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Poliedros E Prismas02
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Poliedros E Prismas02

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Transcript

  • 1.  
  • 2.  
  • 3. :                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Poliedros       Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos
  • 4. Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.     Poliedros convexos e côncavos       Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos .         Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
  • 5. Classificação       Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces
  • 6. Geometria Espacial Poliedros regulares       Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.        Existem cinco poliedros regulares:
  • 7. Geometria Espacial Relação de Euler       Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F , o número de faces. Observe os exemplos:                                                                                       V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2 V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2
  • 8. Poliedros platônicos       Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler.        Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
  • 9. Prismas        Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R :
  • 10. Para cada ponto P da região R , vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
  • 11. Assim Temos:       Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r .
  • 12. Geometria Espacial Elementos do prisma       Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  • 13. <ul><li>bases:as regiões poligonais R e S </li></ul><ul><li>altura:a distância h entre os planos </li></ul><ul><li>arestas das bases:os lados ( dos polígonos) </li></ul><ul><li>arestas laterais:os segmentos </li></ul><ul><li>faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A </li></ul><ul><li>Classificação </li></ul><ul><li>      Um prisma pode ser: </li></ul><ul><li>reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; </li></ul><ul><li>oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. </li></ul>
  • 14. <ul><li>Classificação </li></ul><ul><li>      Um prisma pode ser: </li></ul><ul><li>reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; </li></ul><ul><li>oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. </li></ul><ul><li>Veja: </li></ul><ul><li>                                                                              </li></ul>Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares: prisma reto prisma oblíquo
  • 15.                                                                                                                                                  Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Prisma regular triangular Prisma regular hexagonal
  • 16.   Secção       Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.         Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
  • 17. Áreas       Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face ( A F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( A L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.       No prisma regular, temos: A L = n . A F (n = número de lados do polígono da base) c) área da base ( A B ): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( A T ): soma da área lateral com a área das bases A T = A L + 2A B
  • 18.   Vejamos um exemplo.       Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h , temos:
  • 19. Paralelepípedo       Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
  • 20. a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto
  • 21. Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo. Geometria Espacial Paralelepípedo retângulo       Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c da figura:       Temos quatro arestas de medida a , quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c ; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.  
  • 22. Diagonais da base e do paralelepípedo       Considere a figura a seguir: Diagonais da base e do paralelepípedo       Considere a figura a seguir: d b = diagonal da base d p = diagonal do paralelepípedo
  • 23.   Na base ABFE, temos:                                                                                                                           No triângulo AFD, temos:                                                                                                                                                                                  
  • 24. Área lateral       Sendo A L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: A L = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A L = 2(ac + bc) Área total       Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: A T = 2( ab + ac + bc) Volume       Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
  • 25. Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c é dado por: V = abc       Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A B pela medida da altura h:
  • 26. Cubo       Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
  • 27. Diagonais da base e do cubo       Considere a figura a seguir: d c =diagonal do cubo d b = diagonal da base Na base ABCD, temos:
  • 28. No triângulo ACE, temos: Área lateral       A área lateral A L é dada pela área dos quadrados de lado a : A L =4a 2
  • 29. Área total       A área total A T é dada pela área dos seis quadrados de lado a : A T =6a 2
  • 30. Volume       De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a . a . a = a 3

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