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Capítulo 03

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  • 1. Capítulo 3 Descripción de datos, medidas de tendencia central
    • Objetivos: Al terminar este capítulo podrá:
    • Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica.
    • Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de tendencia central.
    • Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto en distribuciones simétricas como asimétricas.
  • 2. Características de la media
    • La media aritmética es, con mucho, la medida de localización más usada.
    • Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el número de valores.
    • Las principales características de la media son:
    • - Requiere de una escala de intervalo.
    • - Todos los valores son utilizados.
    • - Es única.
    • - La suma de las desviaciones con respecto a la media
    • es cero.
  • 3. Media poblacional
    • Para datos no agrupados, la media poblacional es la suma de todos los valores de la población divididos entre el número total de valores de la población: donde µ es la media poblacional, N es el total de observaciones de la población y X un valor particular.
  • 4. Ejemplo 1
    • Un parámetro es una medida característica de la población.
    • Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos corresponden al kilometraje de cada uno de ellos:
    • 56,000 23,000 42,000 73,000
    • Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos:
    • µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500
  • 5. Media muestral
    • Para datos no agrupados, la media muestral es la suma de todos los valores de la muestra dividida por el número de valores de la muestra. Donde n es el número total de valores en la muestra.
  • 6. Ejemplo 2
    • Un estadístico es una medida característica de una muestra.
    • Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el último año ($000):
    • 14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0
  • 7. Propiedades de la media aritmética
    • Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tienen una media.
    • Para evaluar la media se consideran todos los valores.
    • Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un valor único.
    • La media es afectada por valores inusualmente grandes o pequeños.
    • La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, siempre es igual a cero.
  • 8. Ejemplo 3
    • Considere el siguiente conjunto de valores: 3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta propiedad:
  • 9. Media ponderada
    • La media ponderada de un conjunto de números X 1 , X 2 , …, X n con pesos correspondientes w 1 , w 2 , …, w n es calculada con la siguiente fórmula:
  • 10. Ejemplo 6
    • Durante el periodo de una hora, en una tarde calurosa de sábado, Cristina sirvió 50 refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule la media ponderada para el precio de estas bebidas.
  • 11. La mediana
    • La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor.
    • Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y 50% son menores que ella.
    • Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de los dos valores centrales.
  • 12. Ejemplo 4
    • Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son:
    • 21, 25, 19, 20, 22
    • Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:
    • 19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.
    • Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en pulgadas, son:
    • 76, 73, 80, 75
    • Entonces la mediana es 75.5
  • 13. Propiedades de la mediana
    • Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos.
    • No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando se presenta esta clase de valores.
    • Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.
    • Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase.
  • 14. La moda
    • La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.
    • Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87
    • Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda.
  • 15. La media geométrica
    • La media geométrica ( GM ) de un conjunto de n números se define como la raíz enésima del producto de n números.
    • La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.
    • La fórmula es:
  • 16. Ejemplo 7
    • La tasa de interés de tres bonos son: 5, 21 y 4 por ciento.
    • La media aritmética es (5+21+4)/3 =10.0
    • La GM da una utilidad más conservadora porque no está demasiado influenciada por la tasa del 21 por ciento.
    • La media geométrica es:
  • 17. Media geométrica (Continuación)
    • Otro uso de la media geométrica es determinar el aumento porcentual en ventas, producción o series económicas de un periodo de tiempo a otro.
  • 18. Ejemplo 8
    • El número total de mujeres contratadas en Colegios Americanos se incrementó de 755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es, la media geométrica o tasa de incremento es 1.27%.
  • 19. La media para datos agrupados
    • La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias es calculada por la siguiente fórmula:
  • 20. Ejemplo 9
    • Una muestra de 10 cines en una gran área metropolitana contó el número total de películas en exhibición la última semana. Calcule el número medio de películas en exhibición.
  • 21. Ejemplo 9 (Continuación) 66 10 Total 30 10 3 9 hasta 11 8 8 1 7 hasta 9 18 6 3 5 hasta 7 8 4 2 3 hasta 5 2 2 1 1 hasta 3 ( f )( X ) Punto medio de clase ( X ) Frecuencia f Películas en cartelera
  • 22. La mediana para datos agrupados
    • La mediana de una muestra de datos agrupados en una distribución de frecuencias se calcula con:
    • donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, n es el número total de frecuencias, CF es la frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, e i es la amplitud de la clase en que se encuentra la mediana.
  • 23. Encontrar la clase que contiene a la mediana
    • Para determinar la clase que contiene a la mediana para datos agrupados:
    • Construya una distribución de frecuencias acumuladas.
    • Divida el número total de datos entre 2.
    • Determine cuál clase contiene este valor.
    • Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces determine cuál clase contiene el valor en la posición 25.
  • 24. Ejemplo 10 10 3 9 hasta 11 7 1 7 hasta 9 6 3 5 hasta 7 3 2 3 hasta 5 1 1 1 hasta 3 Frecuencia acumulada Frecuencia Películas en cartelera
  • 25. Ejemplo 10 (Continuación)
    • De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, CF = 3
  • 26. La moda en datos agrupados
    • Para datos agrupados en una distribución de frecuencias, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor número de frecuencias de clase.
    • Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuando dos valores ocurren un gran número de veces, la distribución es llamada bimodal , como en el ejemplo 10.
  • 27. Distribución simétrica
    • Cero asimetría moda = mediana = media
  • 28. Distribución con sesgo positivo
    • Asimetría positiva: media y mediana están a la derecha de la moda.
    • Moda<Mediana<Media
  • 29. Distribución con sesgo negativo
    • Asimetría negativa: media y mediana están a la izquierda de la moda.
    • Media<Mediana<Moda

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