Cinemática I
Descrição do Movimento
Derivada Material
Aceleração de uma Partícula
Cinemática do Corpo Rígido
Gradiente de Deslocamentos
Deformaões Infinitesimais
Interpretação Geométrica
Cinemática II
Deformacções Principais
Dilatação Específica
Tensor de Rotação Infinitesimal
Taxa de Deformação
Tensor Spin
Conservação da Massa
Condições de Compatibilidade
Cinemática III
Gradiente de Deformação
Decomposição do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformação Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformaçõa Euleriano
Resumo
Mudança de Area
1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005
Unidade 02
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.10
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 1 / 56
2. Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 2 / 56
3. Programa
1 Cinem´atica I
2 Cinem´atica II
3 Cinem´atica III
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 3 / 56
4. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
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5. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
6. Descric¸ ˜ao do Movimento
Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento
O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um
tempo t pode ser escrito como:
x = x(X; t) com x(X; t0) = X
Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 4 / 56
7. Descric¸ ˜ao do Movimento
Equac¸ ˜oes Cinem´aticas do Movimento
O vetor posic¸ ˜ao de uma part´ıcula em um
tempo t pode ser escrito como:
x = x(X; t) com x(X; t0) = X
Fixando X tem-se a trajet´oria da part´ıcula.
Em componentes se escreve:
x1 = x1(X1; X2; X3; t)
x2 = x2(X1; X2; X3; t)
x3 = x3(X1; X2; X3; t)
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8. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial
Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu
tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo.
Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana)
Seguindo as part´ıculas:
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
v = ˆv(X1; X2; X3; t)
T = ˆT(X1; X2; X3; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
9. Descric¸ ˜ao Material e Descric¸ ˜ao Espacial
Quando um cont´ınuo est´a em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu
tensor de tens˜oes T (ser´a definido nas pr´oximas sec¸ ˜oes), podem mudar com o tempo.
Descric¸ ˜ao Material (ou Lagrangeana)
Seguindo as part´ıculas:
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
v = ˆv(X1; X2; X3; t)
T = ˆT(X1; X2; X3; t)
Descric¸ ˜ao Espacial (ou Euleriana)
Observando mudanc¸as em locais (pontos no espac¸o) fixos:
= ˜
(x1; x2; x3; t)
v = ˜v(x1; x2; x3; t)
T = ˜T(x1; x2; x3; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 5 / 56
10. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
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11. Derivada Material
Definic¸ ˜ao
Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
12. Derivada Material
Definic¸ ˜ao
Taxa de variac¸ ˜ao no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt.
Descric¸ ˜ao Material
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
Logo:
D
Dt =
@ˆ
@t
!
Xi fixos.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 6 / 56
13. Derivada Material
Descric¸ ˜ao Espacial
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
14. Derivada Material
Descric¸ ˜ao Espacial
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t
= v1
@˜
@x1
+ v2
@˜
@x2
+ v3
@˜
@x3
+
@˜
@t
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
15. Derivada Material
Descric¸ ˜ao Espacial
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t
= v1
@˜
@x1
+ v2
@˜
@x2
+ v3
@˜
@x3
+
@˜
@t
Em notac¸ ˜ao direta
D
Dt =
@
@t + v r
Ficando impl´ıcito que = ˜
(x1; x2; x3; t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 7 / 56
16. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
17. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Definic¸ ˜ao
a =
@v
@t
!
Xi fixos
Dv
Dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
18. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Definic¸ ˜ao
a =
@v
@t
!
Xi fixos
Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
19. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Definic¸ ˜ao
a =
@v
@t
!
Xi fixos
Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei
Logo:
ai =
Dvi
Dt =
@vi
@t + vj
@vi
@xj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
20. Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Definic¸ ˜ao
a =
@v
@t
!
Xi fixos
Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei
Logo:
ai =
Dvi
Dt =
@vi
@t + vj
@vi
@xj
E finalmente:
a =
@v
@t + (rv)v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 8 / 56
21. Campo de Deslocamentos
Definic¸ ˜ao
u = x(X; t) X
Uma vez conhecida a trajet´oria de uma part´ıcula, x(X; t), o campo de deslocamentos
tamb´em fica determinado.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 9 / 56
22. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
23. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Translac¸ ˜ao
x = X + c(t)
onde c(0) = 0
Logo u = x X = c(t) ´e independente de X.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
24. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Translac¸ ˜ao
x = X + c(t)
onde c(0) = 0
Logo u = x X = c(t) ´e independente de X.
Rotac¸ ˜ao
Em torno do ponto b:
x b = R(t)(X b)
onde R(t) representa um tensor rotac¸ ˜ao, com R(0) = I.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 10 / 56
25. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Movimento Geral
Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b)
x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c)
onde R(0) = I e c(0) = b
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
26. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Movimento Geral
Translac¸ ˜ao e Rotac¸ ˜ao (em torno de b)
x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c)
onde R(0) = I e c(0) = b
Velocidade de um Ponto
Tomando a derivada material:
R
v =
(X b)+
c
(t)
e usando (X b) = RT (x c) vem
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 11 / 56
27. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)
Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
28. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)
Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Uma vez que
R
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ! (x c)+
c
(t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
29. Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Velocidade de um Ponto (cont.)
Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Uma vez que
R
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ! (x c)+
c
(t)
Ou ainda:
v = ! r+
c
(t)
onde r = (x c)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 12 / 56
30. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
31. Gradiente de Deslocamentos
Em um ponto P:
x = X + u(X; t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
32. Gradiente de Deslocamentos
Em um ponto P:
x = X + u(X; t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX; t)
Subtraindo as equac¸ ˜oes anteriores:
dx = dX + u(X + dX; t) u(X; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 13 / 56
33. Gradiente de Deslocamentos
E portanto:
dx = dX + ru dX
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
34. Gradiente de Deslocamentos
E portanto:
dx = dX + ru dX
onde:
[ru] =
266666666666666666666666666666664
@u1
@X1
@u1
@X2
@u1
@X3
@u2
@X1
@u2
@X2
@u2
@X3
@u3
@X1
@u3
@X2
@u3
@X3
377777777777777777777777777777775
:
Se ru = 0, ent˜ao dx = dX e o movimento da vizinhanc¸a do ponto P ´e uma translac¸ ˜ao
de corpo r´ıgido.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 14 / 56
35. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
36. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
37. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) +
+fru dX(1)g fru dX(2)g:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
38. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) +
+fru dX(1)g fru dX(2)g:
E tamb´em:
dX(2) ru dX(1) = dX(1) ruT dX(2)
f(ru)dX(2)g f(ru)dX(1)g = dX(1) ruT ru dX(2):
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 15 / 56
39. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1):
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
40. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1):
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2)
E, para pequenas deformac¸ ˜oes:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + 2dX(1) EdX(2)
Definido o tensor de deformac¸ ˜oes infinitesimais como:
E =
1
2
n
ru + ruT
o
:
Em outras palavras E ´e a parte sim´etrica de ru.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 16 / 56
41. Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Componentes
Eij =
1
2
@ui
@Xj
+
@uj
@Xi
!
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 17 / 56
43. Programa
1 Cinem´atica I
Descric¸ ˜ao do Movimento
Derivada Material
Acelerac¸ ˜ao de uma Part´ıcula
Cinem´atica do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
44. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos da Diagonal
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj:
ds2 dS2 = 2dS2n En:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
45. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos da Diagonal
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj:
ds2 dS2 = 2dS2n En:
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
46. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos da Diagonal
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj:
ds2 dS2 = 2dS2n En:
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo:
(ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
47. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos da Diagonal
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj:
ds2 dS2 = 2dS2n En:
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo:
(ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS)
E finalmente:
ds dS
dS = n En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 ´e o alongamento relativo (unit´ario) de um segmento inicialmente na direc¸ ˜ao
de x1.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 18 / 56
48. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos Fora da Diagonal
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao
perpendiculares entre si.
Logo:
dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En )
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
49. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos Fora da Diagonal
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao
perpendiculares entre si.
Logo:
dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En )
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=
2
! cos
2
= sen
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
50. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos Fora da Diagonal
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao
perpendiculares entre si.
Logo:
dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En )
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=
2
! cos
2
= sen
Para pequenas deformac¸ ˜oes sen
, ds1
dS1
1, ds2
dS2
1, ent˜ao:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
51. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Elementos Fora da Diagonal
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao
perpendiculares entre si.
Logo:
dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En )
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=
2
! cos
2
= sen
Para pequenas deformac¸ ˜oes sen
, ds1
dS1
1, ds2
dS2
1, ent˜ao:
= 2m En
Logo E12 fornece o decr´escimo no ˆangulo entre os dois elementos inicialmente nas
direc¸ ˜oes de x1 e x2.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 19 / 56
52. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
53. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
54. Deformac¸ ˜oes Principais
Uma vez que E ´e sim´etrico:
[E]ni =
2666666664 E1 0 0
0 E2 0
0 0 E3
3777777775
Autovalores Deformac¸ ˜oes principais, incluem os valores extremos dos
alongamentos.
Autovetores Direc¸ ˜oes principais, permanecem perpendiculares ap´os a deformac¸ ˜ao.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 20 / 56
55. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
56. Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
57. Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior
Logo:
e
(dV)
dV = E1 + E2 + E3
= E11 + E22 + E33
E tamb´em:
e = Eii =
@ui
@Xi
= div u
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 21 / 56
58. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
59. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
60. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +
) dX
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
61. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +
) dX
Logo
´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a:
dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
62. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +
) dX
Logo
´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a:
dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3
Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a
.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
63. Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +
) dX
Logo
´e a parte anti-sim´etrica de ru o que leva a:
dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3
Para dX em uma direc¸ ˜ao principal, a mudanc¸a de direc¸ ˜ao se deve exclusivamente a
.
Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotac¸ ˜oes infinitesimais destes
segmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 22 / 56
64. Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material
D
Dt
dx
Como:
dx = x(X + dX; t) x(X; t)
Pode-se escrever a derivada material como:
D
Dt
dx =
D
Dt
x(X + dX; t)
D
Dt
x(X; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
65. Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material
D
Dt
dx
Como:
dx = x(X + dX; t) x(X; t)
Pode-se escrever a derivada material como:
D
Dt
dx =
D
Dt
x(X + dX; t)
D
Dt
x(X; t)
Entretanto, D
Dt
x = ˆv(X; t) = ˜v(x; t)
Logo:
D
Dt
dx = ˆv(X + dX; t) ˆv(X; t)
= ˜v(x + dx; t) ˜v(x; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 23 / 56
66. D
Dt
dx
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se:
D
Dt
dx = rXˆvdX e
D
Dt
dx = rx ˜vdx
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
67. D
Dt
dx
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se:
D
Dt
dx = rXˆvdX e
D
Dt
dx = rx ˜vdx
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial.
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever:
D
Dt
dx = rvdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
68. D
Dt
dx
Da definic¸ ˜ao de gradiente, tem-se:
D
Dt
dx = rXˆvdX e
D
Dt
dx = rx ˜vdx
Respectivamente na descric¸ ˜ao material e na descric¸ ˜ao espacial.
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever:
D
Dt
dx = rvdx e [rv] =
266666666666666666666666666666664
@v1
@x1
@v1
@x2
@v1
@x3
@v2
@x1
@v2
@x2
@v2
@x3
@v3
@x1
@v3
@x2
@v3
@x3
377777777777777777777777777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 24 / 56
69. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
70. Taxa de Deformac¸ ˜ao
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e
anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
71. Taxa de Deformac¸ ˜ao
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e
anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin.
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao:
dx dx = ds2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
72. Taxa de Deformac¸ ˜ao
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e
anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin.
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao:
dx dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
73. Taxa de Deformac¸ ˜ao
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e
anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin.
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao:
dx dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds
Logo:
dx
D
Dt
(dx) = dx rvdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
74. Taxa de Deformac¸ ˜ao
O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte sim´etrica e
anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformac¸ ˜ao e o tensor de spin.
Fazendo dx = dsn com n unit´ario ent˜ao:
dx dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds
Logo:
dx
D
Dt
(dx) = dx rvdx
= dx Ddx + dx Wdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 25 / 56
75. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico:
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx
Logo:
dx Wdx = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
76. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico:
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx
Logo:
dx Wdx = 0
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida:
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
77. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico:
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx
Logo:
dx Wdx = 0
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida:
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx = ds
D
Dt
ds
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
78. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Da definic¸ ˜ao de transposto e usando que W ´e antisim´etrico:
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx
Logo:
dx Wdx = 0
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida:
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx = ds
D
Dt
ds
Com dx = dsn :
1
ds
D
Dt
ds = n Dn = Dnn sem soma em n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 26 / 56
79. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos
coeficientes de E.
Analogamente, tamb´em:
D11 + D22 + D33 =
1
dV
D(dV)
Dt
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
80. Taxa de Deformac¸ ˜ao
Logo pode-se dar interpretac¸ ˜ao geom´etrica aos coeficientes de D an´aloga aos
coeficientes de E.
Analogamente, tamb´em:
D11 + D22 + D33 =
1
dV
D(dV)
Dt
Em termos das componentes de velocidade:
1
dV
D(dV)
Dt =
@vi
@xi
= div v
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 27 / 56
81. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
82. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
83. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
84. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx
= Ddx + ! dx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
85. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx
= Ddx + ! dx
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
86. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx
= Ddx + ! dx
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !.
Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram
com velocidade angular !.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
87. Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx
= Ddx + ! dx
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !.
Devido ao efeito de D, s´o os elementos materiais nas direc¸ ˜oes principais giram
com velocidade angular !.
Na mecˆanica dos fluidos 2W ´e conhecido como tensor de vorticidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 28 / 56
88. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
89. Conservac¸ ˜ao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV
tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
90. Conservac¸ ˜ao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV
tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:
D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
91. Conservac¸ ˜ao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV
tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:
D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0
Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1
dV
D(dV)
Dt = @vi
@xi
= div v:
@vi
@xi
+
D
Dt
() = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
92. Conservac¸ ˜ao da Massa
Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV
tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:
D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0
Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1
dV
D(dV)
Dt = @vi
@xi
= div v:
@vi
@xi
+
D
Dt
() = 0
Ou em notac¸ ˜ao direta:
div v +
D
Dt = 0
que ´e conhecida como equac¸ ˜ao de continuidade.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 29 / 56
93. Conservac¸ ˜ao da Massa
Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para :
D
Dt =
@
@t + v r
1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )?
2http://goo.gl/f02dxK
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
94. Conservac¸ ˜ao da Massa
Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para :
D
Dt =
@
@t + v r
Logo, em componentes cartesianas 1:
div v +
@
@t + v r = 0
@v1
@x1
+
@v2
@x2
+
@v3
@x3
!
+
@
@t + v1
@
@x1
+ v2
@
@x2
+ v3
@
@x3
= 0
Para materiais incompress´ıveis temos constante, logo 2:
div v = 0
ou
@v1
@x1
+
@v2
@x2
+
@v3
@x3
= 0
1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )?
2http://goo.gl/f02dxK
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 30 / 56
95. Programa
2 Cinem´atica II
Deformac¸ ˜oes Principais
Dilatac¸ ˜ao Espec´ıfica
Tensor de Rotac¸ ˜ao Infinitesimal
Taxa de Deformac¸ ˜ao
Tensor Spin
Conservac¸ ˜ao da Massa
Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
96. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
Dadas trˆes func¸ ˜oes u1, u2 e u3 ´e sempre poss´ıvel determinar Eij, mas o inverso n˜ao.
Para que isto se verifique ´e necess´ario que:
@2E11
@X2
2
+
@2E22
@X2
1
= 2
@2E12
@X1@X2
@2E11
@X2
3
+
@2E33
@X2
1
= 2
@2E13
@X1@X3
@2E22
@X2
3
+
@2E33
@X2
2
= 2
@2E23
@X2@X3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 31 / 56
97. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
E tamb´em:
@2E11
@X2@X3
=
@
@X1
@E23
@X1
+
@E13
@X2
+
@E12
@X3
!
@2E22
@X1@X3
=
@
@X2
@E13
@X2
+
@E12
@X3
+
@E23
@X1
!
@2E33
@X1@X2
=
@
@X3
@E12
@X3
+
@E23
@X1
+
@E13
@X2
!
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
98. Condic¸ ˜oes de Compatibilidade
E tamb´em:
@2E11
@X2@X3
=
@
@X1
@E23
@X1
+
@E13
@X2
+
@E12
@X3
!
@2E22
@X1@X3
=
@
@X2
@E13
@X2
+
@E12
@X3
+
@E23
@X1
!
@2E33
@X1@X2
=
@
@X3
@E12
@X3
+
@E23
@X1
+
@E13
@X2
!
Condic¸ ˜oes de compatibilidade para D
Analogamente podem ser escritas condic¸ ˜oes de compatibilidade para o tensor de Taxa
de Deformac¸ ˜ao, D.
Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estas
condic¸ ˜oes s˜ao implicitamente satisfeitas.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 32 / 56
99. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
100. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
101. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
102. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
103. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx ou F = r0x
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
104. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
105. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
106. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:
dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx
Em componentes cartesianas:
[F] =
266666666666666666666666666666664
@x1
@X1
@x1
@X2
@x1
@X3
@x2
@X1
@x2
@X2
@x2
@X3
@x3
@X1
@x3
@X2
@x3
@X3
377777777777777777777777777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 33 / 56
107. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
108. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
109. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru
FTF = (I + ru)T (I + ru)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
110. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru
FTF = (I + ru)T (I + ru)
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
111. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru
FTF = (I + ru)T (I + ru)
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru
= I + 2E
Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
112. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru
FTF = (I + ru)T (I + ru)
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru
= I + 2E
Onde E ´e o tensor de deformac¸ ˜ao Lagrangeano. E para pequenas deformac¸ ˜oes:
FTF = I + 2E
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 34 / 56
113. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
114. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido.
Alongamento Puro
Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes
principais, nas quais:
dx(1) = 1dX(1)
dx(2) = 2dX(2)
dx(3) = 3dX(3)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
115. Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Movimentos de Corpo R´ıgido Locais
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido.
Alongamento Puro
Em pontos em que F ´e sim´etrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direc¸ ˜oes
principais, nas quais:
dx(1) = 1dX(1)
dx(2) = 2dX(2)
dx(3) = 3dX(3)
N˜ao h´a mudanc¸a de direc¸ ˜ao e jdx(1)j=jdX(1)j = 1.
Se U ´e constante o movimento ´e dito homogˆeneo.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 35 / 56
116. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
117. Caso Geral de F
Teorema da Decomposic¸ ˜ao Polar
Um tensor qualquer F invers´ıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto no
produto:
F = RU ou F = VR
onde R ´e um tensor ortogonal pr´oprio (rotac¸ ˜ao) e U e V s˜ao tensores sim´etricos e
positivos definidos.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 36 / 56
118. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
119. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
120. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
121. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
122. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
Logo
U2 = FTF
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
123. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
Logo
U2 = FTF
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =
FTF
1=2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
124. Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU
Logo
U2 = FTF
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =
FTF
1=2
R = FU1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 37 / 56
125. Decomposic¸ ˜ao de F
Da express˜ao anterior:
RTR =
FU1
T
FU1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
126. Decomposic¸ ˜ao de F
Da express˜ao anterior:
RTR =
FU1
T
FU1
= U1FTFU1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
127. Decomposic¸ ˜ao de F
Da express˜ao anterior:
RTR =
FU1
T
FU1
= U1FTFU1
= U1U2U1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
128. Decomposic¸ ˜ao de F
Da express˜ao anterior:
RTR =
FU1
T
FU1
= U1FTFU1
= U1U2U1
= I
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
129. Decomposic¸ ˜ao de F
Da express˜ao anterior:
RTR =
FU1
T
FU1
= U1FTFU1
= U1U2U1
= I
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado.
O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RU
como:
V = RURT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 38 / 56
130. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
131. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
132. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
133. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
134. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
135. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2)
= dX(1) CdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
136. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Tamb´em conhecido como tensor de deformac¸ ˜ao de Green:
C FTF = U2
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2)
= dX(1) CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 e
dx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21
= dS2
1e1 Ce1 = dS2
1C11 ! C11 =
ds1
dS1
!2
para o elemento material dX = dS1e1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 39 / 56
137. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal
Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
138. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Direito
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal
Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2
ou, de outra forma:
C12 =
ds1ds2
dS1dS2
cos(dx(1); dx(2))
Da mesma forma para as demais componentes.
am e n s˜ao vetores unit´arios que fazem um angulo
139. = cos(dx(1); dx(2)) entre si
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 40 / 56
140. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
141. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
142. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
143. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
144. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
145. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)
que leva a:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
146. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Lembrando o caso geral do tensor de deformac¸ ˜ao infinitesimal:
E =
1
2
ru + (ru)T + (ru)T ru
e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)
que leva a:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2)
= 2dX(1) EdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 41 / 56
147. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Deforma an´aloga ao caso linear:
ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
148. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Deforma an´aloga ao caso linear:
ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1:
Logo:
E11 =
1
2
ds2 dS2
dS2
para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
149. Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Deforma an´aloga ao caso linear:
ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1:
Logo:
E11 =
1
2
ds2 dS2
dS2
para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal
Fazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:
E
12 =
1
2
ds1ds2
dS1dS2
cos
dx(1); dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 42 / 56
150. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
151. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
152. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
153. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
154. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
155. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de
C com o mesmo autovalor.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
156. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de
C com o mesmo autovalor.
Relac¸ ˜ao com ru
Pode-se expressar B em termos de ru, como:
B = FFT
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
157. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de
C com o mesmo autovalor.
Relac¸ ˜ao com ru
Pode-se expressar B em termos de ru, como:
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
158. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n ´e autovetor de B com autovalor , ent˜ao Rn ´e autovetor de
C com o mesmo autovalor.
Relac¸ ˜ao com ru
Pode-se expressar B em termos de ru, como:
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru) (ru)T
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 43 / 56
159. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
160. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
161. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1
= dS2e1
CRT
T RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
162. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1
= dS2e1
CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
163. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1
= dS2e1
CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1
= dS2e1 Be1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
164. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Diagonal
Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1
= dS2e1
CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1
= dS2e1 Be1
Logo:
B11 =
ds
dS
!2
para dX = RTe1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 44 / 56
165. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal
Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2
RTe1
CRTe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
166. Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica: Fora da Diagonal
Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2
RTe1
CRTe2
= dS1dS2e1 Be2
Logo:
B12 =
ds1ds2
dS1dS2
cos(dx(1); dx(2)) para
8:
dX(1) = dS1RTe1
e
dX(2) = dS2RTe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 45 / 56
167. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
168. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2
I B1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
169. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2
I B1
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
170. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2
I B1
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0
F1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F1dx
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
171. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2
I B1
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0
F1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F1dx e ainda dXi = F1
ij dxj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
172. Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2
I B1
Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0
F1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F1dx e ainda dXi = F1
ij dxj
Logo:
F1
ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1; x2; x3; t) ´e a func¸ ˜ao inversa de xi = xi(X1; X2; X3; t).
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 46 / 56
173. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
174. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
175. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
= dx(1)
F1
T F1dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
176. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)
FFT
1
dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
177. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)
FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
178. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)
FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)
Logo:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1)
I B1
dx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
179. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)
= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)
FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)
Logo:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1)
I B1
dx(2)
= 2dx(1) edx(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 47 / 56
180. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
181. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2
ds2 dS2
ds2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
182. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2
ds2 dS2
ds2
Fora da Diagonal
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
183. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2
ds2 dS2
ds2
Fora da Diagonal
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se:
B1
12 =
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
184. Interpretac¸ ˜ao Geom´etrica de e
Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2
ds2 dS2
ds2
Fora da Diagonal
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se:
B1
12 =
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))
e tamb´em
2e12 = 1
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 48 / 56
185. Relac¸ ˜oes com ru
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x u(x1; x2; x3; t)
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
186. Relac¸ ˜oes com ru
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x u(x1; x2; x3; t)
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u.
Logo:
@Xi
@xj
= ij
@ui
@xj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
187. Relac¸ ˜oes com ru
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x u(x1; x2; x3; t)
onde se utiliza uma descric¸ ˜ao espacial para u.
Logo:
@Xi
@xj
= ij
@ui
@xj
ou
F1 = I rxu
com
[rxu]ij =
@ui
@xj
[rXu]ij =
@ui
@Xj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 49 / 56
188. Relac¸ ˜oes com ru
Portanto:
B1 = (I rxu)T (I rxu)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
189. Relac¸ ˜oes com ru
Portanto:
B1 = (I rxu)T (I rxu)
= I
h
rxu + (rxu)T
i
+ (rxu)T rxu
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
190. Relac¸ ˜oes com ru
Portanto:
B1 = (I rxu)T (I rxu)
= I
h
rxu + (rxu)T
i
+ (rxu)T rxu
e tamb´em:
e =
h
rxu + (rxu)T
i
2
(rxu)T rxu
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 50 / 56
191. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
192. Resumo das Medidas de Deformac¸ ˜ao
Gradiente de deformac¸ ao ˜F = RU = VR
Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2
Tendor Cauchy-Green Esquerdo
(Finger Tensor) b = FFT = V2
Tensor de deformac¸ ao ˜de Green
1
Tensor de deformac¸ ao ˜Lagrangiano E = (C I)
2 Tensor de deformac¸ ˜ao de Almansi
Tensor de deformac¸ ˜ao Eulerian e = 12
I b1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 51 / 56
193. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
194. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
195. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
196. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
197. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
198. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
199. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
200. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2
Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1 Fe2, com n = dA0
dA (Fe1 Fe2):
dA = dA n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
201. Mudanc¸a de A´ rea
Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2
Sendo n o vetor unit´ario de direc¸ ˜ao Fe1 Fe2, com n = dA0
dA (Fe1 Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 Fe2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 52 / 56
202. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
203. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
204. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
205. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
206. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
207. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
208. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA =
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
209. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
210. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn =
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
211. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
212. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) =
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
213. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
214. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
215. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
216. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
217. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
218. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
219. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
220. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n =
dA0
dA
det F
Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em
e3 FTn =
dA0
dA
det F
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221. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n =
dA0
dA
det F
Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em
e3 FTn =
dA0
dA
det F )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
222. Mudanc¸a de A´ rea
Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n =
dA0
dA
det F
Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em
e3 FTn =
dA0
dA
det F ) FTn =
dA0
dA
#
e3
det F
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 53 / 56
223. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
224. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)
230. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
231. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)
237. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram
paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area
indeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F1)Tn0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
238. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)
244. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram
paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area
indeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 )
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
245. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)
251. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram
paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area
indeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 ) dA = dA0J
257. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
258. Mudanc¸a de A´ rea
A ´area na configurac¸ ˜ao deformada ´e realacionada com a ´area na configurac¸ ˜ao
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)
264. Para derivar a express˜ao acima escolhemos uma ´area retangular cujo vetores eram
paralelos aos eixos x1 e x2, e portanto perpendiculares a e3. de maneira geral, se a ´area
indeforamada tem normal n0
dAn = dA0(det F)(F1)Tn0 ) dA = dA0J
270. onde
J = jdet Fj
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 54 / 56
271. Programa
3 Cinem´atica III
Gradiente de Deformac¸ ˜ao F
Decomposic¸ ˜ao do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformac¸ ˜ao Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformac¸ ˜ao Euleriano
Resumo
Mudanc¸a de A´ rea
Mudanc¸a de Volume
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
272. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
273. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
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274. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e
dx(3) = FdX(3), e o volume ´e
dV =
280. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
281. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e
dx(3) = FdX(3), e o volume ´e
dV =
287. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j
Ou seja,
dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J =
dV
dV0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.10 55 / 56
288. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e
dx(3) = FdX(3), e o volume ´e
dV =
294. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j
Ou seja,
dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J =
dV
dV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
detC = det B = (det F)2;
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295. Mudanc¸a de Volume
Considere dX(1) = dS1e1, dX(2) = dS2e2 e dX(3) = dS3e3 emanando de um ponto
material X. O volume formado no tempo t0 ´e dado por
dV0 = dS1dS2dS3
No tempo t, os elementos se deformam em dx(1) = FdX(1), dx(2) = FdX(2) e
dx(3) = FdX(3), e o volume ´e
dV =
301. = dS1dS2dS3 jFe1 Fe2 Fe3j
Ou seja,
dV = dV0 jdet Fj = dV0 J ) J =
dV
dV0
Sabemos que C = FTF e B = FFT , e portanto
detC = det B = (det F)2;
e ent˜ao temos
dV =
p
detC dV0 =
p
det B dV0
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302. Mudanc¸a de Volume
Para materiais incompress´ıveis, dV = dV0 e ent˜ao
detC = det B = det F = 1
Podemos observar tamb´em que da conservac¸ ˜ao da massa dV = 0dV0, que pode ser
escrita como
=
0
det F = =
0
p
detC
= =
0
p
det B
:
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