Activity 1.2. Complex Numbers Actividad 1.2. Números Complejos

1. Actividad 1.2. Números
Complejos.
G. Edgar Mata Ortiz

2. Los Números Complejos
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Los números han acompañado al ser humano casi desde su aparición
sobre la tierra. En un primer momento sólo para contar,
posteriormente fue necesario efectuar operaciones aritméticas y, al
preguntarse cómo y porqué se podían efectuar dichas operaciones,
se produce conocimiento matemático. En el presente material se
hará un rápido recorrido por los diferentes tipos de números que ha
empleado el ser humano hasta llegar a los números complejos.
Contenido
Introducción............................................................................................................................................................................................................................. 3
Importancia del cero. ......................................................................................................................................................................................................... 3
Sistemas de numeración no posicionales. ............................................................................................................................................................................... 3
Otros sistemas de numeración no posicionales. ................................................................................................................................................................ 4
Sistemas de numeración posicional......................................................................................................................................................................................... 5
Los números naturales. ...................................................................................................................................................................................................... 5
Propiedades de los números naturales......................................................................................................................................................................... 5
La resta en los números naturales. ............................................................................................................................................................................... 5
Los números enteros.......................................................................................................................................................................................................... 5
Propiedades de los números enteros............................................................................................................................................................................ 5
La división en los números naturales y números enteros. ............................................................................................................................................ 5
Los números racionales...................................................................................................................................................................................................... 6
Propiedades de los números racionales........................................................................................................................................................................ 6
La raíz cuadrada de un número racional. ...................................................................................................................................................................... 6
Los números reales............................................................................................................................................................................................................. 6
Propiedades de los números reales. ............................................................................................................................................................................. 6
La raíz cuadrada de un número real.............................................................................................................................................................................. 6
Los números complejos...................................................................................................................................................................................................... 7
Los números imaginarios. ............................................................................................................................................................................................. 7
Propiedades de los números imaginarios. .................................................................................................................................................................... 7
Concepto de números complejos.................................................................................................................................................................................. 7
Operaciones con números complejos. ............................................................................................................................................................................... 8
Multiplicaciones y potencias del número i.................................................................................................................................................................... 8
Suma y resta de números complejos. ........................................................................................................................................................................... 9
Multiplicación de números complejos. ......................................................................................................................................................................... 9
División de números complejos. ................................................................................................................................................................................. 10
Potencias y raíces de números complejos................................................................................................................................................................... 11
El plano de Argand...................................................................................................................................................................................................... 11
Forma trigonométrica de un número complejo.......................................................................................................................................................... 12
La fórmula de DeMöivre ............................................................................................................................................................................................. 12
Aplicaciones de los números complejos........................................................................................................................................................................... 13

3. Los Números Complejos
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Introducción.
La numeración que actualmente empleamos recibe el nombre de
numeración indo-arábiga debido a su origen.
Anota en las siguientes líneas los diferentes símbolos que se han
empleado a los largo del tiempo en la numeración indo-arábiga:
___________________________________________________________
___________________________________________________________
Importancia del cero.
Para que pudieran existir los sistemas de numeración posicional, el uso
del cero fue fundamental, explica por qué:
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
Sistemas de numeración no posicionales.
No todos los sistemas de numeración empleados por el ser humano han
sido posicionales, un ejemplo conocido es la numeración romana.
Entre muchas otras desventajas, este sistema de numeración dificulta la
realización de operaciones aritméticas, sin embargo, es posible resolver
sumas y restas. Anota, en el siguiente espacio, dos ejemplos de suma y
dos de resta con números romanos.
El origen de
los números.
Existen varias explicaciones
y teorías acerca del origen
del sistema de numeración
que empleamos
actualmente.
Es generalmente aceptado
que la numeración indo-
arábiga fue desarrollada en
la India y difundida por los
árabes en occidente.
Simultáneamente, otras
culturas elaboraron sus
propios sistemas de
numeración y los emplearon
durante siglos; finalmente,
las indudables ventajas del
sistema de numeración
posicional base 10 hicieron
que, poco a poco, se
convirtiera en el único
sistema de numeración
empleado por los seres
humanos.
Las computadoras emplean
un sistema de numeración
posicional, pero de base
dos, es decir, solamente
existen dos dígitos (0, 1) y,
de acuerdo con la posición
que ocupan, toman
diferentes valores: 1, 2, 4, 8,
16, etc.

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Otros sistemas de numeración no posicionales.
Dado que no existía el cero, los primeros sistemas de numeración que emplearon los pueblos antiguos fueron
no posicionales, generalmente aditivos, como la numeración romana. Explica por qué decimos que el sistema
de numeración romana es aditivo:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Otros ejemplos de numeración no posicional se encuentran en la siguiente imagen.
La representación del número uno solía ser una línea, con
excepción de los sumerios que lo representaban como una cuña.
El número diez se simbolizaba de diferentes formas según se
muestra en la figura.
Otros numerales tenías diferentes símbolos con un valor fijo sin
importar su posición con respecto a otros numerales, aunque sí
tenían reglas acerca del orden en que se escribían los números.
Observa en la imagen siguiente los numerales de la civilización minoica y cómo se obtienen otros valores
numéricos mediante la adición.
EL símbolo empleado para el mil se repite tres
veces para indicar tres mil, en forma similar el
círculo que representa el 100 está repetido nueve
veces para indicar novecientos y así
sucesivamente.
Es evidente que los números muy grandes se van
complicando más y más. ¿Cómo se representaría
el número 5’980,726?
Representa el número 4758 en esta forma de numeración

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Sistemas de numeración posicional.
Los sistemas de numeración posicional presentan grandes ventajas sobre los no posicionales,
especialmente, la facilidad para efectuar operaciones aritméticas.
Un ejemplo ampliamente conocido es el de la numeración maya, que utiliza el cero y es
posicional.
Anota el número 256 + NL + NE mediante la numeración maya:
Los números naturales.
Se le llama así al conjunto: N = {1, 2, 3, …}
El cero es un caso aparte. En muchos libros se le considera un número natural y en otros no,
por ello, para evitar confusiones, si estamos considerando que el cero forme parte de un
conjunto de números se emplea la expresión: “Enteros no negativos”, y si no deseamos
incluir al cero: “Enteros positivos”.
Propiedades de los números naturales.
Los números naturales presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritméticas que
se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca de dichas
propiedades.
La resta en los números naturales.
Cuando efectuamos cualquier suma de números naturales el resultado es otro número natural, sin embargo, al
efectuar una sustracción de dos números naturales, no siempre se obtiene como resultado otro número
natural: 3 – (NL+NE) = _______. ¿El resultado de esta operación es un número natural? __________.
Cuando esto sucede, se amplía el conjunto de los números naturales para que incluya al cero y a los números
negativos. Se obtiene así un nuevo conjunto de números:
Los números enteros.
Se le llama así al conjunto: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Este conjunto de números incluye los naturales, el cero, y los enteros negativos.
Propiedades de los números enteros.
Los números enteros presentan diversas propiedades que hacen referencia a las
operaciones aritméticas que se realizan con ellos. Realiza una investigación y elabora
un reporte de 200 palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los
números enteros y los naturales.
La división en los números naturales y números enteros.
Cuando efectuamos cualquier suma o multiplicación de números naturales o enteros el resultado es otro
número natural o entero, sin embargo, al efectuar una división de dos números naturales o enteros, no
siempre se obtiene como resultado otro número natural o entero: 𝟏 ÷ (𝑵𝑳 + 𝑵𝑬) = _________
Es evidente que este resultado no es un número natural ni entero. Nuevamente se amplía el conjunto de los
números enteros para que incluya resultados fraccionarios. A este conjunto de números se le llama:

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Los números racionales.
Los números racionales incluyen a los enteros y a cualquier número
que pueda expresarse como una fracción. A diferencia de los
números naturales y enteros, no existe el consecutivo de un número
racional ya que entre un racional y otro, existen infinidad de
números racionales. Anota tres números que se encuentren entre los
valores:
1
𝑁𝐿
y
1
𝑁𝐸
En este conjunto de números se incluyen racionales positivos y negativos
Propiedades de los números racionales.
Los números racionales, al ser una ampliación de los números enteros, presentan algunas propiedades
similares a aquellos y otras diferentes. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200 palabras acerca
de la diferencia entre las propiedades de los números enteros y los racionales.
La raíz cuadrada de un número racional.
Tal como ha ocurrido con otros conjuntos de números, al efectuar alguna operación aritmética, el resultado no
pertenece al conjunto de números en estudio, por lo que se hace necesario ampliar ese conjunto y formar así,
un nuevo conjunto. En este caso, la operación aritmética es la raíz cuadrada.
Al obtener a raíz cuadrada de diversos números racionales el resultado es otro número racional, sin embargo,
existen números racionales cuya raíz no es un número racional, por ejemplo: √2 ó √3
En esta ocasión no resulta tan evidente como en los ejemplos anteriores, por ello realiza una consulta acerca
de los números irracionales y elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de dichos
números. Se obtiene así el conjunto de:
Los números reales.
Este conjunto de números contiene a los racionales y a los irracionales.
Pueden expresarse como números enteros, decimales o fracciones
comunes.
La representación más común de los números reales es la recta
numérica.
Propiedades de los números reales.
Los números reales también tienen sus propiedades. Realiza una investigación y elabora un reporte de 200
palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los números reales y los racionales.
La raíz cuadrada de un número real.
Al extraer raíz cuadrada de un número real, a veces se obtiene un número real, pero no siempre.
Específicamente la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real: √−𝟏 =?
Para poder resolver situaciones como esta, se amplía nuevamente el conjunto de los números reales.

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Los números complejos.
En forma similar a la forma en que se han resuelto las situaciones anteriores vamos a agregar elementos al
conjunto de los números reales para obtener los números complejos. Los nuevos elementos del conjunto son:
Los números imaginarios.
Por lo que hemos aprendido hasta ahora, no es posible obtener la raíz cuadrada de un número negativo,
debido a que no existe ningún número real que, elevado al cuadrado, produzca un resultado negativo, es decir,
cualquier número real; positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, da como resultado un número positivo.
Para poder extraer la raíz cuadrada a un número negativo necesitamos un número que, al elevarlo al cuadrado,
produzca un resultado negativo, entonces se define el número i como la raíz cuadrada de menos uno.
𝑖 = √−1
Ahora sí, existe un número, llamado i, que al elevarse al cuadrado da como resultado un número negativo: -1.
𝑖 = √−1 → 𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝒊 𝟐
= −𝟏
Este procedimiento de ampliar conjuntos de números parece un tanto artificial, tal vez lo es, pero tiene la
ventaja de que hemos “inventado” un número (i) que tiene propiedades sumamente útiles; especialmente la
obtención de la raíz cuadrada de números negativos. Por ejemplo:
√−4 = √(4)(−1) = √4√−1 = 2𝑖
Es posible que, para muchas personas, la idea de obtener la raíz cuadrada de un número negativo suene
absurda, sin sentido, y sin ninguna aplicación útil. No debemos olvidar que, durante mucho tiempo se opinó lo
mismo de los números negativos e irracionales, e incluso del cero. Son un concepto matemático que ha
probado ser útil en diversas ramas de la ciencia y la tecnología, especialmente en electricidad y magnetismo.
Naturalmente la incorporación de este número ocasiona que algunas propiedades de los números reales no se
puedan aplicar y, en cambio, aparezcan otras propiedades que los números reales no tenían.
Propiedades de los números imaginarios.
Al igual que otros conjuntos de números, los imaginarios tienen sus propiedades. Realiza una investigación y
elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de los números imaginarios.
Concepto de números complejos.
A partir de la existencia del número i, podemos construir los números
complejos que constan de dos partes; un número real y un número imaginario.
Generalmente se representan escribiendo primero la parte real y luego la
imaginaria: a + bi.
Dado que cualquiera de los dos elementos del número complejo puede ser cero, todos los números reales se
consideran complejos con parte imaginaria igual a cero, y los imaginarios se consideran complejos con parte
real igual a cero: 5 = 5 + 0i, 2i = 0 + 2i.

8. Los Números Complejos
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Operaciones con números complejos.
Las operaciones aritméticas con números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales se estudian
durante toda la educación básica. Debido a la incorporación del número i, las operaciones con números
complejos presentan algunas diferencias que es necesario estudiar.
Multiplicaciones y potencias del número i.
Al elevar a una potencia el número i, debemos tener en cuenta que las propiedades que se aplican a los
números reales no funcionan con los números complejos. Un error ocasionado por la aplicación de
propiedades de los números reales a números imaginarios es:
𝑖 = √−1 → 𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝑖2
= √(−1)2
𝑖2
= √(−1)2 → 𝑖2
= √1 → 𝒊 𝟐
= 𝟏
La forma correcta de elevar el número i a una potencia o multiplicarlo es la siguiente. Completa la información
faltante:
𝒊 = √−𝟏
𝑖2
= (√−1)
2
→ 𝒊 𝟐
= −𝟏
𝑖3
= 𝑖2
∙ 𝑖 → 𝒊 𝟑
= (−𝟏) ∙ 𝒊 → 𝒊 𝟑
= −𝒊
𝑖4
= 𝑖2
∙ 𝑖2
→ 𝒊 𝟒
= (−𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊 𝟒
= 𝟏
𝑖5
= 𝑖4
∙ 𝑖 → 𝒊 𝟓
= ( 𝟏) ∙ 𝒊 → ________________
𝑖6
= 𝑖4
∙ 𝑖2
→ 𝒊 𝟔
= ( 𝟏) ∙ (−𝟏) → 𝒊 𝟔
= −𝟏
𝑖7
= 𝑖4
∙ 𝑖3
→ 𝒊 𝟕
= ( 𝟏) ∙ (−𝒊) → 𝒊 𝟕
= −𝒊
𝑖8
= 𝑖4
∙ 𝑖4
→ 𝒊 𝟖
= ( 𝟏) ∙ ( 𝟏) → _____________
𝑖9
= _______________________________________________
𝑖10
= _______________________________________________

9. Los Números Complejos
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Es evidente que existe una regla empírica que nos permite simplificar los cálculos, anótala en seguida:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Los algoritmos de las operaciones aritméticas con números complejos están explicados en una presentación
que se encuentra en el enlace siguiente, cualquier duda acerca de estos procedimientos podrá aclararse
revisando dicho material:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/01/arithmetic-of-complex-numbers.html
Suma y resta de números complejos.
Las sumas, restas y cualquier combinación de ellas, pueden resolverse aplicando las reglas algebraicas de
reducción de términos semejantes: se suman y restan por separado las partes real e imaginaria. Ejemplos:
1. (2 + 3𝑖) + (5 − 4𝑖) = 2 + 3𝑖 + 5 − 4𝑖 = (2 + 5) + (3 − 4)𝑖 = 7 − 1𝑖 = 𝟕 − 𝒊
2. (6 − 9𝑖) − (7 − 4𝑖) = 6 − 9𝑖 − 7 + 4𝑖 = (6 − 7) + (−9 + 4)𝑖 = −𝟏 − 𝟓𝒊
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones:
1. (𝑁𝐿 + 5𝑖) + (𝑁𝐸 − 9𝑖) =
2. (𝑁𝐿 + 𝑁𝐸𝑖) + (𝑁𝐸 − 5𝑖) =
3. (−8 + 𝑁𝐿𝑖) − (−5 − 𝑁𝐸𝑖) =
4. (−𝑁𝐿 + 8𝑖) − (−7 − 𝑁𝐸𝑖) =
5. (−𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖) + (−𝑁𝐸 + 𝑁𝐿𝑖) =
6. (−𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖) + (𝑁𝐸 + 𝑁𝐿𝑖) − (−𝑁𝐸 + 2𝑖) =
Multiplicación de números complejos.
Para efectuar multiplicaciones se trata como cualquier multiplicación algebraica, con
la consideración de que al elevar el número i, a alguna potencia, debemos tomar en
cuenta que se puede simplificar.
El resultado se simplifica utilizando la equivalencia de i2.
10 + 7𝑖 − 12𝑖2
= 10 + 7𝑖 − 12(−1)
= 10 + 7𝑖 + 12 = 𝟐𝟐 + 𝟕𝒊

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Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. (𝑁𝐿 + 4𝑖)(𝑁𝐸 − 7𝑖) =
2. (−5 + 𝑁𝐿𝑖)(−6 − 𝑁𝐸𝑖) =
3. (−𝑁𝐿 + 𝑁𝐸𝑖)(−𝑁𝐸 − 𝑁𝐿𝑖) =
4. (−𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖)(−8 + 𝑁𝐿𝑖) =
5. (−𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖)(𝑁𝐸 + 3𝑖)(−𝑁𝐸 + 𝑁𝐿𝑖) =
En ocasiones es necesario, antes de efectuar operaciones, obtener el número complejo debido a la presencia
de raíces cuadradas de números negativos.
Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.
1. (𝑁𝐿 + √−9)(𝑁𝐸 − √−4) =
2. (−𝑁𝐸 + √−16)(−𝑁𝐿 − √−36) =
3. (−𝑁𝐿 + √−121)(−𝑁𝐿 − √−121) =
4. (−𝑁𝐸 − √−1)(−𝑁𝐸 + √−1) =
5. (−𝑁𝐿 − √−49)(−𝑁𝐿 + √−49)(−𝑁𝐸 + √−25) =
Observa los ejercicios 3 y 4. Se trata de números complejos conjugados, es decir, solamente difieren en el
signo. Explica lo que sucede al multiplicar números complejos conjugados:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
División de números complejos.
La multiplicación de números complejos conjugados es importante porque se emplea en la división de números
complejos.
Para dividir dos números complejos se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor como se
muestra en el siguiente ejemplo (Completa las operaciones faltantes):
Dividir 2 + 2𝑖 entre 2 − 2𝑖:
2+2𝑖
2−2𝑖
=
(2+2𝑖)×(2+2𝑖)
(2−2𝑖)×(2+2𝑖)
= =

11. Los Números Complejos
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Ejercicio: Efectúa las siguientes operaciones.
1. (4 + 𝑁𝐿𝑖) ÷ (2 − 𝑁𝐸𝑖) =
2. (−𝑁𝐿 + 2𝑖) ÷ (−𝑁𝐸 − 2𝑖) =
3. (−1 + 9𝑖) ÷ (𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖) =
4. (−𝑁𝐿 − 𝑁𝐸𝑖) ÷ (−8 + 2𝑖) =
5. [(−3 − 𝑁𝐿𝑖) × (𝑁𝐸 + 3𝑖)] ÷ (−𝑁𝐿 + 7𝑖) =
6. [(−𝑁𝐿 − 2𝑖) ÷ (5 + 𝑁𝐸𝑖)] × (−𝑁𝐸 + 7𝑖) =
7. [(−𝑁𝐸 − 𝑁𝐿𝑖) × (𝑁𝐿 + 3𝑖)] ÷ [(−𝑁𝐸 + 2𝑖)(𝑁𝐿 − 3𝑖)]
8. [(2 − 𝑁𝐿𝑖) × (1 − 𝑁𝐸𝑖)] ÷ [(−𝑁𝐿 + 2𝑖)(𝑁𝐸 − 𝑖)]
Potencias y raíces de números complejos.
La representación de los números complejos que hemos empleado hasta ahora recibe el nombre de forma
binómica
Al igual que con los números reales las operaciones de potencia y raíz se pueden efectuar con números
complejos, sin embargo, el procedimiento requiere aprender a expresar un número complejo en forma
trigonométrica, y para ello es necesario aprender a representar gráficamente dichos números.
El plano de Argand.
La representación de estos números requiere el uso del plano complejo o plano de Argand, que es un plano
cartesiano con diferentes nombres en los ejes.
Este plano es una forma de ordenar los números
complejos y representarlos gráficamente,
sencillamente se localiza el número complejo tomando
el eje equis para la parte real y el eje ye para la
imaginaria.
Tomando como referencia el número complejo que se
ha localizado en el plano, localiza los otros cuatro.
1. 3 − 4𝑖
2. 5 +
𝑁𝐿
10
𝑖
3. −
𝑁𝐿
10
− 𝑖
4. −
𝑁𝐸
10
+ 3.5𝑖
5. 1.4 +
𝑁𝐿
8
𝑖

12. Los Números Complejos
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Forma trigonométrica de un número complejo.
La forma trigonométrica de un número complejo se basa en la idea de considerar cada número como un vector
y su parte real e imaginaria como los componente de dicho vector. Por ejemplo:
Expresa en forma trigonométrica el número complejo: 𝒛 = 𝟒 + 𝟑𝒊
Para efectuar la conversión se emplean dos fórmulas, completa la información faltante:
En nuestro ejemplo: : 𝒛 = 𝟒 + 𝟑𝒊
La fórmula de DeMöivre
Una vez que convertimos el número complejo de la forma binómica a la trigonométrica podemos elevar a una
potencia o extraer una raíz. Consulta la fórmula en la presentación que se encuentra en el siguiente enlace y
efectúa las siguientes operaciones (anota el procedimiento a la vuelta y aquí escribe solamente las respuestas):
Enlace: http://proc-industriales.blogspot.com/2021/01/powers-and-roots-of-complex-numbers-2021.html
Anota la fórmula:
1. (4 + 3𝑖)4
=
2. √4 + 3𝑖
3
=
𝒛 = 𝒓( 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝒓 = √ 𝒂2 + 𝒃2
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
𝒓 = √ 𝒂2 + 𝒃2
𝒓 = √ 𝟒2 + 𝟑2
𝒓 = √𝟏𝟔 + 𝟗
𝒓 =
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟑
𝟒
𝜽 =
𝒛 = 4 + 3𝒊
𝒛 = ___( 𝒄𝒐𝒔(_______) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(_______))

13. Los Números Complejos
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Aplicaciones de los números complejos.
Los números complejos aparecieron desde muy temprano en la historia de la matemática, pero fueron
ignorados debido a que no tenían sentido ni se podían representar. Una de las primeras referencias de que se
tiene noticia es la de Herón de Alejandría.
Es hasta el siglo XVI cuando los matemáticos italianos investigaron y emplearon estos números en la resolución
de ecuaciones de segundo y tercer grado: 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Escribe la fórmula de Cardano para la resolución de la ecuación cúbica:
Son particularmente reconocidos los trabajos de Cardano, Tartaglia, Descartes y sobre todo Euler quien
introdujo el símbolo i llamándolos números imaginarios.
Las principales aplicaciones de los números complejos se encuentran en la electricidad y magnetismo, sin
embargo, un área relativamente nueva y muy interesante es la de los fractales.
Realiza una investigación y elabora un reporte de 600 palabras acerca de los fractales.
Ejemplos de fractales:
Fractal de Mandelbrot. Triángulo de Sierpinski. El atractor de Lorentz.
Lecturas complementarias recomendadas.