Eventos aleatorios, espacio muestral y técnicas de conteo.
1. Procesos industriales área
manufactura.
Eventos aleatorios, espacio
muestral y técnicas de conteo
Leonardo García Lamas .
2. Eventos aleatorios
Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho
en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es
posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible
predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también
se le denomina un suceso o un fenómeno.
Generalmente, se simula el evento por un conjunto de
variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está
representado con una o más variables vinculadas entre ellas.
Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles
con exactitud se dice que el evento es aleatorio.
Generalmente las variables representan atributos y
propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que
pueden ser medidos.
3. Ejemplos
Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el
resultado es águila o sol.
Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de
la cara superior.
De una baraja americana normal, se reparte una mano de póker de
cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados.
Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda
en fundirse.
En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color
negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el
número de bolas blancas extraídas.
4. Espacio muestral
Un espacio muestral o espacio de muestreo es el
conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos
se los denomina como punto muestral o,
simplemente, muestra.
5. • Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos
monedas, el espacio de muestreo es el conjunto
{(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}.
Un evento o suceso es cualquier subconjunto del
espacio muestral, llamándose a los sucesos que
contengan un único elemento sucesos elementales.
En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer
lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría
formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y
{(cara, cruz)}.
6. • En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o
más espacios muéstrales posibles. El experimento de
tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo,
tiene un espacio de muestreo compuesto por los números
y otro espacio muestral formado por los palos. La
descripción más completa, pues, debería incluir ambos
valores (número y palo) en un eje cartesiano.
• Los espacios maestrales pueden ser discretos (cuando el
número de sucesos elementales es finito o numerable) o
continuos (en los casos en que el número de sucesos
elementales es infinito incontable).
7. Técnicas de conteo
Es un fenómeno fundado en la experiencia, el
cual al repetirlo y observarlo en las mismas
condiciones en que se desarrolla sus resultados
no son siempre los mismos, sino que los datos o
mediciones son solo aproximaciones al
verdadero valor de la probabilidad del evento.
8. Ejemplo 1:
Un juego de dados consiste en adivinar el número de
puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores
hacen su apuesta por un número de puntos antes de
lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina,
lo apostado se gana para el próximo juego. Los jugadores
se turnan para elegir primero un número por el cual
apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que
seleccione un número de puntos que caerán adivine?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los
jugadores adivine el número de puntos que caerán?
9. Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2,
3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado
cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el
experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se
obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero
valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones
n es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar
el dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4
b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6
c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.
10. Ejemplo 2:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus
clientes todas las diferentes opciones con que
cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto
de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines
deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrecer el
vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la
técnica de la multiplicación, (donde m es número
de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
11. No fue difícil de listar y contar todos los posibles
arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.
Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para
ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.
Sería tedioso hacer un dibujo con todas las
posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación
fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
12. Variables en técnicas de conteo
Las variaciones son técnicas de conteo que
respetan el orden, es decir AB BA.
En realidad cuando hemos resuelto el problema
de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden
escribir con las letras A B C D hemos resuelto
un problema de variaciones, porque
respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.
13. Además las variaciones pueden ser con repetición o sin
repetición.
Conocemos como variaciones sin repetición…
Variaciones sin repetición:
Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se
dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3
en 3.
Y se escribe 4v3 =24
Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24
