números que acompañan al término común deben
cumplir dos condiciones:
1. Multiplicados deben dar como resultado el término
independiente (-15)
2. Sumado deben dar como resultado el coeficiente del
término lineal (-2)

EJEMPLO 4
Realizamos una búsqueda heurística de estos dos
números:
(3)(-5)=-15, 3 – 5 = -2
(-3)(5)=-15, -3 + 5 =+2
(15)(-1)=-15 15 – 1 = 14
(-15)(1)=-15 -15+1 = -14
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 𝑥

EJEMPLO 4
Los números probables son:
(3)(-5)=-15, 3 – 5 = -2
(-3)(5)=-15, -3 + 5 =+2
(15)(-1)=-15 15 – 1 = 14
(-15)(1)=-15 -15+1 = -14
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 𝑥

EJEMPLO 4
Podemos observar que:
(+3)(-5)=-15, +3 – 5 = -2
(-3)(5)=-15, -3 + 5 =+2
(15)(-1)=-15 15 – 1 = 14
(-15)(1)=-15 -15+1 = -14
El primer par de
números es la
respuesta
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 𝑥

EJEMPLO 4
Ya tenemos los dos números:
(+3)(-5)=-15, +3 – 5 = -2
Colocamos los
dos números,
con sus signos,
en los
binomios.
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 + 3 𝑥 − 5

Factorización
Productos
notables
Al encontrar un trinomio que no es
TCP, vamos a tratar de factorizarlo
como dos binomios con término
común (BTC).
EN este caso el término común es la
equis.
𝑥2
− 𝟐𝑥 − 𝟏𝟓 = 𝑥 + 3 𝑥 − 5

EJEMPLO 5
𝑥2
+ 10𝑥 + 16 =
𝑥2 = 𝑥, 16 = 4
𝑥 4 2 = 𝟖𝒙
No es un trinomio
cuadrado perfecto

EJEMPLO 5
𝑥2
+ 𝟏𝟎𝑥 + 𝟏𝟔 =
Dos números que multiplicados den dieciséis y
sumados algebraicamente den 10:
(4)(4)=16, 4+4 =8
(-4)(-4)=16, -3 -4 =-8
(16)(1)=16 16 + 1 = 17
(8)(2)=16 8+2 = 10
El último par de
números es la
respuesta

EJEMPLO 5
𝑥2
+ 𝟏𝟎𝑥 + 𝟏𝟔 =
Dos números que multiplicados den dieciséis y
sumados algebraicamente den 10:
(4)(4)=16, 4+4 =8
(-4)(-4)=16, -3 -4 =-8
(16)(1)=16 16 + 1 = 17
(8)(2)=16 +8+2 = 10
El último par de
números es la
respuesta

EJEMPLO 5
𝑥2
+ 𝟏𝟎𝑥 + 𝟏𝟔 =
EL ocho y el dos positivos son la respuesta
(8)(2)=16 +8+2 = 10 El último par de
números es la
respuesta

EJEMPLO 5
𝑥2
+ 𝟏𝟎𝑥 + 𝟏𝟔 = (𝑥 + 8)(𝑥 + 2)
EL ocho y el dos positivos son la respuesta
(8)(2)=16 +8+2 = 10

Factorización
Productos
notables
A primera vista parecía un TCP, ya que
tanto la equis cuadrada como el
dieciséis tienen raíz cuadrada, pero al
no cumplir la condición que el
producto de las raíces, por dos, den
como resultado el término no
cuadrático, debemos factorizarlo como
dos binomios con término común.
𝑥2
+ 10𝑥 + 16 = (𝑥 + 8)(𝑥 + 2)

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