Este documento presenta los conceptos fundamentales de probabilidad. Explora cuatro enfoques de probabilidad: subjetiva, frecuencial, clásica y axiomática. La probabilidad subjetiva se basa en la opinión personal. La probabilidad frecuencial se calcula mediante experimentos repetidos. La probabilidad clásica define la probabilidad como la razón entre casos favorables y totales. Finalmente, la probabilidad axiomática estructura la probabilidad desde una perspectiva matemática y axiomática.
2. „The most important questions of life are indeed, for the most part, really only problems of probability."
Pierre-Simon Laplace
(ThéorieAnalytiquedes Probabilités: 1812)
Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayor parte, realmente sólo problemas de probabilidad
3. Introducción
Determinísticos o deterministas
-Son aquellos en los que podemos predecir su resultado, aún antes de realizar un experimento
-Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de física
Dos tipos de fenómenos
4. Introducción
Aleatorios
-Son aquellos en los que no podemos predecir su resultado, sin importar cuánta información tengamos disponible
-Ejemplo: El resultado al lanzar un dado
Dos tipos de fenómenos
5. Introducción
El estudio de los fenómenos aleatorios es menos usual que el de los fenómenos determinísticos.
Se estudia la geometría y física, donde las fórmulas nos entregan resultados exactos y predecibles
Los fenómenos aleatorios
b = base
h = altura
Área del triángulo
6. Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y hechos de la vida cotidiana, no tienen este comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios
7. Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y hechos de la vida cotidiana, no tienen este comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios
9. Conceptos fundamentales
Como pudimos observar, la palabra probabilidad tiene varios significados.
Es conveniente distinguir los diversos significados de acuerdo al uso que se hace de la palabra probabilidad.
Vamos a estudiar los cuatro enfoques de probabilidad:
Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial, probabilidad clásica y probabilidad axiomática
¿Qué es probabilidad?
11. Conceptos fundamentales
Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso va a ocurrir.
Suele indicarse como un número decimal, menor que uno o como un porcentaje.
Probabilidad subjetiva
12. Conceptos fundamentales
Se basa en la opinión personal, la experiencia o la intuición
En ocasiones hace uso de datos históricos.
No siempre se cuantifica
Probabilidad subjetiva
13. Conceptos fundamentales
Las estimaciones subjetivasde probabilidad cambian de una persona a otra
No es necesario realizar ningún experimento para estimar la probabilidad subjetiva de un evento
Probabilidad subjetiva
14. Conceptos fundamentales
A pesar del uso ocasional de datos históricos, dichas estimaciones presentan un elevado grado de incertidumbre
No obstante dicha incertidumbre, en muchas circunstancias, es necesario recurrir a la probabilidad subjetiva.
Probabilidad subjetiva
15. Conceptos fundamentales
Richard Von Mises
Generalmente la teoría de probabilidad es considerada una rama de las matemáticas, sin embargo, sus fundamentos son puramente filosóficos, y Richard von Mises, desarrolló la correcta teoría de probabilidad objetiva o “de frecuencia”.
Probabilidad frecuencial
16. Conceptos fundamentales
Es una forma empírica de calcular
probabilidades
Es necesario repetir el experimento
varias veces para calcular la
probabilidad
La tabla muestra el número de veces
que se obtuvo cada resultado al lanzar
dos dados, cien veces.
Probabilidad frecuencial
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
17. Conceptos fundamentales
Cuanto más
grande es el
número de veces
que se lanzan los
dados, la
frecuencia relativa
se aproxima a la
probabilidad de
ocurrencia de
cada evento
Probabilidad
frecuencial Resultados 100 1000 30000 100000
2 0.05000 0.02200 0.02737 0.02825
3 0.09000 0.05700 0.05483 0.05558
4 0.10000 0.07700 0.08607 0.08156
5 0.09000 0.11100 0.10947 0.11214
6 0.15000 0.14000 0.13927 0.13915
7 0.15000 0.17800 0.16720 0.16560
8 0.11000 0.13700 0.13530 0.13961
9 0.14000 0.11300 0.11177 0.11169
10 0.07000 0.08800 0.08503 0.08336
11 0.04000 0.05400 0.05570 0.05501
12 0.01000 0.02300 0.02800 0.02805
Probabilidades frecuenciales
18. Conceptos fundamentales
La probabilidad frecuencial, a diferencia de la subjetiva, siempre se cuantifica
Puede expresarse como fracción, número decimal o porcentaje
Se calcula mediante la fórmula:
Probabilidad frecuencial
푝풂= 푁ú푚푒푟표푑푒푟푒푠푢푙푡푎푑표푠푒푛푞푢푒푠푒표푏푡푢푣표푒푙푠푢푐푒푠표풂 푁ú푚푒푟표푑푒푖푛푡푒푛푡표푠푡표푡푎푙푒푠
19. Conceptos fundamentales
Ejemplo de aplicación de la fórmula:
Se lanzan dos dados 100 veces y se
cuenta el número de ocasiones en las
que la suma de las caras es igual a 2,
3, 4, ..., 12
La tabla de la derecha contiene los
resulados de este experimento
aleatorio
Probabilidad frecuencial
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
20. Conceptos fundamentales
Ejemplo de aplicación de la fórmula:
En la tabla de distribución de frecuencias, se observa que el número 3 se obtuvo en 9 ocasiones, por lo tanto:
También puede expresarse como: 9%
Probabilidad frecuencial
푝3= 9100 푝3=0.09
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
21. Conceptos fundamentales
La ley de los grandes números (también llamada ley del azar), propuesta por J. Bernoulli, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número cada vez más grande de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.
Probabilidad frecuencial
Jakob Bernoulli(Basilea,27 de diciembrede1654-ibíd.16 de agostode1705), también conocido comoJacob,JacquesoJames Bernoulli, fue un genialmatemáticoycientíficosuizoy hermano mayor deJohannBernoulli(parte de lafamilia Bernoulli).
22. Conceptos fundamentales
Estableció la “regla de Laplace” para el cálculo de probabilidades cuando los eventos posibles en un experimento aleatorio tienen la misma probabilidad de suceder.
Además de sus trabajos sobre probabilidad se destacó en ecuaciones diferenciales y mecánica celeste.
Probabilidad clásica
Pierre Simón Marqués de Laplace.
(1749-1827)
23. Conceptos fundamentales
La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos que pueden presentarse, siempre que los resultados sean equiprobables.
Es una forma de probabilidad objetiva
No es necesario realizar ningún experimento para determinar la probabilidad de un evento
Probabilidad clásica
푝퐴= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎퐴 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠
24. Conceptos fundamentales
Un ejemplo típico de este modelo de probabilidad hace referencia al lanzamiento de una moneda “legal“
Entendemos por “legal“, que la probabilidad de que se obtenga un águila o un sol es la misma, son eventos equiprobables.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga un águila es 1, y el número de casos totales es dos
Probabilidad clásica
푝á푔푢푖푙푎= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎á푔푢푖푙푎 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠 = 12
25. Conceptos fundamentales
Otro ejemplo citado con frecuencia es el lanzamiento de un dado
Se asume que, al igual que en la moneda, la probabilidades de cada cara del dado, es la misma.
Entonces, el número de casos favorables para que se obtenga, por ejemplo, un tres; es 1, y el número de casos totales es seis
Probabilidad clásica
푝푡푟푒푠= 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푎푡푟푒푠 푁ú푚푒푟표푑푒푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠 = 16
26. Conceptos fundamentales
AndréiKolmogórov, matemático ruso, entre muchos otros trabajos científicos, estructuró el sistema axiomático de la probabilidad.
Se basó en la teoría de conjuntos.
Fundamenta matemáticamente la probabilidad.
Probabilidad axiomática
AndréiKolmogórov.
27. Conceptos fundamentales
Axiomas de la probabilidad
-La probabilidad de un suceso Xes un número real mayor o igual a cero: P(X)≥0
-La probabilidad del universo Wes igual a 1: P(W)=1
-Si A1, A2, … Aison sucesos mutuamente excluyentes, entonces P(A1UA2…UAi) = SP(Ai)
Probabilidad axiomática
28. Gracias por su atención
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