Cuadratura Del Círculo 1
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    Cuadratura Del Círculo 1 Cuadratura Del Círculo 1 Presentation Transcript

    • Cuadratura del círculo ¿Es posible, utilizando tan sólo la regla y compás, construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un circulo dado?
    • El problema surgió sin duda de la exigencia práctica de determinar el área conociendo su radio o su diámetro, y traduciéndose geométricamente en un problema de equivalencia: dado un segmento como radio de un círculo, determinar otro segmento como lado del cuadrado equivalente.
    • Una construcción geométrica aproximada de la cuadratura del círculo con regla y compás debería cumplir los siguientes requisitos:
      • la aproximación de pi debería ser la mejor posible
      • el número de pasos debería ser el mínimo posible
      • la construcción debería poder hacerse siguiendo la lógica de cualquier problema: partir del dato ... para llegar a la solución, en este caso partir del radio del círculo (el dato ) para llegar al lado del cuadrado ( la solución) .
    • Una posible solución
    • Por ejemplo partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se haya su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C,D,E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución.
    • Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado es que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico pues es el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años a.C.).
    • Sin poderlo demostrar hasta finales del siglo XIX… Parece que en otro tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él.
    • Intentos Infructuosos
    • Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba inaplicable
    • Uno de los primeros Griegos en dedicarse a este problema fue Anaxágoras , cuando estaba encarcelado. Después de el, Antifón el sofista intento realizar la cuadratura mediante inscripción de polígonos regulares en el circulo, con duplicación indefinida del número de sus lados. Brisón dio un paso más al considerar a la vez los polígonos inscritos y los circunscritos
    • Antifón y Brisón.
      • Antifón parte de la propiedad: es siempre posible, dado un polígono inscrito en un círculo, construir otro de doble número de lados, agregando que si el número de lados aumenta, el polígono se aproxima cada vez más al círculo; llegando a la conclusión de que, al ser todos los polígonos cuadrables, lo será en definitiva también el círculo, conclusión final falsa, pues, como ya observó Aristóteles, por grande que sea el número de lados, el polígono jamás llenará el círculo.
      • Brisón, por su parte, agregó a estas consideraciones las análogas referentes a los polígonos circunscritos, mostrando cómo las dos series de polígonos estrechan cada vez más al círculo, cuya área estará siempre comprendida entre la de dos polígonos: uno inscrito y otro circunscrito. Si Brisón llegó hasta aquí, aún sin resolver el problema, habría señalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará notables resultados, pero sí, como se dice, agregó que el área del círculo es media proporcional entre la de los cuadrados inscrito y circunscrito, habría entonces cometido un error bastante grosero, aproximadamente del 10%.
    • Hipócrates de Quíos Sus contribuciones son importantes ya que, sin lograr cuadrar el círculo, logró cuadrar recintos limitados por arcos de círculos, aparentemente más complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se los llamó “lúnulas de Hipócrates”.
    • Hipócrates no hizo por supuesto la solución del problema de la cuadratura del circulo sino que él resolvió uno relacionado a esto: Calcular un área curvilínea que fuera igual a un área acotada por líneas rectas. Área del semicírculo ABC / Área del semicírculo AEB = AC2/AB2 = 2/1 Por lo tanto Área (s.c.)ABC = 2(Área (s.c.)AEB) Área OADB = Área AEB Por otro lado Área AEB = Área (lúnula I) +Área (lúnula II) Área OADB = Área Triángulo (OAB)+ Área (lúnula II) Ya que Área AEB = Área OADB Entonces Área (lúnula I) + Área (lúnula II) = Área Triángulo (OAB) + Área (lúnula II) Por lo tanto Área (lúnula I) = Área Triángulo (OAB)
    • Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo. La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir mediante regla y compás ) era posible.
    • Eudoxio El método que utilizó Eudoxio, fue el método de exhaución, donde se encuentra una aplicación válida en el caso del círculo. Considerando que el cuadrado inscrito en el círculo es más que su mitad, sustrayendo de él se obtienen cuatro segmentos circulares. Pasando del cuadrado al octágono, sustraerlo del círculo equivale a sustraer de los cuatro segmentos circulares precedentes cuatro triángulos que son más de la mitad de aquellos. Se obtienen ocho segmentos circulares. Doblando el número de lados, esto es, pasando del octágono al polígono regular de dieciséis lados inscritos, se vuelve a sustraer de los ocho segmentos circulares más de su mitad, obteniéndose dieciséis segmentos circulares. Continuando el procedimiento, los segmentos circulares tienden a ser cada ves más pequeños, de forma que la suma de sus áreas tiende a cero, mientras que la sucesión de las áreas de los polígonos inscritos tiende al círculo.
    • Los Historiadores de la matemáticas presentan a Eudoxo como un “malabarista” del infinito; su procedimiento, aunque laborioso, tiene su validez, y ello no sólo por el rigor científico. Este procedimiento sirve para demostrar una propiedad: dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros . Esto es, si un círculo tiene el diámetro doble del diámetro del otro, el área del primero es el cuádruplo del área del segundo. No se puede sino considerar que el método de Eudoxo es más bien artificioso. Este autor evita el obstáculo directo del infinito, pero indirectamente lo utiliza cuando considera la posibilidad de construir polígonos inscritos doblando indefinidamente el número de lados. El suyo es todavía un infinito, por que no considera la totalidad de los polígonos inscritos, sino que determina un cierto número le añade otro al volver a doblar el número de lados.
    • Dinostrato
      • Utilizó la c uadratrice (una curva inventada por el sofista Hippias para la división del ángulo) para resolver el problema de la cuadratura del círculo.
      • Parece que Hipias ha descubierto esta curva, pero que más tarde fue Dinostratus el primero en usarla para encontrar una plaza área igual a un determinado círculo. La c uadratrice permite poner en relación la duración de un círculo con que ciertos segmentos de recta.
      • Sporo de Nicea fue crítico sobre esta construcción, tanto desde el punto de vista de la construcción de quadratrice mismo, tanto de lo que hizo Dinostratus para la cuadratura del círculo.
      • Generación de la cuadratriz
      • Supongamos inscrito en el cuadrado un arco de circunferencia con centro A . Sea D un punto que parte de C y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea E un punto que parte de C en el mismo momento que D y se desplaza por el segmento CA a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que E recorre CA es el mismo que el tiempo en que D recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento EA es a la longitud del segmento CA como la longitud del arco es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación . El punto H, en que se cortan la perpendicular a AC por D y la recta AD, describe la curva llamada cuadratriz .
      • Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.
      En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo
    • Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto I de intersección de la cuadratriz con la base AB . Ese punto I no se produce como intersección de las rectas AD y EG en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a I , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando AD y EG se acercan a AB . La propiedad del punto I que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que , o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento AB como la longitud del segmento AB es a la longitud del segmento AI . Ello implica que si R es la intersección de la paralela a CI que pasa por B con la prolongación de AC , la longitud AR es igual a la longitud del arco (porque ). Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si S es el punto medio de AR , el área del sector circular es igual al área del rectángulo . Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo. Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado, podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto I de la cuadratriz en el segmento AB .
    • Ferdinand Lindemann
      • En 1882 , el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente , lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema.
      • Importancia de
      • Siendo el área del círculo y el área del cuadrado, donde y son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, . En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo el factor de proporción.
      • Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener con regla y compás, es decir, se podría obtener por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentales son un subconjunto de los números reales que se caracterizan precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si es un número trascendental, como demostró Lindemann, también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.
    • La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX .
      • Se llegó a la conclusión de que no existe un método geométrico que permita la cuadratura del círculo, es decir, relacionar un círculo y un cuadrado de igual área, utilizando sólo regla y compás.
      • Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.
    • BIOGRAFÍAS
    • Anaxágoras Clazómenas, actual Turquía, 500 a.C. - Lámpsaco, id., 428 a.C. Filósofo, geómetra y astrónomo griego. Probable discípulo de Anaxímenes, Anaxágoras perteneció a la denominada escuela jónica y abrió la primera escuela de filosofía en Atenas. Padeció la expulsión de Atenas bajo la acusación de ateísmo; según los testimonios de la época, el motivo real fue su afinidad con Pericles, quien se hallaba en oposición a Tucídides.
    • Antifonte o Antifón
      • Atenas o Ramnunte , ca. 480  a .  C . - 411  a .  C .
      • Fue un orador , filósofo y matemático griego .
      • Nacido en el seno de una familia aristocrática. Pertenecía a la escuela sofista , manteniendo que todo es uno para el λογος, de tal suerte que nada existe de manera individual para los sentidos ni para el conocimiento humano. El mundo de la verdad lo identificaba con la naturaleza y el mundo de la apariencia (el humano) con lo falso. Fue un gran retórico y escritor de discursos políticos. Antifonte fue contemporáneo de Sócrates , con quien mantuvo largas y tediosas discusiones.
    • Hipócrates de Quíos
      • M atemático griego del siglo V a.C.
      • Nació en la isla de Quíos, enfrente de las costas de la actual Turquía . No muy lejos se encuentra la isla de Cos , donde nació el también célebre Hipócrates de Cos ( siglo V a .  C . , siglo IV a .  C . ), autor del juramento hipocrático .
      • Hipócrates de Quíos es conocido por su cuadratura de la lúnula , esto es, la cuadratura mediante regla y compás , de una lúnula de características muy específicas
    • Eudoxio
      • Fue el matemático griego más notable del s. IV a.C. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (o, peor llamado,de“exhausción”). Nació en Cnido -en la península hoy de Resadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia.
      • Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de Platón.
    • Dinostrato
      • (390 a.C . - 320 a.C.) Geómetra griego nacido en Alopeconnesus, Asia Menor, hoy Turquía, un discípulo de Eudóxio y hermano de Menaecmo de Atenas.
      • Conocido por haber utilizado la c uadratrice (una curva trascendente descubrimiento de Hipias) para resolver el problema de la cuadratura del círculo.
      • Dinostratus probablemente contribuyó tanto un mayor desarrollo de la geometría, pero por desgracia no se conoce nada más.
    • Bibliografía
      • http://gaussianos.com/la-cuadratriz/
      • http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_c%C3%ADrculo