Curso nivelación parte i
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Curso nivelación parte i Curso nivelación parte i Document Transcript

  • INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN PUERTO ORDAZ PARTE I Elaborado por: MSC. Lesbia Galindez 2011
  • CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS Bienvenido a este Curso de Nivelación de Matemáticas del IUP“Santiago Mariño”, extensión Puerto Ordaz!!! La presente guía la usarás como complemento a las clases presenciales deMatemáticas Básicas dictadas en el curso de Nivelación de la Institución, lamisma la podrás aplicar como una herramienta que te facilitará elreforzamiento de los conocimientos de matemáticas adquiridos durante tu etapaformativa y a su vez facilitará la transición de los estudios básicos de EducaciónMedia y Diversificada a la Educación Universitaria. Este material lo podrás usar como un cuaderno de práctica y resoluciónde ejercicios de manera que puedes de manera sencilla manejar todos losconocimientos que requieres para el éxito en tu Cátedra de Matemáticas I. La Persistencia engrandece nuestra alma, e impulsa nuestras metas! Msc. Lesbia Galindez
  • NÚMEROS NATURALES Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4,...} se llamannúmeros naturales y se denotaran con la letra N. Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobreuna recta del siguiente modo: 1 2 3 4 Como se puede observar en la recta numérica, el conjunto N tiene un primerelemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento?_______________________________________________________Actividad: ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué?Ejemplificar._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplificar._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertasoperaciones como suma, resta, multiplicación y división. Observemos losiguiente: 2+5=7 5+2=7 La suma de dos números naturales da SIEMPRE como resultado un número natural 3 + 20 = 23
  • 2 .7 = 14 La multiplicación de dos números naturales da 5 .8 = 40 SIEMPRE como resultado un número natural. 10. 3 = 30 9-5 = 4 25-22 = 3 9-20 = ? 5-7=?PROPIEDADES:NÚMEROS ENTEROS Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1,–2, –3, entre otros, como opuestos de los números naturales. Además seincorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el ceroconstituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z.Notemos que N Z (Los Números Naturales son subconjunto de los NúmerosEnteros). Su representación sobre la recta numérica es la siguiente: -3 -2 -1 0 1 2 3 Es opuesto deVeamos algunos ejemplos:El opuesto de 2 es –2.El opuesto de –5 es 5, es decir -(-5) =5El opuesto de 0 es __________________________ De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales comola suma de dos números enteros.
  • Regla de los Signos para la Suma Algebraica: o Signos iguales se suman y se conserva el signo. o Signos diferentes se restan y se conserva el signo del número mayor.Ejemplos: Calcular:1) 33 + (-12) =? Solución: Efectuar operaciones de adición de números con diferentes signos, se restan y se coloca el signo del número mayor: 33 + (–12) = 33 – 12 = 212) 11 -(-20)? Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lotanto, o simplemente se aplica la regla de la multiplicación de signos, “menos”por “menos” = “mas”; y luego la regla de los signos para la suma; así como semuestra a continuación:11 – (–20) = 11 + 20 = 31Regla de los Signos para el Producto: La regla de los signos para el producto se puede resumir en el siguientecuadro: Operación Resultado “+”. “+” “+” “+”. “-” “-” “-”. “+” “-” “-”. “-” “+”Actividad:Completar: La suma de dos números enteros da siempre un número_______________________________________________Dar dos ejemplos:__________________________________________ La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ____________________________________________________ Dar dos ejemplos:________________________________________ Realice las siguientes operaciones. a) 5-9=
  • b) 8-9= c) 45-63= d) -7+18= e) 6+8= f) -7-8= g) -63-89= h) 25+96= i) -78596-7015= j) 6563+387956= k) -10990345+998987= Realice las siguientes operaciones: a) 3.5= b) -9.6= c) -10.(-12)= d) -5.(-8)= e) (-8).(-9)= f) 2.5= g) 6.(-3)= h) 1.(-8)=División:Veamos qué ocurre con la división. Observemos lo siguiente:4÷ 2 =2 ya que 2 .2 =46÷ 3 =2 ya que 2 .3 =6En general a÷ b =c , b ≠0 si se verifica que b.c =a¿Cuál será el resultado de 4÷3? Debemos pensar en un número entero tal que almultiplicarlo por 3 dé como resultado 4.___________________________¿Qué número entero cumple con esta condición? _____________________Regla de los Signos para la División: La regla de los signos para la división se puede resumir en el siguientecuadro:
  • Operación Resultado “+”÷ “+” “+” “+”÷ “-” “-” “-”÷ “+” “-” “-”÷ “-” “+”NÚMEROS RACIONALESPara resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, elconjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra Q. Unnúmero racional es el cociente (división) de dos números enteros m y n, siendon≠0. Por lo tanto:Donde m es el numerador y n el denominador. Notemos que Z ⊆ Q. ¿Por qué?¿Por qué se excluye al 0 del denominador en la definición?______________________________________________________________________________________________________________Representemos en la recta numérica algunos números racionales: 0Veamos algunos ejemplos de números racionales: Es racional pues es el cociente de 7 y 5, que son números enteros. Es racional pues es el cociente de –4 y 3, que son números enteros.4 es racional pues y 4 y 1 son enteros.Tres ejemplos más:0,3 es la expresión decimal de un número racional porque y 3 y 10números enteros.
  • … es la expresión decimal de un número racional porque y5 y 9 son números enteros.OperacionesInverso de un NúmeroDefinimos el inverso de un número a ≠ 0 como el número racional quemultiplicado por a nos da 1, es decir:Ejemplos: El inverso de es , pues El inverso de es , pues De esta manera, redefinimos la división de dos enteros como lamultiplicación de dos racionales. Además, podemos extender esta idea a ladivisión de dos racionales, definiéndola como la multiplicación del primero porel inverso del segundo.Ejemplos:Es decir: “2 dividido entre 5” lo pensamos como la multiplicación de losnúmeros racionales 2 y , es decir, 3 dividido entre se piensa como la multiplicaciónentre 3 y el inverso de , que es 2.Otra forma de resolver es aplicando “Doble C”:
  • Actividad:Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.1.2.3.Entre dos Racionales distintos a y b, existen infinitos números racionales.Suma Algebraica de Fracciones: Suma algebraica de Fracciones con el mismo denominador, se copia eldenominador y y se suma los numeradores (aplicando la regla de los signos parala adición de números).Veamos: Resuelva la siguiente suma algebraica de fracciones: Para sumar algebraicamente fracciones con diferentes denominadores sepuede resolver por medio de diferentes métodos. Veamos.1.- Determinando el máximo común denominador:M.C.D: Para ello se descompone en factores primos cada uno de losdenominadores y se determinan los términos comunes y no comunes con sumayor exponente, así:M.C.D= términos comunes y no comunes con su mayor exponente.Ejemplo: Determinar el M.C.D de los siguientes números: 24, 12, 5Primero se descompone en factores primos cada uno de los números:
  • 24 2 12 2 5 512 2 6 2 1 6 2 3 3 3 3 1 1M.C.D= De esta manera se resuelve el máximo común denominador. Veamoscómo se aplica para la suma de fracciones:Realizar la siguiente suma algebraica de Fracciones:PASOS:a.- Se calcula el MCD (utilicemos la misma descomposición en factores primosde 5 y 12 realizada anteriormente).M.C.D=b.- Se divide el M.C.D entre cada denominador:c.- Luego de esto, el resultado se multiplica por el numerador, tal como se indicaa continuación:Obteniéndose finalmente el resultado.2.- Realizando la suma o Resta de fracciones de manera cruzada:Veamos un ejemplo:
  • Actividades: Realiza las siguientes sumas algebraicas de fracciones: a) b) c) d) e)Multiplicación de Fracciones: Para multiplicar fracciones se efectúa la multiplicación del numeradorcon el numerador y el denominador con el denominador, tal como se muestra acontinuación:Actividades: Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d) e)NÚMEROS REALESNúmeros Irracionales¿Se puede representar a todos los números que conoces mediante una expresióndecimal finita o periódica?
  • A los números reales cuya expresión decimal no es finita ni periódica losllamaremos números irracionales. A este conjunto lo denotaremos con I.Algunos ejemplos son: Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica.Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un númeroirracional y que el producto de dos números irracionales no siempre da unnúmero irracional.Buscar ejemplos en donde se verifiquen dichas afirmaciones.Observa que si n Z, entonces n × (si n ≠ 0 ) y n + son también númerosirracionales. Entonces, se puede generalizar que si r Qyt I, r + t y r ×t (si r ≠ 0 )son números irracionales. Obviamente I también es un conjunto infinito denúmeros.Números Reales El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llamaconjunto de números reales, y se designa con la letra R. Notemos que, poresta definición Q ⊆ R. Los números reales llenan por completo la rectanumérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le correspondenun número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.Resumiendo… Naturales Enteros Racionales {0} Fraccionarios Irracionales Reales
  • PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN RSuma y Producto: Estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades:Actividad:1.- Comprobar con ejemplos las propiedades anteriores.2.- Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de serverdaderas, mencionar las propiedades utilizadas: a) b) c) d) 2+ e) f) para todo b real3.- Para las siguientes operaciones aplique la propiedad Conmutativa: a) (5.8)= b) (1233+4565)= c) (7-3)= d) (8345 - 5567)= e) (6.50)= f) (-35.52)= g) (-8890-93456)=
  • Potenciación Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que anse obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir: n-veces Ejemplo:Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n comoexponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠0:a0 = 1a–n = (a–1)n con n N¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál esel signo del resultado? ______________________________________________________________________________________________¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Porqué?__________________________________________________________________________________________________________Actividad: Decir si los siguientes enunciados son verdaderos y falsos: a)
  • b) c) d) e) f) g) Realice la simplificación de las siguientes expresiones aplicando laspropiedades de potenciación: a) b) c)