13. equilíbrio

  • 333 views
Uploaded on

Equilíbrio, Estática, Física

Equilíbrio, Estática, Física

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
333
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
5
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Versão preliminar 19 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 13. EQUILÍBRIO ................................................................................................................. 2 CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO ........................................................................................... 2 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 3 10 .................................................................................................................................. 3 15 .................................................................................................................................. 3 19 .................................................................................................................................. 4 25 .................................................................................................................................. 5 27 .................................................................................................................................. 6 34 .................................................................................................................................. 7 35 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8
  • 2. Prof. Romero Tavares da Silva 13. Equilíbrio Condições para o equilíbrio Diz-se que um corpo está em equilíbrio quando o seu momento linear e o seu momento angular são constantes, ou seja: ! P = cons tan te  !  L = cons tan te  Quando as constantes mencionadas acima são nulas, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Nessa situação ele não está em movimento de translação e também não está em movimento de rotação. As condições expostas nas equações anteriores implicam que: ! !  dP = F EXT = 0   dt  !  dL ! EXT =τ =0   dt ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estático devemos ter as seguintes condições satisfeitas: ! F EXT = 0   ! τ EXT = 0  Cap13 romero@fisica.ufpb.br 2
  • 3. Prof. Romero Tavares da Silva Solução de alguns problemas Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 10 Uma esfera uniforme de peso P e raio r é mantida no lugar por uma corda presa a uma parede, sem atrito, situada a uma distância L acima do centro da esfera, conforme a figura a seguir. a) Encontre a tensão na corda. Como a esfera está em repouso, temos que: ! ! ! T +P +N =0 y θ ! T ! N ou seja: ! T L ! N T cos θ − P = 0   T sen θ − N = 0  ! P ! P Logo T cos θ = P ⇒ T =  L2 + r 2 ∴ T =  L  P cos θ  P   onde cos θ = L L +r2 2 b) Encontre a força exercida pela parede sobre a esfera. N T sen θ = P T cos θ ⇒ N = P tan θ r  ∴ N =  P L onde tan θ = r L Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 15 Uma viga é transportada por três homens, estando um homem em uma das extremidades e os outros dois sustentando a viga por meio de uma trave transversal, colocada de modo que a carga esteja igualmente dividida entre os três homens. Em que posição está colocada a trave transversal? (Despreze a massa dessa trave.) Por exigência do enunciado, temos que: F1 = F2 = F3 = F Cap13 romero@fisica.ufpb.br ! F1 ! P Eixo x ! ! F2 + F3 3
  • 4. Prof. Romero Tavares da Silva Como o corpo está em repouso a resultante de forças é nula, logo: F1 + F2 + F3 - P = 0 ! P ! F1 O torque resultante também é nulo. Vamos considerar o torque em relação a uma eixo que passa ao longo da trave transversal. Desse modo: ! F2 x ! F3 Eixo L  F1 (L − x ) − P  − x  = 0 2  Da primeira equação encontramos que P = 3 F , e usando esse resultado na segunda equação: 3L  L  L  F (L − x ) − 3F  − x  = 0 ⇒  L −  + (3 x − x ) = 0 ∴ x = 2  4 2   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 19 Duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito, cada uma de peso P , estão em repouso conforme mostra a figura à seguir. a) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido às superfícies do recipiente. θ = 450 F12 = F21 = F P1 = P2 = P ! N1 Os dois corpos estão em repouso, logo a resultante das forças que atuam em cada um deles é nula.  F sen θ − P = 0   F cos θ − T = 0 2  Das equações acima encontramos que: T1 = T2 = F cosθ Cap13 romero@fisica.ufpb.br ! T2 ! F21 N 1 − P − F sen θ = 0  e   T − F cos θ = 0 1  ! F12 ! T1 ! P2 ! P1 ! N1 θ ! F21 ! T1 ! P1 ! F12 θ ! T2 ! P2 4
  • 5. Prof. Romero Tavares da Silva e N1 - P - P = 0 F= ⇒ N1 = 2 P P =P 2 sen θ T = F cos θ = P cot anθ ⇒ T =P b) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido uma à outra, se a linha que une os centros das esferas faz um ângulo de 450 com a horizontal. F= P =P 2 sen θ Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 25 Uma placa quadrada uniforme, pesando 50,0kg e tendo 2,0m de lado, está pendurada em uma haste de 3,0m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,0m acima do ponto onde a haste é fixada na parede, conforme mostra a figura a seguir. a) Qual é a tensão no cabo? L2 = 2,0m L3 = 3,0m M = 50kg L1 = 4,0m Vamos considerar apenas as forças que atuam na haste horizontal. ! T Como a placa é uniforme as forças P1 e P2 são tais que: P1 = P2 = P / 2 = M g / 2 θ ! FV ! FH ! P2 L1 ! P1 L2 Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que pasL3 se no ponto onde a haste está presa na parede. T senθ L3 - P2 L3 - P1 ( L3 - L2 ) = 0 T sen θ L3 = P  [L3 + (L3 − L2 )] ⇒ T =  2L3 − L2  2L sen θ 2  3 Mas sen θ = Cap13 L1 L2 + L2 1 3  (2L3 − L2 ) L2 + L2 1 3 ⇒ T = 2L1L3   romero@fisica.ufpb.br  P     P = 408,34N   5
  • 6. Prof. Romero Tavares da Silva b) Qual é a componente vertical da força exercida pela parede sobre a haste? Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que passe no ponto onde o cabo suspende a haste. P1 L2 - FV L3 = 0 FV = P1L2 PL2 = = 163,34N L3 2L3 c) Qual é a componente horizontal da força exercida pela parede sobre a haste? Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero, Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que: T cos θ − FH = 0 ⇒  L3 FH = T cos θ = T   L2 + L2 3  1     Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que:  2L − L2 FH =  3  2L 1    P = 245N   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição ! 27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F , aplicada horizontalmente no eixo da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Considere r como sendo o raio da roda e P o seu peso. Na iminência da ultrapassagem do obstáculo, a roda perdeu o contato com o solo, e as forças que atuam nela estão mostradas na figura ao lado. Como ainda não existe movimento, a resultante é nula. Logo: F - N cosθ = 0 ! N θ r r-h h ! P P - N senθ = 0 P N sen θ = = tan θ F N cos θ ! F ⇒ F= P tan θ Mas tan θ = Cap13 r −h r 2 − (r − h ) 2 = r −h 2rh − h 2 romero@fisica.ufpb.br ⇒  2rh − h 2 F=  r −h   P   6
  • 7. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo θ = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo ϕ = 53,10 , também com a vertical. Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o seu centro de gravidade. θ = 36,90 ϕ = 53,10 L = 6,1m ! T1 x ! T2 ϕ L Vamos calcular o torque das forças que θ atuam na barra em relação a um eixo perpendicular ao papel, e que passe por ! um ponto da extremidade esquerda da P barra. τ = P x - T2 cosϕ L = 0 ou seja:  T cos ϕ  x= 2 L P   Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula: T1 cos θ + T2 cos ϕ − P = 0 ! ! !  T1 + T2 + P = 0 ⇒   T sen θ − T sen ϕ = 0 2  1 Da última equação temos que:  sen ϕ  T1 = T2    sen θ  e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos:   sen ϕ  T2  sen θ  cos θ + T2 cos ϕ = P    ou seja: T2 {sen ϕ cos θ + cos ϕ sen θ } = P sen θ T2 sen(ϕ + θ ) = P sen θ  sen θ  ⇒ T2 =  P  sen(ϕ + θ ) Mas  T cos ϕ  x= 2 L P   ⇒  L cos ϕ   sen θ  x=  P  P   sen(ϕ + θ ) logo  cos ϕ sen θ  x=  L = 2,23m  sen(ϕ + θ )  Cap13 romero@fisica.ufpb.br 7
  • 8. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e comprimento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustentada em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo θ com a horizontal. Um peso P pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição definida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa. a) Encontre a tensão no fio. Iremos considerar apenas as forças que atuam na barra. Vamos calcular o torque em relação a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde a barra está presa á parede pela dobradiça (ponto A) Como a barra está em repouso o torque em relação a qualquer eixo é nulo, logo: T senθ L - P x = 0 C ! T B ! FV ! FH θ A ! P x L  x  T = P  L sen θ  b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A . Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A componente horizontal da resultante é:  x  ∴ FH =  P  L tan θ  c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A . T cos θ − FH = 0 ⇒ FH = T cos θ Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto B). x L − x  P (L − x ) − FV L = 0 ⇒ FV =   P ∴ FV = 1 −  P L  x   Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repouso no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altura h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qualquer valor do ângulo θ ≥ 700 , mas escorrega para θ < 700 . Encontre o coeficiente de atrito entre a tábua e o chão. Cap13 romero@fisica.ufpb.br 8
  • 9. Prof. Romero Tavares da Silva θ é o ângulo limite para o deslizamento, e isso significa que para esse ângulo a força de atrito estático é máxima, logo ! T α Fa = µE N α ! N Pode-se perceber que os ângulos α e θ são complementares, logo: α = π/2 - θ h θ ! P ! Fa A força da quina na tábua é perpendicular à tábua pois não existe atrito entre as duas. d Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante também é nulo. O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e que seja perpendicular à folha de papel tem a forma: -(T cosα ) h - (P senα) L/2 = 0 T = PL sen α 2h cos α A resultante de forças tem a forma: T sen α − P + N = 0 ! ! ! !  T + P + N + FaE = 0 ∴   − T cos α + F = 0 aE  ou seja: FaE µ N T cos α = = E N P − T sen α N ∴ µE = T cos α P − T sen α e usando o resultado anterior para T , encontramos:  PL sen α    cos α  2h cos α  µE =  PL sen α  P −  sen α  2h cos α  Cap13 L sen α 2h ∴ µE = = 0,3981 L sen 2 α 1− 2h cos α romero@fisica.ufpb.br 9