Manual para un curso breve de álgebra con el enfoque por competencias

1. Matemáticas por competencias.
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Matemáticas
Gerardo Edgar Mata Ortiz
Concepto de competencia (UNESCO).
El conjunto de comportamientos socioafectivos y habilidades cognoscitivas,
psicológicas, sensoriales y motoras que permiten llevar a cabo adecuada-
mente un desempeño, una función, una actividad o tarea.
Segunda parte

2. Matemáticas por competencias.
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Presentación.
La primera parte de este material hace referencia a conocimientos de aritmética, específicamente fraccio-
nes comunes. Se puede encontrar en:
http://sco.lt/77Xn6H
La finalidad del curso es proporcionar al estudiante experiencia directa con un modelo educativo centrado
en el aprendizaje.
En esta segunda parte se propone un nuevo problema, esta vez de álgebra, y requerirá alguna investiga-
ción para su solución .
C O N T E N I D O :
Presentación 2
Educación Basada en Competencias y Constructivismo 3
Páginas de referencia 3
La línea recta 4
Miscelánea “Don Juan” 4
La recta de regresión lineal 5
El error estándar 6
Uso de tecnología informática 6
Formulario de correlación lineal 6
Síntesis sobre la línea recta 7
Algunas características de la ecuación de la recta 7
Referencias 8
“Sólo por la educación puede el hombre llegar a ser
hombre. El hombre no es más que lo que la educación
hace de él”
I. Kant

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Educación basada en competencias y constructivismo.
La educación por competencias tiene como uno de sus fundamentos teóricos el constructivismo, el cuál plan-
tea que el aprendizaje es una elaboración personal, de modo que el profesor solamente puede proveer expe-
riencias de aprendizaje, es decir, situaciones que ofrecen al estudiante la posibilidad de erigir su propio apren-
dizaje.
El profesor se convierte así en un diseñador de experiencias, su función es encontrar las preguntas y problemas
que generen en el alumno el conflicto cognitivo que le lleve a dudar, investigar, preguntar, cuestionar y, final-
mente, construir su aprendizaje.
Para el logro del aprendizaje, el uso de las tecnologías de la información y comunicación es fundamental, proveen un ambiente
interactivo y socialmente estimulante donde es posible encontrar, no solamente información, sino espacios de reflexión e inter-
cambio de ideas.
Páginas de referencia.
Algunos de los recursos tecnológicos que se emplearán se encuentran en
las siguientes páginas y redes sociales:
http://licmata-ebc.blogspot.mx/
http://proc-industriales.blogspot.mx/
http://redesoei.ning.com/profiles/blog/list?user=14exxmzvywwfe
http://www.slideshare.net/licmata/
https://www.yumpu.com/es/browse/user/licmata
https://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata
Email: emata@utt.edu.mx

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La línea recta.
Vamos a revisar el tema de la ecuación de primer grado y su representación gráfica aplicando el enfoque
por competencias: Comenzaremos con una historia que nos conduce a un problema.
El problema que estudiaremos se refiere a las ventas logradas por un pequeño negocio durante su primer
año de existencia.
Miscelánea “Don Juan”.
Edgar Mata
Juan, recientemente fue separado de su trabajo por un recorte de personal, después de más de 15 años
de trabajo. Para resolver su situación económica decidió utilizar el dinero de la liquidación para abrir
una miscelánea. Él sabía que al principio, seguramente no le iría muy bien, pero contaba con su liquida-
ción y algunos ahorros para subsistir, e incluso invertir en la miscelánea, durante aproximadamente seis
meses.
La siguiente tabla muestra el nivel de ventas alcanzado durante los primeros 6 meses de funcionamien-
to de su pequeño negocio. Evidentemente tuvo que invertir una parte de sus ahorros y liquidación para
mantener funcionando la miscelánea.
En el siguiente espacio, representa gráficamente las ventas por mes.
La relación entre el álge-
bra y la geometría permi-
te representar gráfica-
mente un par ordenado
como un punto, y un
conjunto de valores como
una línea.
Si la relación expresada
entre las variables es de
primer grado, la gráfica
que se obtiene es la de
una línea recta.
Debemos entender la
ecuación de la recta co-
mo una regla de perte-
nencia, es decir, si las
coordenadas de un punto
cumplen con la ecuación
de la recta, entonces ese
punto estará sobre la
línea recta en la gráfica;
si las coordenadas de un
punto no cumplen con la
ecuación, entonces ese
punto no está sobre la
gráfica de la línea recta.
Y en forma inversa; si un
punto está sobre la gráfi-
ca de la recta, entonces
sus coordenadas cum-
plen con la ecuación de la
recta.
El punto A(0, 3)
x = 0 , y = 3
Cumple con la ecuación
de la recta:
y = 4x + 3
3 = 4(0) + 3
Entonces ese punto está
sobre la línea recta en
la gráfica.
El punto B(0, 0 ) no
cumple con la ecua-
ción de la recta, enton-
ces, no está sobre la
línea recta en la gráfi-
ca.
Mes Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre
Ventas $3600 $4900 $6300 $5400 $5800 $6000

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La recta de regresión lineal.
En la gráfica se observa que, en general, las ventas han ido aumentando. Un amigo de Juan es ingeniero y, utilizando un método de
pronósticos por correlación lineal, encontró la ecuación de una recta que permite calcular las ventas según el mes. Para ello, nume-
ró los meses que ha funcionado la miscelánea y entonces pudo calcular el monto de las ventas en los meses siguientes.
Se llama recta de regresión lineal y su ecuación es: y = 394x + 3953
La ecuación de la recta de regresión puede ser empleada para pronosticar las ventas en los siguientes seis meses, se
sustituye el número de mes, en la x, se efectúan operaciones para obtener el valor de y.
Determina las ventas en los siguientes seis meses y traza la gráfica de dicha recta sobre el siguiente plano carte-
siano.
Prolonga la recta que trazaste hasta que toque el eje y. Notarás que la recta no pasa por los puntos que representan los valores
reales de las ventas de los primeros seis meses, sin embargo, es la recta que mejor se ajusta a esos puntos. Naturalmente los valo-
res pronosticados no son exactos, son valores que, en vista de la tendencia mostrada en los meses anteriores, es probable que ocu-
rran. Juan no está seguro si puede usar los pronósticos que le proporcionó su amigo para decidir si continúa o no con el negocio.
¿Qué le recomendarías a Juan? Argumenta tu respuesta.
Mes Ventas
x y
1 3600
2 4900
3 6300
4 5400
5 5800
6 6000
7
8
9
10
11
12

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El error estándar.
Como dijimos antes, los pronósticos de ventas calculados mediante la recta de regresión presentan ciertos niveles de incertidum-
bre, sería útil saber de qué magnitud es el error en el valor pronosticado. Este valor se puede calcular, se llama error estándar al
calcular y para un valor de x. El valor del error estándar es de 720.
¿Cómo se interpreta el error estándar? Completa la siguiente tabla.
Uso de tecnología informática.
Los cálculos necesarios para obtener la ecuación de la recta de regresión y el error estándar son extensos, podemos encontrar un
formulario para llevar a cabo el proceso en el siguiente enlace:
Formulario de correlación lineal.
Descarga e imprime el formulario para comentarlo en la siguiente clase.
Es posible obtener los resultados puramente aritméticos en Excel o alguna otra hoja de cálculo y así dedicar todo nuestro esfuerzo
al análisis e interpretación de los resultados.
Explica en seguida el procedimiento y las fórmulas necesarias para resolver este problema en Excel.
Mes
Ventas
reales
x y y calculada y - error y + error
1 3600
2 4900
3 6300
4 5400
5 5800
6 6000
7
8
9
10
11
12
Ventas pronosticadas Explicación general acerca de los valores
pronosticados considerando el error estándar

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Síntesis sobre la línea recta.
La ecuación de la línea recta puede interpretarse de muchas formas, una de ellas es
como regla de pertenencia. Podemos saber si un punto pertenece o no a la recta sus-
tituyendo sus coordenadas en la ecuación. Si la expresión obtenida es verdadera, en-
tonces el punto pertenece a la recta y, al graficar, formará parte de dicha recta.
Determina si los siguientes puntos pertenecen a la recta: y = 4x + 3
M (4, 20) ______________________________________________________________
N (-3, -9) ______________________________________________________________
P (-1, +1) ______________________________________________________________
Otra forma de interpretar la ecuación de una recta es como función de equis, es decir,
como fórmula para determinar el valor de y, si se conoce el valor de x. Ejemplo:
Determina el valor de y, cuando x toma los valores de: -10, - 5, - 1, 0, 1, 5 y 10. Utiliza
los valores de x, y obtenidos para trazar, en tu cuaderno, la gráfica de la recta.
Ahora elige arbitrariamente otros tres valores de x (entre –10 y 10), encuentra los
valores de y. Observarás que están sobre la recta que trazaste en tu cuaderno.
Algunas características de la ecuación de la
recta.
Tomemos otras dos ecuaciones de líneas rectas: y = 4x - 3, y = 4x + 6
Utilizando los mismos valores de x, determina los valores de y, traza las gráficas co-
rrespondientes y, en el espacio siguiente, traza las tres rectas.
Explica lo que sucede en las tres rectas graficadas y por qué. Si es
necesario puedes consultar aquí.
En 1637 el matemático y filósofo fran-
cés, René Descartes publicó su libro “El
discurso sobre el método” en el que
explica su enfoque racionalista para la
interpretación de la naturaleza. Este
libro contenía 3 apéndices, el tercero de
ellos, es “la geometría”. Este apéndice
fue el que dio origen a una nueva rama
de la matemática: la geometría analítica.

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Referencias.
Existen numerosos vídeos en YouTube en los que se explica la línea recta. Algunos ejemplos interesantes son:
https://www.youtube.com/watch?v=QY0mJGQjE5E https://www.youtube.com/watch?v=PcK_dQv3G14
También se pueden encontrar páginas en las que explican los procedimientos, con la ventaja de que algunos son interactivos.
http://www.intmath.com/plane-analytic-geometry/2-straight-line.php