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Distribución de probabilidad normal

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Transcript

  • 1. Capítulo 7 Distribución de probabilidad normal
  • 2. Características de la distribución de probabilidad normal
    • La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución.
    • La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y están localizadas en el pico. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se encuentra por arriba de este punto central, y la otra mitad por abajo.
  • 3. Características de la distribución de probabilidad normal
    • La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media.
    • La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x , pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
  • 4. Características de la distribución de probabilidad normal
    • La curva normal es simétrica.
    • Media, mediana y moda son iguales.
  • 5. La distribución de probabilidad normal estándar
    • La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1.
    • También es llamada distribución z .
    • Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x , y la media de la población µ , dividida entre la desviación estándar, σ . La fórmula es:
    • Z = ( x – µ )/ σ
  • 6. Ejemplo 1
    • El salario inicial de los primeros dos meses de los recién graduados de MBA siguen la distribución normal con una media de $2,000 y una desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un salario de $2,200?
    • Z = ( x – µ )/  = (2,200 – 2,000)/200 = 2.00
  • 7. Ejemplo 1 (Continuación)
    • ¿Cuál es el valor z de $1,700?
    • Z = ( x – µ )/ σ = (1,700 – 2,000)/200 = -1.50
    • Un valor z de 1 indica que el valor de $2,200 es una desviación estándar arriba de la media de $2,000.
    • Un valor z de -1.50 indica que $1,700 es 1.5 desviación estándar debajo de la media de $2,000.
  • 8. Áreas bajo la curva normal
    • Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar, y se expresa µ +- 1 σ .
    • Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar, lo que se expresa µ +- 2 σ .
    • Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar (a uno y otro lados del centro), es decir µ +- 3 σ .
  • 9. Áreas bajo la curva normal µ µ + σ µ - σ 68% µ -2 σ µ +2 σ 95%
  • 10. Ejemplo 2
    • El uso diario de agua por persona en Vista Bella, Naucalpan, está distribuido normalmente con una media de 20 galones y una desviación estándar de 5 galones. Aproximadamente 68% de ellos ¿cuántos galones de agua consumen?
    • Aproximadamente 68% del uso diario de agua cae entre 15 y 25 galones.
  • 11. Ejemplo 3
    • ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de Vista Bella seleccionada al azar consuma entre 20 y 24 galones por día?
    • Z = ( x – µ )/ σ = (20 – 20)/5 = 0.00
    • Z = ( x – µ )/ σ = (24 – 20)/5 = 0.80
  • 12. Ejemplo 3 (Continuación)
    • El área bajo la curva normal entre un valor z de cero y un valor z de 0.80 es 0.2881.
    • Concluimos que 28.81% de los residentes consumen entre 20 y 24 galones de agua por día.
    • Observe el siguiente diagrama.
  • 13. Ejemplo 3 0 1 2 3 -1 -2 -3 P (0< z <.8) = .2881
  • 14. Ejemplo 3 (Continuación)
    • ¿Qué porcentaje de la población consume entre 18 y 26 galones por día?
    • Z = ( x – µ )/ σ = (18 – 20)/5 = – 0.40
    • Z = ( x – µ )/ σ = (26 – 20)/5 = 1.20
  • 15. Ejemplo 3 (Continuación)
    • El área asociada con un valor z de – 0.40 es de .1554.
    • El área asociada con un valor z de 1.20 es de .3849.
    • Sumando estas áreas, el resultado es .5403.
    • Concluimos que 54.03% de los residentes consumen entre 18 y 26 galones de agua por día.
  • 16. Ejemplo 4
    • El profesor Velasco ha determinado que las calificaciones en su curso de estadística, están aproximadamente distribuidas en forma normal con una media de 72 y desviación estándar de 5. Él avisa a la clase que el 15% más alto obtendrá una calificación de A. ¿Cuál es la puntuación límite más baja que obtendrá calificación de A?
  • 17. Ejemplo 4 (Continuación)
    • Para comenzar, sea x la puntuación que separa una A de una B.
    • Si el 15% de los estudiantes tienen puntuación superior a x , entonces el 35% deberá estar entre la media de 72 y x .
    • El valor z asociado correspondiente al 35% es 1.04.
  • 18. Ejemplo 4 (Continuación)
    • Tomamos z = 1.04 y resolvemos la ecuación de la normal estándar para x . El resultado es la puntuación que separa a los estudiantes que separan una A de aquellos que ganaron una B.
    • 1.04 = ( x – 72)/5 = 72 + 5.2 = 77.2
    • Aquellos cuya puntuación sea de 77.2 o más ganarán una A.
  • 19. La aproximación normal a la binomial
    • La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n .
    • La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando n  y n (1 –  ) son ambos mayores que 5.
  • 20. La aproximación normal (Continuación)
    • Recordemos que para un experimento binomial:
    • En un experimento sólo existen dos resultados mutuamente excluyentes: éxito y fracaso.
    • La distribución es el resultado de contar el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.
    • Cada ensayo es independiente.
    • La probabilidad,  , permanece igual de un ensayo a otro.
  • 21. Factor de corrección de continuidad
    • El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua.
  • 22. Ejemplo 5
    • Un estudio reciente de una firma de estudios de mercado mostró que 15% de residentes americanos son propietarios de una videocámara. Para una muestra de 200 hogares, ¿cuántos de los hogares esperaría que tengan videocámara?
    • Esta es la media de una distribución binomial.
  • 23. Ejemplo 5 (Continuación)
    • ¿Cuál es la varianza?
    • ¿Cuál es la desviación estándar?
  • 24. Ejemplo 5 (Continuación)
    • ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 40 hogares en la muestra tengan videocámaras?
    • Usamos el factor de corrección, por lo tanto x es 39.5.
    • El valor z es 1.88
    • Z = ( x – µ )/ σ = (39.5 – 40)/5.0498 = 1.88
  • 25. Ejemplo 5 (Continuación)
    • Del apéndice D el área entre 0 y 1.88 en la escala z es .4699.
    • Por lo tanto, el área a la izquierda de 1.88 es .5000 + .4699 = .9699.
    • La probabilidad de que menos de 40 de los 200 hogares tengan videocámara es aproximadamente 97%.
  • 26. Ejemplo 5 (Continuación) 0 1 2 3 Z = 1.88 P ( z <1.88) =.50000 + .4699 =.9699

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