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Esta apresentação foi desenvolvida na disciplina de Geometris Euclidiana, durante a graduação dos alunos : Jessé Pereira, Lia Daris e Lohro Couto, dos cursos de matemática na UFRuralRJ.

Esta apresentação foi desenvolvida na disciplina de Geometris Euclidiana, durante a graduação dos alunos : Jessé Pereira, Lia Daris e Lohro Couto, dos cursos de matemática na UFRuralRJ.

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  • A Importância dos Elementos de Euclides para a Geometria Alunos: Jessé Pereira Lia Daris Lohro Couto
  • A GEOMETRIA ANTES DE EUCLIDESA geometria nasceu no Egito antigo como ciência empírica, umconjunto de métodos de mensuração necessários para reconstituir oslimites das propriedades em seguida às inundações anuais do Nilo.Os gregos viram que os conhecimentos geométricos não poderiamdepender da experiência ou da evidência sensorial, pois uma e outranunca nos permitiriam entrar em contato com pontos, retas e planos,meras abstrações. Esses conhecimentos dependeriam dedemonstrações. Sabiam, porém, que era impossível demonstrartudo, pois isso provocaria uma regressão ao infinito, com cadaafirmação sendo sempre remetida a afirmações anteriores. Paraevitar isso, era preciso buscar o que Aristóteles chamou de primeirosprincípios, que, sendo evidentes, dispensariam as provas. A partirdessa âncora, a lógica nos conduziria a conhecimentos válidos,constituindo-se assim uma ciência demonstrativa.
  • A matemática grega pré-euclidiana apresenta umdesenvolvimento rápido, inspirado e acrítico (depois de Talesde Mileto); em seguida, um estágio de crítica e de dúvidas e,finalmente, uma disposição e polimento cuidadosos dasvárias partes.Coube a Euclides realizar o ideal de sistematizar osconhecimentos que outros povos haviam adquirido de formadesordenada através do tempo, dar ordem a lógica a essesconhecimentos, estudando a fundo as propriedades dasfiguras geométricas, as áreas e os volumes.
  • A OBRA E SEU DIFERENCIALElaborada por Euclides, a obra é considerada um marco,conhecida por seus sucessores como “elementador”, Foicomposto em 300 A.C. aproximadamente e foi copiadorepetidas vezes inserindo erros e variações inevitáveis, ealguns editores, notadamente Teon de Alexandria no fim doquarto século, tentaram melhorar o original.A obra possui 13 volumes, é pioneira no modelo axiomático, ouseja, os axiomas ou postulados e os teoremas que antes eramexpostos sem a necessidade de demonstração e agrupados aoacaso, nesta obra, seguem uma ordem lógica perfeita ondecada teorema gerado é fruto dos axiomas ou postulados e osteoremas que vieram antes dele, seguindo uma demonstraçãorigorosa.Vale salientar que embora o uso do modelo axiomático sejautilizado nessa obra, Euclides em alguns momentos e de formainvoluntária, não se utiliza das demonstrações para afirmarseus postulados e definições, além disso, admitiu resultadosintuitivos, sem demonstração.
  • OS ELEMENTOS A grosso modo, podemos sintetizar assim o conteúdo dos treze livros: Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de paralelogramos, triângulos e quadrados. A proposição quarenta e sete (penúltima) é o conhecidíssimo Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos. Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou geometria das áreas. Num total de 14 proposições. Livro III: Consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e tangentes.
  •  Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua inscrição e circunscrição num círculo. Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo. Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana. Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números. Livro X: Versa sobre as grandezas irracionais. É o Livro mais extenso deste conjunto de treze Livros. Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional
  • O 5º POSTULADO DE EUCLIDESO quinto postulado do livro I, é mais famoso dos postulados de Euclidese aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos.Equivalente ao “axioma das paralelas”, de acordo com o qual, por umponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela àdada, desde cedo que este postulado foi objeto de polêmica por nãopossuir o mesmo grau de “evidência” que os restantes. Já na antigüidade vários matemáticos acreditavam que ele pudesse serdemonstrado com base nos outros postulados e tentaram fazer taldemonstração. Essas tentativas foram retomadas nos temposmodernos, então por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que opostulado das paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dosoutros. Suspeitava-se que ele fosse independente dos outros quatro, eque se pudesse desenvolver uma geometria a partir de negações dopostulado das paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides.
  • Foi necessário esperar até ao século XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: Por um ponto exterior a uma recta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta recta (geometria deLobachevski); Por um ponto exterior a uma recta não podemos traçar nenhuma paralela a esta recta (geometria de Riemann). Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição.
  • Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas legítimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica; A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica. As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas. Estas novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955). O que permitiu provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.
  • INFLUENCIADOS POR EUCLIDES A obra de Euclides também influenciou cientistas posteriores a ele,Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileu Galilei e Sir IsaacNewton. Os matemáticos e filósofos: Bertrand Russel, Alfred NorthWhitehead e Baruch Spinoza, tentaram criar seus próprios“elementos” fundamentais de suas respectivas disciplinas, adotandoas estruturas dedutivas axiomáticas introduzidas pela obra deEuclides.
  • CONCLUSÃOPodemos evidenciar também que Euclides compilou todo conhecimentogeométrico existente em sua época de uma forma axiomática, lógica eaté didática. Utilizou-se de conhecimentos pré-existentes jádemonstrados adequando-os a uma linha lógica de pensamentosmatemáticos, mas também demonstrou vários teoremas visando umamaior consistência lógica. Com efeito, hoje, não apresentam ageometria como um mero agrupamento de dados desconexos, masantes como um sistema lógico.De fato, o trabalho executado por Euclides nos apresenta uma visãoPlatônica e Aristotélica. Ele era mais Platônico quando formulavaproposições cujos encadeamentos mentais eram suficientes paraevidenciar a verdade e era mais Aristotélico quando, por necessidadeou por sistema, construía diagramas que tornavam a verdade (mais)acessível.
  • Outra consequência dos Elementos de Euclides foi, devido ao 5º postulado, a Geometria Não-Euclidiana, que é dividida em duas: Geometria de Lobachevski (a hiperbólica) e -Geometria de Riemann (a elíptica ou esférica). Nos deixando assim nos tempos atuais diante de três tipos de Geometrias: A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica; A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica
  • BIBLIOGRAFIA www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/euclides.html www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclid es.htm www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/euclides.pdf www.prof2000.pt/users/amma/af18/t1/t1.htm www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/v eiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_01.PDF http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/postulado euclides.htm