Grécia e a geometria

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  • Tales - O grande impulsionador da geometria na Grécia, trazidos do Egito. Das suas principais proposições destaca-se a demonstração da altura da pirâmide através da sua sombra
  • Platão - Profundo admirador de proporção e geometria. Escreve o “Timeu” em 400 a.C. explicando a origem do universo através de 5 figuras cósmicas perfeitas (Ar – octaedro, Fogo – tetraedro, Universo – dodecaedro, Terra – cubo, Água – icosaedro) Aristóteles de Estagira - explicou que as fases da Lua,também, os eclipses. Afirmava que o Universo e esferico e finito. Aristoteles argumentou a favor da esfericidade da Terra, ja que a sombra da Terra na Lua durante um eclipse lunar e sempre arredondada. Heraclides de Pontus - propôs que a Terra gira diariamente sobre seu próprio eixo
  • Euclides – Criador da famosa geometria euclidiana, demonstra nela postulados como “Todos os ângulos rectos são iguais”; “Juntando igual com igual os totais são iguais”; “O todo é maior do que a parte”, etc. Faz das obras mais importantes na história da geometria “Os Elementos” – dividida em 13 volumes (5 de geometria plana, 3 de geometria no espaço)  Aristarco de Samos - primeiro a propor a Terra se movia em volta do Sol, antecipando Copérnico em quase 2000 anos. Entre outras coisas, desenvolveu um método para determinar as distâncias relativas do Sol e da Lua à Terra e mediu os tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua.
  • Ele notou que, na cidade egipcia de Siena (atualmente chamada de Aswan), no primeiro dia do verao, ao meio-dia, a luz solar atingia o fundo de um grande poco, ou seja, o Sol estava incidindo perpendicularmente a Terra em Siena. Ja em Alexandria, situada ao norte de Siena, isso nao ocorria; medindo o tamanho da sombra de um bastao na vertical, Eratostenes observou que em Alexandria, no mesmo dia e hora, o Sol estava aproximadamente sete graus mais ao sul. A distancia entre Alexandria e Siena era conhecida como de 5000 estadios. Um estadio era uma unidade de distancia usada na Grecia antiga. Um camelo atravessa 100 estadios em um dia, e viaja a cerca de 16 km/dia. Como 7 graus corresponde a 1/50 de um circulo (360 graus), Alexandria deveria estar a 1/50 da circunferencia da Terra ao norte de Siena e a circunferencia da Terra deveria ser 50×5000 estadios. Infelizmente, nao e possivel se ter certeza do valor do estadio usado por Eratostenes, ja que os gregos usavam diferentes tipos de estadios. Se ele utilizou um estádio equivalente a 1/6 km, o valor esta a 1% do valor correto de 40000 km.
  • Hiparco de Nicéia - compilou um catalogo com a posicao no ceu e a magnitude de 850 estrelas. também deduziu o valor correto de 8/3 para a razão entre o tamanho da sombra da Terra e o tamanho da Lua e também que a Lua estava a 59 vezes o raio da Terra de distância; o valor correto é 60. Ele determinou a duração do ano com uma margem de erro de 6 minutos. Ptolomeu - último astrônomo importante da antiguidade que compilou uma série de treze volumes sobre astronomia, conhecida como o Almagesto, que é a maior fonte de conhecimento sobre a astronomia na Grécia.
  • Grécia e a geometria

    1. 1. Geometria Plana
    2. 2. História da Geometria Egito
    3. 3. A geometria na vida cotidiana• Papiro de Ahmes;• Como se deu a elaborada as primeirasregras para obtenção das áreas de umtriangulo e trapézio;• Pontos fracos da geometria egípcia;• Legado de maior valor da geometria egípcia.
    4. 4. Grécia• Grécia do séc. 7 a.C. - geometria como ciência dedutiva• Geometria grega - régua e compasso• Gregos herdam dos egípcios• Criaram leis e regras acerca do espaço
    5. 5. Grécia e a Geometria• Mais antigas Histórias da Matemática - Eudemos de Rodes, por volta de 320 aC., aluno de Aristóteles• Primeiro registro: Comentário ao primeiro livro de Os Elementos de Euclides - Proclus Diadchus (410-485 dC). É tudo o que sabemos sobre Tales e Pitágoras
    6. 6. Grécia e a Geometria• Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) - introdutor da geometria na Grécia• Pitágoras de Samos (572 - 497 a.C.) - esfericidade Terra, Lua, outros corpos celestes - céu = cosmos - “Teorema de Pitágoras”
    7. 7. Grécia e a Geometria• Platão (427 – 347 a.C) - Escreve “Timeu”, 5 figuras cósmicas perfeitas• Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) - explicou fases da Lua e eclipses - Universo e esférico e finito - Esfericidade da Terra• Heraclides de Pontus (388-315 a.C.) - propôs Terra gira diariamente sobre seu próprio eixo
    8. 8. Grécia e a Geometria• Euclides (360 – 295 a.C.) - Criador da famosa geometria euclidiana - “Os Elementos” – dividida em 13 volumes (5 de geometria plana, 3 de geometria no espaço)• Aristarco de Samos (310-230 a.C.) - 1° Terra se movia em volta do Sol, antecipando Copérnico em quase 2000 anos - distâncias relativas do Sol, Lua à Terra - tamanhos relativos da Terra, Sol e Lua
    9. 9. Grécia e a Geometria•Eratóstenes de Cirênia (276-194 a.C.) - primeiro a medir o diâmetro da Terra - Siena e Alexandria - ângulo 7 grauscircunferência da Terra = 1% do valor correto
    10. 10. • Hiparco de Nicéia (160 - 125 a.C.) - catalogo com posição no céu de 850 estrelas; - razão tamanho sombra Terra x tamanho Lua: 8/3; - Lua 59 vezes o raio da Terra de distância (correto 60); - duração do ano com margem de erro de 6 minutos; • Ptolomeu (85 d.C. - 165 d.C.) - último astrônomo importante da antiguidade; - compilou o Almagesto, maior fonte de conhecimento sobre a astronomia na Grécia
    11. 11. PRINCIPAIS PROBLEMAS COMGEOMETRIA PLANA: POR QUE ENSINAR GEOMETRIA?
    12. 12. • É através da geometria que o homem lida com sua realidade concreta, interage com seu meio e estabelece relações com o mundo.• Desenvolver capacidade de abstração, de generalização e a possibilidade de projeção.• A geometria exige do aluno uma maneira específica de raciocinar (LORENZATO, 1995).
    13. 13. Por que ensinar Geometria?• Ser bom conhecedor de Aritmética ou de Álgebra não é suficiente para resolver problemas de Geometria (LORENZATO, 1995).• EXEMPLO 1: Compare as áreas dos retângulos escurecidos. Figura 1 Adaptado de (LORENZATO, 1995).
    14. 14. Por que ensinar Geometria?• EXEMPLO 2: Quantos triângulos você vê? Figura 2 Adaptado de (LORENZATO, 1995).• Em ambos exemplos não há presença de números ou medidas.
    15. 15. Por que ensinar Geometria?• A Geometria demanda uma leitura diferente da Aritmética ou da Álgebra, na medida em que para resolver o problema é preciso ter “percepção geométrica, raciocínio geométrico e linguagem geométrica, fatores estes essenciais na relação real/forma” (LORENZATO, 1995, p.5).
    16. 16. Por que ensinar Geometria?• A Geometria pode auxiliar na compreensão de outras formas de raciocínio matemático.• Exemplo de problema: entre coelhos e galinhas tenho 7 cabeças e 20 pés, no total. Quantos coelhos e quantas galinhas possuo?
    17. 17. Por que ensinar Geometria?• Solução Aritmética:• Equação dos pés: 2 × galinhas + 4 × coelhos = 20• Equação das cabeças: 1 × galinhas + 1 × coelhos = 7Resultado: tenho 3 coelhos e 4 galinhas.
    18. 18. Por que ensinar Geometria?• Solução Geométrica:• “Cada bicho tem sua casinha...são 7”• “2 pernas para cada bicho...sobraram”• “6 pernas...tem que ser dos coelhos“• “2 pernas mais para cada casinha”• “São 3 coelhos e 4 galinhas” (LORENZATO, 1995).
    19. 19. Por que ensinar Geometria?• “Apresentação da Geometria como elemento fortemente presente no meio ambiente da criança; portanto, o conhecimento geométrico escolar inicial é natural e familiar”.• “As formas são reproduzidas e investigadas, independentemente de serem bi ou tridimensionais”.• “Transformação de formas, por divisão, ou por combinação de artefatos”.• “Favorecer o desenvolvimento do senso espacial da criança” (LORENZATO, 1995).
    20. 20. A GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL: CONTEÚDO E MODOS DE ENSINO ORIENTAÇÕES DO PCN.
    21. 21.  No  ensino  da  Matemática,  destacam-se  dois  aspectos básicos:  um  consiste  em  relacionar  observações  do mundo  real  com  representações  (esquemas,  tabelas, figuras);  outro  consiste  em  relacionar  essas representações  com  princípios  e  conceitos  matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve  ser  estimulada,  levando-se  o  aluno  a  “falar”  e  a “escrever”  sobre  Matemática,  a  trabalhar  com representações  gráficas,  desenhos,  construções,  a aprender como organizar e tratar dados. (p.18)(...) o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. (p32)
    22. 22. Década de 60/70 – A matemática modernaDécada de 80 – doc. “Agenda para Ação” - Etnomatemática• importância do desempenho de um papel ativo do aluno naconstrução do seu conhecimento;• ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática apartir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas váriasdisciplinas;• importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos,incluindo-se, já no ensino fundamental, elementos de estatística,probabilidade e combinatória, para atender à demanda social queindica a necessidade de abordar esses assuntos;• necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância douso da tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação.(p.21)
    23. 23. Temas Transversais•Meio Ambiente - recursos naturais, desperdício — teráferramentas essenciais em conceitos (médias, áreas, volumes);•Saúde - desenvolvimento físico (altura, peso, musculatura);•educação do consumidor (medidas, porcentagem, sistemamonetário).Trabalho coletivoJogo: “é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicosbásicos; supõe um “fazer sem obrigação externa e imposta”, embora demandeexigências, normas e controle”.
    24. 24. Blocos de conteúdos• Números e Operações;• Espaço e Forma;• Grandezas e Medidas;• Tratamento da Informação;
    25. 25. ESPAÇO E FORMA Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo deMatemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolveum tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever erepresentar, de forma organizada, o mundo em que vive. A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problemae é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalhocom noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas,pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificarregularidades e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetosdo mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, elepermitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas doconhecimento. (p.39)
    26. 26. • Localização de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de posição.• Movimentação de pessoas ou objetos no espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de direção e sentido.• Descrição da localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia.• Dimensionamento de espaços, percebendo relações de tamanho e forma.• Interpretação e representação de posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços, croquis e itinerários.
    27. 27. • Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou não, simétricas ou não, etc.• Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos geométricos — esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais, prismáticos — sem uso obrigatório de nomenclatura.• Percepção de semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos.• Construção e representação de formas geométricas.
    28. 28. ATIVIDADES LÚDICASCOM GEOMETRIA PLANA
    29. 29. Atividade pode ser realizada com:•1º, 2º e 3º do ciclo I.Material utilizado:•Tesoura sem ponta;•Papel sulfite;•Lápis de cor ou giz de cera;•Cola;Objetivos:•Reconhecer as formas geométricas (triângulo, quadrado, séculos eretângulo);•Delimitar seu espaço e diferenciar as diferentes dimensões dasformas geométricas;•Estabelecer paralelo com o cotidiano.
    30. 30. • Atividade pode ser realizada com:• 3º e 4º do ciclo I.• Material utilizado:• Lápis de cor ou giz de cera;• Pode-se utilizar o Paint Brush ou outro software para colorir o desenho;• Objetivos:• Reconhecer as formas geométricas mais simples (triângulo, quadrado, séculos e retângulo) e as mais complexas (losângulo, pentágono, paralelograma e trapézio)• Delimitar seu espaço e diferenciar as diferentes dimensões das formas geométricas;
    31. 31. Atividade – Apreciação do espaço urbano• Verificar no espaço urbano diferentes formas geométricas.
    32. 32. Atividade 1 – Apreciação do espaço urbano
    33. 33. Atividade – Apreciação do espaço urbano
    34. 34. Atividade – A natureza por trás das formas geométricas - Catenária• Compreender na natureza como elemento inspirador.
    35. 35. Atividade 2 – A natureza por trás das formas geométricas - Catenária Missouri - Estados Unidos: Homenagem ao presidente Thomas Jefferson
    36. 36. Atividade – A natureza por trás das formas geométricas - Catenária
    37. 37. Atividade – Combinação de Formas geométricas• Compor material didático através das diferentes formasgeométricas.
    38. 38. Bibliografia• LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria?, Educação em Revista –Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBM, ano 3, n. 4, p. 4 – 13, 1o sem. 1995.• PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática – Ciclo I• SCHMTZ, Carmen e outros. Geometria de 1a a 4a série uma brincadeira séria. R.S. Ed. Unisinos.1994.

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