13. equilíbrio

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Equilíbrio, Estática, Física

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13. equilíbrio

  1. 1. Versão preliminar 19 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 13. EQUILÍBRIO ................................................................................................................. 2 CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO ........................................................................................... 2 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 3 10 .................................................................................................................................. 3 15 .................................................................................................................................. 3 19 .................................................................................................................................. 4 25 .................................................................................................................................. 5 27 .................................................................................................................................. 6 34 .................................................................................................................................. 7 35 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8
  2. 2. Prof. Romero Tavares da Silva 13. Equilíbrio Condições para o equilíbrio Diz-se que um corpo está em equilíbrio quando o seu momento linear e o seu momento angular são constantes, ou seja: ! P = cons tan te  !  L = cons tan te  Quando as constantes mencionadas acima são nulas, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Nessa situação ele não está em movimento de translação e também não está em movimento de rotação. As condições expostas nas equações anteriores implicam que: ! !  dP = F EXT = 0   dt  !  dL ! EXT =τ =0   dt ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estático devemos ter as seguintes condições satisfeitas: ! F EXT = 0   ! τ EXT = 0  Cap13 romero@fisica.ufpb.br 2
  3. 3. Prof. Romero Tavares da Silva Solução de alguns problemas Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 10 Uma esfera uniforme de peso P e raio r é mantida no lugar por uma corda presa a uma parede, sem atrito, situada a uma distância L acima do centro da esfera, conforme a figura a seguir. a) Encontre a tensão na corda. Como a esfera está em repouso, temos que: ! ! ! T +P +N =0 y θ ! T ! N ou seja: ! T L ! N T cos θ − P = 0   T sen θ − N = 0  ! P ! P Logo T cos θ = P ⇒ T =  L2 + r 2 ∴ T =  L  P cos θ  P   onde cos θ = L L +r2 2 b) Encontre a força exercida pela parede sobre a esfera. N T sen θ = P T cos θ ⇒ N = P tan θ r  ∴ N =  P L onde tan θ = r L Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 15 Uma viga é transportada por três homens, estando um homem em uma das extremidades e os outros dois sustentando a viga por meio de uma trave transversal, colocada de modo que a carga esteja igualmente dividida entre os três homens. Em que posição está colocada a trave transversal? (Despreze a massa dessa trave.) Por exigência do enunciado, temos que: F1 = F2 = F3 = F Cap13 romero@fisica.ufpb.br ! F1 ! P Eixo x ! ! F2 + F3 3
  4. 4. Prof. Romero Tavares da Silva Como o corpo está em repouso a resultante de forças é nula, logo: F1 + F2 + F3 - P = 0 ! P ! F1 O torque resultante também é nulo. Vamos considerar o torque em relação a uma eixo que passa ao longo da trave transversal. Desse modo: ! F2 x ! F3 Eixo L  F1 (L − x ) − P  − x  = 0 2  Da primeira equação encontramos que P = 3 F , e usando esse resultado na segunda equação: 3L  L  L  F (L − x ) − 3F  − x  = 0 ⇒  L −  + (3 x − x ) = 0 ∴ x = 2  4 2   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 19 Duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito, cada uma de peso P , estão em repouso conforme mostra a figura à seguir. a) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido às superfícies do recipiente. θ = 450 F12 = F21 = F P1 = P2 = P ! N1 Os dois corpos estão em repouso, logo a resultante das forças que atuam em cada um deles é nula.  F sen θ − P = 0   F cos θ − T = 0 2  Das equações acima encontramos que: T1 = T2 = F cosθ Cap13 romero@fisica.ufpb.br ! T2 ! F21 N 1 − P − F sen θ = 0  e   T − F cos θ = 0 1  ! F12 ! T1 ! P2 ! P1 ! N1 θ ! F21 ! T1 ! P1 ! F12 θ ! T2 ! P2 4
  5. 5. Prof. Romero Tavares da Silva e N1 - P - P = 0 F= ⇒ N1 = 2 P P =P 2 sen θ T = F cos θ = P cot anθ ⇒ T =P b) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido uma à outra, se a linha que une os centros das esferas faz um ângulo de 450 com a horizontal. F= P =P 2 sen θ Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 25 Uma placa quadrada uniforme, pesando 50,0kg e tendo 2,0m de lado, está pendurada em uma haste de 3,0m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,0m acima do ponto onde a haste é fixada na parede, conforme mostra a figura a seguir. a) Qual é a tensão no cabo? L2 = 2,0m L3 = 3,0m M = 50kg L1 = 4,0m Vamos considerar apenas as forças que atuam na haste horizontal. ! T Como a placa é uniforme as forças P1 e P2 são tais que: P1 = P2 = P / 2 = M g / 2 θ ! FV ! FH ! P2 L1 ! P1 L2 Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que pasL3 se no ponto onde a haste está presa na parede. T senθ L3 - P2 L3 - P1 ( L3 - L2 ) = 0 T sen θ L3 = P  [L3 + (L3 − L2 )] ⇒ T =  2L3 − L2  2L sen θ 2  3 Mas sen θ = Cap13 L1 L2 + L2 1 3  (2L3 − L2 ) L2 + L2 1 3 ⇒ T = 2L1L3   romero@fisica.ufpb.br  P     P = 408,34N   5
  6. 6. Prof. Romero Tavares da Silva b) Qual é a componente vertical da força exercida pela parede sobre a haste? Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que passe no ponto onde o cabo suspende a haste. P1 L2 - FV L3 = 0 FV = P1L2 PL2 = = 163,34N L3 2L3 c) Qual é a componente horizontal da força exercida pela parede sobre a haste? Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero, Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que: T cos θ − FH = 0 ⇒  L3 FH = T cos θ = T   L2 + L2 3  1     Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que:  2L − L2 FH =  3  2L 1    P = 245N   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição ! 27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F , aplicada horizontalmente no eixo da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Considere r como sendo o raio da roda e P o seu peso. Na iminência da ultrapassagem do obstáculo, a roda perdeu o contato com o solo, e as forças que atuam nela estão mostradas na figura ao lado. Como ainda não existe movimento, a resultante é nula. Logo: F - N cosθ = 0 ! N θ r r-h h ! P P - N senθ = 0 P N sen θ = = tan θ F N cos θ ! F ⇒ F= P tan θ Mas tan θ = Cap13 r −h r 2 − (r − h ) 2 = r −h 2rh − h 2 romero@fisica.ufpb.br ⇒  2rh − h 2 F=  r −h   P   6
  7. 7. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo θ = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo ϕ = 53,10 , também com a vertical. Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o seu centro de gravidade. θ = 36,90 ϕ = 53,10 L = 6,1m ! T1 x ! T2 ϕ L Vamos calcular o torque das forças que θ atuam na barra em relação a um eixo perpendicular ao papel, e que passe por ! um ponto da extremidade esquerda da P barra. τ = P x - T2 cosϕ L = 0 ou seja:  T cos ϕ  x= 2 L P   Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula: T1 cos θ + T2 cos ϕ − P = 0 ! ! !  T1 + T2 + P = 0 ⇒   T sen θ − T sen ϕ = 0 2  1 Da última equação temos que:  sen ϕ  T1 = T2    sen θ  e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos:   sen ϕ  T2  sen θ  cos θ + T2 cos ϕ = P    ou seja: T2 {sen ϕ cos θ + cos ϕ sen θ } = P sen θ T2 sen(ϕ + θ ) = P sen θ  sen θ  ⇒ T2 =  P  sen(ϕ + θ ) Mas  T cos ϕ  x= 2 L P   ⇒  L cos ϕ   sen θ  x=  P  P   sen(ϕ + θ ) logo  cos ϕ sen θ  x=  L = 2,23m  sen(ϕ + θ )  Cap13 romero@fisica.ufpb.br 7
  8. 8. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e comprimento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustentada em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo θ com a horizontal. Um peso P pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição definida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa. a) Encontre a tensão no fio. Iremos considerar apenas as forças que atuam na barra. Vamos calcular o torque em relação a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde a barra está presa á parede pela dobradiça (ponto A) Como a barra está em repouso o torque em relação a qualquer eixo é nulo, logo: T senθ L - P x = 0 C ! T B ! FV ! FH θ A ! P x L  x  T = P  L sen θ  b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A . Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A componente horizontal da resultante é:  x  ∴ FH =  P  L tan θ  c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A . T cos θ − FH = 0 ⇒ FH = T cos θ Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto B). x L − x  P (L − x ) − FV L = 0 ⇒ FV =   P ∴ FV = 1 −  P L  x   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repouso no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altura h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qualquer valor do ângulo θ ≥ 700 , mas escorrega para θ < 700 . Encontre o coeficiente de atrito entre a tábua e o chão. Cap13 romero@fisica.ufpb.br 8
  9. 9. Prof. Romero Tavares da Silva θ é o ângulo limite para o deslizamento, e isso significa que para esse ângulo a força de atrito estático é máxima, logo ! T α Fa = µE N α ! N Pode-se perceber que os ângulos α e θ são complementares, logo: α = π/2 - θ h θ ! P ! Fa A força da quina na tábua é perpendicular à tábua pois não existe atrito entre as duas. d Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante também é nulo. O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e que seja perpendicular à folha de papel tem a forma: -(T cosα ) h - (P senα) L/2 = 0 T = PL sen α 2h cos α A resultante de forças tem a forma: T sen α − P + N = 0 ! ! ! !  T + P + N + FaE = 0 ∴   − T cos α + F = 0 aE  ou seja: FaE µ N T cos α = = E N P − T sen α N ∴ µE = T cos α P − T sen α e usando o resultado anterior para T , encontramos:  PL sen α    cos α  2h cos α  µE =  PL sen α  P −  sen α  2h cos α  Cap13 L sen α 2h ∴ µE = = 0,3981 L sen 2 α 1− 2h cos α romero@fisica.ufpb.br 9

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