Aritmética i conj. numéricos

Aritmética I
ConjuntosNuméricos
Sebastián Lavanderos B.

Contenidos
NúmerosNaturales
Números Cardinales
NúmerosEnteros
NúmerosRacionales
NúmerosIrracionales
NúmerosReales
Propiedades
Desafíos y ProblemasNuméricos
2

NúmerosNaturales

NúmerosNaturales (IN)
IN = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,…}
Todo IN tiene un sucesor (n+1).
Todo IN tiene un antecesor (n-1).
Excepto el 1.
ConjuntoInfinito
4

Pares e Impares
Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 2n
Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n-1
5

Pares e Impares
Par + Par = Par
Par + Impar = Impar
Impar + Impar = Par
6

NúmerosPrimos
Todos son númerosimpares (menos el 2).
Sólo se puedendescomponer en 1 y ellosmismos.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
7

Divisibilidad
Para saber si un número “x” es divisible por un número “y” aplicamos las siguientes reglas:
8

Divisibilidad
2 - Su última cifra es un número par o el cero.
Ejemplo:
48 8 es par
90 termina en 0
54 4 es par
9

Divisibilidad
3 – La suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
42 4+2=6, y 6 es múltiplo de 3
10

Divisibilidad
4 – Las 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4, o sus 2 últimas cifras son 0.
Ejemplo:
708 8 es múltiplo de 4.
11

Divisibilidad
5 – Termina en 5 ó 0.
Ejemplo:
80 termina en 0.
105 termina en 5.
12

Divisibilidad
6 – El número es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplo:
42 es divisible por 2 (21) y por 3 (14).
13

Divisibilidad
9 – La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplo:
3.699 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (3+6+9+9=27, es múltiplo de 9).
14

Divisibilidad
10 – Termina en 0.
Ejemplo:
3.840
500
30
15

Mínimo Común Múltiplo
Descomposición prima de todos los números.
Multiplicación de todos los factores.
El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación.
16

Máximo Común Divisor
Se calcula entre 2 números.
Calculamos el M.C.M. y multiplicamos los factores que dividen a ambos números.
Corresponde al mayor nº. Que los divide sin dejar resto.
17
Sólo el 2 multiplica a ambos números, por lo tanto el M.C.D es 2.

Operaciones en Naturales
Adición (a+b)
Clausura: a+b siempre pertenece a N.
Conmutativa: a+b = b+a
Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
No hay elemento neutro.
18

Sustracción (a-b)
a > b
19

Multiplicación (a * b)
Clausura
Conmutativa
Asociativa
Elemento Neutro: 1
20

División (a / b)
Sólo si a es divisible por b (no existen los decimales, por lo tanto el resto debe ser 0).
21

Números Cardinales

Números Cardinales
IN + 0.
Adición con elemento neutro.
Multiplicación absorbente (cualquier cosa multiplicada por 0 es 0).
División: a/b b ≠ 0.
23

NúmerosEnteros

Números Enteros
25

Operaciones en Enteros
Adición (a+b)
Igual Signo: Se suman valores absolutos y se mantiene el signo.
Propiedades
Clausura, Conmutativa, Asociativa
Elemento Neutro: 0
Inverso Aditivo: El número a que sumado al número b da 0. Es el número con signo cambiado.
Ejemplo: Inverso aditivo de 3 = -3
26

Sustracción (a-b)
Concepto del Tengo(+) y Debo(-).
No es asociativa ni conmutativa.
Suma Ordenada.
Ejemplos:
7-4=3
4-7=-3
27

Sustracción (a-b) Método Analítico
Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar.
Si los dos signos son positivos, el resultado será positivo.Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20
Si los dos signos son negativos, el resultado será negativo.Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20
Si los signos son distintos resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. El signo será el signo del entero que produjo el valor absoluto mayor. Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8 Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8
28

Multiplicación (a*b)
29

División (a:b)
30

Prioridades
Paréntesis (del más interior, al más exterior).
Potencias
Multiplicaciones/Divisiones
Sumas/Restas
31
SIEMPRE de Izquierda a Derecha

NúmerosRacionales

Números Racionales (Q)
Se pueden escribir como fracción:
33
𝑎𝑏

numerador (dividendo)
denominador (divisor)

Números Racionales (Q)
Ejemplos:
−0,25 ; −34 ; −11,5 ; −827 ; −9 ; 0,66666…

34

Propiedades de las Fracciones
Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor
𝑎𝑏×𝑐𝑐
Simplificación: División del numerador y denominador por el mismo factor
𝑎𝑏÷𝑐𝑐

35
Estos procedimientos NO CAMBIAN el valor de una fracción

Operatoria de Fracciones
Suma: 𝑎𝑏+𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑
Producto: 𝑎𝑏×𝑐𝑑=𝑎𝑐𝑏𝑑
División: 𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏×𝑑𝑐=𝑎𝑑𝑏𝑐

36

Número Mixto
Forma simplificada de escribir fracciones con numeradores muy grandes.
𝐴𝑏𝑐=𝐴𝑐+𝑏 𝑐

37
7∙23=143

No Confundir:

Transformaciones de Racionales
De Fracción a Decimal:
Se divide el numerador por el denominador.
Ejemplo:
12=0,5

38

De Decimal Finito a Fracción:
Se cuentan los decimales, el denominador de la fracción corresponde a tantos 0 como decimales tenga la fracción, con un 1 al principio.
El numerador es el número entero sin coma.
0,125=1251000 1,125=11251000 ó 11251000

39

De Decimal Periódico a Fracción:
El numerador es el periodo.
El denominador son tantos 9 como cifras tenga el periodo.
Los números detrás de la coma se le suman a la fracción.
1,45=1+0,45=1+4599=14499

40

De Decimal Semiperiódico a Fracción:
El Numerador es el número sin la coma menos lo que está antes del periodo.
El denominador es un número con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.
0,527=527−5990=522990=2955

41

Comparación de Fracciones
Multiplicación Cruzada de las fracciones.
Se deja el resultado de la multiplicación en la fracción de la cual sacamos el numerador.
La fracción con número más grande es mayor que la otra.
211 𝑦317 ->2×17 ∧ 3×11 ->34∧33

42

NúmerosIrracionales

Números Irracionales
Decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
Tienen infinitas cifras decimales, pero sin un periodo.
Ejemplos:
8125, 𝜋

44

NúmerosReales

Definición
Unión de los conjuntos Racional e Irracional.
Recta numérica en su máxima expresión de infinidad.
46

Diagrama de Conjuntos
47

Desafíos y ProblemasNuméricos

Cuadrados Mágicos
Cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5… n x n.
Todas las sumas de sus números (verticales, horizontales o diagonales) tienen el mismo resultado: La Constante Mágica (K).
49

Regularidades Numéricas
Secuencias numéricas que cumplen un patrón.
12,23,34,45,56,…
Numerador y Denominador: Aumenta de 1 en 1.
𝑛𝑛+1
Donde n va a ser el número del término en la secuencia.

50

Ejercicios

Ejercicios
El valor de la siguiente expresión corresponde a:
13+3615+615
56
915

52
2518
6554

8063

Ejercicios
Si –P es un entero negativo:
P es un entero positivo.
P ∈ IN
P < -P
Sólo I
Sólo II
Sólo III
I y II
I, II y III

53

Ejercicios
De la siguientes aseveraciones:
24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el MCM.
El que un número sea natural nos asegura totalmente que también es entero, sin embargo, lo inverso no es siempre cierto.
El MCD entre 6, 9, 12 y 15 es 3.
Sólo II
I y II
I y III
II y III
I, II y III
54

Ejercicios
¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre 13 𝑦12?
0,4
0,2
1327
Sólo I
Sólo II
Sólo III
I y III
II y III

55

¿Dudas?

Aritmética i conj. numéricos

by Sebastián Lavanderos Bunout

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