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Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005 
Unidade 02 
Luis Paulo S. Barra 
Leonardo Goliatt 
Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional 
Universidade Federal de Juiz de Fora 
v. 14.10 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 1 / 56
Livro Texto 
Livro texto: 
I Introduction to Continuum Mechanics 
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 2 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
2 Cinem´atica II 
3 Cinem´atica III 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 3 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento 
O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um 
tempo t pode ser escrito como: 
x = x(X; t) com x(X; t0) = X 
Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento 
O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um 
tempo t pode ser escrito como: 
x = x(X; t) com x(X; t0) = X 
Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. 
Em componentes se escreve: 
x1 = x1(X1; X2; X3; t) 
x2 = x2(X1; X2; X3; t) 
x3 = x3(X1; X2; X3; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial 
Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu 
tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. 
Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) 
Seguindo as part´ıculas: 
 = ˆ 
(X1; X2; X3; t) 
v = ˆv(X1; X2; X3; t) 
T = ˆT(X1; X2; X3; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial 
Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu 
tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. 
Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) 
Seguindo as part´ıculas: 
 = ˆ 
(X1; X2; X3; t) 
v = ˆv(X1; X2; X3; t) 
T = ˆT(X1; X2; X3; t) 
Descric¸ ˜ao Espacial (ou Euleriana) 
Observando mudanc¸as em locais (pontos no espac¸o) fixos: 
 = ˜ 
(x1; x2; x3; t) 
v = ˜v(x1; x2; x3; t) 
T = ˜T(x1; x2; x3; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
Derivada Material 
Definic¸ ˜ao 
Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
Derivada Material 
Definic¸ ˜ao 
Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. 
Descric¸ ˜ao Material 
 = ˆ 
(X1; X2; X3; t) 
Logo: 
D 
Dt = 
  
@ˆ 
@t 
! 
Xi fixos. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
Derivada Material 
Descric¸ ˜ao Espacial 
 = ˜ 
(x1; x2; x3; t) 
Logo: 
D 
Dt = 
@˜ @x1 
@x1 
@t + 
@˜ 
@x2 
@x2 
@t + 
@˜ 
@x3 
@x3 
@t + 
@˜ 
@t 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
Derivada Material 
Descric¸ ˜ao Espacial 
 = ˜ 
(x1; x2; x3; t) 
Logo: 
D 
Dt = 
@˜ @x1 
@x1 
@t + 
@˜ 
@x2 
@x2 
@t + 
@˜ 
@x3 
@x3 
@t + 
@˜ 
@t 
= v1 
@˜ 
@x1 
+ v2 
@˜ 
@x2 
+ v3 
@˜ 
@x3 
+ 
@˜ 
@t 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
Derivada Material 
Descric¸ ˜ao Espacial 
 = ˜ 
(x1; x2; x3; t) 
Logo: 
D 
Dt = 
@˜ @x1 
@x1 
@t + 
@˜ 
@x2 
@x2 
@t + 
@˜ 
@x3 
@x3 
@t + 
@˜ 
@t 
= v1 
@˜ 
@x1 
+ v2 
@˜ 
@x2 
+ v3 
@˜ 
@x3 
+ 
@˜ 
@t 
Em notac¸ ˜ao direta 
D 
Dt = 
@ 
@t + v  r 
Ficando impl´ıcito que  = ˜ 
(x1; x2; x3; t). 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Definic¸ ˜ao 
a = 
  
@v 
@t 
! 
Xi fixos 
 
Dv 
Dt 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Definic¸ ˜ao 
a = 
  
@v 
@t 
! 
Xi fixos 
 
Dv 
Dt 
Portanto: 
Dv 
Dt = 
D(viei) 
Dt = 
Dvi 
Dt 
ei 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Definic¸ ˜ao 
a = 
  
@v 
@t 
! 
Xi fixos 
 
Dv 
Dt 
Portanto: 
Dv 
Dt = 
D(viei) 
Dt = 
Dvi 
Dt 
ei 
Logo: 
ai = 
Dvi 
Dt = 
@vi 
@t + vj 
@vi 
@xj 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Definic¸ ˜ao 
a = 
  
@v 
@t 
! 
Xi fixos 
 
Dv 
Dt 
Portanto: 
Dv 
Dt = 
D(viei) 
Dt = 
Dvi 
Dt 
ei 
Logo: 
ai = 
Dvi 
Dt = 
@vi 
@t + vj 
@vi 
@xj 
E finalmente: 
a = 
@v 
@t + (rv)v 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
Campo de Deslocamentos 
Definic¸ ˜ao 
u = x(X; t)  X 
Uma vez conhecida a trajet´oria de uma part´ıcula, x(X; t), o campo de deslocamentos 
tamb´em fica determinado. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 9 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Translac¸ ˜ao 
x = X + c(t) 
onde c(0) = 0 
Logo u = x  X = c(t) ´e independente de X. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Translac¸ ˜ao 
x = X + c(t) 
onde c(0) = 0 
Logo u = x  X = c(t) ´e independente de X. 
Rotac¸ ˜ao 
Em torno do ponto b: 
x  b = R(t)(X  b) 
onde R(t) representa um tensor rotac¸ ˜ao, com R(0) = I. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Movimento Geral 
Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b) 
x = R(t)(X  b) + c(t) () (X  b) = RT (x  c) 
onde R(0) = I e c(0) = b 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Movimento Geral 
Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b) 
x = R(t)(X  b) + c(t) () (X  b) = RT (x  c) 
onde R(0) = I e c(0) = b 
Velocidade de um Ponto 
Tomando a derivada material: 
R 
v = 
(X  b)+ 
c 
(t) 
e usando (X  b) = RT (x  c) vem 
R 
v = 
RT (x  c)+ 
c 
(t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Velocidade de um Ponto (cont.) 
Assim: 
R 
v = 
RT (x  c)+ 
c 
(t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Velocidade de um Ponto (cont.) 
Assim: 
R 
v = 
RT (x  c)+ 
c 
(t) 
Uma vez que 
R 
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48): 
v = !  (x  c)+ 
c 
(t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Velocidade de um Ponto (cont.) 
Assim: 
R 
v = 
RT (x  c)+ 
c 
(t) 
Uma vez que 
R 
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48): 
v = !  (x  c)+ 
c 
(t) 
Ou ainda: 
v = !  r+ 
c 
(t) 
onde r = (x  c) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
Gradiente de Deslocamentos 
Em um ponto P: 
x = X + u(X; t) 
Em um ponto vizinho Q: 
x + dx = X + dX + u(X + dX; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
Gradiente de Deslocamentos 
Em um ponto P: 
x = X + u(X; t) 
Em um ponto vizinho Q: 
x + dx = X + dX + u(X + dX; t) 
Subtraindo as equac¸ ˜oes anteriores: 
dx = dX + u(X + dX; t)  u(X; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
Gradiente de Deslocamentos 
E portanto: 
dx = dX + ru dX 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
Gradiente de Deslocamentos 
E portanto: 
dx = dX + ru dX 
onde: 
[ru] = 
266666666666666666666666666666664 
@u1 
@X1 
@u1 
@X2 
@u1 
@X3 
@u2 
@X1 
@u2 
@X2 
@u2 
@X3 
@u3 
@X1 
@u3 
@X2 
@u3 
@X3 
377777777777777777777777777777775 
: 
Se ru = 0, ent˜ao dx = dX e o movimento da vizinhanc¸a do ponto P ´e uma translac¸ ˜ao 
de corpo r´ıgido. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Considerando: 
dx(1) = dX(1) + ru dX(1) 
dx(2) = dX(2) + ru dX(2): 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Considerando: 
dx(1) = dX(1) + ru dX(1) 
dx(2) = dX(2) + ru dX(2): 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = dX(1)  dX(2) + dX(1)  ru dX(2) + dX(2)  ru dX(1) + 
+fru dX(1)g  fru dX(2)g: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Considerando: 
dx(1) = dX(1) + ru dX(1) 
dx(2) = dX(2) + ru dX(2): 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = dX(1)  dX(2) + dX(1)  ru dX(2) + dX(2)  ru dX(1) + 
+fru dX(1)g  fru dX(2)g: 
E tamb´em: 
dX(2)  ru dX(1) = dX(1)  ruT dX(2) 
f(ru)dX(2)g  f(ru)dX(1)g = dX(1)  ruT ru dX(2): 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1): 
dx(1)  dx(2) = dX(1)  dX(2) + dX(1)  fru + ruT + ruT ru gdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1): 
dx(1)  dx(2) = dX(1)  dX(2) + dX(1)  fru + ruT + ruT ru gdX(2) 
E, para pequenas deformac¸ ˜oes: 
dx(1)  dx(2) = dX(1)  dX(2) + 2dX(1)  EdX(2) 
Definido o tensor de deformac¸ ˜oes infinitesimais como: 
E = 
1 
2 
n 
ru + ruT 
o 
: 
Em outras palavras E ´e a parte sim´etrica de ru. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Componentes 
Eij = 
1 
2 
  
@ui 
@Xj 
+ 
@uj 
@Xi 
! 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 17 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Componentes 
Eij = 
1 
2 
  
@ui 
@Xj 
+ 
@uj 
@Xi 
! 
ou ainda 
[E] = 
26666666666666666666666666666666664 
@u1 
@X1 
1 
2 
  
@u1 
@X2 
+ 
@u2 
@X1 
! 
1 
2 
  
@u1 
@X3 
+ 
@u3 
@X1 
! 
1 
2 
  
@u1 
@X2 
+ 
@u2 
@X1 
! 
@u2 
@X2 
1 
2 
  
@u2 
@X3 
+ 
@u3 
@X2 
! 
1 
2 
  
@u1 
@X3 
+ 
@u3 
@X1 
! 
1 
2 
  
@u2 
@X3 
+ 
@u3 
@X2 
! 
@u3 
@X3 
37777777777777777777777777777777775 
: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 17 / 56
Programa 
1 Cinem´atica I 
Descric¸ ˜ao do Movimento 
Derivada Material 
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula 
Cinem´atica do Corpo R´ıgido 
Gradiente de Deslocamentos 
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos da Diagonal 
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: 
ds2  dS2 = 2dS2n  En: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos da Diagonal 
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: 
ds2  dS2 = 2dS2n  En: 
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds  dS)2 = (ds2  2dsdS + dS2)  0, logo: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos da Diagonal 
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: 
ds2  dS2 = 2dS2n  En: 
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds  dS)2 = (ds2  2dsdS + dS2)  0, logo: 
(ds2  2dsdS + dS2 + dS2  dS2)  0 ! ds2  dS2  2dS(ds  dS) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos da Diagonal 
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: 
ds2  dS2 = 2dS2n  En: 
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds  dS)2 = (ds2  2dsdS + dS2)  0, logo: 
(ds2  2dsdS + dS2 + dS2  dS2)  0 ! ds2  dS2  2dS(ds  dS) 
E finalmente: 
ds  dS 
dS = n  En = E(n)(n) (sem soma em n) 
Logo E11 ´e o alongamento relativo (unit´ario) de um segmento inicialmente na direc¸ ˜ao 
de x1. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos Fora da Diagonal 
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao 
perpendiculares entre si. 
Logo: 
dx(1)  dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m  En ) 
ds1 
dS1 
ds2 
dS2 
cos() = 2m  En 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos Fora da Diagonal 
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao 
perpendiculares entre si. 
Logo: 
dx(1)  dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m  En ) 
ds1 
dS1 
ds2 
dS2 
cos() = 2m  En 
Fazendo: 
 = 
 
2 
 
 ! cos 
 
2 
 
 
 
= sen
 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos Fora da Diagonal 
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao 
perpendiculares entre si. 
Logo: 
dx(1)  dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m  En ) 
ds1 
dS1 
ds2 
dS2 
cos() = 2m  En 
Fazendo: 
 = 
 
2 
 
 ! cos 
 
2 
 
 
 
= sen
 
Para pequenas deformac¸ ˜oes sen
  
, ds1 
dS1 
 1, ds2 
dS2 
 1, ent˜ao: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Elementos Fora da Diagonal 
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao 
perpendiculares entre si. 
Logo: 
dx(1)  dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m  En ) 
ds1 
dS1 
ds2 
dS2 
cos() = 2m  En 
Fazendo: 
 = 
 
2 
 
 ! cos 
 
2 
 
 
 
= sen
 
Para pequenas deformac¸ ˜oes sen
  
, ds1 
dS1 
 1, ds2 
dS2 
 1, ent˜ao: 

 = 2m  En 
Logo E12 fornece o decr´escimo no ˆangulo entre os dois elementos inicialmente nas 
direc¸ ˜oes de x1 e x2. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
Deformac¸ ˜oes Principais 
Uma vez que E ´e sim´etrico: 
[E]ni = 
2666666664 E1 0 0 
0 E2 0 
0 0 E3 
3777777775 
Autovalores Deformac¸ ˜oes principais, incluem os valores extremos dos 
alongamentos. 
Autovetores Direc¸ ˜oes principais, permanecem perpendiculares ap´os a deformac¸ ˜ao. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3)  (dS1)(dS2)(dS3) 
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3) 
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3) 
+ termos de ordem superior 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3)  (dS1)(dS2)(dS3) 
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3) 
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3) 
+ termos de ordem superior 
Logo: 
e  
(dV) 
dV = E1 + E2 + E3 
= E11 + E22 + E33 
E tamb´em: 
e = Eii = 
@ui 
@Xi 
= div u 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
A equac¸ ˜ao: 
dx = dX + ru dX 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
A equac¸ ˜ao: 
dx = dX + ru dX 
Pode ser reescrita como: 
dx = dX + (E + 
) dX 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
A equac¸ ˜ao: 
dx = dX + ru dX 
Pode ser reescrita como: 
dx = dX + (E + 
) dX 
Logo 
 ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: 

dX = tA  dX 
onde 
tA = 
32e1 + 
13e2 + 
21e3 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
A equac¸ ˜ao: 
dx = dX + ru dX 
Pode ser reescrita como: 
dx = dX + (E + 
) dX 
Logo 
 ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: 

dX = tA  dX 
onde 
tA = 
32e1 + 
13e2 + 
21e3 
Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a 
. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
A equac¸ ˜ao: 
dx = dX + ru dX 
Pode ser reescrita como: 
dx = dX + (E + 
) dX 
Logo 
 ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: 

dX = tA  dX 
onde 
tA = 
32e1 + 
13e2 + 
21e3 
Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a 
. 
Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotac¸ ˜oes infinitesimais destes 
segmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material 
D 
Dt 
dx 
Como: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) 
Pode-se escrever a derivada material como: 
 D 
Dt 
 
dx = 
 D 
Dt 
 
x(X + dX; t)  
 D 
Dt 
 
x(X; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material 
D 
Dt 
dx 
Como: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) 
Pode-se escrever a derivada material como: 
 D 
Dt 
 
dx = 
 D 
Dt 
 
x(X + dX; t)  
 D 
Dt 
 
x(X; t) 
Entretanto,  D 
Dt 
 
x = ˆv(X; t) = ˜v(x; t) 
Logo: 
 D 
Dt 
 
dx = ˆv(X + dX; t)  ˆv(X; t) 
= ˜v(x + dx; t)  ˜v(x; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
D 
Dt 
 
dx 
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: 
 D 
Dt 
 
dx = rXˆvdX e 
 D 
Dt 
 
dx = rx ˜vdx 
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
D 
Dt 
 
dx 
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: 
 D 
Dt 
 
dx = rXˆvdX e 
 D 
Dt 
 
dx = rx ˜vdx 
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. 
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever: 
 D 
Dt 
 
dx = rvdx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
D 
Dt 
 
dx 
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: 
 D 
Dt 
 
dx = rXˆvdX e 
 D 
Dt 
 
dx = rx ˜vdx 
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. 
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever: 
 D 
Dt 
 
dx = rvdx e [rv] = 
266666666666666666666666666666664 
@v1 
@x1 
@v1 
@x2 
@v1 
@x3 
@v2 
@x1 
@v2 
@x2 
@v2 
@x3 
@v3 
@x1 
@v3 
@x2 
@v3 
@x3 
377777777777777777777777777777775 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e 
anti-sim´etrica: 
D = 
rv + rvT 
2 
e W = 
rv  rvT 
2 
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e 
anti-sim´etrica: 
D = 
rv + rvT 
2 
e W = 
rv  rvT 
2 
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. 
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: 
dx  dx = ds2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e 
anti-sim´etrica: 
D = 
rv + rvT 
2 
e W = 
rv  rvT 
2 
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. 
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: 
dx  dx = ds2 
e tomando a derivada material: 
2dx  
D 
Dt 
(dx) = 2ds 
D 
Dt 
ds 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e 
anti-sim´etrica: 
D = 
rv + rvT 
2 
e W = 
rv  rvT 
2 
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. 
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: 
dx  dx = ds2 
e tomando a derivada material: 
2dx  
D 
Dt 
(dx) = 2ds 
D 
Dt 
ds 
Logo: 
dx  
D 
Dt 
(dx) = dx  rvdx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e 
anti-sim´etrica: 
D = 
rv + rvT 
2 
e W = 
rv  rvT 
2 
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. 
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: 
dx  dx = ds2 
e tomando a derivada material: 
2dx  
D 
Dt 
(dx) = 2ds 
D 
Dt 
ds 
Logo: 
dx  
D 
Dt 
(dx) = dx  rvdx 
= dx  Ddx + dx Wdx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: 
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx 
Logo: 
dx Wdx = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: 
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx 
Logo: 
dx Wdx = 0 
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: 
dx  
D 
Dt 
(dx) = dx  Ddx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: 
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx 
Logo: 
dx Wdx = 0 
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: 
dx  
D 
Dt 
(dx) = dx  Ddx = ds 
D 
Dt 
ds 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: 
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx 
Logo: 
dx Wdx = 0 
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: 
dx  
D 
Dt 
(dx) = dx  Ddx = ds 
D 
Dt 
ds 
Com dx = dsn : 
1 
ds 
D 
Dt 
ds = n  Dn = Dnn sem soma em n 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos 
coeficientes de E. 
Analogamente, tamb´em: 
D11 + D22 + D33 = 
1 
dV 
D(dV) 
Dt 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos 
coeficientes de E. 
Analogamente, tamb´em: 
D11 + D22 + D33 = 
1 
dV 
D(dV) 
Dt 
Em termos das componentes de velocidade: 
1 
dV 
D(dV) 
Dt = 
@vi 
@xi 
= div v 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx = (D +W)dx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx = (D +W)dx 
= Ddx + !  dx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx = (D +W)dx 
= Ddx + !  dx 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx = (D +W)dx 
= Ddx + !  dx 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. 
Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram 
com velocidade angular !. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular 
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: 
Wa = !  a 
Logo: 
D 
Dt 
(dx) = rvdx = (D +W)dx 
= Ddx + !  dx 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica 
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. 
Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram 
com velocidade angular !. 
Na mecˆanica dos fluidos 2W ´e conhecido como tensor de vorticidade. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV 
tem-se: 
D 
Dt 
(dV) = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV 
tem-se: 
D 
Dt 
(dV) = 0 
Logo: 
 
D 
Dt 
(dV) + dV 
D 
Dt 
() = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV 
tem-se: 
D 
Dt 
(dV) = 0 
Logo: 
 
D 
Dt 
(dV) + dV 
D 
Dt 
() = 0 
Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1 
dV 
D(dV) 
Dt = @vi 
@xi 
= div v: 
 
@vi 
@xi 
+ 
D 
Dt 
() = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV 
tem-se: 
D 
Dt 
(dV) = 0 
Logo: 
 
D 
Dt 
(dV) + dV 
D 
Dt 
() = 0 
Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1 
dV 
D(dV) 
Dt = @vi 
@xi 
= div v: 
 
@vi 
@xi 
+ 
D 
Dt 
() = 0 
Ou em notac¸ ˜ao direta: 
 div v + 
D 
Dt = 0 
que ´e conhecida como equac¸ ˜ao de continuidade. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para : 
D 
Dt = 
@ 
@t + v  r 
1E se  depender da temperatura (x(t); t), onde  = ( t; x(t); (x(t); t) )? 
2http://goo.gl/f02dxK 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para : 
D 
Dt = 
@ 
@t + v  r 
Logo, em componentes cartesianas 1: 
div v + 
@ 
@t + v  r = 0 
 
  
@v1 
@x1 
+ 
@v2 
@x2 
+ 
@v3 
@x3 
! 
+ 
@ 
@t + v1 
@ 
@x1 
+ v2 
@ 
@x2 
+ v3 
@ 
@x3 
= 0 
Para materiais incompress´ıveis temos  constante, logo 2: 
div v = 0 
ou 
@v1 
@x1 
+ 
@v2 
@x2 
+ 
@v3 
@x3 
= 0 
1E se  depender da temperatura (x(t); t), onde  = ( t; x(t); (x(t); t) )? 
2http://goo.gl/f02dxK 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
Programa 
2 Cinem´atica II 
Deformac¸ ˜oes Principais 
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica 
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal 
Taxa de Deformac¸ ˜ao 
Tensor Spin 
Conservac¸ ˜ao da Massa 
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
Dadas trˆes func¸ ˜oes u1, u2 e u3 ´e sempre poss´ıvel determinar Eij, mas o inverso n˜ao. 
Para que isto se verifique ´e necess´ario que: 
@2E11 
@X2 
2 
+ 
@2E22 
@X2 
1 
= 2 
@2E12 
@X1@X2 
@2E11 
@X2 
3 
+ 
@2E33 
@X2 
1 
= 2 
@2E13 
@X1@X3 
@2E22 
@X2 
3 
+ 
@2E33 
@X2 
2 
= 2 
@2E23 
@X2@X3 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
E tamb´em: 
@2E11 
@X2@X3 
= 
@ 
@X1 
  
 
@E23 
@X1 
+ 
@E13 
@X2 
+ 
@E12 
@X3 
! 
@2E22 
@X1@X3 
= 
@ 
@X2 
  
 
@E13 
@X2 
+ 
@E12 
@X3 
+ 
@E23 
@X1 
! 
@2E33 
@X1@X2 
= 
@ 
@X3 
  
 
@E12 
@X3 
+ 
@E23 
@X1 
+ 
@E13 
@X2 
! 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade 
E tamb´em: 
@2E11 
@X2@X3 
= 
@ 
@X1 
  
 
@E23 
@X1 
+ 
@E13 
@X2 
+ 
@E12 
@X3 
! 
@2E22 
@X1@X3 
= 
@ 
@X2 
  
 
@E13 
@X2 
+ 
@E12 
@X3 
+ 
@E23 
@X1 
! 
@2E33 
@X1@X2 
= 
@ 
@X3 
  
 
@E12 
@X3 
+ 
@E23 
@X1 
+ 
@E13 
@X2 
! 
Condic¸ ˜oes de compatibilidade para D 
Analogamente podem ser escritas condic¸ ˜oes de compatibilidade para o tensor de Taxa 
de Deformac¸ ˜ao, D. 
Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estas 
condic¸ ˜oes s˜ao implicitamente satisfeitas. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) = rXxdX 
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: 
F = rXx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) = rXxdX 
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: 
F = rXx ou F = r0x 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) = rXxdX 
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: 
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) = rXxdX 
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: 
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: 
dx = x(X + dX; t)  x(X; t) = rXxdX 
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: 
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx 
Em componentes cartesianas: 
[F] = 
266666666666666666666666666666664 
@x1 
@X1 
@x1 
@X2 
@x1 
@X3 
@x2 
@X1 
@x2 
@X2 
@x2 
@X3 
@x3 
@X1 
@x3 
@X2 
@x3 
@X3 
377777777777777777777777777777775 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
E lembrando que x = X + u, obt´em-se : 
F = I + ru 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
E lembrando que x = X + u, obt´em-se : 
F = I + ru 
FTF = (I + ru)T (I + ru) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
E lembrando que x = X + u, obt´em-se : 
F = I + ru 
FTF = (I + ru)T (I + ru) 
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
E lembrando que x = X + u, obt´em-se : 
F = I + ru 
FTF = (I + ru)T (I + ru) 
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru 
= I + 2E 
Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Pode se escrever ent˜ao: 
dx = FdX 
E lembrando que x = X + u, obt´em-se : 
F = I + ru 
FTF = (I + ru)T (I + ru) 
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru 
= I + 2E 
Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano. E para pequenas deformac¸ ˜oes: 
FTF = I + 2E 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais 
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: 
FTF = I e det F = 1 
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais 
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: 
FTF = I e det F = 1 
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. 
Alongamento Puro 
Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes 
principais, nas quais: 
dx(1) = 1dX(1) 
dx(2) = 2dX(2) 
dx(3) = 3dX(3) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais 
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: 
FTF = I e det F = 1 
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. 
Alongamento Puro 
Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes 
principais, nas quais: 
dx(1) = 1dX(1) 
dx(2) = 2dX(2) 
dx(3) = 3dX(3) 
N˜ao h´a mudanc¸a de direc¸ ˜ao e jdx(1)j=jdX(1)j = 1. 
Se U ´e constante o movimento ´e dito homogˆeneo. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
Caso Geral de F 
Teorema da Decomposic¸ ˜ao Polar 
Um tensor qualquer F invers´ıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto no 
produto: 
F = RU ou F = VR 
onde R ´e um tensor ortogonal pr´oprio (rotac¸ ˜ao) e U e V s˜ao tensores sim´etricos e 
positivos definidos. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU 
Logo 
U2 = FTF 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU 
Logo 
U2 = FTF 
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter: 
U = 
 
FTF 
1=2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Dado F e sabendo que F = RU: 
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU 
Logo 
U2 = FTF 
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter: 
U = 
 
FTF 
1=2 
R = FU1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Da express˜ao anterior: 
RTR = 
 
FU1 
T  
FU1 
 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Da express˜ao anterior: 
RTR = 
 
FU1 
T  
FU1 
 
= U1FTFU1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Da express˜ao anterior: 
RTR = 
 
FU1 
T  
FU1 
 
= U1FTFU1 
= U1U2U1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Da express˜ao anterior: 
RTR = 
 
FU1 
T  
FU1 
 
= U1FTFU1 
= U1U2U1 
= I 
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
Decomposic¸ ˜ao de F 
Da express˜ao anterior: 
RTR = 
 
FU1 
T  
FU1 
 
= U1FTFU1 
= U1U2U1 
= I 
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado. 
O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RU 
como: 
V = RURT 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = FdX(1)  FdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = FdX(1)  FdX(2) = FdX(2)  FdX(1) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = FdX(1)  FdX(2) = FdX(2)  FdX(1) = dX(1)  FTFdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = FdX(1)  FdX(2) = FdX(2)  FdX(1) = dX(1)  FTFdX(2) 
= dX(1)  CdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: 
C  FTF = U2 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) 
Pode-se escrever: 
dx(1)  dx(2) = FdX(1)  FdX(2) = FdX(2)  FdX(1) = dX(1)  FTFdX(2) 
= dX(1)  CdX(2) 
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 e 
dx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos 
ds21 
= dS2 
1e1  Ce1 = dS2 
1C11 ! C11 = 
  
ds1 
dS1 
!2 
para o elemento material dX = dS1e1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal 
Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e 
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever: 
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1  Ce2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal 
Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e 
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever: 
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1  Ce2 
ou, de outra forma: 
C12 = 
ds1ds2 
dS1dS2 
cos(dx(1); dx(2)) 
Da mesma forma para as demais componentes. 
am e n s˜ao vetores unit´arios que fazem um angulo
= cos(dx(1); dx(2)) entre si 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + 
h 
ru + (ru)T 
i 
+ (ru)T (ru) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + 
h 
ru + (ru)T 
i 
+ (ru)T (ru) 
Pode-se escrever: 
E = 
1 
2 
(C  I) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + 
h 
ru + (ru)T 
i 
+ (ru)T (ru) 
Pode-se escrever: 
E = 
1 
2 
(C  I) 
que leva a: 
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2) = dX(1)  (C  I) dX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: 
E = 
1 
2 
 
ru + (ru)T + (ru)T ru 
 
e tamb´em que 
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + 
h 
ru + (ru)T 
i 
+ (ru)T (ru) 
Pode-se escrever: 
E = 
1 
2 
(C  I) 
que leva a: 
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2) = dX(1)  (C  I) dX(2) 
= 2dX(1)  EdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Deforma an´aloga ao caso linear: 
ds2  dS2 = 2dS2e1  Ee1: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Deforma an´aloga ao caso linear: 
ds2  dS2 = 2dS2e1  Ee1: 
Logo: 
E11 = 
1 
2 
ds2  dS2 
dS2 
para dX = dSe1 
e analogamente para os demais termos da diagonal. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Deforma an´aloga ao caso linear: 
ds2  dS2 = 2dS2e1  Ee1: 
Logo: 
E11 = 
1 
2 
ds2  dS2 
dS2 
para dX = dSe1 
e analogamente para os demais termos da diagonal. 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal 
Fazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever: 
E 
12 = 
1 
2 
ds1ds2 
dS1dS2 
cos 
 
dx(1); dx(2) 
 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Substituindo F = RU, chega-se a: 
B = RCRT e C = RTBR 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Substituindo F = RU, chega-se a: 
B = RCRT e C = RTBR 
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de 
C com o mesmo autovalor. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Substituindo F = RU, chega-se a: 
B = RCRT e C = RTBR 
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de 
C com o mesmo autovalor. 
Relac¸ ˜ao com ru 
Pode-se expressar B em termos de ru, como: 
B = FFT 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Substituindo F = RU, chega-se a: 
B = RCRT e C = RTBR 
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de 
C com o mesmo autovalor. 
Relac¸ ˜ao com ru 
Pode-se expressar B em termos de ru, como: 
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Seja: 
B = FFT = VR(VR)T = V2 
Substituindo F = RU, chega-se a: 
B = RCRT e C = RTBR 
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de 
C com o mesmo autovalor. 
Relac¸ ˜ao com ru 
Pode-se expressar B em termos de ru, como: 
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T = I + 
h 
ru + (ru)T 
i 
+ (ru) (ru)T 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn = dS2RTe1  CRTe1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn = dS2RTe1  CRTe1 
= dS2e1  
 
CRT 
T RTe1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn = dS2RTe1  CRTe1 
= dS2e1  
 
CRT 
T RTe1 
= dS2e1  RCRTe1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn = dS2RTe1  CRTe1 
= dS2e1  
 
CRT 
T RTe1 
= dS2e1  RCRTe1 
= dS2e1  Be1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal 
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: 
ds2 = dS2n  Cn = dS2RTe1  CRTe1 
= dS2e1  
 
CRT 
T RTe1 
= dS2e1  RCRTe1 
= dS2e1  Be1 
Logo: 
B11 = 
  
ds 
dS 
!2 
para dX = RTe1 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal 
Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever: 
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2 
 
RTe1 
 
 CRTe2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo 
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal 
Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever: 
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2 
 
RTe1 
 
 CRTe2 
= dS1dS2e1  Be2 
Logo: 
B12 = 
ds1ds2 
dS1dS2 
cos(dx(1); dx(2)) para 
8: 
dX(1) = dS1RTe1 
e 
dX(2) = dS2RTe2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: 
e  
1 
2 
 
I  B1 
 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: 
e  
1 
2 
 
I  B1 
 
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: 
e  
1 
2 
 
I  B1 
 
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 
F1 
Partindo de dx = FdX pode-se escrever: 
dX = F1dx 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: 
e  
1 
2 
 
I  B1 
 
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 
F1 
Partindo de dx = FdX pode-se escrever: 
dX = F1dx e ainda dXi = F1 
ij dxj 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: 
e  
1 
2 
 
I  B1 
 
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 
F1 
Partindo de dx = FdX pode-se escrever: 
dX = F1dx e ainda dXi = F1 
ij dxj 
Logo: 
F1 
ij = 
dXi 
dxj 
onde Xi = Xi(x1; x2; x3; t) ´e a func¸ ˜ao inversa de xi = xi(X1; X2; X3; t). 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
 
= dx(1)  
F1 
T F1dx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
 
= dx(1)  
F1 
T F1dx(2) 
= dx(1)  
 
FFT 
1 
dx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
 
= dx(1)  
F1 
T F1dx(2) 
= dx(1)  
 
FFT 
1 
dx(2) 
Isto ´e 
dX(1)  dX(2) = dx(1)  B1dx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
 
= dx(1)  
F1 
T F1dx(2) 
= dx(1)  
 
FFT 
1 
dx(2) 
Isto ´e 
dX(1)  dX(2) = dx(1)  B1dx(2) 
Logo: 
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2) = dx(1)  
 
I  B1 
 
dx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Fazendo: 
dX(1)  dX(2) = F1dx(1)  F1dx(2) 
= F1dx(2)  F1dx(1) 
 
= dx(1)  
F1 
T F1dx(2) 
= dx(1)  
 
FFT 
1 
dx(2) 
Isto ´e 
dX(1)  dX(2) = dx(1)  B1dx(2) 
Logo: 
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2) = dx(1)  
 
I  B1 
 
dx(2) 
= 2dx(1)  edx(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Diagonal 
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: 
B1 
11 = 
dS2 
ds2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Diagonal 
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: 
B1 
11 = 
dS2 
ds2 e tamb´em e 
11 = 
1 
2 
 
ds2  dS2 
 
ds2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Diagonal 
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: 
B1 
11 = 
dS2 
ds2 e tamb´em e 
11 = 
1 
2 
 
ds2  dS2 
 
ds2 
Fora da Diagonal 
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Diagonal 
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: 
B1 
11 = 
dS2 
ds2 e tamb´em e 
11 = 
1 
2 
 
ds2  dS2 
 
ds2 
Fora da Diagonal 
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: 
B1 
12 = 
dS1dS2 
ds1ds2 
cos(dX(1); dX(2)) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e 
Diagonal 
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: 
B1 
11 = 
dS2 
ds2 e tamb´em e 
11 = 
1 
2 
 
ds2  dS2 
 
ds2 
Fora da Diagonal 
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: 
B1 
12 = 
dS1dS2 
ds1ds2 
cos(dX(1); dX(2)) 
e tamb´em 
2e12 = 1  
dS1dS2 
ds1ds2 
cos(dX(1); dX(2)) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Lembrando que x = X + u pode-se obter: 
X = x  u(x1; x2; x3; t) 
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Lembrando que x = X + u pode-se obter: 
X = x  u(x1; x2; x3; t) 
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. 
Logo: 
@Xi 
@xj 
= ij  
@ui 
@xj 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Lembrando que x = X + u pode-se obter: 
X = x  u(x1; x2; x3; t) 
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. 
Logo: 
@Xi 
@xj 
= ij  
@ui 
@xj 
ou 
F1 = I  rxu 
com 
[rxu]ij = 
@ui 
@xj 
[rXu]ij = 
@ui 
@Xj 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Portanto: 
B1 = (I  rxu)T (I  rxu) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Portanto: 
B1 = (I  rxu)T (I  rxu) 
= I  
h 
rxu + (rxu)T 
i 
+ (rxu)T rxu 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
Relac¸ ˜oes com ru 
Portanto: 
B1 = (I  rxu)T (I  rxu) 
= I  
h 
rxu + (rxu)T 
i 
+ (rxu)T rxu 
e tamb´em: 
e = 
h 
rxu + (rxu)T 
i 
2 
 
(rxu)T rxu 
2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
Resumo das Medidas de Deformac¸ ˜ao 
Gradiente de deformac¸ ao ˜F = RU = VR 
Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2 
Tendor Cauchy-Green Esquerdo 
(Finger Tensor) b = FFT = V2 
Tensor de deformac¸ ao ˜de Green 
1 
Tensor de deformac¸ ao ˜Lagrangiano E = (C  I) 
2 Tensor de deformac¸ ˜ao de Almansi 
Tensor de deformac¸ ˜ao Eulerian e = 12 
 
I  b1 
 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
Programa 
3 Cinem´atica III 
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F 
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F 
Tensor C 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano 
Tensor B 
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano 
Resumo 
Mudanc¸a de A´ rea 
Mudanc¸a de Volume 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: 
dA = dFdX(1)  FdX(2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: 
dA = dFdX(1)  FdX(2) 
= dS1dS2Fe1  Fe2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: 
dA = dFdX(1)  FdX(2) 
= dS1dS2Fe1  Fe2 
= dA0Fe1  Fe2 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: 
dA = dFdX(1)  FdX(2) 
= dS1dS2Fe1  Fe2 
= dA0Fe1  Fe2 
Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1  Fe2, com n = dA0 
dA (Fe1  Fe2): 
dA = dA n 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. 
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: 
dA0 = dX(1)  dX(2) 
= dS1dS2e3 
= dA0e3 
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: 
dA = dFdX(1)  FdX(2) 
= dS1dS2Fe1  Fe2 
= dA0Fe1  Fe2 
Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1  Fe2, com n = dA0 
dA (Fe1  Fe2): 
dA = dA n = dA0 (Fe1  Fe2) 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) Fe3  dAn = dA0 det F 
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Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) Fe3  dAn = dA0 det F ) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) Fe3  dAn = dA0 det F ) Fe3  n = 
dA0 
dA 
det F 
Usando agora a  Tb = b  TTa, a express˜ao anterior resulta em 
e3  FTn = 
dA0 
dA 
det F 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) Fe3  dAn = dA0 det F ) Fe3  n = 
dA0 
dA 
det F 
Usando agora a  Tb = b  TTa, a express˜ao anterior resulta em 
e3  FTn = 
dA0 
dA 
det F ) 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
Logo: 
Fe1  dA n = Fe2  dAn = 0 ) Fe1  n = Fe2  n = 0 ) e1  FTn = e2  FTn = 0 
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: 
Fe3  dA = Fe3  dAn = Fe3  dA0 (Fe1  Fe2) = dA0 (Fe3  Fe1  Fe2) 
Lembrando que a  b  c = det [abc]T = det [abc]: 
Fe3  Fe1  Fe2 = Fe1  Fe2  Fe3 = det F 
Desta forma 
Fe3  dA = dA0 det F ) Fe3  dAn = dA0 det F ) Fe3  n = 
dA0 
dA 
det F 
Usando agora a  Tb = b  TTa, a express˜ao anterior resulta em 
e3  FTn = 
dA0 
dA 
det F ) FTn = 
 
dA0 
dA 
# 
e3 
det F 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
Mudanc¸a de A´ rea 
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao 
deformada da seguinte maneira 
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
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A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao 
deformada da seguinte maneira 
dA = dA0(det F)
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A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao 
deformada da seguinte maneira 
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Mecânica dos Sólidos - Unidade 02

  • 1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005 Unidade 02 Luis Paulo S. Barra Leonardo Goliatt Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora v. 14.10 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 1 / 56
  • 2. Livro Texto Livro texto: I Introduction to Continuum Mechanics I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 2 / 56
  • 3. Programa 1 Cinem´atica I 2 Cinem´atica II 3 Cinem´atica III Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 3 / 56
  • 4. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  • 5. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  • 6. Descric¸ ˜ao do Movimento Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um tempo t pode ser escrito como: x = x(X; t) com x(X; t0) = X Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  • 7. Descric¸ ˜ao do Movimento Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um tempo t pode ser escrito como: x = x(X; t) com x(X; t0) = X Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula. Em componentes se escreve: x1 = x1(X1; X2; X3; t) x2 = x2(X1; X2; X3; t) x3 = x3(X1; X2; X3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
  • 8. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) Seguindo as part´ıculas: = ˆ (X1; X2; X3; t) v = ˆv(X1; X2; X3; t) T = ˆT(X1; X2; X3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
  • 9. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo. Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana) Seguindo as part´ıculas: = ˆ (X1; X2; X3; t) v = ˆv(X1; X2; X3; t) T = ˆT(X1; X2; X3; t) Descric¸ ˜ao Espacial (ou Euleriana) Observando mudanc¸as em locais (pontos no espac¸o) fixos: = ˜ (x1; x2; x3; t) v = ˜v(x1; x2; x3; t) T = ˜T(x1; x2; x3; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
  • 10. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  • 11. Derivada Material Definic¸ ˜ao Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  • 12. Derivada Material Definic¸ ˜ao Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt. Descric¸ ˜ao Material = ˆ (X1; X2; X3; t) Logo: D Dt = @ˆ @t ! Xi fixos. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
  • 13. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  • 14. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t = v1 @˜ @x1 + v2 @˜ @x2 + v3 @˜ @x3 + @˜ @t Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  • 15. Derivada Material Descric¸ ˜ao Espacial = ˜ (x1; x2; x3; t) Logo: D Dt = @˜ @x1 @x1 @t + @˜ @x2 @x2 @t + @˜ @x3 @x3 @t + @˜ @t = v1 @˜ @x1 + v2 @˜ @x2 + v3 @˜ @x3 + @˜ @t Em notac¸ ˜ao direta D Dt = @ @t + v r Ficando impl´ıcito que = ˜ (x1; x2; x3; t). Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
  • 16. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  • 17. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  • 18. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  • 19. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Logo: ai = Dvi Dt = @vi @t + vj @vi @xj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  • 20. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Definic¸ ˜ao a = @v @t ! Xi fixos Dv Dt Portanto: Dv Dt = D(viei) Dt = Dvi Dt ei Logo: ai = Dvi Dt = @vi @t + vj @vi @xj E finalmente: a = @v @t + (rv)v Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
  • 21. Campo de Deslocamentos Definic¸ ˜ao u = x(X; t) X Uma vez conhecida a trajet´oria de uma part´ıcula, x(X; t), o campo de deslocamentos tamb´em fica determinado. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 9 / 56
  • 22. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
  • 23. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Translac¸ ˜ao x = X + c(t) onde c(0) = 0 Logo u = x X = c(t) ´e independente de X. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
  • 24. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Translac¸ ˜ao x = X + c(t) onde c(0) = 0 Logo u = x X = c(t) ´e independente de X. Rotac¸ ˜ao Em torno do ponto b: x b = R(t)(X b) onde R(t) representa um tensor rotac¸ ˜ao, com R(0) = I. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
  • 25. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Movimento Geral Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b) x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c) onde R(0) = I e c(0) = b Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
  • 26. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Movimento Geral Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b) x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c) onde R(0) = I e c(0) = b Velocidade de um Ponto Tomando a derivada material: R v = (X b)+ c (t) e usando (X b) = RT (x c) vem R v = RT (x c)+ c (t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
  • 27. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Velocidade de um Ponto (cont.) Assim: R v = RT (x c)+ c (t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
  • 28. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Velocidade de um Ponto (cont.) Assim: R v = RT (x c)+ c (t) Uma vez que R RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48): v = ! (x c)+ c (t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
  • 29. Cinem´atica do Corpo R´ıgido Velocidade de um Ponto (cont.) Assim: R v = RT (x c)+ c (t) Uma vez que R RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48): v = ! (x c)+ c (t) Ou ainda: v = ! r+ c (t) onde r = (x c) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
  • 30. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
  • 31. Gradiente de Deslocamentos Em um ponto P: x = X + u(X; t) Em um ponto vizinho Q: x + dx = X + dX + u(X + dX; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
  • 32. Gradiente de Deslocamentos Em um ponto P: x = X + u(X; t) Em um ponto vizinho Q: x + dx = X + dX + u(X + dX; t) Subtraindo as equac¸ ˜oes anteriores: dx = dX + u(X + dX; t) u(X; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
  • 33. Gradiente de Deslocamentos E portanto: dx = dX + ru dX Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
  • 34. Gradiente de Deslocamentos E portanto: dx = dX + ru dX onde: [ru] = 266666666666666666666666666666664 @u1 @X1 @u1 @X2 @u1 @X3 @u2 @X1 @u2 @X2 @u2 @X3 @u3 @X1 @u3 @X2 @u3 @X3 377777777777777777777777777777775 : Se ru = 0, ent˜ao dx = dX e o movimento da vizinhanc¸a do ponto P ´e uma translac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
  • 35. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
  • 36. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Considerando: dx(1) = dX(1) + ru dX(1) dx(2) = dX(2) + ru dX(2): Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
  • 37. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Considerando: dx(1) = dX(1) + ru dX(1) dx(2) = dX(2) + ru dX(2): Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) + +fru dX(1)g fru dX(2)g: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
  • 38. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Considerando: dx(1) = dX(1) + ru dX(1) dx(2) = dX(2) + ru dX(2): Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) + +fru dX(1)g fru dX(2)g: E tamb´em: dX(2) ru dX(1) = dX(1) ruT dX(2) f(ru)dX(2)g f(ru)dX(1)g = dX(1) ruT ru dX(2): Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
  • 39. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1): dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
  • 40. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1): dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2) E, para pequenas deformac¸ ˜oes: dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + 2dX(1) EdX(2) Definido o tensor de deformac¸ ˜oes infinitesimais como: E = 1 2 n ru + ruT o : Em outras palavras E ´e a parte sim´etrica de ru. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
  • 41. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Componentes Eij = 1 2 @ui @Xj + @uj @Xi ! Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 17 / 56
  • 42. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Componentes Eij = 1 2 @ui @Xj + @uj @Xi ! ou ainda [E] = 26666666666666666666666666666666664 @u1 @X1 1 2 @u1 @X2 + @u2 @X1 ! 1 2 @u1 @X3 + @u3 @X1 ! 1 2 @u1 @X2 + @u2 @X1 ! @u2 @X2 1 2 @u2 @X3 + @u3 @X2 ! 1 2 @u1 @X3 + @u3 @X1 ! 1 2 @u2 @X3 + @u3 @X2 ! @u3 @X3 37777777777777777777777777777777775 : Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 17 / 56
  • 43. Programa 1 Cinem´atica I Descric¸ ˜ao do Movimento Derivada Material Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula Cinem´atica do Corpo R´ıgido Gradiente de Deslocamentos Deformac¸ ˜oes Infinitesimais Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
  • 44. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos da Diagonal Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: ds2 dS2 = 2dS2n En: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
  • 45. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos da Diagonal Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: ds2 dS2 = 2dS2n En: Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
  • 46. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos da Diagonal Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: ds2 dS2 = 2dS2n En: Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo: (ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
  • 47. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos da Diagonal Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj: ds2 dS2 = 2dS2n En: Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo: (ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS) E finalmente: ds dS dS = n En = E(n)(n) (sem soma em n) Logo E11 ´e o alongamento relativo (unit´ario) de um segmento inicialmente na direc¸ ˜ao de x1. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
  • 48. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos Fora da Diagonal Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao perpendiculares entre si. Logo: dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En ) ds1 dS1 ds2 dS2 cos() = 2m En Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
  • 49. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos Fora da Diagonal Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao perpendiculares entre si. Logo: dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En ) ds1 dS1 ds2 dS2 cos() = 2m En Fazendo: = 2 ! cos 2 = sen Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
  • 50. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos Fora da Diagonal Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao perpendiculares entre si. Logo: dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En ) ds1 dS1 ds2 dS2 cos() = 2m En Fazendo: = 2 ! cos 2 = sen Para pequenas deformac¸ ˜oes sen , ds1 dS1 1, ds2 dS2 1, ent˜ao: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
  • 51. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Elementos Fora da Diagonal Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao perpendiculares entre si. Logo: dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En ) ds1 dS1 ds2 dS2 cos() = 2m En Fazendo: = 2 ! cos 2 = sen Para pequenas deformac¸ ˜oes sen , ds1 dS1 1, ds2 dS2 1, ent˜ao: = 2m En Logo E12 fornece o decr´escimo no ˆangulo entre os dois elementos inicialmente nas direc¸ ˜oes de x1 e x2. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
  • 52. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
  • 53. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
  • 54. Deformac¸ ˜oes Principais Uma vez que E ´e sim´etrico: [E]ni = 2666666664 E1 0 0 0 E2 0 0 0 E3 3777777775 Autovalores Deformac¸ ˜oes principais, incluem os valores extremos dos alongamentos. Autovetores Direc¸ ˜oes principais, permanecem perpendiculares ap´os a deformac¸ ˜ao. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
  • 55. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
  • 56. Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica (dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3) = (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3) = (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3) + termos de ordem superior Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
  • 57. Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica (dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3) = (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3) = (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3) + termos de ordem superior Logo: e (dV) dV = E1 + E2 + E3 = E11 + E22 + E33 E tamb´em: e = Eii = @ui @Xi = div u Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
  • 58. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 59. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal A equac¸ ˜ao: dx = dX + ru dX Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 60. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal A equac¸ ˜ao: dx = dX + ru dX Pode ser reescrita como: dx = dX + (E + ) dX Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 61. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal A equac¸ ˜ao: dx = dX + ru dX Pode ser reescrita como: dx = dX + (E + ) dX Logo ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: dX = tA dX onde tA = 32e1 + 13e2 + 21e3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 62. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal A equac¸ ˜ao: dx = dX + ru dX Pode ser reescrita como: dx = dX + (E + ) dX Logo ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: dX = tA dX onde tA = 32e1 + 13e2 + 21e3 Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a . Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 63. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal A equac¸ ˜ao: dx = dX + ru dX Pode ser reescrita como: dx = dX + (E + ) dX Logo ´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a: dX = tA dX onde tA = 32e1 + 13e2 + 21e3 Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a . Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotac¸ ˜oes infinitesimais destes segmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
  • 64. Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material D Dt dx Como: dx = x(X + dX; t) x(X; t) Pode-se escrever a derivada material como: D Dt dx = D Dt x(X + dX; t) D Dt x(X; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
  • 65. Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material D Dt dx Como: dx = x(X + dX; t) x(X; t) Pode-se escrever a derivada material como: D Dt dx = D Dt x(X + dX; t) D Dt x(X; t) Entretanto, D Dt x = ˆv(X; t) = ˜v(x; t) Logo: D Dt dx = ˆv(X + dX; t) ˆv(X; t) = ˜v(x + dx; t) ˜v(x; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
  • 66. D Dt dx Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: D Dt dx = rXˆvdX e D Dt dx = rx ˜vdx Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
  • 67. D Dt dx Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: D Dt dx = rXˆvdX e D Dt dx = rx ˜vdx Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever: D Dt dx = rvdx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
  • 68. D Dt dx Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se: D Dt dx = rXˆvdX e D Dt dx = rx ˜vdx Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial. Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever: D Dt dx = rvdx e [rv] = 266666666666666666666666666666664 @v1 @x1 @v1 @x2 @v1 @x3 @v2 @x1 @v2 @x2 @v2 @x3 @v3 @x1 @v3 @x2 @v3 @x3 377777777777777777777777777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
  • 69. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 70. Taxa de Deformac¸ ˜ao O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e anti-sim´etrica: D = rv + rvT 2 e W = rv rvT 2 respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 71. Taxa de Deformac¸ ˜ao O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e anti-sim´etrica: D = rv + rvT 2 e W = rv rvT 2 respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: dx dx = ds2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 72. Taxa de Deformac¸ ˜ao O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e anti-sim´etrica: D = rv + rvT 2 e W = rv rvT 2 respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: dx dx = ds2 e tomando a derivada material: 2dx D Dt (dx) = 2ds D Dt ds Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 73. Taxa de Deformac¸ ˜ao O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e anti-sim´etrica: D = rv + rvT 2 e W = rv rvT 2 respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: dx dx = ds2 e tomando a derivada material: 2dx D Dt (dx) = 2ds D Dt ds Logo: dx D Dt (dx) = dx rvdx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 74. Taxa de Deformac¸ ˜ao O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e anti-sim´etrica: D = rv + rvT 2 e W = rv rvT 2 respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin. Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao: dx dx = ds2 e tomando a derivada material: 2dx D Dt (dx) = 2ds D Dt ds Logo: dx D Dt (dx) = dx rvdx = dx Ddx + dx Wdx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
  • 75. Taxa de Deformac¸ ˜ao Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx Logo: dx Wdx = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
  • 76. Taxa de Deformac¸ ˜ao Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx Logo: dx Wdx = 0 E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: dx D Dt (dx) = dx Ddx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
  • 77. Taxa de Deformac¸ ˜ao Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx Logo: dx Wdx = 0 E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: dx D Dt (dx) = dx Ddx = ds D Dt ds Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
  • 78. Taxa de Deformac¸ ˜ao Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico: dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx Logo: dx Wdx = 0 E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida: dx D Dt (dx) = dx Ddx = ds D Dt ds Com dx = dsn : 1 ds D Dt ds = n Dn = Dnn sem soma em n Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
  • 79. Taxa de Deformac¸ ˜ao Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos coeficientes de E. Analogamente, tamb´em: D11 + D22 + D33 = 1 dV D(dV) Dt Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
  • 80. Taxa de Deformac¸ ˜ao Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos coeficientes de E. Analogamente, tamb´em: D11 + D22 + D33 = 1 dV D(dV) Dt Em termos das componentes de velocidade: 1 dV D(dV) Dt = @vi @xi = div v Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
  • 81. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 82. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 83. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx = (D +W)dx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 84. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx = (D +W)dx = Ddx + ! dx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 85. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx = (D +W)dx = Ddx + ! dx Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 86. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx = (D +W)dx = Ddx + ! dx Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram com velocidade angular !. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 87. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular Uma vez que W ´e anti-sim´etrico: Wa = ! a Logo: D Dt (dx) = rvdx = (D +W)dx = Ddx + ! dx Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica Wrotaciona dx de uma velocidade angular !. Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram com velocidade angular !. Na mecˆanica dos fluidos 2W ´e conhecido como tensor de vorticidade. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
  • 88. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
  • 89. Conservac¸ ˜ao da Massa Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV tem-se: D Dt (dV) = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
  • 90. Conservac¸ ˜ao da Massa Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV tem-se: D Dt (dV) = 0 Logo: D Dt (dV) + dV D Dt () = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
  • 91. Conservac¸ ˜ao da Massa Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV tem-se: D Dt (dV) = 0 Logo: D Dt (dV) + dV D Dt () = 0 Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1 dV D(dV) Dt = @vi @xi = div v: @vi @xi + D Dt () = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
  • 92. Conservac¸ ˜ao da Massa Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV tem-se: D Dt (dV) = 0 Logo: D Dt (dV) + dV D Dt () = 0 Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1 dV D(dV) Dt = @vi @xi = div v: @vi @xi + D Dt () = 0 Ou em notac¸ ˜ao direta: div v + D Dt = 0 que ´e conhecida como equac¸ ˜ao de continuidade. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
  • 93. Conservac¸ ˜ao da Massa Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para : D Dt = @ @t + v r 1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )? 2http://goo.gl/f02dxK Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
  • 94. Conservac¸ ˜ao da Massa Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para : D Dt = @ @t + v r Logo, em componentes cartesianas 1: div v + @ @t + v r = 0 @v1 @x1 + @v2 @x2 + @v3 @x3 ! + @ @t + v1 @ @x1 + v2 @ @x2 + v3 @ @x3 = 0 Para materiais incompress´ıveis temos constante, logo 2: div v = 0 ou @v1 @x1 + @v2 @x2 + @v3 @x3 = 0 1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )? 2http://goo.gl/f02dxK Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
  • 95. Programa 2 Cinem´atica II Deformac¸ ˜oes Principais Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal Taxa de Deformac¸ ˜ao Tensor Spin Conservac¸ ˜ao da Massa Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
  • 96. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade Dadas trˆes func¸ ˜oes u1, u2 e u3 ´e sempre poss´ıvel determinar Eij, mas o inverso n˜ao. Para que isto se verifique ´e necess´ario que: @2E11 @X2 2 + @2E22 @X2 1 = 2 @2E12 @X1@X2 @2E11 @X2 3 + @2E33 @X2 1 = 2 @2E13 @X1@X3 @2E22 @X2 3 + @2E33 @X2 2 = 2 @2E23 @X2@X3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
  • 97. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade E tamb´em: @2E11 @X2@X3 = @ @X1 @E23 @X1 + @E13 @X2 + @E12 @X3 ! @2E22 @X1@X3 = @ @X2 @E13 @X2 + @E12 @X3 + @E23 @X1 ! @2E33 @X1@X2 = @ @X3 @E12 @X3 + @E23 @X1 + @E13 @X2 ! Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
  • 98. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade E tamb´em: @2E11 @X2@X3 = @ @X1 @E23 @X1 + @E13 @X2 + @E12 @X3 ! @2E22 @X1@X3 = @ @X2 @E13 @X2 + @E12 @X3 + @E23 @X1 ! @2E33 @X1@X2 = @ @X3 @E12 @X3 + @E23 @X1 + @E13 @X2 ! Condic¸ ˜oes de compatibilidade para D Analogamente podem ser escritas condic¸ ˜oes de compatibilidade para o tensor de Taxa de Deformac¸ ˜ao, D. Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estas condic¸ ˜oes s˜ao implicitamente satisfeitas. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
  • 99. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 100. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 101. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 102. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: F = rXx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 103. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: F = rXx ou F = r0x Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 104. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 105. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 106. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter: dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como: F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx Em componentes cartesianas: [F] = 266666666666666666666666666666664 @x1 @X1 @x1 @X2 @x1 @X3 @x2 @X1 @x2 @X2 @x2 @X3 @x3 @X1 @x3 @X2 @x3 @X3 377777777777777777777777777777775 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
  • 107. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 108. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX E lembrando que x = X + u, obt´em-se : F = I + ru Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 109. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX E lembrando que x = X + u, obt´em-se : F = I + ru FTF = (I + ru)T (I + ru) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 110. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX E lembrando que x = X + u, obt´em-se : F = I + ru FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + ru + (ru)T + (ru)T ru Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 111. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX E lembrando que x = X + u, obt´em-se : F = I + ru FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + ru + (ru)T + (ru)T ru = I + 2E Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 112. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Pode se escrever ent˜ao: dx = FdX E lembrando que x = X + u, obt´em-se : F = I + ru FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + ru + (ru)T + (ru)T ru = I + 2E Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano. E para pequenas deformac¸ ˜oes: FTF = I + 2E Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
  • 113. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Movimentos de Corpo R´ıgido Locais Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: FTF = I e det F = 1 Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
  • 114. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Movimentos de Corpo R´ıgido Locais Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: FTF = I e det F = 1 Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. Alongamento Puro Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes principais, nas quais: dx(1) = 1dX(1) dx(2) = 2dX(2) dx(3) = 3dX(3) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
  • 115. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Movimentos de Corpo R´ıgido Locais Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos: FTF = I e det F = 1 Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido. Alongamento Puro Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes principais, nas quais: dx(1) = 1dX(1) dx(2) = 2dX(2) dx(3) = 3dX(3) N˜ao h´a mudanc¸a de direc¸ ˜ao e jdx(1)j=jdX(1)j = 1. Se U ´e constante o movimento ´e dito homogˆeneo. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
  • 116. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
  • 117. Caso Geral de F Teorema da Decomposic¸ ˜ao Polar Um tensor qualquer F invers´ıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto no produto: F = RU ou F = VR onde R ´e um tensor ortogonal pr´oprio (rotac¸ ˜ao) e U e V s˜ao tensores sim´etricos e positivos definidos. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
  • 118. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 119. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 120. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 121. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 122. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU Logo U2 = FTF Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 123. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU Logo U2 = FTF Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter: U = FTF 1=2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 124. Decomposic¸ ˜ao de F Dado F e sabendo que F = RU: FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU Logo U2 = FTF Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter: U = FTF 1=2 R = FU1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
  • 125. Decomposic¸ ˜ao de F Da express˜ao anterior: RTR = FU1 T FU1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
  • 126. Decomposic¸ ˜ao de F Da express˜ao anterior: RTR = FU1 T FU1 = U1FTFU1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
  • 127. Decomposic¸ ˜ao de F Da express˜ao anterior: RTR = FU1 T FU1 = U1FTFU1 = U1U2U1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
  • 128. Decomposic¸ ˜ao de F Da express˜ao anterior: RTR = FU1 T FU1 = U1FTFU1 = U1U2U1 = I o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
  • 129. Decomposic¸ ˜ao de F Da express˜ao anterior: RTR = FU1 T FU1 = U1FTFU1 = U1U2U1 = I o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado. O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RU como: V = RURT Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
  • 130. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 131. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 132. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 133. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 134. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 135. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2) = dX(1) CdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 136. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green: C FTF = U2 Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2) Pode-se escrever: dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2) = dX(1) CdX(2) Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 e dx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos ds21 = dS2 1e1 Ce1 = dS2 1C11 ! C11 = ds1 dS1 !2 para o elemento material dX = dS1e1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
  • 137. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever: ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
  • 138. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever: ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2 ou, de outra forma: C12 = ds1ds2 dS1dS2 cos(dx(1); dx(2)) Da mesma forma para as demais componentes. am e n s˜ao vetores unit´arios que fazem um angulo
  • 139. = cos(dx(1); dx(2)) entre si Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
  • 140. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 141. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 142. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF = (I + ru)T (I + ru) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 143. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + h ru + (ru)T i + (ru)T (ru) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 144. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + h ru + (ru)T i + (ru)T (ru) Pode-se escrever: E = 1 2 (C I) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 145. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + h ru + (ru)T i + (ru)T (ru) Pode-se escrever: E = 1 2 (C I) que leva a: dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 146. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal: E = 1 2 ru + (ru)T + (ru)T ru e tamb´em que C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I + h ru + (ru)T i + (ru)T (ru) Pode-se escrever: E = 1 2 (C I) que leva a: dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2) = 2dX(1) EdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
  • 147. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Deforma an´aloga ao caso linear: ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
  • 148. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Deforma an´aloga ao caso linear: ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1: Logo: E11 = 1 2 ds2 dS2 dS2 para dX = dSe1 e analogamente para os demais termos da diagonal. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
  • 149. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Deforma an´aloga ao caso linear: ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1: Logo: E11 = 1 2 ds2 dS2 dS2 para dX = dSe1 e analogamente para os demais termos da diagonal. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal Fazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever: E 12 = 1 2 ds1ds2 dS1dS2 cos dx(1); dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
  • 150. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 151. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 152. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 153. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 154. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Substituindo F = RU, chega-se a: B = RCRT e C = RTBR Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 155. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Substituindo F = RU, chega-se a: B = RCRT e C = RTBR Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de C com o mesmo autovalor. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 156. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Substituindo F = RU, chega-se a: B = RCRT e C = RTBR Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de C com o mesmo autovalor. Relac¸ ˜ao com ru Pode-se expressar B em termos de ru, como: B = FFT Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 157. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Substituindo F = RU, chega-se a: B = RCRT e C = RTBR Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de C com o mesmo autovalor. Relac¸ ˜ao com ru Pode-se expressar B em termos de ru, como: B = FFT = (I + ru) (I + ru)T Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 158. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Seja: B = FFT = VR(VR)T = V2 Substituindo F = RU, chega-se a: B = RCRT e C = RTBR Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de C com o mesmo autovalor. Relac¸ ˜ao com ru Pode-se expressar B em termos de ru, como: B = FFT = (I + ru) (I + ru)T = I + h ru + (ru)T i + (ru) (ru)T Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
  • 159. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 160. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 161. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1 = dS2e1 CRT T RTe1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 162. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1 = dS2e1 CRT T RTe1 = dS2e1 RCRTe1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 163. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1 = dS2e1 CRT T RTe1 = dS2e1 RCRTe1 = dS2e1 Be1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 164. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se: ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1 = dS2e1 CRT T RTe1 = dS2e1 RCRTe1 = dS2e1 Be1 Logo: B11 = ds dS !2 para dX = RTe1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
  • 165. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever: ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2 RTe1 CRTe2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
  • 166. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever: ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2 RTe1 CRTe2 = dS1dS2e1 Be2 Logo: B12 = ds1ds2 dS1dS2 cos(dx(1); dx(2)) para 8: dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
  • 167. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 168. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: e 1 2 I B1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 169. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: e 1 2 I B1 Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 170. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: e 1 2 I B1 Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 F1 Partindo de dx = FdX pode-se escrever: dX = F1dx Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 171. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: e 1 2 I B1 Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 F1 Partindo de dx = FdX pode-se escrever: dX = F1dx e ainda dXi = F1 ij dxj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 172. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano: e 1 2 I B1 Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0 F1 Partindo de dx = FdX pode-se escrever: dX = F1dx e ainda dXi = F1 ij dxj Logo: F1 ij = dXi dxj onde Xi = Xi(x1; x2; x3; t) ´e a func¸ ˜ao inversa de xi = xi(X1; X2; X3; t). Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
  • 173. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 174. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 175. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) = dx(1) F1 T F1dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 176. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) = dx(1) F1 T F1dx(2) = dx(1) FFT 1 dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 177. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) = dx(1) F1 T F1dx(2) = dx(1) FFT 1 dx(2) Isto ´e dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 178. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) = dx(1) F1 T F1dx(2) = dx(1) FFT 1 dx(2) Isto ´e dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2) Logo: dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1) I B1 dx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 179. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Fazendo: dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2) = F1dx(2) F1dx(1) = dx(1) F1 T F1dx(2) = dx(1) FFT 1 dx(2) Isto ´e dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2) Logo: dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1) I B1 dx(2) = 2dx(1) edx(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
  • 180. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Diagonal Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: B1 11 = dS2 ds2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
  • 181. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Diagonal Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: B1 11 = dS2 ds2 e tamb´em e 11 = 1 2 ds2 dS2 ds2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
  • 182. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Diagonal Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: B1 11 = dS2 ds2 e tamb´em e 11 = 1 2 ds2 dS2 ds2 Fora da Diagonal Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
  • 183. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Diagonal Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: B1 11 = dS2 ds2 e tamb´em e 11 = 1 2 ds2 dS2 ds2 Fora da Diagonal Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: B1 12 = dS1dS2 ds1ds2 cos(dX(1); dX(2)) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
  • 184. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e Diagonal Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se: B1 11 = dS2 ds2 e tamb´em e 11 = 1 2 ds2 dS2 ds2 Fora da Diagonal Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se: B1 12 = dS1dS2 ds1ds2 cos(dX(1); dX(2)) e tamb´em 2e12 = 1 dS1dS2 ds1ds2 cos(dX(1); dX(2)) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
  • 185. Relac¸ ˜oes com ru Lembrando que x = X + u pode-se obter: X = x u(x1; x2; x3; t) onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
  • 186. Relac¸ ˜oes com ru Lembrando que x = X + u pode-se obter: X = x u(x1; x2; x3; t) onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. Logo: @Xi @xj = ij @ui @xj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
  • 187. Relac¸ ˜oes com ru Lembrando que x = X + u pode-se obter: X = x u(x1; x2; x3; t) onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u. Logo: @Xi @xj = ij @ui @xj ou F1 = I rxu com [rxu]ij = @ui @xj [rXu]ij = @ui @Xj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
  • 188. Relac¸ ˜oes com ru Portanto: B1 = (I rxu)T (I rxu) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
  • 189. Relac¸ ˜oes com ru Portanto: B1 = (I rxu)T (I rxu) = I h rxu + (rxu)T i + (rxu)T rxu Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
  • 190. Relac¸ ˜oes com ru Portanto: B1 = (I rxu)T (I rxu) = I h rxu + (rxu)T i + (rxu)T rxu e tamb´em: e = h rxu + (rxu)T i 2 (rxu)T rxu 2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
  • 191. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
  • 192. Resumo das Medidas de Deformac¸ ˜ao Gradiente de deformac¸ ao ˜F = RU = VR Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2 Tendor Cauchy-Green Esquerdo (Finger Tensor) b = FFT = V2 Tensor de deformac¸ ao ˜de Green 1 Tensor de deformac¸ ao ˜Lagrangiano E = (C I) 2 Tensor de deformac¸ ˜ao de Almansi Tensor de deformac¸ ˜ao Eulerian e = 12 I b1 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
  • 193. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 194. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 195. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 196. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 197. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: dA = dFdX(1) FdX(2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 198. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: dA = dFdX(1) FdX(2) = dS1dS2Fe1 Fe2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 199. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: dA = dFdX(1) FdX(2) = dS1dS2Fe1 Fe2 = dA0Fe1 Fe2 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 200. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: dA = dFdX(1) FdX(2) = dS1dS2Fe1 Fe2 = dA0Fe1 Fe2 Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1 Fe2, com n = dA0 dA (Fe1 Fe2): dA = dA n Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 201. Mudanc¸a de A´ rea Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X. Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever: dA0 = dX(1) dX(2) = dS1dS2e3 = dA0e3 e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t: dA = dFdX(1) FdX(2) = dS1dS2Fe1 Fe2 = dA0Fe1 Fe2 Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1 Fe2, com n = dA0 dA (Fe1 Fe2): dA = dA n = dA0 (Fe1 Fe2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
  • 202. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 203. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 204. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 205. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 206. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 207. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 208. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 209. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 210. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 211. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 212. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 213. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 214. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 215. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 216. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 217. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 218. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 219. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 220. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n = dA0 dA det F Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em e3 FTn = dA0 dA det F Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 221. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n = dA0 dA det F Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em e3 FTn = dA0 dA det F ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 222. Mudanc¸a de A´ rea Logo: Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0 com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto: Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2) Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]: Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F Desta forma Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n = dA0 dA det F Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em e3 FTn = dA0 dA det F ) FTn = dA0 dA # e3 det F Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
  • 223. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 224. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira dA = dA0(det F)
  • 230. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 231. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira dA = dA0(det F)
  • 237. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area indeforamada tem normal n0 dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 238. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira dA = dA0(det F)
  • 244. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area indeforamada tem normal n0 dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 ) Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 245. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira dA = dA0(det F)
  • 251. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area indeforamada tem normal n0 dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 ) dA = dA0J
  • 257. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 258. Mudanc¸a de A´ rea A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao deformada da seguinte maneira dA = dA0(det F)
  • 264. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area indeforamada tem normal n0 dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 ) dA = dA0J
  • 270. onde J = jdet Fj Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
  • 271. Programa 3 Cinem´atica III Gradiente de Deformac¸ ˜ao F Decomposic¸ ˜ao do Tensor F Tensor C Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano Tensor B Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano Resumo Mudanc¸a de A´ rea Mudanc¸a de Volume Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 272. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 273. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por dV0 = dS1dS2dS3 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 274. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por dV0 = dS1dS2dS3 No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e dx(3) = FdX(3), e o volume ´e dV =
  • 277. FdX(1) FdX(2) FdX(3)
  • 280. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 281. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por dV0 = dS1dS2dS3 No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e dx(3) = FdX(3), e o volume ´e dV =
  • 284. FdX(1) FdX(2) FdX(3)
  • 287. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j Ou seja, dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J = dV dV0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 288. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por dV0 = dS1dS2dS3 No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e dx(3) = FdX(3), e o volume ´e dV =
  • 291. FdX(1) FdX(2) FdX(3)
  • 294. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j Ou seja, dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J = dV dV0 Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto detC = det B = (det F)2; Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 295. Mudanc¸a de Volume Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por dV0 = dS1dS2dS3 No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e dx(3) = FdX(3), e o volume ´e dV =
  • 298. FdX(1) FdX(2) FdX(3)
  • 301. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j Ou seja, dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J = dV dV0 Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto detC = det B = (det F)2; e ent˜ao temos dV = p detC dV0 = p det B dV0 Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
  • 302. Mudanc¸a de Volume Para materiais incompress´ıveis, dV = dV0 e ent˜ao detC = det B = det F = 1 Podemos observar tamb´em que da conservac¸ ˜ao da massa dV = 0dV0, que pode ser escrita como = 0 det F = = 0 p detC = = 0 p det B : Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 56 / 56