Bài Toán về thể tích, ôn luyện thi đại học năm 2013 môn Toán

1. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Loại 1: Sử dụng trực tiếp các công thức tính thể tích.
Phương pháp giải: sử dụng các công thức tính thể tích
+ Hình chóp:
1
3
V Sh
+ Hình hộp, lăng trụ: V = Sh.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = AD = 2a; CD = a. Góc
tạo bởi (SBC) và (ABCD) bằng 0
60 . (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy ABCD, I là trung điểm của
AD. Tính thể tích hình chóp S. ABCD.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ACB. A’B’C’. Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B. Giả sử
AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I. Tìm thể tích tứ diện
IABC.
Loại 2: Phương pháp phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản (hình chóp, lăng trụ,
hộp…)
Phương pháp giải:
- Phân tích hình đã cho thành tổng (hiệu) các hình cơ bản
- Sử dụng công thức: cho hình chóp tam giác S.ABC và 1 hình chóp khác có chung một góc tam diện S.
S.A’B’C’ ( ' , ' , 'A SA B SB C SC   )
. ' ' '
.
' ' '
. .S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
 . Áp dụng trong cả trường hợp ' , ' , 'A A B B C C  
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi có cạnh 5 cm, đường chéo AC = 4cm. Gọi O là giao
điểm 2 đường chéo, SO  đáy, 2 2SO  . Gọi M là trung điểm của SC; giả sử (ABM) cắt SD tại N. Tìm
thể tích hình chóp S. ABMN.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a. Giả sử SA = 2a  ABC . Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Tìm thể tích khối chóp A.BMNC.
Loại 3: Sử dụng thể tích để tìm khoảng cách
Phương pháp giải
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn
Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức Bài 01. Phương pháp bất đẳng
thức Côsi, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Tham gia ôn luy n thi đ i h c online & thi th đ i h c t i Hocmai.vn đ đ đ i h c!

2. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
Cho tứ diện ABCD, giả sử cần tính khoảng cách h từ A tới BCD, biết ABCDV , BCDS thì :
3
BCD
V
h
S

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ACB. A’B’C’. Biết rằng đáy là tam giác vuông ABC vuông tại B. Giả sử
AB = a, AA’ = 2a, AC’ = 3a. Goi M là trung điểm của A’C’, và AM cắt A’C’ tại I. Tìm khoảng cách từ A
tới (IBC) .
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn

3. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, 2AB a . Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH 
 
. Góc giữa SC và mặt
phẳng đáy bằng 600
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt
phẳng (SAH).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3AC a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể
tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA = 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh SC ( )AHK và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn
Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên
truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài
tập trong tài liệu này.

4. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
I
A
C
B
S
H
K'
K
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, 2AB a . Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH 
 
. Góc giữa SC và mặt
phẳng đáy bằng 600
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt
phẳng (SAH).
Giải:
a) ( )SH ABC HC  là hình chiếu của SC trên (ABC) SC tạo với đáy góc 0
60SCH  .
Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = 2 2AB a I  là trung điểm BC
3
.
2
a
AI BI IC a AH     
Trong tam giác vuông ICH có
2
2 2 2 5 5
4 2
a a
CH IH IC CH    
Trong tam giác vuông SHC: SH = HC 0 15
tan 60
2
a

 
321 1 1 15 15
. . 2
3 3 2 2 6
SABC ABC
a a
V S SH a  
b) '
,K K là trung điểm SB, SI , 'K K là đường trung bình của tam giác SBI
  
' '
' '
'
/ / ,
2
( ), ( )
,
2
a
KK IB KK
IB SH
IB SAH KK BI KK SAH
IB AH
a
d K SAH KK
 
 
   
 
 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải:
Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó 0
60ABD  . Hay
ABD đều. Do      ;SAC SBD ABCD nên giao tuyến của chúng SO (ABCD).
BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài toán về thể tích thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn
Toán (Thầy Phan Huy Khải) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên
truyền đạt trong bài Bài toán về thể tích. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài
tập trong tài liệu này.

5. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
B
A
C
B'
A'
C'
HK
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB và DH = 3a ; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH   OK  AB  AB  (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK  OI  (SAB), hay OI
3
4
a
OI 
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
 2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
   
Diện tích đáy 2
4 2. . 2 3D SABC ABOS OAOB a   ;
đường cao của hình chóp
2
a
SO  .
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO 
Bài 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3AC a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể
tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’).
Giải:
Theo giả thiết ta có: ' ( )A H ABC
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên
1
2
AH BC a  .
Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có:
2 2
' ' 3A H A A AH a  
Do đó:
3
'
1 . 3
3.
3 2 2
A ABC
a a a
V a  .
Mặt khác: '
. ' ' '
1
3
A ABC
ABC A B C
V
V

Suy ra:
3
3
'. ' ' . ' ' '
2 2
.3.
3 3 2
A BCC B ABC A B C
a
V V a  
Ta có:   '. ' '
' '
3
',( ' ') A BCC B
BCC B
V
d A BCC B
S

Vì ' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H    vuông tại A’.
Suy ra 2 2
' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H     cân tại B’.
Gọi K là trung điểm của BH ta có: 'B K BH . Do đó: 2 2 14
' '
2
a
B K BB BK  
Suy ra: 2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a  
Vậy  
3
2
3 3 14
',( ' ')
1414
a a
d A BCC B
a
  .
S
A
B
K
H
C
O
ID
3a
a

6. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Phan Huy Khải) Hình học không gian
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
I
O
D
C
A
B
S
K
H
M
E
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA = 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh SC ( )AHK và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải:
+ BC vuông góc với (SAB)
 BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
AH vuông góc với (SBC) AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
Từ (1) và (2) SC vuông góc với (AHK )
2 2 2 2
3SB AB SA a  
6
SB 3 AH.SB SA.AB AH
3
a
a     
2 3 2 3
SH SK
3 3
a a
   
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
Ta có HK song song với BD nên
2 2
3
HK SH a
HK
BD SB
   .
Kẻ OE// SC ( )( ( ))OE AHK doSC AHK   suy ra OE là đường cao của hình chóp OAHK và
2 4 2
IC SC a
OE    (Vì SAC cân tại A , AI là đường cao, là đường trung tuyến).
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
2
2 2 2 4
9
a
AM AH HM   AM=
2
3
a
3
1 1 1 2
. . .
3 3 2 2 27
OAHK AHK
a a
V OE S HK AM  
Giáo viên: Phan Huy Khải
Nguồn : Hocmai.vn