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Aritmética i   conj. numéricos
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Aritmética i conj. numéricos

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  • 1. Aritmética I
    ConjuntosNuméricos
    Sebastián Lavanderos B.
  • 2. Contenidos
    • NúmerosNaturales
    • 3. Números Cardinales
    • 4. NúmerosEnteros
    • 5. NúmerosRacionales
    • 6. NúmerosIrracionales
    • 7. NúmerosReales
    • 8. Propiedades
    • 9. Desafíos y ProblemasNuméricos
    2
  • 10. NúmerosNaturales
  • 11. NúmerosNaturales (IN)
    IN = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,…}
    Todo IN tiene un sucesor (n+1).
    Todo IN tiene un antecesor (n-1).
    • Excepto el 1.
    ConjuntoInfinito
    4
  • 12. Pares e Impares
    Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 2n
    Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n-1
    5
  • 13. Pares e Impares
    Par + Par = Par
    Par + Impar = Impar
    Impar + Impar = Par
    6
  • 14. NúmerosPrimos
    Todos son númerosimpares (menos el 2).
    Sólo se puedendescomponer en 1 y ellosmismos.
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
    7
  • 15. Divisibilidad
    Para saber si un número “x” es divisible por un número “y” aplicamos las siguientes reglas:
    8
  • 16. Divisibilidad
    2 - Su última cifra es un número par o el cero.
    Ejemplo:
    48 8 es par
    90 termina en 0
    54 4 es par
    9
  • 17. Divisibilidad
    3 – La suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
    Ejemplo:
    42 4+2=6, y 6 es múltiplo de 3
    10
  • 18. Divisibilidad
    4 – Las 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4, o sus 2 últimas cifras son 0.
    Ejemplo:
    708 8 es múltiplo de 4.
    11
  • 19. Divisibilidad
    5 – Termina en 5 ó 0.
    Ejemplo:
    80 termina en 0.
    105 termina en 5.
    12
  • 20. Divisibilidad
    6 – El número es divisible por 2 y 3 a la vez.
    Ejemplo:
    42 es divisible por 2 (21) y por 3 (14).
    13
  • 21. Divisibilidad
    9 – La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
    Ejemplo:
    3.699 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (3+6+9+9=27, es múltiplo de 9).
    14
  • 22. Divisibilidad
    10 – Termina en 0.
    Ejemplo:
    3.840
    500
    30
    15
  • 23. Mínimo Común Múltiplo
    Descomposición prima de todos los números.
    Multiplicación de todos los factores.
    El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación.
    16
  • 24. Máximo Común Divisor
    Se calcula entre 2 números.
    Calculamos el M.C.M. y multiplicamos los factores que dividen a ambos números.
    Corresponde al mayor nº. Que los divide sin dejar resto.
    17
    Sólo el 2 multiplica a ambos números, por lo tanto el M.C.D es 2.
  • 25. Operaciones en Naturales
    Adición (a+b)
    Clausura: a+b siempre pertenece a N.
    Conmutativa: a+b = b+a
    Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c
    No hay elemento neutro.
    18
  • 26. Operaciones en Naturales
    Sustracción (a-b)
    a > b
    19
  • 27. Operaciones en Naturales
    Multiplicación (a * b)
    Clausura
    Conmutativa
    Asociativa
    Elemento Neutro: 1
    20
  • 28. Operaciones en Naturales
    División (a / b)
    Sólo si a es divisible por b (no existen los decimales, por lo tanto el resto debe ser 0).
    21
  • 29. Números Cardinales
  • 30. Números Cardinales
    IN + 0.
    Adición con elemento neutro.
    Multiplicación absorbente (cualquier cosa multiplicada por 0 es 0).
    División: a/b b ≠ 0.
    23
  • 31. NúmerosEnteros
  • 32. Números Enteros
    25
  • 33. Operaciones en Enteros
    Adición (a+b)
    Igual Signo: Se suman valores absolutos y se mantiene el signo.
    Propiedades
    Clausura, Conmutativa, Asociativa
    Elemento Neutro: 0
    Inverso Aditivo: El número a que sumado al número b da 0. Es el número con signo cambiado.
    Ejemplo: Inverso aditivo de 3 = -3
    26
  • 34. Operaciones en Enteros
    Sustracción (a-b)
    Concepto del Tengo(+) y Debo(-).
    No es asociativa ni conmutativa.
    Suma Ordenada.
    Ejemplos:
    7-4=3
    4-7=-3
    27
  • 35. Operaciones en Enteros
    Sustracción (a-b) Método Analítico
    Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar.
    Si los dos signos son positivos, el resultado será positivo.Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20
    Si los dos signos son negativos, el resultado será negativo.Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20
    Si los signos son distintos resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. El signo será el signo del entero que produjo el valor absoluto mayor. Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8 Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8
    28
  • 36. Operaciones en Enteros
    Multiplicación (a*b)
    29
  • 37. Operaciones en Enteros
    División (a:b)
    30
  • 38. Prioridades
    Paréntesis (del más interior, al más exterior).
    Potencias
    Multiplicaciones/Divisiones
    Sumas/Restas
    31
    SIEMPRE de Izquierda a Derecha
  • 39. NúmerosRacionales
  • 40. Números Racionales (Q)
    Se pueden escribir como fracción:
    33
    𝑎𝑏
     
    numerador (dividendo)
    denominador (divisor)
  • 41. Números Racionales (Q)
    Ejemplos:
    −0,25 ; −34 ; −11,5 ; −827 ; −9 ; 0,66666…
     
    34
  • 42. Propiedades de las Fracciones
    Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor
    𝑎𝑏×𝑐𝑐
    Simplificación: División del numerador y denominador por el mismo factor
    𝑎𝑏÷𝑐𝑐
     
    35
    Estos procedimientos NO CAMBIAN el valor de una fracción
  • 43. Operatoria de Fracciones
    Suma: 𝑎𝑏+𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑
    Producto: 𝑎𝑏×𝑐𝑑=𝑎𝑐𝑏𝑑
    División: 𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏×𝑑𝑐=𝑎𝑑𝑏𝑐
     
    36
  • 44. Número Mixto
    Forma simplificada de escribir fracciones con numeradores muy grandes.
    𝐴𝑏𝑐=𝐴𝑐+𝑏 𝑐
     
    37
    7∙23=143
     
    No Confundir:
  • 45. Transformaciones de Racionales
    De Fracción a Decimal:
    Se divide el numerador por el denominador.
    Ejemplo:
    12=0,5
     
    38
  • 46. Transformaciones de Racionales
    De Decimal Finito a Fracción:
    Se cuentan los decimales, el denominador de la fracción corresponde a tantos 0 como decimales tenga la fracción, con un 1 al principio.
    El numerador es el número entero sin coma.
    0,125=1251000         1,125=11251000  ó  11251000
     
    39
  • 47. Transformaciones de Racionales
    De Decimal Periódico a Fracción:
    El numerador es el periodo.
    El denominador son tantos 9 como cifras tenga el periodo.
    Los números detrás de la coma se le suman a la fracción.
    1,45=1+0,45=1+4599=14499
     
    40
  • 48. Transformaciones de Racionales
    De Decimal Semiperiódico a Fracción:
    El Numerador es el número sin la coma menos lo que está antes del periodo.
    El denominador es un número con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.
    0,527=527−5990=522990=2955
     
    41
  • 49. Comparación de Fracciones
    Multiplicación Cruzada de las fracciones.
    Se deja el resultado de la multiplicación en la fracción de la cual sacamos el numerador.
    La fracción con número más grande es mayor que la otra.
    211 𝑦317 ->2×17 ∧ 3×11 ->34∧33
     
    42
  • 50. NúmerosIrracionales
  • 51. Números Irracionales
    Decimales que no pueden ser expresados como una fracción.
    Tienen infinitas cifras decimales, pero sin un periodo.
    Ejemplos:
    8125, 𝜋
     
    44
  • 52. NúmerosReales
  • 53. Definición
    Unión de los conjuntos Racional e Irracional.
    Recta numérica en su máxima expresión de infinidad.
    46
  • 54. Diagrama de Conjuntos
    47
  • 55. Desafíos y ProblemasNuméricos
  • 56. Cuadrados Mágicos
    Cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5… n x n.
    Todas las sumas de sus números (verticales, horizontales o diagonales) tienen el mismo resultado: La Constante Mágica (K).
    49
  • 57. Regularidades Numéricas
    Secuencias numéricas que cumplen un patrón.
    12,23,34,45,56,… 
    Numerador y Denominador: Aumenta de 1 en 1.
    𝑛𝑛+1
    Donde n va a ser el número del término en la secuencia.
     
    50
  • 58. Ejercicios
  • 59. Ejercicios
    El valor de la siguiente expresión corresponde a:
    13+3615+615
    56
    915
     
    52
    2518
    6554
     
    8063
     
  • 60. Ejercicios
    Si –P es un entero negativo:
    P es un entero positivo.
    P ∈ IN
    P < -P
    Sólo I
    Sólo II
    Sólo III
    I y II
    I, II y III
     
    53
  • 61. Ejercicios
    De la siguientes aseveraciones:
    24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el MCM.
    El que un número sea natural nos asegura totalmente que también es entero, sin embargo, lo inverso no es siempre cierto.
    El MCD entre 6, 9, 12 y 15 es 3.
    Sólo II
    I y II
    I y III
    II y III
    I, II y III
    54
  • 62. Ejercicios
    ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre 13 𝑦12?
    0,4
    0,2
    1327
    Sólo I
    Sólo II
    Sólo III
    I y III
    II y III
     
    55
  • 63. ¿Dudas?

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